Перколяция в конечной полосе для гиббсовских решеточных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.248

Перколяция в конечной полосе для гиббсовских решеточных моделей

© П.В. Храпов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

С помощью кластерных разложений решается задача о перколяции случайного поля в конечной полосе для решеточной перколяционной модели и ферромагнитной модели Изинга. Вероятность непротекания с верхнего основания цилиндра на нижнее по случайным дефектам представлена в экспоненциальной форме с аналитической функцией в показателе. Описана кластерная структура показателя экспоненты, найдены в явном виде первые несколько членов степенного разложения показателя по перколяционному параметру. Доказаны предельные теоремы пуассоновского типа. Показано, что при некоторых воздействиях мультипликативного характера на форму цилиндра и перколяционный параметр распределение вероятностей количества дефектных контуров сходится к пуас-соновскому распределению. И обратно, для любого пуассоновского параметра X при фиксированном перколяционном параметре существует последовательность объемов такая, в которой распределение количества контуров стремится к пу-ассоновскому распределению с этим параметром X. Показано, что расчеты без изменений переносятся на значительно более широкий класс решеточных моделей, для которых возможны кластерные разложения.

Ключевые слова: перколяция, решеточная модель, модель Изинга, гиббсовское поле, контур протекания, предельные теоремы пуассоновского типа.

Перколяция привлекает к себе внимание благодаря возможным приложениям в области наноструктурных материалов. Перколяционную природу имеют процессы прохождения жидкостей через пористую неподвижную фазу, распределения жидкой фазы по межзеренным границам поликристалла, образования полимерных гелей, а также ферромагнетизм и электропроводность примесных полупроводников. Перколя-ция возникает при некоторой критической концентрации наполнителя или пор (пороге перколяции) в результате образования от одной стороны образца материала до противоположной непрерывной сетки (канала) из частиц (кластеров) наполнителя [1, 2].

В работе рассматривается задача о протекании случайного поля в конечной полосе, которая решается с помощью кластерных разложений. Пусть Л5^ — цилиндр (все полученные в работе результаты без изменений переносятся на регулярные решетки произвольного вида),

л5,и = {г = (У1,У2,...,Уу) | (у1,У2,...,У^ е 5,Уу е [1,И]},

где И — фиксированное число; 5 — конечное множество точек решетки Ъу_1.

В А5,И определим случайное иоле со значениями в X = {+1,-1} и вероятностной мерой ц. Множество точек ГсЛ5;И назовем одно-связным, если для любых г', г"еГ существует последовательность точек г, еГ, таких, что

р(г,, г,+х) = |г, - г,+11 = 1, , = 1,..., т -1, гх = г', гт = г".

Назовем дефектным контуром одонсвязное множество Г такое, что хг = -1 для геГ и хг = 1 для всех г ейГ, д л Г = {г е Л 5 ,И | г £ Г,

3г1 еГ : р(г,гх) <Л}, 5иГ^дГ, Г = Ги5Г.

Скажем, что дефектный контур является контуром протекания конфигурации, если в нем есть точка г1 = (у1, И) верхнего основания и г2 = (У2, 1) нижнего основания цилиндра Л5И. Обозначим через Я множество всех контуров протекания, через Н(5, И, ц) — вероятность непротекания в А5,И (т.е. вероятность того, что в конфигурации случайного поля нет контуров протекания) и назовем ее надежностью объема Л5И.

Введем независимое иоле, для которого распределение является произведением независимых мер V0 в точках геА5,И, v0 = ({хг = = -1}) = р, 0 <р <1. В этом случае доказана следующая теорема.

Теорема 1. При достаточно малых р < р0, фиксированном И и любом 5 верно равенство:

Н(5,И,р) = ехр{-|5\рИ(1 + ру(р,5,И))}, р,5,Л)| < КИ, (1)

где р = р/д, q = 1 - р, у(р, 5, И) — аналитическая функция в круге радиусар0 = р0/д0; К — константа, зависящая лишь от размерности V.

