Научная статья на тему 'Ограничения на порог перколяции на треугольной решётке'

Ограничения на порог перколяции на треугольной решётке Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
83
28
Поделиться
Ключевые слова
вероятность перколяции / треугольная решётка / конечный кластер / внешняя граница / кластерное разложение / порог перколяции

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Антонова E. C.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Ограничения на порог перколяции на треугольной решётке»

ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПОРОГ ПЕРКОЛЯЦИИ НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЁТКЕ

E.C-Антонова

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: antonova_e_s@mail.ru

Рассматривается задача дискретной теории перколяции для набора независимых случайных величин c(x) Є {0,1} на треугольной решётке Л. На основе кластерного разложения вероятности перколяции, находится верхняя оценка порога перколяции с*.

Ключевые слова: вероятность перколяции, треугольная решётка, конечный кластер, внешняя граница, кластерное разложение, порог перколяции.

1. Введение. Дискретная теория перколяции занимается проблемой существования с ненулевой вероятностью бесконечной связной компоненты у случайных подмножеств на кристаллических решётках Л = (V, Ф) в евклидовых пространствах, V С Rd, на которых определено отношение связности Ф С V x V [1]. В простейшем случае такие случайные множества порождаются бернуллиевскими случайными полями. Более того, в самой простой ситуации рассматриваются так называемые двумерные (d = 2), плоские, однородные решётки (квадратная, треугольная, гексагональная). Однако, даже в этом случае, когда случайное бернуллиевское поле {c(x); x Є V} определяется одним параметром - концентрацией c = Pr{c(x) = 1}, задача вычисления вероятности перколяции Q(c) представляет собой серьёзную математическую проблему, так как не существует никаких аналитических процедур последовательного вычисления аппроксимаций этой функции с ганатированной точностью. В настоящей работе, вычисляется верхняя оценка так называемого порога перколяции c* на плоской, однородной решётке, которая называется треугольной. Эта оценка находится на основе известного подхода, называемого кластерным разложением [2], [3]. Мы находим верхнюю оценку для числа конечных кластеров на треугольной решётке, содержащих фиксированную вершину, которая позволяет получить верхнюю оценку для величины c*.

2. Проблема теории перколяции на треугольной решётке. Бесконечное множество V в R2 назовём периодическим, если существует пара (a1, a2) неколлинеарных векторов в R2, таких, что для любых ni Є Z, і Є {1, 2} имеет место V = V + n1a1 + n2a2. Кристаллической решёткой в R2 будем называть пару Л = (V, Ф), где V - периодическое множество в R2,

состоящее из изолированных точек, и Ф - множество связности, состоящее из пар точек решётки. Множество V допускает дизъюнктивное разложение

V = и {V} + пхах + п2а2}, где конечное множество V называется кри-

(п!,П2)еЖ2

сталлической ячейкой. Если число точек в V является минимальным среди всех допустимых для V кристаллических ячеек, то такая ячейка называется элементарной. Множество связности Ф на кристаллической решётке также должно быть периодическим

Ф + пх(ах, ах) + П2(а2, а2) = Ф , (1)

(пх,п2) Е Ж2 и при этом множество Фо = {ф Е Ф : ф = (х, у), х Е V}} конечно. Его мы будем называть множеством смежности. С точки зрения кристаллографии, оно определяет "ближайших"соседей на кристаллической решётке для точек из фиксированной элементарной кристаллической ячейки

V}. Далее, точки кристаллической решётки мы будем называть вершинами, а элементы множества Ф - связями или рёбрами. Пару вершин х, у из V, для которых имеется связь (х, у) Е Ф, будем называть смежной и обозначать это отношение смежности посредством хфу. Очевидно, что множество связей допускает дизъюнктивное разложение

Ф = и {Фо + Пх(а1, ах) + П2(а2, а2)} . (2)

(п!,п2)еЖ2

Кристаллическая решётка Л = (V, Ф) размерности два называется треугольной (см. рис.1), если элементарная ячейка V состоит из одной вершины 0 (на рисунке элементарные ячейки обозначены сеткой из пунктирных

Научные ведомости БелГУ № 5(60)2009 линий), а множество смежности имеет вид

Ф0 = {(0, а) : а Е |±аь{(а1е1 + а2е2\/3); аг Е {±1},г = {1,2}}|| ,

где е*, г Е {1, 2} - орты в М2. При этом а! = е1, а2 = (ех + е2л/3).

