CC BY
21
УДК 517.968.22
DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-5
М. В. Малютина, С. С. Орлов
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА1
Аннотация.
Актуальность и цели. В настоящее время проблема существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра недостаточно изучена даже в линейном случае. Поэтому возникает потребность создания методологического аппарата для исследования вопроса существования периодических решений именно интегральных уравнений, учитывающего специфику этих математических объектов. В представляемой работе данная задача решена для класса обобщенных интегральных уравнений Абеля первого рода. Эти уравнения сохранили актуальность в качестве объектов исследования. Во-первых, они являются важными для приложений. Во-вторых, их исследования, которые продолжаются в настоящее время, во многом способствовали возникновению целого математического направления - дробного исчисления, получившего большое распространение в России и за рубежом.
Материалы и методы. Для решения поставленных задач используются методы математического и функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Результаты. Доказан критерий существования и единственности непрерывного периодического решения обобщенного интегрального уравнения Абеля первого рода. Рассмотрены случаи натурального и положительного действительного показателей степени ядра. Указаны формулы решений и их основные периоды.
Выводы. Сформулированные теоремы дают описание образа класса непрерывных периодических функций при линейном отображении, задаваемом оператором Римана - Лиувилля, и могут быть полезными для исследований в области дробного интегродифференцирования. Несмотря на очевидную связь интегральных уравнений Абеля с натуральным и действительным показателями степени ядра, доказанные критерии периодичности их решений в таком соотношении не находятся. Это связано с тем, что нелокальные операторы Ри-мана - Лиувилля натурального и дробного порядков интегрирования отличаются свойствами. Первый имеет обратным дифференциальный оператор, который является локальным. Свойства локальности дифференциальных операторов и нелокальности интегральных операторов Вольтерра объясняют также различия, возникающие при исследовании проблемы существования периодических решений соответствующих уравнений.
Ключевые слова: интегральное уравнение Абеля, оператор Римана -Лиувилля, периодическая функция, основной период.
M. V. Malyutina, S. S. Orlov
PERIODIC SOLUTION OF GENERALIZED ABEL INTEGRAL EQUATION OF THE FIRST KIND
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-31-00291.
Abstract.
Background. The problem of existence of periodic solutions of Volterra integral equations has not been sufficiently studied even in the linear case. In the academic literature little attention is paid to this problem. Therefore, there is a need to create a methodology for investigating the existence of periodic solutions of exactly integral equations that considers the specificity of these mathematical objects. In the article this problem is solved for the class of generalized Abel integral equations of the first kind. At the present time these equations have remained relevant as objects of the research. Firstly, they have many important applications. Secondly, the research of Abel integral equations greatly contributed to the emergence and development of a whole mathematical direction such as fractional calculus, which is very popular in Russia and abroad.
Materials and methods. Methods of mathematical analysis, functional analysis, and the theory of differential and integral equations are used to solve the problems posed in the paper.
Results. The criterion of the existence and uniqueness of a continuous periodic solution of the generalized Abel integral equation of the first kind is proved. The cases of natural and positive real exponents of the kernel are considered. The formulas of periodic solutions are obtained, and their main periods are found.
Conclusions. The theorems formulated in the article characterize the image of the class of continuous periodic functions under a linear map, given by the Riemann -Liouville operator. These theorems can be useful for research in the field of fractional integro-differentiation. Abel integral equations with the natural and real exponents of the kernels are in obvious relation, namely, the first equation is a particular case of the second equation, but the proved criterions of the periodicity of their solutions are not in such relation. This is due to the fact that the nonlocal Riemann -Liouville operators of the natural and fractional orders of integration differ from each other by the properties. The first operator has a differential operator as an inverse, which is a local operator. The locality of differential operators and the non-locality of Volterra integral operators also explain the differences in the research of the problem of the existence of periodic solutions of appropriate equations.
Key words: Abel integral equation, Riemann - Liouville operator, periodic function, basic period.