Рассмотрим теперь случайное гиббсовское иоле, определяемое в А5,И v-мepнoй моделью Изинга с гамильтонианом

НЛ = -РI а г а, - г, г' еЛ, |г - г '| = 1, а,, а, -ей 2 = {±1} = X

в низкотемпературной области (большие Р) и плюсовыми граничными условиями. Определим дефектный контур, контур протекания и вероятность непротекания, как и прежде.

Теорема 2. При достаточно больших Р > р0

Н (5, И, р) = exp{-| 5| (р*)2^+2"2И [1 + (р*)2( -ч ф( 5, и, р*)]},

(2)

|Ф( 5, и, р*)| <

где Р* = ф(5, И, Р*) — аналитическая функция при

Qv — константа, зависящая лишь от размерности V.

В формулах (1-2) легко вычислить следующие коэффициенты при рИ1, (р*)2(^1)И+^ и т. д., но они уже будут зависеть от вида основания 5.

Пусть, например, Л = Ь х И, Ь с 7}, тогда

1пН(5, И, р) = -Ьрн - [4(Ь - 1)(И -1) - (3ЬИ - 2И)]рн+1 + Ь<9(рА+2)

в случае независимого поля и

1пН(5,И, р) = -Ь(р*)2н+2 -4(Ь -1)(И -1)(р*)2н+4 +ЬО((р*)2И+6)

в случае модели Изинга.

Рассмотрим теперь V = 3 (для простоты) и последовательность объемов Л„ = ЬпхМпхИ такую, что при п^ю Лп заполняет бесконечную полоску 2 2 х И. Определим в каждом объеме случайные поля — независимые с параметром рп и гиббсовские (изинговские) с параметром рп — и через обозначим число контуров протекания в конфигурации Лп. Предположим теперь, что предельный переход такой, что МпЬпр" ^ X (в случае независимого поля) и МпЬп(р*)ПИ+2 ^ X (в случае гиббсовского поля). Тогда верны следующие теоремы.

Теорема 3. Распределение вероятностей Рп(^п = 1) сходится к пуассоновскому распределению:

е" хХ1

Рп (С п = I) ^ —.

Теорема 4. Пусть X — произвольное положительное число. Тогда для рассматриваемых моделей существует при фиксированном р < р0 (соответственно Р < р0) последовательность объемов Лп = 5п хИп с Жу, |5п|->ю, Ип->ю, такая, что

" " " ' I " I п—^^ " п^го ' '

р* < Р0

Рп (С п = I)-.

«Ч-ЭИ > п^х, /1

Доказательство теоремы 1. Вероятность непротекания Н(Б, И, р) можно представить в следующем виде [3-5]:

Н (5, И, р) = 2х( Б, И, р )/ 2 2( 5, И, р), (3)

где

2; (Б, И, р) = Х ^...к}, 7 = 1,2. (4)

Суммирование идет по всем допустимым наборам контуров, при этом &г = рг'# ; кг = 0, если ГеЛ, и кг = кг, если Я.

При исследовании равенства (4) воспользуемся теорией кластерных разложений [6, 7]. Поскольку эта теория понадобится и при доказательстве аналогичной теоремы для модели Изинга, изложим нужные нам факты в общем виде.

Пусть Т — счетное множество с метрикой р(х, у), причем для некоторого с1 > 0 мощность ^-окрестности любой точки Т не превосходит V. Назовем разбиение у = {Г1, ..., Гк} множества ЛсТ допустимым, если для любых двух различных его блоков Г,, Г} имеет место неравенство р(Г,, Г}) > ё. Поставим в соответствие любому конечному Л(^Т точку /ЛеЛ. Введем ориентированный граф [7], множеством вершин которого является множество Г = Г(Т) всех конечных подмножеств Т. Из вершины ЛеГ выходит ребро в вершину ВеГ тогда и только тогда, когда В = Л - {?Л}. Вершина В лежит ниже вершины Л, если существует путь по графу Г, начинающийся в Л и кончающийся в В. Самой нижней вершиной дерева Г является 0. Рассмотрим упорядоченные наборы у = {В1, Л1; ... ; В, Л,}, / = /(у) > 1 непустых подмножеств, удовлетворяющие следующим условиям.

