CC BY
38
риев перколяции, в частности, появление инвариантов. Для дальнейшего исследования были образованы фрактальные размерности, по своей логике являющиеся производными Радона-Никодима вероятностной энтропии по геометрической. Очевидно, что таких характеристик можно ввести несколько. Рассматривая обобщение волновых фронтов Гюйгенса на ДГК, можно построить замкнутый геодезический фронт на каждом уровне иерархии, названный нами скорлупой Мандельброта, и определить ее размерность. По способу построения такая размерность является тангенциальной. Также можно ввести характеристику в радиальном представлении — стримерную фрактальную размерность. Стример - ломаная, исходящая от центра ДГК к периферии, реализующая задачу поэтапного выбора на каждом уровне иерархии. Третий тип размерности по своему смыслу является емкостью, пропускной способностью ДГК.
Были получены определенные значения фрактальных размерностей для ряда объектов, в частности, для электронно-микроскопических изображений кварцевых и металлических стекол. Анализ результатов вычислительного эксперимента дает основания предполагать, что на основе введенных характеристик возможно построение распознающих, классифицирующих процедур.
ЛИТЕРАТУРА
1. Потапов А.А, Герман В.А. Применение фрактальных методов для обработки оптических и радиолокационных изображений земной поверхности // Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, №8, с.946-953.
2. Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Информодинамика сетевых структур. Вероятность. Древесные графы. Фракталы. Владивосток.: ДВГУ, 2003. -244с.
3. Mandelbrot В.В. The fractal geometry of nature, San Francisco, Freeman, 1982.
Титов П.Л., Юдин В.В.
ПЕРКОЛЯЦИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА СЕТОЧНЫХ СТРУКТУРАХ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ КЕЙЛИ
В предлагаемой заметке описываются вероятностные свойств сетевых структур в представлении древесных графов Кейли (ДГК), полученных для минимальных квазикристаллических симметрий: квартетной симметрии, паркета Пенроуза, бигексагональной мозаики Дюно-Каца.
Алгоритм отображения сеточных структур, мозаик, паркетов в ДГК подробно описан в [1]. В отличие от информодинамического анализа [1], в данном численном эксперименте основной акцент делается на изучении перколяции вероятностей на ДГК. При этом всем ветвям графа приписывается некоторое одинаковое значение вероятности р 0 .
Рассмотрим постановку задачи: выделяется центр ДГК, от него к соседним узлам передается импульс по ветвям с заданной вероятностью р0 , на следующем этапе передачи происходит доставка импульса ко второму уровню и т.д. Возникает вопрос: к какому значению будет стремиться вероятность доставки р; при увеличении номера уровня i? Здесь следует отметить одно из важнейших
свойств ДГК - пересекаемость входящих ветвей. Именно пересекаемость не дает р; падать ниже определенного значения.
Проводится попытка найти порог перколяции, при котором вероятность прохождения сигнала р; к i-му уровню иерархии при i—>» увеличивается или хотя бы остается инвариантной в среднем.
Такое понимание задачи перколяции шире, чем классическое, где принимается решение о перколя-ционных свойствах кластера при случайном поражении вершин или связей. Для более общего анализа учитывались максимальная р; , минимальная р- и средняя по уровню р{ вероятности про-
J :макс Амин ср
хождения сигнала.
Можно отметить, что подобная задача относится в значительной степени и к эстафетным системам передачи сообщений, в частности, системам сотовой связи, радиорелейным линиям.
Р9
Рис.1. Зависимость максимальной, минимальной и средней по уровню вероятностей доставки сигнала для трех видов графов от парциальной вероятности ветви графа.
По предварительным результатам, четкого порога перколяпии не наблюдается ни для одной из
симметрий. На рис. 1 приведены зависимости р9 1КС (Ро )» Р9мин (Ро )■ Р9с? (Ро )лта 9-го Уровня ДПС трех
типов симметрий (на рисунке они обозначены: - квартетная симметрия, Р - мозаика Пенроуза, В -
бигексагональная мозаика). Установлено, что наилучшими перколяционными свойствами в данном эксперименте обладает ДГК паркета Пенроуза. Возможно, данное обстоятельство связано с его замечательными свойствами, среди которых «золотистость», а также ряд интересных информодинамических свойств [1]. Максимальным разбросом вероятностей характеризуется ДГК бигексагональной мозаики. Данное обстоятельство связано с наличием непересекающихся ветвей на графе.Полученные результаты дают возможность выявить лучшие/худшие в перколяционном смысле объекты, диагностировать тип упорядочения, дальнодействия сеточных структур, провести их классификацию.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Юдин В.В., Любченко Е.А., Писаренко Т.А. Информодинамика сетевых структур. Вероятность. Древесные графы. Фракталы. Владивосток.: ДВГУ, 2003. - 244с.
П.Л.Титов, В.В.Юдин ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ИНФОРМОДИНАМИЧЕСКОГО МЕТОДА
Рассматриваемый метод [1] в укрупненном виде содержит 2 уровня:
1. Отображение сеточной структуры в древесный граф Кейли (ДГК).
2. Исследование свойств полученного ДГК.
Наибольшую сложность представляет реализация первого уровня информодинамического метода, несмотря на кажущуюся простоту формулировки. Вторая часть намного проще, поскольку включает в себя только расчеты на готовой математической структуре. Поэтому остановимся на описании первого уровня обработки — построении ДГК по изображению сеточной структуры. Кроме того, обычно имеют дело с исходным полутоновым изображением. Для наших целей его необходимо перевести в клипированную форму. Будем считать процедуру подготовки изображения завершенной.