Введение
Исследование свойств решений функциональных, дифференциальных, интегральных уравнений, а также уравнений смешанной природы составляет фундаментальную проблему разделов математики, которые посвящены этим объектам. Одним из важнейших свойств решений является периодичность. Она отражает повторяемость во времени и пространстве описываемых этими уравнениями явлений и процессов, поэтому представляет интерес как с чисто научной, так и с прикладной точки зрения. Начиная с классических работ А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре и до настоящего времени интенсивно развивается теория периодических решений дифференциальных уравнений, которая выкристаллизовалась в самостоятельный раздел современной естественной науки - теорию колебаний. Исследованию вопроса существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра в научной литературе уделяется существенно меньшее внимание. По всей видимости, первые упоминания об этой проблеме содержатся в ранних работах самого В. Вольтерра, относящихся к началу прошлого века [1]. Наибольшее развитие эта тематика приобрела в 60-70-х гг. прошлого столетия. Во-первых, здесь следует отме-
тить работы научной школы члена-корреспондента Академии наук Киргизской ССР Я. В. Быкова [2, 3]. Также среди отечественных исследователей существенные результаты получены З. Б. Цалюком и В. Ф. Пуляевым [4, 5]. Известными зарубежными специалистами в этой области являются J. J. Levin [6], T. A. Burton [7-9], M. N. Islam [10, 11], T. L. Cromer [12], J. M. Cushing [13], R. D. Nussbaum [14], R. N. Butris [15] и др. Почти во всех упомянутых работах рассматриваются преимущественно нелинейные интегральные уравнения в предположениях периодичности с одинаковыми основными периодами подынтегральных выражений по обоим аргументам и свободной функции. При этом осуществляется поиск достаточных условий существования периодического решения с тем же периодом, как правило, на основании принципа неподвижной точки.
Подобные допущения являются естественными для теории колебаний, где периодичность входных данных дифференциального уравнения доставляет необходимое условие наличия у него периодического решения. Как показывает следующий пример
x
J (x -1)ф(У)dt = x - sin x, ф(x) = sin x,
0
интегральное уравнение Вольтерра может иметь периодическое решение, когда ни ядро, ни правая часть не являются периодическими. Одновременно с этим их периодичность еще не гарантирует существования периодического решения, например
Jcos(x - t^(t)dt = 1 - cos x, ф(x) = x .
Также в этих задачах важную роль играет нахождение основного периода решения, который далеко не всегда наследуется от ядра или правой части. Примером такой ситуации служит
J sin( x
2 2 5 2
- t^(t)dt = sin—x - "jsin x , ф(x) = 9sin—x .
Здесь ядро является 2к -периодическим, правая часть - вк -периодической, а решение имеет основной период 3к . Другой пример
J sin(x -1)ф^)dt = 1 - cos x , ф(x) = 1,
иллюстрирует ситуацию, когда 2к -периодическому ядру и свободной функции соответствует решение, которое вообще не имеет основного периода. Аналогичные факты справедливы для интегральных уравнений Вольтерра второго рода, что нетрудно показать, подобрав соответствующие примеры. Существенные различия в проблеме поиска периодических решений в сравнении с дифференциальными уравнениями наблюдаются для самых простых объектов - линейных интегральных уравнений Вольтерра типа свертки.
Детальное исследование этих эффектов возможно на основе критериев существования периодических решений этих уравнений.
В представляемой работе проблема существования и построения периодических решений интегральных уравнений изучается на примере класса обобщенных интегральных уравнений Абеля первого рода. Представители данного класса доставляют элементарные примеры слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра типа свертки. Уравнения Абеля в настоящее время сохранили актуальность в качестве объектов исследования. Им посвящено множество журнальных публикаций и даже отдельные монографии, например [16]. С одной стороны, это продиктовано запросами современного естествознания, где эти уравнения находят широкое применение [16, с. 2660]. В то же время интерес к ним вызван самой математической наукой, а именно интенсивно развивающимся ее направлением - дробным интегро-дифференцированием [17], именуемым за рубежом fractional calculus [18].
