CC BY
67
1.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАГНИТНОГО ПЕРЕЗАМЫКАНИЯ В ТРЕХМЕРНОЙ МАГНИТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ С ОСОБОЙ
ТОЧКОЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Ечкина Евгения Юрьевна, доцент, доцент, кандидат физико-математических наук, факультет вычислительной математики и кибернетики. Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова. E-mail: [email protected]
Аннотация: Математическое моделирование процессов в высокотемпературной плазме является важным элементом изучения поведения лабораторной и космической плазмы. Трехмерные нелинейные магни-тогидродинамические модели позволяют адекватно описывать такие тонкие и интересные явления, как образование магнитных островов в плазме токамака, возникновение токовых слоев и «замков». Эти явления обусловлены перезамыканием магнитных силовых линий, причем пространственные размеры этих объектов составляют нанометры, а соответствующие плазменные образования приобретают новые и неожиданные свойства.
В рамках развития нанотехнологий большой интерес представляет моделирование распространения электромагнитных волн в плазменных структурах
Ключевые слова: магнитное перезамыкание, магнитный остров, структурная устойчивость
1.5. COMPUTER SIMULATIONOF THE PROCESS OF THE MAGNETIC RECONNECTION IN 3D MAGNETIC CONFIGURATION WITH HIGH ORDER CRITICAL POINT
Echkina Evgenia Yu., PhD in Physics and Mathematics, associate Professor of the Lomonosov Moscow State University, Department of computational mathematics and cybernetics. E-mail: [email protected]
Abstract: Mathematical modeling of processes in high-temperature plasma is an important element of studying of behavior of laboratory and space plasma. Three-dimensional nonlinear magnetohydrodynamic models allow to describe adequately such thin and interesting phenomena as formation of magnetic islands in plasma of a tokamak, emergence of current layers and "locks". These phenomena are caused by reshort circuit of magnetic power lines, and the spatial extent of these objects makes nanometers, and the corresponding plasma educations gain new and unexpected properties.
Within development of nanotechnologies the great interest represents modeling of distribution of electromagnetic waves in plasma structures.
Index terms: magnetic Pertamina, magnetic island, structural stability
ВВЕДЕНИЕ
Магнитное пересоединение представляет собой фундаментальный процесс, отличающийся огромным разнообразием аспектов и проявлений в астрофизической, космической и лабораторной плазме. Пересоединение представляет собой по существу перестройку топологии магнитного поля, обусловленную изменением связанности его силовых линий. Это изменение приводит к высвобождению накопленной магнитной энергии. Пересоединение является наиболее важным процессом для объяснения крупномасштабных динамических преобразований магнитной энергии.
Проблема магнитного перезамыкания тесно связана с проблемой структурной устойчивости векторных полей. Математические аспекты этой проблемы обсуждаются в [1], где динамическая система структур-
но-устойчива, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля возмущенная система эквивалентна исходной. Поскольку в процессе спонтанного и вынужденного магнитного перезамыкания топология поля изменяется, то естественно предположить, что структурно-неустойчивая конфигурация перейдет в структурно-устойчивую.
Данная работа посвящена изучению процесса магнитного пересоединения в трехмерном поле с точкой высокого порядка. Данная конфигурация магнитного поля представляет собой структурно неустойчивую конфигурацию, которая в результате малого возмущения, трансформируется с структурно устойчивую, проходя ряд промежуточных структурно неустойчивых конфигураций и порождая структуры с характерными наноразмерами.
При выборе численного метода следует учитывать специфику задачи: наличие ударных волн и физических процессов с разными характерными временами - распространение быстрой магнитозвуковой и медленной альфвеновской волны - представляют основные трудности при численном моделировании задач магнитной гидродинамики. Проблема моделирования процессов с разными характерными временами решается просто выбором довольно малого шага по времени, что необходимо для корректного описания быстропротекающих процессов. В данной работе применялся полунеявный метод Шнака. Полунеявные методы позволяют избавиться от обращения матриц большой размерности в решении алгебраической системы, при этом в методе отсутствует конвективная неустойчивость, присущая явной численной схеме из-за аппроксимации конвективных членов. Использование этого метода позволило применить частую пространственную сетку и увидеть образование мелких токовых областей.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В безразмерных переменных система МГД уравнений записывается в виде [2-4]
d,p + v- (pv) = 0
dt v + (vV) v = -ß—- + 2p
Vp rot rot A x rotA
p
pbr + ^-(vV)T + T (V. v) ] = kAT + -2v-(ro1rot A)Z
(Y-1)
dt A = (v x rot A) + vmAA, p = pT
A - вектор-потенциал магнитного поля с условием калибровки dlv a = о ; v - скорость плазмы; р, T, р -ее плотность, температура и давление.