Введём в рассмотрение на решётке Л бернуллиевское случайное поле {с(х); х Е V} с концентрацией с = Рг{с(х) = 1}. Здесь и далее, знак тильда, поставленная над математическим объектом, обозначает его случайность. Каждая случайная реализация с(х), х Е V этого поля определяет множество

V = {х : с(х) = 1}, называемое конфигурацией. Соответственно, вся совокупность реализаций {с(х); х Е V} вместе с заданным на них распределением вероятностей определяет случайное множество на

V = та} и [21} + (е! + е2л/3)] ,

распределение вероятностей для которого индуцируется распределением вероятностей поля {с(х);х Е V}. А именно, для каждого конечного подмножества М С V вершин решётки вероятность его заполнения случайной конфигурацией V/ определяется формулой Рг{М С V} = с|м|, где |М| - число вершин в М.

Последовательность вершин (х0,х 1,...,хп), выбранных из конфигурации IV, называется путём длины п на IV, если х*фх*+1, г = 0,1, ...,п — 1. Путь называется простым, если в указанной последовательности х* = X.j при всех значениях индексов г < ] и, соответственно, - циклом, если совпадение вершин в последовательности (х0, хх,хп) имеет место только при г = 0, ] = п. Пара вершин {х, у} называется связанной на V, если {х, у} С IV и на этой конфигурации существует простой путь (х,х 1,хп—1, у). Отношение связанности для пар вершин является отношением эквивалентности, порождаемым конфигурацией IV. Поэтому всякая случайная конфигурация IV распадается на непересекающиеся классы эквивалентности - кластеры М[Ж] = {Ж,-; ] Е Н},

ГО

V = V, каждый из которых состоит из связанных между собой вершин,

,=1

и никакие две вершины, взятые из различных кластеров, не являются связанными.

Обозначим посредством Ж(х) тот кластер из набора М[Ж], который содержит вершину х Е V. Если вершина х не содержится в конфигурации IV, то будем считать, что Ж(х) = 0. Введём случайную функцию й(х), описы-

вающую свойство просачивания случайного поля {c(z); z G V},

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1; |VK(x)| = то, 0; |W/(x)| < то .

Тогда вероятность перколяции Q(c) поля c(x), x G V из фиксированной вершины z G V определяется равенством Q(c) = Pr{a(z) = 1}. На треугольной решётке, ввиду её однородности, эта вероятность не зависит от точки z. Далее, нас будет интересовать величина c* = inf{c : Q(c) > 0}, которую будем называть порогом перколяции.

3. Конечные кластеры на треугольной решётке. Введём, следуя [1], понятие внешней границы конечного кластера W(x) на треугольной решётке.

Определение [4]. Пусть W(x) является конечным кластером. Множество, обозначаемое нами посредством dW (x), будем называть внешней границей этого кластера на конфигурации W, если W(x) С W и dW состоит из тех точек z G W, для каждой из которых существует точка y G W(x) такая, что z^y, и существует бесконечный путь а на решётке Л, а П W(x) = 0, начинающийся в точке z, причём z является единственной точкой этого пути, для которой имеет место y^z, y G W(x).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 [4]. Пусть W (x) - конечный кластер, содержащий вершину x G V. Тогда W(x) имеет непустую конечную внешнюю границу dW, которая обладает следующими свойствами.

1. Множество dW является циклом на решётке Л, то есть

и (х0, х1,..., хп—1) является простым путём.

2. Цикл окружает точку х.

Введём 6 х 6-матрицу 5 соединения путей, матричные элементы 5,, г, ] =

1,...,6 которой равны либо нулю, либо единице так, что 5, = 0, если во внешней границе какого-либо конечного кластера невозможна стыковка связей (1, 0), (0,]), указанных на рис.2. В противном случае матричный элемент 5, полагается равным 1.

