Перекодирование как прием формирования у старшеклассников системы понятий математического анализа Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 373.5.016:51

Милованов Николай Юрьевич

магистр педагогического образования Волгоградский государственный социально-педагогический университет

[email protected]

ПЕРЕКОДИРОВАНИЕ КАК ПРИЕМ ФОРМИРОВАНИЯ У СТАРШЕКЛАССНИКОВ СИСТЕМЫ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В статье выделен прием перекодирования для формирования системы понятий, на примере математического анализа. Рассмотрена сущность приема перекодирования, представлена его уровневая модель. Приведены примеры использования перекодирования для решения задач с графическими представлениями понятий математического анализа.

Ключевые слова: перекодирование, система понятий, процесс формирования понятий, графические представления понятий, математический анализ.

Успешность процессов формирования у обучающихся математических знаний в первую очередь зависит от умения учителя организовать работу по изучению математических понятий и их определений.

Вопросами формирования понятий в теории и методике обучения математике занимались Ю.М. Колягин, Н.С. Подходова, Я.И. Груденов и др. Проанализировав их работы можно придти к выводу, что традиционная методика формирования понятий представлена этапами:

1. Создание отчетливого представления о понятии. На данном этапе выделяются существенные свойства изучаемого и рассматриваются связи с ранее изученными понятиями.

2. Формулирование определения понятия. Выявляются необходимый и достаточный набор условий для существования понятия.

3. Применение понятия при решении задач и при доказательстве теорем. На данном этапе используют системы задач, которые отвечают определенным требованиям (включение однотипных и разнообразных задач; задания, содержащие контрпримеры и т.д.).

При этом Я.И. Груденов при введении понятий математики считает необходимым менять методы их введения, в некоторых случаях начинать с проблемной задачи и не использовать эвристику при введении сложных понятий.

В частности, над вопросами изучения понятий математического анализа работал А.Г. Мордкович, который курс изучения алгебры выстраивает на функциональной линии и в качестве главенствующего понятия выступает понятие «функция», что является пропедевтикой изучения начал математического анализа. А.Н. Земляков при изучении данного раздела математики ставит на первое место наглядные образы понятий, при изучении которых можно осуществить качественный переход от наглядно-интуитивного представления понятия к его формальному определению. Э.К. Брейтигам для осмысленного изучения начал анализа считает необходимым использовать моделирование для связи понятий с их смыслом.

Однако вопросам формирования системы понятий не уделяется должного внимания. Теорети- РИсуНок 1.

ческими предпосылками следует считать работы А.А. Столяра, в которых раскрытие связей между понятиями с помощью определения и классификации способствует усвоению систем понятий и Л.И. Токаревой, в работах которой понятия математики разбиты на группы, соответствующие основным областям научных знаний и имеющие прикладное значение.

На каждом этапе формирования понятий используются общелогические приемы мышления: анализ и синтез, обобщение, сравнение, аналогия, абстрагирование и конкретизация, классификация и систематизация. Некоторые из них используются совместно и образуют различные методы.

Но, следует отметить, что применение традиционной методики позволяет изучить конкретное понятие, но не формирует систему понятий, что влечет за собой фрагментарные знания у обучающихся.

В работах по общей методике [1, с. 148] только указывается о необходимости устанавливать и развивать связи и отношения изучаемого понятия с другими понятиями. Но проблема остается открытой, так как не разработаны механизмы систематизации понятий и не выделены приемы такой работы.

Поэтому в данной статье выделим механизмы формирования системы понятий на примере математического анализа, для этого первоначально рассмотрим классическую задачу о производной функции.

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова «¿1- 2016, Том 22

© Милованов Н.Ю., 2016

168

Перекодирование как прием формирования у старшеклассников системы понятий математического анализа

7> i— /

/ /

1 :

ч 7"

\ ] /

* /

' -t и 1 ' \ 1 X

У — т

! \i

-fi J4 r_

Рисунок 2.

Задача N° 1. По графику функции y = fx) (рис. 1) определите количество точек, в которых производная функции равна нулю или не существует?

Пользуясь общелогическими приемами мышления (аналитико-синтетическим методом), обучающийся может придти к выводу, что производная функции равна нулю в экстремумах.

По графику (рис. 2) это точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, а не существует в тех точках, в которых касательная параллельна оси ординат.

Тогда приходим к выводу, что в трех точках производная функции равна нулю или не существует.

Перейдем к рассмотрению проблемной задачи, которая покажет нехватку тех приемов и методов, которые использовались ранее.

Задача N 2. По графику первообразной функции y = F(x) (рис. 3) определите количество точек, в которых функция y = fx) равна нулю.

Классическими приемами мышления придти к решению поставленной задачи невозможно, так как знаний о первообразной функции в школьном курсе начал математического анализа крайне мало, а из доказанных теорем имеется только об основном свойстве первообразной функции. То есть обучающийся столкнулся с проблемой связи понятий функции и ее первообразной. Зная, что F(x) = fx), можно перенести понятие «первообразная функции» в понятие «функция», а понятие «функция» в понятие «производная функции». Такой прием будем называть перекодированием. Тогда задание может звучать так: по графику функции определите количество точек, в которых производная функции равна нулю. Получается, что задачу № 2 перекодировали в задачу N 1. При ее решении следует на чертеже обнаружить количество экстремумов, и получаем ответ: в трех точках.