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
1 х
-— f (х - t)a-^(t)dt = f{x), (1)
Г(а)J
v 7 о
где ф и f - неизвестная и заданная функции аргумента x > 0; Г(а) - гамма-функция Эйлера фиксированного аргумента a . Предполагается, что а> 0, и этот случай охватывает 0 <a< 1, когда интеграл имеет слабую (интегрируемую) особенность, а уравнение (1) называется интегральным уравнением Абеля первого рода [16]. Линейный оператор
1 x
^0а+Ф = ГГ- f (x-t )a-1 ф^ )dt
Г(а)
согласно общепринятой терминологии [17] называют оператором Римана -Лиувилля интегрирования дробного порядка а> 0 функции ф. В случае а = п , п е N, имеет место равенство
1 х
/> = -^7 Г(*-tГ_1ф^^, (п -1)! о
которое задает п -ю степень линейного оператора
J0+ф = f ф(t)dt.
2. Вспомогательные сведения
Определение 1. Функция у = /(х), определенная на [0; + , называется периодической с периодом Т , если существует число Т > 0 такое, что для всех х > 0 выполняется /(х + Т) = /(х).
Замечание 1. Из этого определения немедленно следует, что f (x) = f (x - T) для всех x - T > 0, т.е. число —T тоже является периодом функции y = f (x), периодической с периодом T.
Определение 2. Наименьший положительный период To функции y = f (x) (если он существует) называется ее основным периодом, а сама функция в этом случае - To -периодической.
Теорема 1. Если функция y = f (x) является To -периодической, то любой ее период T имеет вид T = nTo, где n е Z \ {0}.
Функции y = sin x и y = cos x имеют основным периодом To = 2л ,
функции y = tgx и y = ctgx - To =л, а y = {x} является 1-периодической.
Наряду с ними приведем примеры периодических функций, которые не имеют основных периодов. Таковыми являются постоянная функция, имеющая периодом любое действительное число, и функция Дирихле
1, x е Q,
В( х) = <
[0, х е R \ Q,
множество периодов которой совпадает с Q. Необходимых и достаточных условий наличия у периодической функции основного периода авторам неизвестно. Достаточные условия доставляет теорема, которая приведена в книгах [19, с. 8; 20, с. 450].
Теорема 2. Всякая непрерывная периодическая функция, отличная от постоянной, имеет основной период.
Теорема 3. Пусть функция /(х) е С[0+^) является периодической
с периодом Т , тогда справедливо равенство
х
| / а =»т [ / ]х+Е1( х), (2)
где »т [/]=Т - среднее значение функции / на отрезке [0; Т], -
0
периодическая функция с периодом Т .
Доказательство этой теоремы сводится к проверке периодичности с периодом Т функции £1 [21, с. 57].
Замечание 2. Поскольку /(х) е С[0-+Тс), то £1(х) е С|10 +га) и определяется однозначно как решение задачи Коши
£1 (х) = / (х) -Ют [ / ], £1(0) = 0.
Случай постоянной функции / тривиален, здесь £1 = 0, можно его не рассматривать; тогда по теореме 2 периодическая функция / имеет основной период, который обозначим Т). Пусть Т > 0 - период функции / , значит, из теоремы 1 следует Т = «Т0, где п е N . Далее справедлива цепочка равенств
1 Т 1 пТ0 1 п кТ0
Ют [/] = — Г/(х)ёх = — Г /(х)йх = — У Г /(х)йх = ^ пТ0 J пТ0 ,, •>
0 0 О 0 к =1(к-1)Т0
1 п То , Т0
= Т" У I /С + (к - 1)ТоМх = — Г /(х)^х = »То [/].
пТ0 ,, J Т0 л 0
0 к =10 0 0
Равенство Ют [/] = ®Т0 [/] имеет место и при Т < 0 , его доказательство
аналогично. Таким образом, представление (2) инвариантно относительно выбора периода Т подынтегральной Т -периодической функции /. Также следует отметить, что функция £1 наследует основной период Т0 . Из теоремы 3 и замечания 2 вытекает
Следствие 1. Непрерывно дифференцируемая Т -периодическая функция имеет Т -периодическую производную.
Справедлива более общая теорема о структуре интеграла п -го порядка непрерывной периодической функции, доказанная в [22].
Следствие 2. Пусть /(х) е С[0+^) - Т -периодическая функция, тогда
имеет место равенство
хп хп -1
^ / = ЮТ [ / ]-Г + ЮТ №-777 +
п! (п -1)!
хп-2
+ЮТ [£2]7-777 + • - + ЮТ [£п-1]х + £п (х) ,
(п - 2)!