Теорема 2. Матрица 5 имеет следующий вид

dW = (xq, xi,..., x„_i, xq)

Доказательство. Ввиду симметрии рис.2 относительно поворотов на углы, кратные п/6, достаточно доказать утверждение о виде первой строки матрицы 5 вида (3). Далее, ввиду отражательной симметрии относительно оси, определяемой вершинами 1, 0,4, достаточно убедиться только, что $12 = 0, так как диагональные элементы матрицы 5, согласно её определению, равны нулю.

Если вершины 1 и 2 принадлежат внешней границе, то из них существует пара непересекающихся бесконечных путей 71, 72, которые начинаются, соответственно, в точках 1 и 2. Построим путь, который состоит из последовательного прохождения пути 71 из бесконечности в точку 1, затем последовательно - связей (1, 0) и (0, 2) и, наконец, - пути 72 из точки 2 на бесконечность. Построенный путь делит плоскость К2 на две части. Кластер, во внешнюю границу которого входит пара связей (1, 0), (0, 2), должен быть полностью расположен в одной из этих частей. Но он не может находиться в правой части плоскости, так как в противном случае у кластера нет вершины, которая была бы смежной с вершиной 0. Если же кластер находится в левой части плоскости, в этом случае существует бесконечный путь, который начинается из вершины 0. Тогда этот путь должен также полностью расположен в левой части плоскости и, следовательно, начинаться с одной из связей (0,]), ] Е {3,4, 5,6}. Для любого пути такого типа либо вершина 1, либо вершина

2 не будут иметь смежной вершины в кластере, в границу которого входят связи (1, 0), (0, 2). Полученное противоречие доказывает, что 512 = 0. И

Матрица 5 с неотрицательными элементами, согласно теореме Фробени-уса [5], обладает максимальным по модулю собственным числом А*, которое

является положительным. Согласно же теореме, доказанной в [6], для матриц, имеющих блочную структуру вида (3), это максимальное собственное число совпадает с максимальным по модулю (положительным) собственным числом матрицы А + В. Из явного вида матриц А и В находим, что

(1 1 1 А + В =111

111

, и следовательно, это собственное число равно А* = 3.

4. Нижняя оценка порога перколяции. Покажем, что для треугольной решётки существует нетривиальный порог перколяции с* > 0 такой, что д(с) = 0 при с Є [0, с*) и при этом выполняется оценка снизу с* > 1/3.

Обозначим Гп класс простых путей 7 = (0,хі,...,хп) длины п, которые обладают свойством: при і = 0,1,...,п — 1 и ] > і + 1 вершины х* и х^- не являются смежными. (Если какие-то из указанных пар являются смежными, то путь 7 можно сократить).

Очевидно, что

ф(с) = ііш Рг{3(7 Є Гп),7 С V} . (4)

Справедливы оценки

Рг{3(7 Є Гп),7 С V} < ^2 Рг{т С V} < 2 • 3псп+1, (5)

7ЄГ„

так как число всех путей длины п, начинающихся в вершине 0 и обладающих указанным свойством, не превосходит 6 • 3П—1 и, кроме того, Рг{7 С \¥} = сп+1. Применяя неравенство (5) при оценивании вероятности (4), мы видим, что эта вероятность равна нулю при 3с < 1. И

5. Кластерное разложение на Ж2. Пусть А семейство конечных кластеров V, содержащих вершину 0 на треугольной решётке. Определим для любого кластера V Є А случайное событие А(Ж) = {V : 0 Є V, V Є М[Ж] , Ж(0) = V}. Вероятность этого события равна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рг{А(Ж)} = с^ |(1 — с)1^1. (6)

Согласно утверждению предыдущего раздела каждому кластеру V из семейства А, отвечает цикл 7 такой, что 7 = дЖ. В связи с этим введём в рассмотрение семейство В всех циклов, окружающих точку 0. Для каждого цикла

7 Є В введем событие В(7) = {М : 0 Є М, Ж(0) Є М[Ж],дЖ(0) = 7}, которое представимо в виде конечного объединения попарно непересекающихся событий

В (7 )= и ). (7)

Ж ЄА: дW=7

Вводя вероятность Р(7) = Рг{В(7)}, которая, согласно (6), (7), равна Р (7) = £ Рг{А(^)} = с|Ж |(1 — с)|дЖ 1.