1. Для любых г = 2, ..., / либо В, = Сг, либо В, лежит ниже Сг, равного Вм и Л,_1, ш, = \С, - В\, Д_1 = Лг_1 и ад_1, ад = {t е Т: t £ Л, Р^, Л) < ё}.

2. Л, пВ, = ^}, Л > 1, , = 1,...,/.

/ (у)

Пусть для каждого набора контуров у = {Гь...,Г/(У)}, ку = ^кГ1. Лемма 1. При достаточно малых р < р0

1 - (— 1)' (7) (5,И,р) = exp{ X |Г^(е +1)}, гел |Г| т |Г| + |у|

где Л = 5хИ, вторая сумма берется по всем у, удовлетворяющим условиям, аналогичным условиям 1-2 § 1.4 в [6], таким, что либо Д = Г, либо В1 лежит ниже Г [6-7].

Это полный аналог кластерного разложения логарифма статистической суммы в [7] для нашего ансамбля множеств. Из леммы 1

Н(5,И,р) = ехр{- £ кг2-X I I кЗД.

Г<=Л Г<=Л

„Г) |Г| (-1)'

Суммирование в экспоненте идет по всем наборам Г и (Г, у), в каждом из которых есть по крайней мере один контур протекания Г'еЯ. Отсюда легко следует доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. Проведем единичный гиперкуб через середину отрезка, соединяющего соседние спины а(, с г, \г - г'| = 1, г, г' е Л, перпендикулярно этому отрезку, если спины

имеют разные знаки. Множество полученных гиперкубов можно однозначно разбить в объединение связных непересекающихся (пересечение по кубам размерности меньше V не берем во внимание) компонент, являющихся связными замкнутыми без самопересечений гиперповерхностями, — будем называть их дуальными контурами, и разделяющих «моря» плюсов и «острова» минусов так, что «острова» минусов образуют односвязные множества. Дуальный контур, соединяющий оба основания Л5> И, назовем дуальным контуром протекания, и множество таких контуров обозначим, как и прежде, через Я. Легко видеть, что в терминах дуальной контурной модели Н(5, И, Р) выражается формулами (3) и (4), где суммирование идет по всем допустимым дуальным конфигурациям с весами к^ = е~2р1г1, № = #2), если Г^Я, и к£> = 0, если ГеЯ, |г| — число единичных гиперкубов в Г. Дальнейшие оценки проводятся так же, как и для независимого поля. Совершенно аналогично решаются в конечной полосе при малых значениях р и Р :

а) задача нахождения вероятности непротекания, если контур протекания имеет во всяком сечении, параллельном основанию, односвязную область площадью не менее г.

В этом случае, например, для V = 1, Л = ЬхИ:

Н(Ь, к, р, г) = exp{-(Ь - г +1)ргк + ЬО(ргк+1)}, Н(Ь, к, р, г) = exp {-(Ь - г + 1)(Р*)2(к+г) + ЬО((Р*)2(к+г+1))};

б) задача нахождения вероятности непротекания в решеточной задаче связи [2];

в) без изменений все расчеты проходят для произвольной решеточной модели, для которой имеет место разложение вида, описанного в лемме 1 [7].

Замечание. В статье [8] рассматривается протекание в конечной полосе для независимого поля на решетке при малых р. Методы [8] не представляется возможным обобщить на решетки более высокой размерности и зависимые поля.

Доказательство теоремы 3. Будем считать, что

Ьп = кПЧ(Р + Д2), 42 < Ь(1), мп = к(2М1 + м(2), м(2) <ы(1\

где кП\ кП2\ЬП\МП1 ^^ при п^да.

Поле независимое, случай зависимого поля исследуется совершенно аналогично.