где £1 (х), £2 (х), •.., £п (х) - определяемые однозначно Т -периодические 1Т
функции; Ют [£■ ] =—I ^)Ж - среднее значение функции на отрезке
0
[0; Т], ■ = 1,..., п -1.
Доказательство состоит в (п -1) -кратном интегрировании равенства (2) в пределах [0; х] и применении на каждом шаге теоремы 3. Функции
(х) е С[о-+га) в условиях данной теоремы единственным образом определяются как решения начальных задач
£(г) (х) = / (х) -ЮТ [ / ], (0) = 0,
£(к-1)(0) = -ют [£г-к+1], к = 2,..., ■, ■ = 2,..., п ,
и наследуют основной период функции /.
Замечание 3. В условиях следствия 2 имеет место равенство
(х) = 4п-г')(х) + ют [£■ ], ■ = 1,..., п -1, связывающее с £п , а также система линейных алгебраических уравнений
®Т [ f]Т = J0+Ах=Т ,
х=Т
тк—i i
к = 2,..., и.
тк к—1 тк—i
mT [ f ]7Т + g шт [Ei ](к—i)| = J°+-f
x=T
относительно Ют [ / ] и Ют [£ ], из которой следуют необходимое и достаточное условие
т
| хк-1 / (х)ск = 0, к = 1,..., п,
0
периодичности интеграла п -го порядка непрерывной Т -периодической функции / [22].
3. Основные результаты
Рассмотрим уравнение (1), когда а = п, п е N, а именно
1х
—— Г (х - 0п-1ф(0с^ = /(х). (3)
(п -1)!*
Теорема 4. Для того чтобы уравнение (3) имело единственное непрерывное Т -периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы его правая часть имела вид
хп хп-1 х2 / (х) = А-Г + Ап-1(-777 + . + А2^7 + А1х + А +£( x),
п! (п -1)! 2!
причем это решение задается формулой
ф( х) = Ап + £(п)( х),
где £(х) е С[о +^) - Т -периодическая функция такая, что £(к-1)(0) = -Ак-1, к = 1,..., п , Ак-1 е R - заданные числа.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция ф(х) е С[0 +^) удовлетворяет уравнению (3) и является Т -периодической. Уравнение имеет вид ^0+Ф = / . Тогда из следствия 2 и сопутствующего ему замечания 3 справедливо искомое представление для правой части уравнения (3).
Достаточность. В предположениях на функцию £ выполняются следующие условия:
/(х) е С[п0;+Ч и /(0) = /1(0) = /Ц(0) =... = / (п-1)(0) = 0.
Значит, корректно применим метод последовательного дифференцирования для решения уравнения (3), в результате чего
Ф( х) = / (п)( х).
Теорема 5. Для того чтобы уравнение (1) имело единственное непрерывное Т -периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы его правая часть имела вид
ха . ха-1 . х{а}
/ (х) = Ла]+1-+ Ага]-+... + Лу
1а]+1 Г(а +1) 1а] Г(а) 1 Г({а} +1)
+Л0 + — Г(х - Х){а}-1 £(Х—,
^ Г({а}) Г({а}) —x0v 7 w
причем это решение задается формулой
ф( х) = Л[а]+1 + £([а]+1)( х),
где £(х) е С[0'++1) - Т -периодическая функция такая, что £(к 1) (0) = -Лк-1,
к = 1,...,[а] +1; Лк-1 е Я - заданные числа, [ • ] и { • } - целая и дробная части.