ЖЄА: дЖ=7 ЖЄА: дЖ=7

Заметим, что {й(0) =0} = {0 Є V} и (^) А(^). Семейство А разлагается

Ж ЄА

на непересекающиеся классы, состоящие из кластеров, объединяемых следующим признаком. К одному классу отнесём такие кластеры V Є А, которые имеют одну и ту же внешнюю границу. Поэтому справедливо преобразование

и-=и { и ■

Ж ЄА 7єБ Ж ЄА: дЖ=7

которое сопоставляет множеству кластеров V с общей внешней границей единый "заполненный кластер". Далее, на основании (7), получаем {й(0) =

0} = {0 Є V} и и В(7). Таким образом, принимая во внимание, что 1 —

7ЄБ

ф(с) = Рг{а(0) = 0}, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Вероятность ф(с) определяется кластерным разложением

с — <3(с) = £ Р(7). (8)

7ЄБ

6. Основная теорема. Функция ф(с) отлична от нуля только при с > с* > 0, поэтому она не является аналитической. Основной результат работы формулируется следующим образом.

Теорема 4. Для бернуллиевского случайного поля {с(х); х Є V} на треугольной решётке Л справедливо неравенство с* < 2/3.

Доказательство. Воспользуемся элементарной оценкой Р(7) < (1 — с)171, которая следует из (6) и выражения для В (7). Тогда имеет место неравенство

ГО

с — <3(с) = £ Р(7) < £ (1 — с)М = £ (1 — с)"г„ . (9)

7ЄБ 7ЄБ п=6

Найдем верхнюю оценку для величины гп, п > 6. С этой целью введём множество Вп всех простых циклов длины п на треугольной решётке Л, которые могут быть внешними границами кластеров, содержащих точку 0. Введём далее множество Сп(х0) путей 7 = (х0,хп) длины п на решётке, которые обладают свойством х^- = х^-+2, ] = 0,1, ...,п — 2, и связанные с ним подмножества Сп—1(х0, х1) путей длины п, у которых зафиксированы первые две вершины, а каждые две следующие друг за другом связи обязательно яв-

ГО

ляются частью какого-либо цикла из и Вп. Ввиду однородности решётки,

п=3

величина |Сп—1(х0, х1)| не зависит от точки х0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Очевидно, что имеет место неравенство

Гп <Сп|Сп—2(х0,х1)| (10)

с некоторой постоянной С > 0. Здесь множитель п связан с тем, что начальная точка х0 построения цикла может быть выбрана на произвольном расстоянии I от вершины 0 вдоль направления е1, I < п.

Для оценки величины |Сп—1(х0, х1)| введём следующую конструкцию. Охарактеризуем однозначно каждый путь из Сп(х0), п > 2 последовательностью (Ь1,...,Ьп—1) векторов сдвигов, где Ь1 = х1 — х0 и каждый вектор Ь*, г = 2,...,п представляет собой разность х* — х*—1, повёрнутую в обратную сторону на угол, который образуется вектором х*—1 — х*—2 и ортом е1 на плоскости расположения решётки. В этой параметризации множеству Сп(х0, х1) сопоставляется равномощное ему множество Оп(Ь1) всех последовательностей (Ь1,..., Ьп) с фиксированным вектором Ь1, у которых каждая входящая в их состав пара (Ь*, Ь*+1), г = 1, 2,..,п — 1 является допустимой, то есть для каждой пары (Ь*, Ь*+1) в множестве В существует такой кластер, у которого в составе внешней границы, записанной в терминах векторов сдвига, имеется пара (Ь, Ь') следующих друг за другом сдвигов, которая совпадает с (Ь*, Ь*+1), г = 1, 2,.., п — 1. Следовательно, Сп(х0, х1) = ^п(Ь1) = |Сп(Ь1)|.

