CC BY
12
п> 1. Согласно (6), (7) ц(х)= ц(х), и в силу (5) (Я.) = 0. По первой части доказательства будем иметь Мх(х)= M-¡(x) при хе[о,6-а] и, следовательно, М(х) = М(х) при xe[o,í)-a]. Теорема 1 доказана.
Замечание2. Нетрудно увидеть, что если g(x) = 0, v(x)=0 п. в. на (О,а), (Ь,Т) соответственно, то никакая вариация функции М(х) на промежутке (b - а,Т] не изменит функцию Цл,), а значит, и Л .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. БутеринС.А. О единственности восстановления одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002 йг-гтт Л Г 15- IX
2. Бутерин С. А. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для одномерного возмущения оператора свертки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 8 - 10.
3. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.
X
4. СахновичЛ. А. Спектральный анализ операторов вида Kf = ^f(t)K(x - t)dt //
с
Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22. С. 299 - 308.
X
5. Юрко В, А. О порождающих элементах операторов вида Kf = Jf(t)K(x - t)dt
о
// Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. Вып. 3. С. 79 - 102.
УДК 517.51
Р. Р. Васюков
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КАНОНИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ
В книге [1] проводится восстановление вероятностной меры в случае 2-периодической последовательности канонических моментов меры на некотором отрезке. В данной статье решена задача восстановления в случае /я-периодической последовательности канонических моментов. Пусть
ь
ск =сЛн)= к> 1,
а
— последовательность обычных моментов меры ц на отрезке [а, й]. Для меры Ц с моментами ск, к > 1, положим
Ск =с*(й)=штсДл), с к =с;(ц) = тахс*(л), л п
где минимум и максимум берутся по вероятностным мерам, моменты которых до порядка к -1 совпадают с моментами меры ц. Тогда величины
17
= к> 1. ск ~ск
называются каноническими моментами меры ц.
Основными инструментами для исследования свойств меры являются здесь прямое и обратное преобразования Стилтьеса.
Прямое преобразование Стилтьеса для вероятностной меры на отрезке [ОД] - это аналитическая вне отрезка [ОД] функция:
= УФО) = £и! _ I _ ЧгРъ 1 _
0 г - х \г ]1 \г |1
где д0 =1, дк=\ - рк.
Можно показать (используя свойства непрерывных дробей), что преобразование Стилтьеса представляется и в другой (более удобной в дальнейшем) форме. А именно
т = _ 1____]_ _ | _ __I _ _ _
где =Чк \Рк ■
Такой вид функции 5(г) выбирается из тех соображений, что он близок к виду непрерывной дроби, рассмотренной в [2].
Свойства преобразования Стилтьеса меры |Д, как известно, позволяют найти все компоненты меры. Таким образом, для того чтобы восстановить меру по каноническим моментам, достаточно найти ее преобразование Стилтьеса.
В [2] рассматривается непрерывная дробь следующего вида:
----
¡г-а, \г-а2
где {ак , {Хк Ф 0 - произвольные действительные числа.
Последовательности {ак , {Я.^}^ берутся/и-периодическими. В нашем случае имеем
Отсюда следует, что если период последовательности канонических моментов меры четный, то последовательности {сц}* , {Хд }* имеют половинный период, в случае нечетного периода последовательности ■¡ад- , имеют тот же период.
Таким образом, пользуясь результатами [2], получаем следующую теорему.
ТЕОРЬМА. Пусть для некоторой вероятностной меры ц на отрезке \a,b\ выполняется условие m-периодичности канонических моментов:
Рп*"Рк> n-s-k(madm); к = \...т, n>s, л>0.
Тогда мера ц состоит из двух компонент:
ф(х) = ф, (х) + d[i2(x),
где мера абсолютно непрерывна на множестве Е, состоящем из конечного числа отрезков. 11ри этом имеем
, , , , w , . > l-{Pm(x)-Rm_2(x)}2
d\ix(x) = p(x)dx, = ^-——--,
С(х)
где Рт(х) - ортогональные относительно меры ц многочлены с единичным старшим коэффициентом, многочлен Rn(x) удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению с коэффициентами рекуррентного соотношения, записанного для многочлена Рп+1(х), с начальными условиями:
/>_,(*) = 0, Р0(х) = 1, Ä_,(*) = I, Äo(x) = 0.
Константа / равна:
l = l7l2-'-ln/ = Р\Я\Р^2Рз---Чт-\Рт в случае четного периода,
/2
/ = ХгХъ---'кт = Р\Ч\РгЧ2Ръ'"Ч2т-гРгт-л в случае нечетного периода. Множество Е - это система отрезков таких, что выполняется неравенство
F(x) = 41 -{Р,„(х)-Рт-2{х))2 > 0.
Многочлен С(х) имеет вид
С(х) = Pm+1_s(x)Ps(x) - Рт+,(х)Р^(х).
Вторая компонента р.2 имеет финитный (т.е. содержащий конечное число точек) носитель; причем он состоит из тех корней xv многочлена С(х), для которых выполняется неравенство
массы точек xv равны |iv = 2 lim \р(х){х - xv )|.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Detie Н., Studden W. The Theory of Canonical Moments with Applications in Statistics, Probability, and Analysis. N. Y., 1997. 324 p.
2. Ггронимус Я. Я. О некоторых уравнениях в конечных разностях и соответствующих системах ортогональных многочленов // Зап. НИИ математики и механики и Харьк. мат. о-ва. Харьков. 1938. Т. 15, вып. 2. С. 57 - 64.
