Перколяция бернуллиевского однородного поля на бесконечномерной решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.987

ПЕРКОЛЯЦИЯ БЕРНУЛЛИЕВСКОГО ОДНОРОДНОГО ПОЛЯ НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ 21)

Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308000, Россия, e-mail: virch@bsu,edu.com

Аннотация. Доказано, что однородное бернуллиевское поле на бесконечномерной решетке ZN обладает перколяцией с вероятностью единица при неравной нулю концентрации.

Ключевые слова: бесконечномерная решетка, однородное сдучайное бернуллиевское поле, перколяция.

Будем рассматривать множество

ЪМ = {х = (ик; к € N : € Ъ,з € М}}

с элементами, которые мы будем далее называть узлами, и случайное однородное бернуллиевское поле (с(х); х € ЪМ}, то есть областью значений случайной функции с является {0,1} и все случайные величины с(х), х € ЪМ статистически независимы в совокупности. При этом распределение вероятностей определяется одним параметром

с = Рг{с(х) = 1} , х € ЪМ .

Такое распределение вероятностей приводит к тому, что для любого множества А С ЪМ и любой функции в : А ^ {0,1} имеет место

Рг{с(х) = в(х); х € а} = с|А+|(1 — с)1А-1 , (1)

где А+ = {х : в(х) = 1}, А- = {х : в(х) = 0}, А = А+ и А-.

Вводя на ЪМ отношение смежности ф для пар узлов х,у € ЪМ, х = (ик; к € М}, у = (тк; к € М} по формуле

хфу 3 (I € Ъ : т[ = щ = ±1 V V (к = I : тк = ик) ^ ,

мы превращаем ЪМ в бесконечномерный неориентированный граф (без петель и кратных ребер), который мы будем обозначать тем же символом и называть бесконечномерной решеткой.

Отношение смежности позволяет ввести пути на ЪМ (конечные или бесконечные). Конечный путь ч(х,у) длины и - это последовательность (хо = х,х1, ....,хп-1,хп = у}, для которой хгфхг+1, г = 0 + и — 1. Соответственно бесконечный путь 7(х) с начальным узлом х - это бесконечная последовательность ^(х) = (х0 = х,х1,х2,...}, для которой х^фх^, г € М+. Путь называется несамопересекающимся, если для любых допустимых номеров к и I имеет место хк = хг. Класс всех конечных несамопересекающихся путей длины и обозначим посредством Гп и, соответственно, Г - класс всех бесконечных несамопересекающихся путей.

21Работа выполнена в рамках ФЦП ГК № 02.740.11.0545

Понятие перколяции формулируется естественным образом в терминах случайного множества, с которым связано взаимно однозначным образом каждое дихотомическое случайное поле {c(x); x € ZN), а именно, такое поле определяет случайное множество с реализациями

{W С ZN}, которые строятся по формуле W = {x : c(x) = 1}, и с индуцированном этим по-

лем распределением вероятностей. Для однородного бернуллиевского поля {c(x); x € ZN) такое индуцированное распределение вероятностей, согласно (1), определяется формулой

Pr{A П W = A+} = cIA+l (1 - c)|A- , (2)

для любого множества A С ZN и любого A+ С A (A_ = A \ A+).

На основе понятия пути вводится отношение связности на случайной реализации W, которое является отношением эквивалентности. Это отношение позволяет разложить каждую реализацию на дизъюнктивное семейство связных компонент (кластеров) так, что для каждой вершины x € W существует единственная содержащая ее связная компонента W (x).

В конечномерном случае понятие перколяции случайного множества {W С Zd}, d € N вводится требованием положительности вероятности

Q(c) =Pr{\W(x)\ = с} > 0. (3)

Оно эквивалентно утверждению о том, что

Pr{3(7(x) С W : y(x) € Г)} = Q(c) > 0.

В бесконечномерном случае мы будем исходить из определения перколяции, которое состоит в требовании положительности вероятности

P(c) = Pr{diam(W/(x)) = с} > 0 (4)

и которое является, очевидным образом, более сильным по сравнению с тем, которое получается простым распространением формулы (3) на бесконечномерный случай.

Расстоянием между двумя узлами x = {ик; к € N), y = {шк; к € N) назовем число

dist(x, y) = Y^ Uk - mk\.

k&i

Расстояние между узлом x и множеством A С ZN определим как минимальное из расстояний между всеми узлами y € A и узлом x,

dist(x, A) = min{dist(x, y); y € A} .