Рассмотрим последовательность объемов Л п, ЬП — кП1Ь1,

к

мп = кП2)МП1}, Лп'= и Лп,», к = кп = кП]к(п2\ Сп,» — количество кон/-1

туров протекания в К„,», » = 1, ..., к.

Для доказательства теоремы нам достаточно проверить выполнение следующих условий:

а) п,» = 0} = е~х>к+о {Х<к);

б) Р(Сп,г >2} = о(X/к), » = 1,...,к;

В) Р(Сп - (СпД + ... + Сп,к) * 0}^^0. Покажем выполнение этих условий: а) Р{СЩ1 = 0} = ехр{-Ь(!)мп1)ркп (1 + О(Рп))} =

^ ~(Ьп -ь(2))(Мп -мп2)) ^

= ехр{(1 + О (рп ))--рп} =

{( х ^ х Ь(2 ^ х мп,2 х Д2)мп2\(1 ^ О( ))}

=ехр{(-к+дашт+-да ьпмп )(1+0(рп))}=

= ехр{- X/ к + о (X/ к)};

б) Сп,1 - Е %г, г = 1,...,к(п), где %г — характеристическая

Гей ,Г<=Л пл

функция контура Г.

п,, = 1} - Е (Лп,г -г,рп).

Гей,Г<=Л п,,

Здесь Н(Лп,г-Г,рп) — вероятность непротекания в объеме Лп,г-Г (т. е. в Лпг - Г отсутствуют контуры Ге ЯАп, ), Г — замыкание в Лп>г. Ясно, что Щп,, - Е $Ч^1. Но Н (Лп,,, рп) < Н (Л-

Гей,Г<=Л п ,г

-Г, рп)Н(Г, рп), так как всякой конфигурации непротекания в Л соответствуют конфигурации непротекания в Л - Г и Г (но не всякой паре конфигураций непротекания в Л-Г и Г соответствует конфигурация непротекания в Л).

Из пункта а) Н(Л,рп) ^ >1, г = 1,...,к(п), Н(Л-Г,

рп)>Н(Л,рп) для любого ГсЛп,. Таким образом, Н(Лп,г-Г, рп)->1 равномерно по Г, отсюда -—-->1,

Г ' п-^ю г г ' — 1} п^ж

г = 1,..., к (п);

в) п - (Сп,1 +... + Сп,к) * 0} < НЬ(2Мп(Срп)М + кМ(2%(Срп)М + +ЬМ(-)Ьп (Срп)М + кк(()Мп (Срп)М + кк(„2)1п (Срп)М. Выражение в правой части стремится к нулю при п^<х>.

Доказательство теоремы 4. Будем считать, что объем Лп

составлен из одинаковых по размерам подобъемов Лп>/, V = 1,

к

Л п = у Л п,г, г = 1, ..., к(п), и поле независимое, случай V > 1 и зависи-

1=1

мого поля может быть исследован аналогично. — количество контуров протекания в объеме Лп>г, I = 1, ..., к(п). Очевидно, количество контуров независимо, и они одинаково распределены. Для доказательства нам достаточно найти последовательность

объемов Лкп,, п = 1,2,...,к = = к(п), г = 1,...,к, к = к(п) ^ >да,

такую, что выполнены условия а), б), в), определенные при доказательстве теоремы 3.

Лемма 2. Для любого к > 0 существует последовательность объемов Л/ = 8, хМ, / = 1,2,..., М —;->ю, 8, —;->ю, такая, что

Н(8/, М/, р) ^ е при

Доказательство. Запишем вероятность Н(8/, И/, р) в следующем виде:

Н (8/, И, р) = ехр{-g (8/, И, р)}.

