Ограничения на порог перколяции на треугольной решётке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПОРОГ ПЕРКОЛЯЦИИ НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЁТКЕ

E.C-Антонова

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Рассматривается задача дискретной теории перколяции для набора независимых случайных величин c(x) Є {0,1} на треугольной решётке Л. На основе кластерного разложения вероятности перколяции, находится верхняя оценка порога перколяции с*.

Ключевые слова: вероятность перколяции, треугольная решётка, конечный кластер, внешняя граница, кластерное разложение, порог перколяции.

1. Введение. Дискретная теория перколяции занимается проблемой существования с ненулевой вероятностью бесконечной связной компоненты у случайных подмножеств на кристаллических решётках Л = (V, Ф) в евклидовых пространствах, V С Rd, на которых определено отношение связности Ф С V x V [1]. В простейшем случае такие случайные множества порождаются бернуллиевскими случайными полями. Более того, в самой простой ситуации рассматриваются так называемые двумерные (d = 2), плоские, однородные решётки (квадратная, треугольная, гексагональная). Однако, даже в этом случае, когда случайное бернуллиевское поле {c(x); x Є V} определяется одним параметром - концентрацией c = Pr{c(x) = 1}, задача вычисления вероятности перколяции Q(c) представляет собой серьёзную математическую проблему, так как не существует никаких аналитических процедур последовательного вычисления аппроксимаций этой функции с ганатированной точностью. В настоящей работе, вычисляется верхняя оценка так называемого порога перколяции c* на плоской, однородной решётке, которая называется треугольной. Эта оценка находится на основе известного подхода, называемого кластерным разложением [2], [3]. Мы находим верхнюю оценку для числа конечных кластеров на треугольной решётке, содержащих фиксированную вершину, которая позволяет получить верхнюю оценку для величины c*.

2. Проблема теории перколяции на треугольной решётке. Бесконечное множество V в R2 назовём периодическим, если существует пара (a1, a2) неколлинеарных векторов в R2, таких, что для любых ni Є Z, і Є {1, 2} имеет место V = V + n1a1 + n2a2. Кристаллической решёткой в R2 будем называть пару Л = (V, Ф), где V - периодическое множество в R2,

состоящее из изолированных точек, и Ф - множество связности, состоящее из пар точек решётки. Множество V допускает дизъюнктивное разложение

V = и {V} + пхах + п2а2}, где конечное множество V называется кри-

(п!,П2)еЖ2

сталлической ячейкой. Если число точек в V является минимальным среди всех допустимых для V кристаллических ячеек, то такая ячейка называется элементарной. Множество связности Ф на кристаллической решётке также должно быть периодическим

Ф + пх(ах, ах) + П2(а2, а2) = Ф , (1)

(пх,п2) Е Ж2 и при этом множество Фо = {ф Е Ф : ф = (х, у), х Е V}} конечно. Его мы будем называть множеством смежности. С точки зрения кристаллографии, оно определяет "ближайших"соседей на кристаллической решётке для точек из фиксированной элементарной кристаллической ячейки

V}. Далее, точки кристаллической решётки мы будем называть вершинами, а элементы множества Ф - связями или рёбрами. Пару вершин х, у из V, для которых имеется связь (х, у) Е Ф, будем называть смежной и обозначать это отношение смежности посредством хфу. Очевидно, что множество связей допускает дизъюнктивное разложение

Ф = и {Фо + Пх(а1, ах) + П2(а2, а2)} . (2)

(п!,п2)еЖ2

Кристаллическая решётка Л = (V, Ф) размерности два называется треугольной (см. рис.1), если элементарная ячейка V состоит из одной вершины 0 (на рисунке элементарные ячейки обозначены сеткой из пунктирных

Научные ведомости БелГУ № 5(60)2009 линий), а множество смежности имеет вид

Ф0 = {(0, а) : а Е |±аь{(а1е1 + а2е2\/3); аг Е {±1},г = {1,2}}|| ,

где е*, г Е {1, 2} - орты в М2. При этом а! = е1, а2 = (ех + е2л/3).