Следует помнить, что при решении поставленной задачи, обучающийся не использует только один из приемов мышления, а пользуется всевозможными их комбинациями. Поэтому «перекодирование» не выступает в качестве обособленного

y> ■=m

} /

4 >

у

f

1

\ !

\ i У

1' \ f

\ \ V /

\ >

■fi

Рисунок 3.

приема, а является дополнением к классическим приемам мышления. При решении задачи N° 2 получилось перекодировать понятия, которые связывают дифференциальное и интегральное исчисления.

Аналогичные рассуждения можно проводить и для других понятий математического анализа, что позволяет проследить иерархическую связь в данной системе: первообразная функции - функция - производная функции.

Данная система понятий показывает, что входящие в нее понятия взаимосвязаны и за счет приема перекодирования можно установить связи между ними. Этот прием позволяет ответить на поставленный вопрос задачи и может быть использован для формирования системы понятий математического анализа.

Следует отметить, что само понятием «перекодирование», как правило, относится к связи с различной формой представления информации. Так в информатике при изучении перекодирования подразумевается процесс обмена информацией между объектами, а конкретнее приходится переходить от одной формы представления информации к другой. К примеру, Н.Д. Угринович [2, с. 25] под перекодированием информации видит операцию преобразования знаков или групп знаков одной знаковой системы в знаки или группы знаков другой знаковой системы.

В нашем случае перекодирование является одним из приемов перехода от одного понятия к другому, позволяющий установить связь между ними и сформировать их в одну систему.

Дадим определение новому понятию: под перекодированием будем понимать прием, при котором изучаемый объект одной системы понятий преобразуется (переносится) в другой объект той же или другой системы понятий.

При данном приеме осуществляется переход от одного понятия к другому, представленному как в аналитической, так и графической знаковой системе. Такой подход подкреплен исследованиями в психологии и методике преподавания математике

Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика М- № 1

169

Таблица 1

Анализ учебников на долю задач с графическими представлениями понятий

Мордкович А.Г. Никольский С.М. Алимов Ш.А. Колмогоров А.Н. Муравин Г.К. Нелин Е.П. Колягин Ю.М.

Всего заданий по началам математического анализа 55 59 48 70 54 27 26

Задания с графическим представлением понятий 9 6 2 6 2 4 2

Процентное содержание заданий на графическое представление понятий 7,5% 2,3% 4% 3,5% 8,7% 3% 0,9%

И.С. Якиманской [3, с. 127], которая считает, что свобода оперирования образами, проявляющаяся в легкости и быстроте перехода от одного графического изображения к другому, должны быть использованы для развития мышления у обучающихся.

Выделим три возможных уровня формирования системы понятий математического анализа у старшеклассников по средствам перекодирования:

I уровень - «базовый» - понятия и факты математического анализа не систематизированы. На данном этапе обучающийся показывает положительные навыки работы с аналитической записью и графическим представлением одного конкретного понятия.

Это означает, что при решении задач на аналитическое представление понятия из начал математического анализа обучающийся пользуется готовыми шаблонами или алгоритмами, при этом, не всегда прослеживая связи данного понятия с его графическим представлением и наоборот.

Данный уровень является базовым и должен быть сформирован у каждого обучающегося. Проблема заключается в том, что заданий на работу с аналитическими представлениями понятий математического анализа большое количество, а на работу с графическими представлениями крайне мало. Это подтверждает проведенный анализ учебников алгебры и начала анализа (табл. 1).

Таким образом, перед учителем стоит задача создать такую систему задач, которая смогла бы решить проблему нехватки учебных материалов по формированию знаний, умений и навыков работы с графическими представлениями начал математического анализа.

II уровень - понятия и факты математического анализа частично систематизированы.

Обучающийся демонстрирует осознанное выполнение заданий с двумя понятия курса через их графические представления. К примеру, сформированы навыки работы с парами понятий: функция - производная функции; функция - первообразная функции.

На данном уровне обучающийся, по средствам перекодирования и стандартных приемов мышления, может связывать некоторые понятия математического анализа, как обратные операции. Работая с двумя понятиями математического анализа, при решении задач осуществляется переход от графического представления понятия к его аналитическому представлению и наоборот.

III уровень - понятия и факты математического анализа систематизированы. У обучающегося понятия, изучаемые в курсе начал математического анализа, сформированы в одну систему понятий.

Обучающийся демонстрирует осознанное выполнение заданий как с графическими, так и с аналитическими представлениями понятий математического анализа, при этом может связать воедино все изученные им понятия (начиная от первообразной функции и заканчивая производной функции п-го порядка). Достигшие третьего уровня с легкостью прослеживают связь в системе понятий математического анализа и пользуются этими фактами при решении задач.

Таким образом, перекодирование может являться одним из основных приемов формирования системы понятий, в частности системы понятий математического анализа. А изложенные в статье уровни формирования системы понятий математического анализа у старшеклассников позволяют оценить ее успешность и констатировать факт формирования системы понятий.

Библиографический список

1. Стефанова Н.Л. Методика и технология обучения математике / под науч. ред. Н.Л. Стефано-вой, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

2. Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 178 с.

3. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

170

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова «¿1- 2016, Том 22