Доказательство. Подействовав на обе части уравнения (1) оператором Римана - Лиувилля ^0+{а}, получим относительно функции ф интегральное уравнение Абеля первого рода
1 х 1 х
— Г (х - х )[а] ф(Х— = Г (х - X)-{а} / (X)—
[а]!0 Г(1 - {а}) 0
с натуральным показателем степени ядра. По теореме 4 оно имеет единственное непрерывное периодическое решение тогда и только тогда, когда правая часть допускает представление
1 х
—J (х - f m-
Г(1 - {а})0
х[а]+1 х[а] х[а]-1
= Л[а]+1 ([а]+1)7 + Л[а] "[а]7 + ^аН^Я)! + " + Л1х + 40 + ^х) ,
где Т -периодическая функция £( х) е такая, что £( к -1) (0) = - Лк - ,
к = 1,..., [а] + 1. Относительно функции / получено интегральное уравнение Абеля со слабой особенностью. Его решение
ха ха-1 х{а}
/ (х) = Лга]+1-+ Лта1-+ ... + Л1-+
^а]+1 Г(а +1) 1а] Г(а) 1 Г({а} +1)
+ л + — Г (х - х)[а]-1 £(х)—X
^ Г({а}) Г({а}) —х^ ' ^
является искомым представлением правой части уравнения (1). Применение в последнем интеграле [а] +1 раз интегрирования по частям с учетом условий на функцию £ дает эквивалентный вид функции / , а именно
Замечание 4. Уравнение (3) является частным случаем уравнения (1) при а = п, п е N . Однако критерии периодичности их решений не находятся в этом отношении. Утверждение теоремы 5 перестает быть корректным в предположении ае N . Это объясняется различиями по отношению к свойствам локальности по И. В. Шрагину и вольтерровости (нелокальности) по А. Н. Тихонову (см. [23] со ссылками на первоисточники) линейных операторов 4+ и Римана - Лиувилля. Заметим, что оператор ./0+ при всех а> 0, в том числе и ае N, является вольтерровым, т.е. для любого т> 0 равенство (^а+ф)(х) = 0 выполнено при х е [0; т], если ф(х) е С[0-+То) такова,
что ф(х) = 0 на [0; т]. Уравнение (3) эквивалентно /(п)(х) = ф(х), где
/(1-1)(0) = 0, 1 = 1,...,п . Значение функции ф в окрестности точки х0 > 0 зависит только от значений функции / в той же окрестности точки х0 . Это
означает, что обратный к оператор дифференцирования п -го порядка является локальным, как и всякий дифференциальный оператор. А обратный к ^0+ оператор Римана - Лиувилля Оа+ дифференцирования порядка а, который для функций /(х)е СгО!.^), /('-1)(0) = 0, 1 = 1,...,[а] +1, имеет вид
сохраняет нелокальность. Очевидно, что прообразы класса непрерывных периодических функций при локальном и нелокальном линейном отображениях будут отличаться по структуре. То же самое следует отметить и об образах. Последнее объясняет принципиальные различия, возникающие при исследовании проблемы существования и построения периодических решений дифференциальных и интегральных уравнений.
1. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений / В. Вольтерра ; пер. с англ. и дополнение М. К. Керимова. -М. : Наука, 1982. - 304 с.
2. Быков, Я. В. О некоторых задачах теории интегродифференциальных уравнений / Я. В. Быков. - Фрунзе : Изд-во Кирг. гос. ун-та, 1957. - 328 с.
При такой правой части уравнение (1) имеет решение
Ф( х) = A[a]+1 + е(М+1)( х).
Библиографический список
3. Боташев, А. И. Условия существования периодических решений нелинейных систем интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра в некритическом случае / А. И. Боташев, Л. А. Талипова // Известия Академии наук Кирг. ССР. -1974. - Вып. 1. - С. 8-11.
4. Пуляев, В. Ф. Об асимптотически ю-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра / В. Ф. Пуляев, 3. Б. Цалюк // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10, № 6. - C. 1103-1110.
5. Цалюк, 3. Б. Интегральные уравнения Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Итоги науки и техники. Сер.: Математический анализ. - 1977. - Т. 15 - C. 131-198.
6. Levin, J. J. The Asymptotic Behavior of the Solution of a Volterra Equation / J. J. Levin // Proc. Amer. Math. Soc. - 1963. - Vol. 14. - P. 534-541. DOI: 10.2307/2034270.
7. Burton, T. A. Liapunov Functionals and Periodicity in Integral Equations / T. A. Burton // Tohoku Math. J. - 1994. - Vol. 46, № 2. - P. 207-220. DOI: 10.2748/tmj/1178225758
8. Burton, T. A. Periodic and Asymptotically Periodic Solutions of Volterra Integral Equations / T. A. Burton, T. Furumochi // Funkcial. Ekvac. - 1996. - Vol. 39. -P. 87-107. MR1401654
9. Burton, T. A. Bounded and Periodic Solutions of Integral Equations / T. A. Burton, B. Zhang // CUBO A Math. J. - 2012. - Vol. 14, № 1. - P. 55-79. DOI: 10.4067/S0719-06462012000100006
10. Islam, M. N. Asymptotically Periodic Solutions of Volterra Integral Equations / M. N. Islam // Elect. J. Diff. Eqs. - 2016. - Vol. 2016, № 83. - P. 1-9.