Введём в рассмотрение на решётке Л бернуллиевское случайное поле {с(х); х Е V} с концентрацией с = Рг{с(х) = 1}. Здесь и далее, знак тильда, поставленная над математическим объектом, обозначает его случайность. Каждая случайная реализация с(х), х Е V этого поля определяет множество

V = {х : с(х) = 1}, называемое конфигурацией. Соответственно, вся совокупность реализаций {с(х); х Е V} вместе с заданным на них распределением вероятностей определяет случайное множество на

V = та} и [21} + (е! + е2л/3)] ,

распределение вероятностей для которого индуцируется распределением вероятностей поля {с(х);х Е V}. А именно, для каждого конечного подмножества М С V вершин решётки вероятность его заполнения случайной конфигурацией V/ определяется формулой Рг{М С V} = с|м|, где |М| - число вершин в М.

Последовательность вершин (х0,х 1,...,хп), выбранных из конфигурации IV, называется путём длины п на IV, если х*фх*+1, г = 0,1, ...,п — 1. Путь называется простым, если в указанной последовательности х* = X.j при всех значениях индексов г < ] и, соответственно, - циклом, если совпадение вершин в последовательности (х0, хх,хп) имеет место только при г = 0, ] = п. Пара вершин {х, у} называется связанной на V, если {х, у} С IV и на этой конфигурации существует простой путь (х,х 1,хп—1, у). Отношение связанности для пар вершин является отношением эквивалентности, порождаемым конфигурацией IV. Поэтому всякая случайная конфигурация IV распадается на непересекающиеся классы эквивалентности - кластеры М[Ж] = {Ж,-; ] Е Н},

ГО

V = V, каждый из которых состоит из связанных между собой вершин,

,=1

и никакие две вершины, взятые из различных кластеров, не являются связанными.

Обозначим посредством Ж(х) тот кластер из набора М[Ж], который содержит вершину х Е V. Если вершина х не содержится в конфигурации IV, то будем считать, что Ж(х) = 0. Введём случайную функцию й(х), описы-

вающую свойство просачивания случайного поля {c(z); z G V},

1; |VK(x)| = то, 0; |W/(x)| < то .

Тогда вероятность перколяции Q(c) поля c(x), x G V из фиксированной вершины z G V определяется равенством Q(c) = Pr{a(z) = 1}. На треугольной решётке, ввиду её однородности, эта вероятность не зависит от точки z. Далее, нас будет интересовать величина c* = inf{c : Q(c) > 0}, которую будем называть порогом перколяции.

3. Конечные кластеры на треугольной решётке. Введём, следуя [1], понятие внешней границы конечного кластера W(x) на треугольной решётке.

Определение [4]. Пусть W(x) является конечным кластером. Множество, обозначаемое нами посредством dW (x), будем называть внешней границей этого кластера на конфигурации W, если W(x) С W и dW состоит из тех точек z G W, для каждой из которых существует точка y G W(x) такая, что z^y, и существует бесконечный путь а на решётке Л, а П W(x) = 0, начинающийся в точке z, причём z является единственной точкой этого пути, для которой имеет место y^z, y G W(x).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 [4]. Пусть W (x) - конечный кластер, содержащий вершину x G V. Тогда W(x) имеет непустую конечную внешнюю границу dW, которая обладает следующими свойствами.

1. Множество dW является циклом на решётке Л, то есть

и (х0, х1,..., хп—1) является простым путём.

2. Цикл окружает точку х.

Введём 6 х 6-матрицу 5 соединения путей, матричные элементы 5,, г, ] =

1,...,6 которой равны либо нулю, либо единице так, что 5, = 0, если во внешней границе какого-либо конечного кластера невозможна стыковка связей (1, 0), (0,]), указанных на рис.2. В противном случае матричный элемент 5, полагается равным 1.

