CC BY
28
УДК 533.95
ПЕРЕЗАМЫКАНИЕ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ В СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
С. В. Буланов, И. Н. Иновенков1, В. В. Пичушкин1, К. Шиндлер2
Представлены результаты численного моделирования и теоретического анализа перехода структурно -неустойчивых магнитных конфигураций в структурно-устойчивые под действием возмущений, приложенных к границам области в окрестности магнитной нулевой линии третьего порядка. В зависимости от симметрии исходной конфигурации и граничных условий на месте критической точки образуется токовая область конечных размеров, ограниченная магнитными сепаратрисами, или система токовых слоев и ударных волн на магнитных сепаратрисах.
Перезамыкание магнитных силовых линий, имеющее важное значение для лабораторной и космической плазмы [1], тесным образом связано с проблемой структур ной устойчивости векторных полей. Как известно, система называется структурно-устойчивой, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля полученная система эквивалентна исходной. В процессе перезамыкания топология магнитного по ля изменяется, то есть система перестает быть эквивалентной исходной. Естественно ожидать, что результатом будет переход структурно-неустойчивой магнитной конфигурации в структурно-устойчивую.
Если динамика плазмы вблизи критических точек магнитного поля низшего порядка (окрестности нейтральной плоскости и окрестности Х-линии) подробно исследуется
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.
2Рурский университет, г. Бохум, Германия.
в течение многих лет, то в литературе практически отсутствует обсуждение перезамыкания вблизи особых точек высокого порядка, а также анализ вопросов влияния глобальной структурной неустойчивости магнитных конфигураций; исключение составляет работа [2].
Ниже представлены результаты исследования вынужденного перезамыкания магнитных силовых линий в конфигурации с вырожденной критической линией, представляющей собой в невозмущенном состоянии линию пересечения трех сепаратрисных поверхностей.
Рассмотрим конфигурацию, которая исходно обладает поворотной симметрией порядка 3 и зеркальной симметрией. Предполагаем, что система однородна вдоль оси г. Магнитное поле с такими свойствами задано векторным потенциалом Аоо =
А00(х,у)е2, А00(х,у) = 3} = д(х3 - 3у2х)/3. Здесь ( = х + ¡у, д = с В0
равным напряженности магнитного поля на границе области с размерами порядка 5. Эта конфигурация структурно-неустойчива, поскольку особая точка (ж = 0, у = 0) векторного поля В является вырожденной: линеаризованной задаче отвечает собственное значение, равное нулю.
Малые возмущения магнитного поля приводят к бифуркации вырожденной особой точки или ее исчезновению. В этом случае магнитное поле задано вектор-потенциалом
Типичные изменения топологии магнитного поля под действием малых возмущений показаны на рис. 1. Полное исследование бифуркаций в семействе (1) приведено в [3]. Здесь мы отметим, что структурно-устойчивой из приведенных на рис. 1 конфигураций является только 1с. Конфигурации 1а, 1Ь отвечают случаю, когда сепаратриса идет из седла в седло и поэтому негрубые (глобально структурно-неустойчивы).
Рассмотрим задачу о поведении плазмы вблизи критической точки в предположении, что в начальный момент времени плазма находится в равновесии (V = 0) в потенциальном поле (1), где мы ограничиваемся рассмотрением поля вида Ао = $${гд(3/3 — б2С}; плотность плазмы предполагаем однородной, а давление равным нулю. Равновесие нарушается под действием возмущений, приложенных к границе. Возмущения, соответствующие включению однородного по г электрического тока, возбуждают МГД волну, которая распространяется по направлению к началу координат.
Задача о линейных МГД волнах в потенциальном магнитном поле, зависящем от
Ао(х, у) = -(х3 - 3у2х) + е!Х2 + е2у2 + е3ху + е4х + еьу.
9,з
(1)
Рис. 1. Изменение топологии магнитного поля вблизи критической точки третьего порядка под действием возмущений низшего порядка.