В систему уравнений входят четыре безразмерных параметра, которые будем считать постоянным: у =
5/3 показатель адиабат; k=0.1 - коэффициент теплопроводности; р - отношение давления плазмы к
магнитному давлению, его значение на границе бралось равным 0.012; vm = о.ооб - коэффициент магнитной диффузии .
Расчетной областью выбирался единичный куб G = (-1;1) x (-1;1) x (-1;1) . в качестве начальных
условий для системы бралось ее стационарное решение.
Магнитное поле возбуждалось с границы, сходящейся волной с электрическим полем, направленным вдоль оси z. Остальные функции, входящие в систему уравнений удовлетворяют стандартным гидродинамическим краевым условиям свободной границы.
АЛГОРИТМ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ
Для достижения необходимой точности решения поставленной задачи требуется использовать сетки
содержащие более 200 точек. При этом в каждой точке требуется рассчитывать
основные функции - три компоненты скорости и вектор-потенциала магнитного поля, температуру и плотность (всего 8 скалярных функций)
вспомогательные функции - давление, дивергенцию скорости, три компоненты магнитного поля и плотности электрического тока, модуль плотности электрического тока (всего 9 скалярных функций)
Применение методов параллельного программирования позволяет увеличить размер сетки по каждой координате в 5-10 раз и сократить время численного решения этой задачи на высокопроизводительных кластерных системах примерно в 5 раз. Расчеты проводились на суперкомпьютере Regatta .Так как задача трехмерная, то существует три возможности распараллеливания по размерности:
1.По одному направлению
Введем обозначения: N - число узлов по каждому направлению п - число процессоров, 1<<п<< N Число обменов при распараллеливанию по одному направлению равняется.
Е1 = 2 (п -1)( N - 2)2« тм2
2. По двум и трем направлениям
Распараллеливание по трем направлениям позволяет минимизировать число обменов при фиксированных размере сетки и числе процессоров п > 20. Наиболее простая организация вычислений в первом случае.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ.
Рассмотрим всевозможные комбинации квадратичного поля, все семь параметров независимы.
В = а + + хук^
вх = - а\*У
Ву = ' - Уг)+
. г 2
Вт = - а-хг
ву = ' *">+
Вг = - с-уг
■ £
(1)
(2)
(3)
Магнитная конфигурация в начальный момент времени.
Вариант (3) переходит в (2) при замене у на z, Ву и В2 и, наоборот. Двумерные конфигурации включают только варианты (2) и (3):
а #0,Ь =с =0
1 11
вх =
Ву = 1а,(х2 - у2)
В качестве примера приведем результаты численного эксперимента с двумя магнитными конфигурациями с точкой высокого порядка.
Сначала рассматривалось трехмерное магнитное
поле следующей конфигурации в = с
особой точкой третьего порядка.
Распределение электрического тока.
Данная магнитная конфигурация в начальный момент времени является структурно неустойчивой и в процессе самоэволюции трансформируется в структурно устойчивую конфигурацию, при этом образуются локальные токовые области малых размеров. Токовый стой не образуется.
Вторая структурно-неустойчивая магнитная конфигурация может быть записана следующим образом .
ВУ
Распределение плотности электрического тока в расчетной области квазистационарная стадия
На картинке отчетливо видно образование локальных токовых островов малых размеров. При достиже-
нии квазистационарной стадии точка высокого порядка «разваливается» на 3 точки низшего порядка. Однако, следует отметить, что и эта конфигурация будет структурно-неустойчивой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная статья является продолжением цикла работ по изучению процесса перезамыкания магнитных силовых линий в трехмерных магнитных конфигурациях [5]. Но в отличие от предыдущих работ здесь особое внимание уделяется изучению структурно-неустойчивых 3D магнитных конфигураций.
Список литературы:
1. В. И. Арнольд Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука, 1978.
2. Д. П. Костомаров, С. В. Буланов, И. Н. Иновенков, Е. Ю. Ечкина, А. В. Леоненко, В. В. Пичушкин, Ф. Пегораро. Структурно неустойчивые магнитные конфигурации в трехмерной геометрии. // ДАН, 390(2) 2003.
3. D. P. Kostomarov, E. Y. Echkina, I. N. Inovenkov, A. V. Leo-nenko, O. A. Pavlova «Application of Parallel Programming Method for the 3D MHD Computer Simulations of Magnetic Reconnection in Plasma»// Book of abstracts. Parallel computational Fluid Dynamics. Moscow, Russia. 2003
4. С. В. Буланов, Е. Ю. Ечкина, И. Н. Иновенков, Ф. Пегораро, В. В. Пичушкин. Формирование токовых слоев в структурно устойчивых и стркутурно-неустойчивых магнитных конфигурациях с двумя нулевыми линиями. //Физика плазмы 26, 7, 600 (2000).
5. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro. Current sheet formation in three-dimensional magnetic configuration. // Physics of plasma. 9, 9 (2002).