11. Islam, M. N. Periodic Solutions of Volterra Integral Equations / M. N. Islam // Internat. J. Math. & Math. Sci. - 1988. - Vol. 11, № 4. - P. 781-792. DOI: 10.1155/S016117128800095X
12. Cromer, T. L. Asymptotically Periodic Solutions to Volterra Integral Equations in Epidemic Models / T. L. Cromer // J. Math. Anal. Appl. - 1985. - Vol. 110. - P. 483494. DOI: 10.1016/0022-247X(85)90310-5
13. Cushing, J. M. Nontrivial Periodic Solutions of Some Volterra Integral Equations / J. M. Cushing ; eds.: S.-O. Londen, O. J. Staffans // Volterra Equations. Lecture Notes in Mathematics. - 1979. - Vol. 737. - P. 50-66. DOI: 10.1007/BFb0064495.
14. Nussbaum, R. D. A Periodicity Threshold Theorem for Some Nonlinear Integral Equations / R. D. Nussbaum // SIAM J. Math. Anal. - 1978. - Vol. 9. - P. 356-376. DOI: 10.1137/0509024.
15. Butris, R. N. Periodic Solution for Certain Nonlinear System of Volterra Integral Equations / R. N. Butris, B. S. Fars // Gen. Math. Notes. - 2014. - Vol. 21, № 1. -P. 137-156.
16. Gorenflo, R. Abel Integral Equations: Analysis and Applications / R. Gorenflo, S. Vessella. - Berlin ; Heidelberg : Springer-Verlag, 1991. - 217 p. DOI: 10.1007/ BFb0084665
17. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688 с.
18. Tenreiro Machado, J. A. Science metrics on fractional calculus development since 1966 // J. A. Tenreiro Machado, A. M. Galhano, J. J. Trujillo / Fract. Calc. Appl. Anal. - 2013. - Vol. 16, № 2. - P. 479-500. DOI: 10.2478/s13540-013-0030-y.
19. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. -М. : Наука, 1970. - 304 с.
20. Будак, Б. М. Курс высшей математики и математической физики. Кратные интегралы и ряды / Б. М. Будак, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1965. - 608 с.
21. Еругин, Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. - Минск : Наука и техника, 1979. - 744 с.
22. Малютина, М. В. О свойстве периодичности интеграла N-го порядка / М. В. Малютина // Южно-уральская молодежная школа по математическому моделированию : сб. тр. II Всерос. науч.-практ. конф. - Челябинск : Изд. центр ЮУрГУ, 2015. - С. 110-115.
23. Azbelev, N. V. Introduction to the Theory of Functional Differential Equations: Methods and Applications / N. V. Azbelev V. P. Maksimov L. F. Rakhmatullina. -New York - Nasr : Hindawi Publ. Corp., 2007. - 318 p. DOI: 10.1155/ 9789775945495.
References
1. Vol'terra V. Teoriya funktsionalov, integral'nykh i integrodifferentsial'nykh uravneniy [The theory of functionals, integral and integrodifferential equations]. Transl. from English. Moscow: Nauka, 1982, 304 p.
2. Bykov Ya. V. O nekotorykh zadachakh teorii integrodifferentsial'nykh uravneniy [On some problems of the theory of integrodifferential equations]. Frunze: Izd-vo Kirg. gos. un-ta, 1957, 328 p.
3. Botashev A. I., Talipova L. A. Izvestiya Akademii nauk Kirg. SSR [Proceedings of AS of Kyrg. SSR]. 1974, iss. 1, pp. 8-11.
4. Pulyaev V. F., Tsalyuk Z. B. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1974, vol. 10, no. 6, pp. 1103-1110.
5. Tsalyuk Z. B. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Matematicheskiy analiz [Results of science and technology. Series: Mathematical analysis]. 1977, vol. 15, pp. 131-198.