двух координат, была решена в общем виде в работах [4]. Следуя им, описываем магнитное поле в терминах комплексного потенциала /о(С) = ^о(С) + ¿Ло(С)- Линеаризация уравнений МГД приводит для возмущений магнитозвукового типа (ток параллелен оси г) к уравнению
диа - |/о|2Да = 0. (2)
Здесь - возмущение ¿-компоненты вектор-потенциала; /ц = д/0/с1(; время нор
мировано на з2(4тр0)1^2/В0 = (Атг ро)1^2/д. Конформное преобразование
О)
приводит уравнение (2) к волновому уравнению в декартовых координатах и и V. Его фундаментальное решение известно, и мы можем записать в явном виде решение задачи Коши для неоднородного уравнения. Вдали от начала координат при |(| б из (3) видно, что ги « — 1/С- Отсюда следует, что волна может быть цилиндрической и асимптотически при £ —► оо и |£г — 1| <С 1 описывается выражением
а ю г- 1 /г) = 9ог1/2(* - 1/г)1/2. (4)
Азимутальная компонента возмущения магнитного поля в волне, равная 6^ = 8га. такова: Ь^ « q0t|(2r1l2(t — 1/г)1/2) « ?о/(2г3/2г1/2). Мы учитываем, что вблизи фронта волны ¿ — 1/г = т < 1. Таким образом мы получили, что волна распространяется к центру по закону г « 1/Ь при £ —> оо. При этом амплитуда волны, возмущение
магнитного поля, возрастает как г-3/2 при г —» 0. Напряженность невозмущенного магнитного поля зависит от расстояния от нулевой линии как квадрат расстояния: \В\ = дг2. Сравнивая по величине это выражение с Ь^, найдем, что волна становится сильной на расстоянии от нулевой линии, равном г„ = /2т1/2^)2/7. Полученные здесь решения мы используем ниже для задания граничных условий при численном моделировании.
Существенно нелинейная стадия кумуляции МГД волны вблизи Х-линии магнитного поля завершается формированием квазистационарного токового слоя [5]. В работе [5] было предсказано, что магнитная конфигурация, формирующаяся вблизи критической точки высокого порядка, также должна эволюционировать в систему, содержащую семейство конечного числа токовых слоев. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы необходимо МГД моделирование.
Начальная задача для уравнений МГД, решение которой описывает самосогласованную нелинейную эволюцию плазмы и магнитного поля в окрестности критической точки, решалась численно. Мы используем безразмерные переменные и систему уравнений МГД [6].
Равновесие нарушается под действием возмущений векторного потенциала, приложенных на границе расчетной области. При |а:| = 1, |?/| = 1 ¿-компонента векторного потенциала равна
Л(*,у,*) = А0(х,у) + г2/(* - 1/г + 1), (5)
где радиус равен г2 = х2 + у2 с х, у взятыми на границе. Функция /(£) равна —Е(£ — I)2 для £>1и/(£) = 0 для £ < 1. Здесь Е равно значению электрического поля в возмущениях, которое в безразмерном виде может быть записано в виде Е = сЕ(4тг ро)1/2 / (дв2)2. Граничные условия для остальных переменных заданы следующим образом. На той части границы, где плазма втекает в расчетную область, плотность и давление плазмы заданы и равны р — 1, р = 1. На той части границы, где плазма вытекает из расчетной области, производные вдоль выходящих характеристик полагаются равными нулю.
Обратная величина безразмерной магнитной вязкости йт — с2/47гсгг>аз равна безразмерному числу Лундквиста, вычисленному для значения альфвеновской скорости на границе области: уа = дв2/^47гро)1^2■ В представленных в данной статье результатах численного моделирования обратное число Лундквиста 5'-1 = ит, безразмерное значение теплопроводности и безразмерное электрическое поле равны ¡>т — 0,006, к = 0,01 и Е = 0,05, соответственно.
Основные режимы перестройки магнитной конфигурации, которые мы обсуждаем в данной статье, соответствуют возмущениям, близким к азимутально-симметричным, которые возбуждают в плазме полный электрический ток конечной величины. В первом варианте расчетов е = 0, и е = 1, 7 во втором варианте.
