Периодические решения одного класса функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

B. А. Крылов

C.-Петербургский государственный университет, list.wk@gmail.com

1. Введение. В работе [1] изучались периодические решения функционально-дифференциальных уравнений, описывающих импульсные системы управления с тремя видами частотно-импульсной модуляции (ЧИМ-1, ЧИМ-2, ИЧИМ). В данной статье исследуются периодические решения другого класса функционально-дифференциальных уравнений, описывающих как системы управления с «сигма-импульсной модуляцией» [2, 3], так и математическую модель нейрона Павлидиса [4]. Характерным свойством этих уравнений является априорное отсутствие непрерывности оператора сдвига по траекториям, что затрудняет использование теоремы о неподвижной точке этого оператора. В работе будут получены достаточные условия существования периодических решений с одним импульсом на периоде путем построения в фазовом пространстве области, в которой оператор сдвига по траекториям непрерывен.

2. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная импульсная система. Непрерывная линейная часть системы описывается уравнениями

где А — постоянная гурвицева то х т-матрица, Ь и с — постоянные то-мерные столбцы, ф — постоянная, отличная от нуля, характеризующая внешнее воздействие, а — сигнал на входе модулятора, / — сигнал на выходе модулятора. Пусть М: а —> /, модулятор генерирует мгновенные импульсы, описываемые дельта-функциями

X = Ах + 6/, <7 = с*х + ф,

(1)

СО

(2)

п=0

здесь

signo-(tn — 0), если а(Ьп — 0) ф 0;

О,

если <т(£п — 0) = 0;

(3)

¿п+1 — + Тп, п — 0,1,..., Тп — наименьший положительный корень т = Тп уравнения

(4)

Т

(5)

о

где А, е — положительные постоянные.

© В. А. Крылов, 2012

В математической модели нейрона, предложенной Павлидисом [3], состояние сомы описывается уравнениями (1), где / — сигнал на входе нейрона,

f{t) =£«*(*- Tfc), (6)

rfc<i

а сигнал на выходе нейрона (в аксоне) имеет вид

v(t)=^2S(t-tn). (7)

tn<t

3. Формулировка результатов. Предполагается невырожденность передаточной функции

УГ(р) = с* (А - р1т)~1 Ь,

где 1т — единичная то х то-матрица.

Вещественное положительное число А будет называться допустимым, если матрица А + XIт будет гурвицевой.

Вводятся следующие обозначения:

оо

L{А) = v/2(Ai " тХ)К(А), где Ai —коэффициент характеристического многочлена матрицы А:

det(plm -А)=рт + А1Рт-г + ... + Ат,

Теорема 1. Если параметры системы (1)-(5) удовлетворяют условию

\ф\ — еД > 0, (9)

и существует допустимое число X, для которого выполнено первенство

Ь(Х) < (\ф\ - Ае) (ехр- - I), (10)

где

р А

1 оо —

2 \ф\ — Де + Ь(Х)'

то существует периодический режим с одним импульсом на периоде.

Теорема 2. Если в нейроне Павлидиса, замкнутом на самого себя и при отсутствии других внешних входов верно

ф — еД > 0,

и существует допустимое число X, для которого выполнено неравенство

ЦА) <(ф- Де) - 1) ,

где

F =_Д_

00 2ф — Де + L{А)'

то существует периодический режим с одним импульсом на периоде.

В доказательстве будет использоваться следующая лемма А. Н.Чурилова [1]. Лемма. Пусть А — постоянная гурвицева тхт-матрица, Ъ, с\,..., ci — постоянные то-мерные столбцы, пара {А, Ъ) управляема, А, F^, v\,... ,щ — положительные числа, матрица А + А 1т гурвицева и выполнено неравенство

2 (Д! - тоА) < (eAF~ - I)2 min {v\lßь ..., v? / ßt} , (И)

где

со

ßi = h I Gi(p) = c*(A-pImy1b, j = V=T,

— со

a Ai — коэффициент характеристического многочлена матрицы А, det (PIm - А) = рт + Агр™-1 + ... + Ат. Тогда существует такая положительная матрица Н, что эллипсоид

i! = {ier \х*Нх< 1} (12)

обладает свойствами

nc{iGlm| \с*х\ <щ,г = 1,...,1}, (13)

и для решения x(t) линейной системы

х = Ах, (14)

удовлетворяющего начальному условию x(to) = у + АоЪ, где у £ О,, Ао = ±1, справедливы включения

x(t) eü nput>t0 + Fco, (15)

x(t) G { ж G Rm | \c*x\ <щ + l - m\), i = l,...,l} nput>t0. (16)

Доказательство теоремы 1. Определим оператор сдвига по траекториям S. Для у G Мт найдем решение x(t,y) системы (1)-(4) на промежутке [to + 0,ti +0] при начальном условии x(to + 0, у) = у. При помощи (5) и (3) определим То и Ai. Положим Sy = x{tx + 0, у). Тогда Sy = ехр(АТ0)у + Хф. Получим оценку для То снизу:

То

Д<У e-£(T°-A)ciA max|cr(t)| = ^(1-e(-£To))max|cr(i)| < T0max|cr(t)| . (17)

о

Максимум берется no t G [to + 0, t\ — 0].