Разложим множество Оп(Ь1) на непересекающиеся друг с другом множества Оп(Ь1; Ьп) путей, у которых зафиксирован последний сдвиговый вектор Ьп, Сп(Ь1) = и Сп(Ьь Ьп). Тогда, 0п(ЬО = ^ |Сп(Ьь Ьп)|. Вводя нуме-

Ьп Ьп

рацию для возможных сдвиговых векторов, которая представлена на рис.2, мы можем считать, что величина |Оп(Ь1, Ьп)| при каждом значении п £ N является 6-мерным вектором ^*(Ь1,п) так, что каждая его ]-я компонента равна значению этой величины в том случае, когда Ьп имеет номер ] в принятой нумерации, ] = 1 ^ 6.

Согласно определению вектора д^Ь^ п), имеет место д^Ь^ 1) = Sji, и для любого п = 2,3,... и вектора Ь имеет место рекуррентное соотношение

12

^(Ьь п) = £ дк(Ь1; п - 1^.

к=1

Тогда, индукцией по п £ Н, заключаем, что

gi (Ь1;п) = (£п)ji.

Так как у матрицы 5 имеется единственное максимальное собственное число с максимальным абсолютным значением, то из полученного соотношения следует асимптотическая формула

д^Ььп) = Л^(1 + о(1)), (11)

где номер ] соответствует сдвиговому вектору Ь1 и ненулевая матрица V имеет неотрицательные матричные элементы .

Используя (9),(10), находим, что для вероятности ф(с) справедливы оценки

ГО 00

с - ф(с) < С^(1 - с)пГп < п*£п(1 - с)п|Сп_2(хо,Х1)| =

п=6 п=6

ГО ГО 6

= С 22 п(1 - с)пдп-2(Ь1) = С 22 п(1 - с)п£ д^Ьь п - 1).

п=6 п=6 i=1

Применяя асимптотическую формулу (11), получаем

ГО

с - <Э(с) < СО£п[(1 - с)Л,|" , (12)

п=6

где положительная постоянная Л > таху Хл=1 выбрана так, чтобы имело

место неравенство д^Ь^п) < ЛЛП

Ряд в правой части неравенства (12) сходится при (1 - с) Л* < 1, то есть при с > 1 - Л-1. Сходимость же этого ряда, применяя рассуждение, основанное на лемме Бореля-Кантелли (см., например, [7]), приводит к отличной от нуля вероятности перколяции при выполнении указанного ограничения на параметр с. Следовательно, с* < 1 - Л-1 = 2/3. ■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Литература

1. Вирченко Ю.П. Перколяция // Энциклопедия. Математическая физика.

- Москва: Российская энциклопедия. - 1998.

2. Virchenko Yu.P., Tolmacheva Yu.A. Method of Sequential Approximative Estimates in Descrete Percolation Theory // Studies in Mathematical Physics Research. ed. Charles V. Benton, New York: Nova Science Publishers. - 2004.

- P. 155-175.

3. Вирченко Ю.П., Толмачёва Ю.А. Мажорантные оценки порога перколя-ции бернуллиевского поля на квадратной решётке // Украинский математический журнал. - 2005. - 57. - 10. - С.1315-1326.

4. Kesten H. Percolation Theory for Mathematicians / H.Kesten. - Boston: Birkhauser,1982.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р.Гантмахер. - М.: Наука. - 1966.

6. Антонова Е.С. Оценка мощности множества траекторий без самопересечений на квадратной решётке // Труды Воронежской зимней школы С.Г.Крейна 2008. - Воронеж, 2008. - С.15-30.

7. М.В. Меньшиков М.Ф., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перко-ляции и некоторые приложения // Итоги науки и техники. - сер.теор. вер., мат. стат. и теор.кибер. - М.: ВИНИТИ. - 1986. - 24. - C.53-110.

RESTRICTIONS OF PERCOLATION THRESHOLD ON TRIANGLE LATTICE E.S.Antonova

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: antonova_e_s@mail.ru

The problem of discrete percolation theory for the collection of independent random variables c(x) € {0,1} on the triangle lattice Л is considered. On the basis of the cluster decomposition of the percolation probability, the upper and lower estimates of the percolation threshold the are found.

Key words: percolation probability, triangle lattice, finite cluster, external border, cluster decomposition, percolation threshold.