Рис. 2. Распределение линий равного значения векторного потенциала (а) и плотность электрического тока (Ь) в момент времени ¿ = 3,5 для первого варианта расчетов.
На рис. 2 показаны распределения линий равного значения векторного потенциала (2а) и плотность электрического тока (2Ь) для ¿ = 3,5 для первого варианта расчетов, исходное поле в котором отвечает рисунку 1а. На этой стадии достигается квазистационарный режим. Видно возникновение токовой области конечных размеров, которая ограничена сепаратрисами магнитного поля. В углах этой области расположены три нулевых линии магнитного поля Х-типа, а в ее центре - нулевая линия О-типа. В углах токовой области находятся токовые слои, подобные тем, что возникают в окрестностг нулевых линий Х-типа. С этими токовыми слоями связано течение плазмы: плазма в основном обтекает токовую область, двигаясь вдоль магнитных сепаратрис на ее границах. Вблизи токовых слоев расположены также ударные волны. Подчеркнем здесь, что, хотя размеры области локализации тока в данном режиме в направлении осей х и у одного порядка в отличие от структуры токового слоя вблизи Л'-линии, изменение распределения тока вблизи сепаратрис происходит на много меньшем масштабе, определяемом диссипацией.
Следующий вариант расчетов отвечает невозмущенной магнитной конфигурацл;: вида, который представлен на рис. 1Ь с двумя нулевыми линиями Х-типа, соединен ными сепаратрисой. Однако такая система структурно-неустойчива и мы наблюдаем
сценарий развития, согласно которому конфигурация эволюционирует в структурно-устойчивую.
На рис. 3 показаны распределения линий равного значения векторного потенциала (За) и плотность электрического тока (ЗЬ) для t = 40. Видно возникновение системы токовых слоев и ударных волн, которые расположены вблизи сепаратрисных поверхностей магнитного поля. Магнитная конфигурация в результате самосогласованной эволюции течения плазмы и магнитного поля трансформируется в структурно-устойчивую. Она соответствует магнитному полю, которое показано на рис. 1с. Отметим, что исходно симметричная картина магнитного поля под действием симметричных возмущений эволюционирует в несимметричную, но структурно-устойчивую.
Рис. 3. Распределение линий равного значения векторного потенциала (а) и плотность электрического тока (Ь) в момент времени / = 40 для второго ва""" ч » расчетов.
Следуя работам [7], рассмотрим модель стационарного режима перезамыкания магнитных силовых линий на границе токовой области, которая образуется на стадии, показанной на рис. 2, или в токовых слоях, представленных на рис. 3. Как приграничная область токовой конфигурации (рис. 2), так и токовые слои на рис. 3 имеют малый размер (толщину), равный а, и большой размер (ширину), равный Ь. Плазма с вмороженным в нее магнитным полем втекает в токовый слой со скоростью и,п. Под действием натяжения магнитных силовых линий и градиента давления плазмы она выбрасывается вдоль токового слоя со скоростью vout. Условие сохранения числа частиц дает соотношение при,пЬ = где пр и п3 равны значению плотности плазмы внутри слоя и вне его, а значение vout положено равным локальному значению альфве-новской скорости va. Толщина токового слоя может быть оценена как а = (глп/и«п)1/'2- Из этих соотношений следует формула Паркера-Свита для скорости магнитного перезамыкания: и,-п = Уа^т/ЬУа)1^. Принимая во внимание слабую зависимость от величины
а
Ь
отношения Пц/Пр, далее мы положили его равным единице.