Теорема 2. Матрица 5 имеет следующий вид

dW = (xq, xi,..., x„_i, xq)

Доказательство. Ввиду симметрии рис.2 относительно поворотов на углы, кратные п/6, достаточно доказать утверждение о виде первой строки матрицы 5 вида (3). Далее, ввиду отражательной симметрии относительно оси, определяемой вершинами 1, 0,4, достаточно убедиться только, что $12 = 0, так как диагональные элементы матрицы 5, согласно её определению, равны нулю.

Если вершины 1 и 2 принадлежат внешней границе, то из них существует пара непересекающихся бесконечных путей 71, 72, которые начинаются, соответственно, в точках 1 и 2. Построим путь, который состоит из последовательного прохождения пути 71 из бесконечности в точку 1, затем последовательно - связей (1, 0) и (0, 2) и, наконец, - пути 72 из точки 2 на бесконечность. Построенный путь делит плоскость К2 на две части. Кластер, во внешнюю границу которого входит пара связей (1, 0), (0, 2), должен быть полностью расположен в одной из этих частей. Но он не может находиться в правой части плоскости, так как в противном случае у кластера нет вершины, которая была бы смежной с вершиной 0. Если же кластер находится в левой части плоскости, в этом случае существует бесконечный путь, который начинается из вершины 0. Тогда этот путь должен также полностью расположен в левой части плоскости и, следовательно, начинаться с одной из связей (0,]), ] Е {3,4, 5,6}. Для любого пути такого типа либо вершина 1, либо вершина

2 не будут иметь смежной вершины в кластере, в границу которого входят связи (1, 0), (0, 2). Полученное противоречие доказывает, что 512 = 0. И

Матрица 5 с неотрицательными элементами, согласно теореме Фробени-уса [5], обладает максимальным по модулю собственным числом А*, которое

является положительным. Согласно же теореме, доказанной в [6], для матриц, имеющих блочную структуру вида (3), это максимальное собственное число совпадает с максимальным по модулю (положительным) собственным числом матрицы А + В. Из явного вида матриц А и В находим, что

(1 1 1 А + В =111

111

, и следовательно, это собственное число равно А* = 3.

4. Нижняя оценка порога перколяции. Покажем, что для треугольной решётки существует нетривиальный порог перколяции с* > 0 такой, что д(с) = 0 при с Є [0, с*) и при этом выполняется оценка снизу с* > 1/3.

Обозначим Гп класс простых путей 7 = (0,хі,...,хп) длины п, которые обладают свойством: при і = 0,1,...,п — 1 и ] > і + 1 вершины х* и х^- не являются смежными. (Если какие-то из указанных пар являются смежными, то путь 7 можно сократить).

Очевидно, что

ф(с) = ііш Рг{3(7 Є Гп),7 С V} . (4)

Справедливы оценки

Рг{3(7 Є Гп),7 С V} < ^2 Рг{т С V} < 2 • 3псп+1, (5)

7ЄГ„

так как число всех путей длины п, начинающихся в вершине 0 и обладающих указанным свойством, не превосходит 6 • 3П—1 и, кроме того, Рг{7 С \¥} = сп+1. Применяя неравенство (5) при оценивании вероятности (4), мы видим, что эта вероятность равна нулю при 3с < 1. И

5. Кластерное разложение на Ж2. Пусть А семейство конечных кластеров V, содержащих вершину 0 на треугольной решётке. Определим для любого кластера V Є А случайное событие А(Ж) = {V : 0 Є V, V Є М[Ж] , Ж(0) = V}. Вероятность этого события равна

Рг{А(Ж)} = с^ |(1 — с)1^1. (6)

Согласно утверждению предыдущего раздела каждому кластеру V из семейства А, отвечает цикл 7 такой, что 7 = дЖ. В связи с этим введём в рассмотрение семейство В всех циклов, окружающих точку 0. Для каждого цикла

7 Є В введем событие В(7) = {М : 0 Є М, Ж(0) Є М[Ж],дЖ(0) = 7}, которое представимо в виде конечного объединения попарно непересекающихся событий

В (7 )= и ). (7)

Ж ЄА: дW=7

Вводя вероятность Р(7) = Рг{В(7)}, которая, согласно (6), (7), равна Р (7) = £ Рг{А(^)} = с|Ж |(1 — с)|дЖ 1.