Пусть g(8/, И/, р) < к. Тогда увеличиваем 8/ на единицу. Ясно, что при этом g возрастает не более чем на И/ (Ср)И, где С — некоторая абсолютная константа. Увеличиваем 8/ до тех пор, пока g не станет больше к. Затем увеличиваем И до тех пор, пока g не станет меньше к, ит. д. Ясно, что теперь из этой последовательности объемов можно выбрать подпоследовательность, удовлетворяющую лемме. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь для любого к = 1, 2, ... последовательность объемов Лкт,г ^ Ж+ при т Лт,г =Лт,j, г,] = 1,...,к, такую, что

Р{Ст,г = 0} —т > в~х!к, где С,тг — случайная величина, равная числу контуров протекания в Лктг, г = 1,...,к; Ж+ — верхняя полуплоскость решетки. Это непосредственное следствие из леммы.

Выберем отсюда подпоследовательность объемов Л[т г,

] = 1,2,...; г = 1,...,kj, такую, что kjИmj(Ср)т —^ > 0, где Иmj — высота объема Лт г. Значения Ит] выбираем строго монотонно возрастающие, к берем монотонно (не обязательно строго) возрастающим. Выбор константы С станет ясен из дальнейших рассуждений. Легко видеть, что после перенумерации О^-п) получаем последовательность объемов Кп,,, п = 1, 2, ..., г = 1, ..., к(п), удовлетворяющих пункту а).

Пункт б) следует из того, что Р{С,п - (С,пд +... + С,„гк) Ф * 0} < Ипк(п)(Ср). Докажем пункт б):

= X Хг, г = 1,.., к (п),

Гей,Г<=Л п ,г

где %г — характеристическая функция контура Г. Ясно, что Р{Сп,, =1} - Е $Ч1пЦн(А„,, -Г,р), где Н(Лп,г -Г,р) — веро-

Гей ,Г<=Л п,г

ятность непротекания в объеме Лп,г -Г (т. е. в Лп,г -Г отсутствуют контуры Г'е , Г — замыкание в Л . В то же время Щпг = Е р|Г|?|аг|. Но Н(Лп,г,р) < Н(Лп,г -Г,р)Н(Г,р), так как

Гей,Г<=Л п ,г

всякой конфигурации непротекания в Л соответствуют конфигурации непротекания в Л — Г и Г (но не всякой паре конфигураций непротекания в Л —Г и Г соответствует конфигурация непротекания в Л). Мы выбрали последовательность объемов так, что Н(Лпг-,р)^1 при п^х>, I = 1, ..., к(п). Н (Л Пу1 -Г, р) > Н (Л , р) для любого ГсЛ„,,.

Отсюда —^^",1-->1, / = 1,...,к(п) . Пункт б) доказан.

Р{С п,1 = 1}

ЛИТЕРАТУРА

[1] Брагинский Р.П., Гнеденко Б.В., Молчанов С. А. Математические модели старения полимерных изоляционных материалов. Докл. АН СССР, 1983, т. 286, № 2, с. 281-284.

[2] Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. Москва, Еди-ториал УРСС, 2002, 112 с.

[3] Минлос Р.А., Храпов П.В. О протекании в конечной полосе для непрерывных систем. Вестник МГУ, 1985, № 1, с. 56-60.

[4] Храпов П.В. О протекании в конечной полосе для дискретных и непрерывных систем. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 13.07.84, № 5061-84.

[5] Храпов П.В. О протекании в конечной полосе. Вестник МГУ. Мат. Мех, 1985, № 4, с. 10-13.

[6] Малышев В. А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля. Усп. Математических наук, 1980, т. 35(2), с. 3-53.

[7] Малышев В. А., Минлос Р. А. Гиббсовские случайные поля. Москва, Наука, 1985.

[8] Цареградский И.П. Просачивание через конечный слой. Теоретическая и математическая физика, 1983, т. 57, № 1, с. 105-114.

Статья поступила в редакцию 16.07.2013.

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Храпов П.В. Перколяция в конечной полосе для гиббсовских решеточных моделей. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 6. URL: http://engjournal.ru/ catalog/nano/hidden/796.html

Храпов Павел Васильевич окончил механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова в 1981 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Области деятельности и научных интересов: функциональный анализ, распознавание образов, теория перколяции, численные методы. e-mail: [email protected]