Полученное соотношение зависит от величины альфвеновской скорости иа. Однако в окрестности критической линии магнитное поле неоднородно: \В\ = дг2, поэтому зна чение альфвеновской скорости зависит от координат: уа = Сг2, где С? = д/(Апроу^2 и г = (х2 + у2)1/2. Для г, равного ширине слоя 6, альфвеновская скорость равна Размер токовой области определяется условием равенства напряженности магнитного поля, которое создается током I, текущим в ней, и равным ~ I/сЬ, напряженности невозмущенного магнитного поля дЬ2. Отсюда следует, что Ь т (I/дс)1/3. Используя это выражение, найдем, что толщина токового слоя (толщина приграничной области в случае азимутально-симметричных граничных условий), скорость магнитного перезамыкания и отношение ширины токового слоя к его толщине равны
соответственно. Отношение Ь/а представляет собой безразмерный параметр задачи. Если Ь/а <С 1, диссипативные эффекты сильнее нелинейных. В обратном случае размер токовой области существенно превышает характерный диссипативный размер.
Подобным образом можно получить выражения для толщины и ширины токового слоя и скорости магнитного перезамыкания в окрестности нулевой линии порядка (.. А именно,
В заключение заметим, что переход в конфигурацию с топологией магнитного поля, отличной от начальной, запрещенный в рамках идеальной магнитной гидродиналмпки, осуществляется в процессе перезамыкания магнитных силовых линий. На начальной стадии возмущения создают магнитозвуковую волну, которая распространяется по на правлению к нулевой линии. По мере ее распространения амплитуда возмущений и несимметрия волнового фронта нарастают. В области, где амплитуда волны становится соизмеримой с величиной исходного магнитного поля, волна создает систему токовг слоев.
Вид токовых слоев и их дальнейшая эволюция существенным образом отличаются в двух рассмотренных вариантах расчетов.
Для граничных условий, близких к азимутально-симметричным в поле с Ао = £у{г'С3/3}, конфигурация с токовыми слоями является переходной: токовые слои исчезают за время порядка альфвеновского. На их месте образуется токовая область, которая ограничена магнитными сепаратрисами. Внутри области плотность электрического тока квазиоднородна, а плотность плазмы существенно превышает исходное значение. Плазма здесь практически неподвижна.
Во втором случае, который отвечает исходному полю с двумя нулевыми линиями, соединенными сепаратрисой, с Aq = íí{¿£3/3 — е2(} азимутально-симметричные возмущения формируют систему токовых слоев и ударных волн вблизи сепаратрисных поверхностей магнитного поля. В процессе эволюции магнитной конфигурации происходит спонтанное нарушение симметрии и поворот конфигурации на конечный угол.
Авторы благодарят И. С. Данилкина, К. Авинаш, П. Kay, Э. Лазаро и А. Сен за полезные обсуждения. Работа была выполнена в рамках проекта INTAS-93-2836.
ЛИТЕРАТУРА
[1] В i s k a m р D. Nonlinear Magnetohydrodynamics, in Cambridge Monographs on Plasma Physics, 1, Eds. W. Grossman, D. Papadopoulos, R. Sagdeev, and K. Schindler. Cambridge Univ. Press, 1993.
[2] Б у л а н о в С. В., Пичушкин В. В., Ш и н д л е р К. Физика плазмы, 23, 979 (1996).
[3] П о с т о н Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., Мир, 1980.
[4] Б у л а н о в С. В., П е г о р а р о Ф. Физика плазмы, 19, 1120 (1993); В u 1 a n о V S. V. and Р е g о г а г о F. Phes. Lett., А 180, 275 (1993).
[5] С ы р о в а т с к и й С. И. ЖЭТФ, 60, 1727 (1971).
[6]Брушлинский К. В., Заборов А. М., Сыроватский С. И. Физика плазмы, 6, 297 (1980); Буланов С. В., Бутов И. Я., Гваладзе Ю. С., и др. Физика плазмы, 12, 309 (1986); В u 1 a n о v S. V., Dudnikova G. I., Z h и k о v V. P. et al., Phys. Lett., A 203, 219 (1995).
[7] S w e e t P. A. Electromagnetic Phenomena in Cosmic Physics, ed. by B. Lehnert (Camrbidge University Press, 1958), p. 122; Паркер E. Космические магнитные поля. M., Мир, 1982.
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 16 июля 1997 г.