ЖЄА: дЖ=7 ЖЄА: дЖ=7

Заметим, что {й(0) =0} = {0 Є V} и (^) А(^). Семейство А разлагается

Ж ЄА

на непересекающиеся классы, состоящие из кластеров, объединяемых следующим признаком. К одному классу отнесём такие кластеры V Є А, которые имеют одну и ту же внешнюю границу. Поэтому справедливо преобразование

и-=и { и ■

Ж ЄА 7єБ Ж ЄА: дЖ=7

которое сопоставляет множеству кластеров V с общей внешней границей единый "заполненный кластер". Далее, на основании (7), получаем {й(0) =

0} = {0 Є V} и и В(7). Таким образом, принимая во внимание, что 1 —

7ЄБ

ф(с) = Рг{а(0) = 0}, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Вероятность ф(с) определяется кластерным разложением

с — <3(с) = £ Р(7). (8)

7ЄБ

6. Основная теорема. Функция ф(с) отлична от нуля только при с > с* > 0, поэтому она не является аналитической. Основной результат работы формулируется следующим образом.

Теорема 4. Для бернуллиевского случайного поля {с(х); х Є V} на треугольной решётке Л справедливо неравенство с* < 2/3.

Доказательство. Воспользуемся элементарной оценкой Р(7) < (1 — с)171, которая следует из (6) и выражения для В (7). Тогда имеет место неравенство

ГО

с — <3(с) = £ Р(7) < £ (1 — с)М = £ (1 — с)"г„ . (9)

7ЄБ 7ЄБ п=6

Найдем верхнюю оценку для величины гп, п > 6. С этой целью введём множество Вп всех простых циклов длины п на треугольной решётке Л, которые могут быть внешними границами кластеров, содержащих точку 0. Введём далее множество Сп(х0) путей 7 = (х0,хп) длины п на решётке, которые обладают свойством х^- = х^-+2, ] = 0,1, ...,п — 2, и связанные с ним подмножества Сп—1(х0, х1) путей длины п, у которых зафиксированы первые две вершины, а каждые две следующие друг за другом связи обязательно яв-

ГО

ляются частью какого-либо цикла из и Вп. Ввиду однородности решётки,

п=3

величина |Сп—1(х0, х1)| не зависит от точки х0.

Очевидно, что имеет место неравенство

Гп <Сп|Сп—2(х0,х1)| (10)

с некоторой постоянной С > 0. Здесь множитель п связан с тем, что начальная точка х0 построения цикла может быть выбрана на произвольном расстоянии I от вершины 0 вдоль направления е1, I < п.

Для оценки величины |Сп—1(х0, х1)| введём следующую конструкцию. Охарактеризуем однозначно каждый путь из Сп(х0), п > 2 последовательностью (Ь1,...,Ьп—1) векторов сдвигов, где Ь1 = х1 — х0 и каждый вектор Ь*, г = 2,...,п представляет собой разность х* — х*—1, повёрнутую в обратную сторону на угол, который образуется вектором х*—1 — х*—2 и ортом е1 на плоскости расположения решётки. В этой параметризации множеству Сп(х0, х1) сопоставляется равномощное ему множество Оп(Ь1) всех последовательностей (Ь1,..., Ьп) с фиксированным вектором Ь1, у которых каждая входящая в их состав пара (Ь*, Ь*+1), г = 1, 2,..,п — 1 является допустимой, то есть для каждой пары (Ь*, Ь*+1) в множестве В существует такой кластер, у которого в составе внешней границы, записанной в терминах векторов сдвига, имеется пара (Ь, Ь') следующих друг за другом сдвигов, которая совпадает с (Ь*, Ь*+1), г = 1, 2,.., п — 1. Следовательно, Сп(х0, х1) = ^п(Ь1) = |Сп(Ь1)|.