6. Levin J. J. Proc. Amer. Math. Soc. 1963, vol. 14, pp. 534-541. DOI: 10.2307/2034270.
7. Burton T. A. Tohoku Math. J. 1994, vol. 46, no. 2, pp. 207-220. DOI: 10.2748/tmj/1178225758
8. Burton T. A., Furumochi T. Funkcial. Ekvac. 1996, vol. 39, pp. 87-107. MR1401654
9. Burton T. A., Zhang B. CUBO A Math. J. 2012, vol. 14, no. 1, pp. 55-79. DOI: 10.4067/S0719-06462012000100006
10. Islam M. N. Elect. J. Diff. Eqs. 2016, vol. 2016, no. 83, pp. 1-9.
11. Islam M. N. Internat. J. Math. & Math. Sci. 1988, vol. 11, no. 4, pp. 781-792. DOI: 10.1155/S016117128800095X
12. Cromer T. L. J. Math. Anal. Appl. 1985, vol. 110, pp. 483-494. DOI: 10.1016/0022-247X(85)90310-5
13. Cushing J. M. Volterra Equations. Lecture Notes in Mathematics. Eds.: S.-O. Londen, O. J. Staffans. 1979, vol. 737, pp. 50-66. DOI: 10.1007/BFb0064495.
14. Nussbaum R. D. A SIAM J. Math. Anal. 1978, vol. 9, pp. 356-376. DOI: 10.1137/0509024.
15. Butris R. N., Fars B. S. Gen. Math. Notes. 2014, vol. 21, no. 1, pp. 137-156.
16. Gorenflo R., Vessella S. Abel Integral Equations: Analysis and Application. BerlinHeidelberg: Springer-Verlag, 1991, 217 p. DOI: 10.1007/BFb0084665
17. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integraly iproizvodnye drobnogoporyadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and fractional derivatives and some applications thereof]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p.
18. Tenreiro Machado J. A., Galhano A. M., Trujillo J. J. Fract. Calc. Appl. Anal. 2013, vol. 16, no. 2, pp. 479-500. DOI: 10.2478/s13540-013-0030-y.
19. Akhiezer N. I. Elementy teorii ellipticheskikh funktsiy [Elements of the theory of elliptic functions]. Moscow: Nauka, 1970, 304 p.
20. Budak B. M., Fomin S. V. Kurs vysshey matematiki i matematicheskoy fiziki. Kratnye integraly i ryady [A course of higher mathematics and mathematical physics. Multiple integrals and series]. Moscow: Nauka, 1965, 608 p.
21. Erugin N. P. Kniga dlya chteniya po obshchemu kursu differentsial'nykh uravneniy [A reader on the general course of differential equations]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1979, 744 p.
22. Malyutina M. V. Yuzhno-ural'skaya molodezhnaya shkola po matematicheskomu mo-delirovaniyu: sb. tr. II Vseros. nauch.-prakt. konf. [The Southern Ural Youth School on Mathematical Modeling: proceedings of II All-Russian scientific and practical conference]. Chelyabinsk: Izd. tsentr YuUrGU, 2015, pp. 110-115.
23. Azbelev N. V., Maksimov V. P., Rakhmatullina L. F. Introduction to the Theory of Functional Differential Equations: Methods and Applications. New York - Nasr: Hindawi Publ. Corp., 2007, 318 p. DOI: 10.1155/9789775945495.
Малютина Мария Вячеславовна магистрант, Иркутский государственный университет (Россия, г. Иркутск, ул. Карла Маркса, 1)
E-mail: fanofevanescence2008@yandex.ru
Орлов Сергей Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет (Россия, г. Иркутск, ул. Карла Маркса, 1)
E-mail: orlov_sergey@inbox.ru
Malyutina Mariya Vyacheslavovna Master's degree student, Irkutsk State University (1 Karla Marxa street, Irkutsk, Russia)
Orlov Sergey Sergeevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, subdepartment of mathematical analysis and differential equations, Institute of Mathematics, Economics and Informatics, Irkutsk State University (1 Karla Marxa street, Irkutsk, Russia)
УДК 517.968.22 Малютина, М. В.
Периодическое решение обобщенного интегрального уравнения Абеля первого рода / М. В. Малютина, С. С. Орлов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 58-69. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-5