Применим лемму при / = 1, c\ = с, v\ = \ф\ — еД, Foo = Д/(2 \ф\ — Де + Ь(А)) и рассмотрим два эллипсоида: Q, определенный в лемме, и fij = {i € Rm | x — b sign-0 G

П }. Тогда если у (Е Г2ь, то для решения у) при начальном условии х{Ьо + 0, у) = у в силу (16) при £ € [¿о + 0^1 — 0] справедлива оценка \с*х\ < \ф\ — Де + Ь(А), откуда |с*х +VI < 2\ф\ - Де + Т(А).

Из (17) получаем оценку Т0 > Д/(2 \ф\ - Де + Т(А)) =

Из (15) следует, что если у € Пь, то у) £ О. при £ € [¿о + Тх,, ^ 1 — 0]. Это значит,

что

ехр(АТ0)у € О. (18)

Так как у € Г2ь, ж(^ — 0, у) будет принадлежать полосе

{хег I \с*х\ < \ф\ -Де}, (19)

следовательно, sign(c*ж + ф) = sigm/> при х = х{Ь\ — 0, у), то есть

А1 = signV>. (20)

Из (18) и (20) получаем, что ехр(АТо)у + Ьзщпф £ Г2&. А это значит, что

БПЬ С Пь- (21)

Из закона модуляции видно, что

тп

sigп<т(tn^l - 0) = J а(гп + х)е-<т~-хих.

о

Поэтому если у (Е Г2ь, то величина То определяется как наименьший положительный корень уравнения

То

! (с*ехр(АА)у + ф)е-е(-т°-х)(1 X = ДsignV>.

о

Рассмотрим производную левой части по То:

То

= -е У (с*ехр(АА)у + ф)е-е(-т°-х)¿X + е-еТ° (с*ехр(АТ0)у + ф)ееТ°. о

Покажем, что производная отлична от нуля. Используя уравнение закона модуляции, получаем следующее неравенство:

|Т>| > -еД + с*ехр(АТ0)у + фв1ёпф.

Поскольку вектор ехр(АТо)у принадлежит полосе (19), справедливо |Т*| > 0. Поэтому То = То (у) при у € Пь непрерывно зависит от у.

Таким образом, оператор в — непрерывен на О-ъ и отображает эллипсоид 0.ъ сам в себя, следовательно по теореме Боля—Брауэра имеет неподвижную точку жо, которая является начальным условием периодического режима.

Доказательство теоремы 2 аналогичное, с учетом того, что все А„ = 1 а ф > 0.

Пример 1. Рассмотрим систему со следующей передаточной функцией непрерывной линейной части:

И^Ср) = ---.

о + 0.01)2 +1

Внешнее воздействие ф = 7.9.

Параметры для уравнения (5): е = 0.001, Д = 46.

Неравенство (9) теоремы 1 будет верным.

Допустимое число Л выбирается так, чтобы минимизировать выражение ЦА)/(еЛ-р~ - 1).

Минимальное значение этого выражения при Л = 0.0099 получено численно: 297.68.

Величина выражения \ф\ — еД будет равной 7.85, поэтому неравенство (10) теоремы 1 будет не верно.

Пример 2. Берется та же передаточная функция непрерывной линейной части.

Внешнее возмущение увеличивается до ф = 400.9.

Параметры для уравнения (5): е = 0.0002, Д = 2505.

Число Л выбирается аналогично: Л = 0.0099.

Значение минимизируемого выражения 201.38. На величину этого значения наибольшее влияние оказывает величина параметра Д, но для выполнения условия (10) теоремы одновременно должно увеличиваться и значение параметра е.

Условия теоремы для системы с такими параметрами будет выполнены.

Начальные данные для периодического режима надо взять близкие к следующим: [22, -15.5].

4. Заключение. В работе рассмотрены системы управления с «сигма-импульсной модуляцией». Получены достаточные условия существования периодических решений с одним импульсом на периоде.

Литература

1. Гелиг А. X., Чурилов А. Н. Периодические режимы в частотно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1995. №7. С. 91-98.

2. Гелиг А.Х., Зубер И.Е., Чурилов А.Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. 129 с.

3. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1998.

4. Гелиг A. X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. JL: Изд-во ЛГУ. 1982. 190 с.

Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.