Для любого кластера W множество

dW = {y € CW : 3(z € W : y^z)}

назовем границей этого кластера. Легко устанавливается, что, в терминах границ кластеров, рассматриваемое нами определение (4) перколяции на ZN переформулируется следующим образом:

Pr{dist(x,dW(x)) = с} = P(c) > 0. (5)

Настоящее сообщение посвящено доказательству, для случая бернуллиевского поля на бесконечномерной решетке, утверждения, которое содержательно звучит как: «в бесконечномерной перколяционной системе порог перколяции равен нулю», и в таком виде оно присутствует в фольклоре среди специалистов по статистической физике. Мы докажем следующую теорему.

Теорема. Условная вероятность

К = Рг{ё1аш(Тс(х)) = то | с(х) = 1}

равна единице.

Тогда следствием этого утверждения является формула

Р(с) = с.

Доказательство теоремы основано на двух фактах. Один из них отражает структуру смежности бесконечномерной решетки, а именно, для любого узла у Є ^ имеет место |9{у}| = то. Второй факт является следствием следующего утверждения.

Лемма. Пусть А - произвольное бесконечное множество узлов из и имеется произвольная функция в : А ^ {1, 0}. Тогда для однородного бернуллиевского поля {с(х); х Є ZN}, Рг{с(,г) = 1} = с с 0 < с < 1, имеет место

Рг{с(х) = в(х); х Є А} = 0.

□ Определим множества

А+ = {х Є А : в(х) = 1} , А- = {х Є А : в(х) = 0} .

По крайней мере, одно из них, бесконечномерно. Тогда, согласно определению однородного бернуллиевского поля,

Рг{с(х) = в(х)} = с|А+|(1 — с)\А— =0. ■

Следствие. Пусть |А| = то. Тогда Рг{А С V} = 0.

Доказательство теоремы. Но ограничивая общности, далее рассматриваем только кластер 1^(0) = V. Требуется доказать, что Рг{ё1аш(Тс) < то} = 0.

1. Для кластера V обозначим й(Ш) = шах{ё1в1(0, у); у € V}. Из неравенства треугольника ё1в1(х,у) ^ ё1в1(х, 0) +^1(0, у) следует, что й(Ш) ^ ё1аш(Тс) ^ 2й(Ш). Поэтому условие ё1аш(И^) < то эквивалентно й(Ш) < то, то есть Рг{ё1аш(Тс) < то} = Рг{^(И^) < то}. Представив в виде дизъюнктивного объединения

ГО

{й(Ш) < то} = |^| {й(Ш) = и} ,

п=0

получим

<х

Рг{^(Т^) < то} = ^Рг{^(Тс) = и} .

п=0

Поэтому достаточно доказать, что Рг{^(Т^) = и} = 0 для любого и € М+.

2. Пусть Еп - множество узлов, находящихся на расстоянии и от нуля. Сагё(Еп) = ^о, так как счетно множество всех конечных путей из 1_1п Гп с началом в нулевом узле. Тогда разложим

{й(Ш) = и} = У {V Э г; с(у) = 0, у € (д{г} П Еп+х)} .

Следовательно,

Рг{^(Т^) = и} ^ ^ Рг{ V Э г; с(у) = 0, у € (д{г} П Еп+х)} (6)

и поэтому достаточно доказать, что равно нулю каждое из слагаемых этой суммы.

3. Выберем произвольный узел г = {1к : к € Н) € Еп П V. При этом ^кен ^к| = и. Для того чтобы узел и обладал свойствами гфи и &8^0,«) = и + 1, необходимо и достаточно чтобы его координаты и = {тк : к € Н) удовлетворяли соотношениям ^^н 1тк — 1к | = 1, ^2к&N 1тк I = и + 1. Выполнив замену ик = тк — ик, эти условия на координаты запишем в виде £к€м 1ик I = 1, ^кен 1^к + ик I = и + 1. Откуда имеем бесконечно множество решений ик = ±$к], ] € N и для каждого конкретного ] € N должно выполняться

У, 11к1 + 1Ц ± 11 = и + 1 •

к&Н:к=Ц

В результате, имеем Щ ± 1| — Щ | = 1 и, следовательно, имеем тождество, если знак выбран в соответствии со знаком Ц. В результате, Сагё(д{г} П Еп+х) = ^0 при г € Еп.

4. Так как Рг{М^ Э г; с(у) = 0, у € (д{г} П Еп+х)} ^ Рг{с(у) = 0, у € (д{г} П Еп+\)}, то положив А = д{г} П Еп+х, на основании утверждения леммы, получаем требуемое равенство нулю каждого из слагаемых в (6). I

Литература

1. Кестен Х. Теория просачивания для математиков / Москва: Мир, 1986. - 390 с.

PERCOLATION PROPERTY OF UNIFORM BERNOULLI FIELD ON INFINITE DIMENSIONAL LATTICE Yu.P. Virchenko

Abstract. It is proved that uniform Bernoulli random field on infinite dimensional lattice possesses the percolation property with probability one.

Key words: infinite dimensional lattice, random Bernoulli field, percolation.