Разложим множество Оп(Ь1) на непересекающиеся друг с другом множества Оп(Ь1; Ьп) путей, у которых зафиксирован последний сдвиговый вектор Ьп, Сп(Ь1) = и Сп(Ьь Ьп). Тогда, 0п(ЬО = ^ |Сп(Ьь Ьп)|. Вводя нуме-

Ьп Ьп

рацию для возможных сдвиговых векторов, которая представлена на рис.2, мы можем считать, что величина |Оп(Ь1, Ьп)| при каждом значении п £ N является 6-мерным вектором ^*(Ь1,п) так, что каждая его ]-я компонента равна значению этой величины в том случае, когда Ьп имеет номер ] в принятой нумерации, ] = 1 ^ 6.

Согласно определению вектора д^Ь^ п), имеет место д^Ь^ 1) = Sji, и для любого п = 2,3,... и вектора Ь имеет место рекуррентное соотношение

12

^(Ьь п) = £ дк(Ь1; п - 1^.

к=1

Тогда, индукцией по п £ Н, заключаем, что

gi (Ь1;п) = (£п)ji.

Так как у матрицы 5 имеется единственное максимальное собственное число с максимальным абсолютным значением, то из полученного соотношения следует асимптотическая формула

д^Ььп) = Л^(1 + о(1)), (11)

где номер ] соответствует сдвиговому вектору Ь1 и ненулевая матрица V имеет неотрицательные матричные элементы .

Используя (9),(10), находим, что для вероятности ф(с) справедливы оценки

ГО 00

с - ф(с) < С^(1 - с)пГп < п*£п(1 - с)п|Сп_2(хо,Х1)| =

п=6 п=6

ГО ГО 6

= С 22 п(1 - с)пдп-2(Ь1) = С 22 п(1 - с)п£ д^Ьь п - 1).

п=6 п=6 i=1

Применяя асимптотическую формулу (11), получаем

ГО

с - <Э(с) < СО£п[(1 - с)Л,|" , (12)

п=6

где положительная постоянная Л > таху Хл=1 выбрана так, чтобы имело

место неравенство д^Ь^п) < ЛЛП

Ряд в правой части неравенства (12) сходится при (1 - с) Л* < 1, то есть при с > 1 - Л-1. Сходимость же этого ряда, применяя рассуждение, основанное на лемме Бореля-Кантелли (см., например, [7]), приводит к отличной от нуля вероятности перколяции при выполнении указанного ограничения на параметр с. Следовательно, с* < 1 - Л-1 = 2/3. ■

Литература

1. Вирченко Ю.П. Перколяция // Энциклопедия. Математическая физика.

- Москва: Российская энциклопедия. - 1998.

2. Virchenko Yu.P., Tolmacheva Yu.A. Method of Sequential Approximative Estimates in Descrete Percolation Theory // Studies in Mathematical Physics Research. ed. Charles V. Benton, New York: Nova Science Publishers. - 2004.

- P. 155-175.

3. Вирченко Ю.П., Толмачёва Ю.А. Мажорантные оценки порога перколя-ции бернуллиевского поля на квадратной решётке // Украинский математический журнал. - 2005. - 57. - 10. - С.1315-1326.

4. Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians / H.Kesten. - Boston: Birkhauser,1982.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р.Гантмахер. - М.: Наука. - 1966.

6. Антонова Е.С. Оценка мощности множества траекторий без самопересечений на квадратной решётке // Труды Воронежской зимней школы С.Г.Крейна 2008. - Воронеж, 2008. - С.15-30.

7. М.В. Меньшиков М.Ф., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перко-ляции и некоторые приложения // Итоги науки и техники. - сер.теор. вер., мат. стат. и теор.кибер. - М.: ВИНИТИ. - 1986. - 24. - C.53-110.

RESTRICTIONS OF PERCOLATION THRESHOLD ON TRIANGLE LATTICE E.S.Antonova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

The problem of discrete percolation theory for the collection of independent random variables c(x) € {0,1} on the triangle lattice Л is considered. On the basis of the cluster decomposition of the percolation probability, the upper and lower estimates of the percolation threshold the are found.

Key words: percolation probability, triangle lattice, finite cluster, external border, cluster decomposition, percolation threshold.