Переходные процессы в ортогональном ускорителе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2013, том 23, № 4, c. 5-18

— ЮРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ ГОЛИКОВ: ПОСЛЕДНИЕ РАБОТЫ

УДК 621.319.7

© Ю. К. Голиков, Н. В. Краснов, Р. А. Бубляев

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОРТОГОНАЛЬНОМ УСКОРИТЕЛЕ

В статье рассматривается группа вопросов, связанных с компенсацией времени разворота ионов в ортогональном ускорителе времяпролетного масс-спектрометра. Показаны предельные возможности уменьшения этого времени, достижимые в стационарных полях различной геометрии с однородными и сильно неоднородными структурами. Проведены детальный аналитический разбор и экспертная оценка всех динамических явлений, сопровождающих формирование ионных пакетов. Был сделан вывод о малых возможностях стационарных полей в регулировании времени разворота и предпочтительности нелинейных по координатам и меняющихся во времени электрических полей.

Кл. сл.: времяпролетный масс-спектрометр, ортогональный ускоритель, время разворота, неоднородные и нестационарные поля

ВВЕДЕНИЕ

Идея ортогонального ускорителя, гениально простая и плодотворная, сделала революцию во времяпролетной масс-спектрометрии [1]. Ей посвящено несколько теоретических работ, проясняющих основные принципы действия подобных устройств, но сказать, что при этом решились все насущные вопросы, никак нельзя [2, 3].

Основным элементом ускорителей служат плоские электрические зазоры, одинарные или комбинированные. Именно с их помощью удалось на порядки поднять разрешающую способность и чувствительность масс-рефлектронов. Подкупающая простота реализации определила их доминирующее положение в современной практике, однако оказалось, что в них не удается победить главный дефект ортогонального ввода ионных пакетов, а именно существенное временное расплы-вание ионного пакета за счет толщины вводимого в плоский зазор потока ионов и разброса их скоростей поперек зазора, т. е. вдоль оси ускорителя и в обратном направлении. Здесь возникает так называемое время возврата (или время разворота), которое дает значительный вклад во временное уши-рение ионного пакета на выходе из ускорителя. Временное уширение за счет конечной толщины ионного пучка можно существенно сократить, если перейти к ускоряющим полям квадратичного типа с гиперболическими электродами [4, 5].

Следует заметить, что и в ускорителе с плоскими электродами не все ясно с оптимальными режимами. В частности, неизвестно, можно ли уменьшить время возврата за счет зависимости от времени электрического ускоряющего импульса, реализуемого с помощью специальных генераторов.

Здесь, естественно, возникает вопрос о переходных процессах, которые возникают сами по себе в процессе зарядки емкости ускорителя. Как бы ни мала была постоянная зарядки (ЯС), картина ускорения ионов существенно зависит от нее. Успех перехода к квадратичным полям наводит на мысль, что нелинейные в пространстве поля могут дать варианты более эффективных схем ускорителей с компенсацией времени возврата. В данной статье мы исследуем все эти вопросы сугубо аналитическими математическими методами в весьма общей форме и обнаруживаем ряд эффектов, ранее в литературе не описанных. Цель данной работы состоит в том, чтобы нащупать принципиальные пути усовершенствования ортогональных ускорителей и при этом отсечь неоправданные иллюзии. Полностью проблему мы, разумеется, не решим, но надеемся достичь некоторого понимания этих сложных процессов.

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В однородном электрическом поле все будто бы просто, и новостей ждать не приходится. Однако мы относимся к этой банальной в большинстве случаев ситуации с неким мистическим благоговением, как и к случаю потоков в бесполевом дрейфовом пространстве. Плоский конденсатор в условиях стационарного или переменного во времени электрического питания — безусловно, самый простой электронно-оптический элемент и в тоже время самый загадочный в силу универсальности его применения. Здесь — энергоанализ и времяпролетная масс-спектрометрия, электрон-

ные лампы и СВЧ-приборы, интегральные способы анализа и электрический удар, и многое другое. Исчерпано ли все это богатство? На наш взгляд — нет. Более того, мы пришли к выводу, что по-настоящему, во всей полноте трансформационные свойства однородных полей вообще не изучались. Все происходило как бы между прочим, в контексте той или иной конкретной задачи. Между тем, когда речь идет о каком-нибудь сугубо неоднородном поле, математические трудности никогда не позволяют преобразующие свойства поля представить с должной общностью, и в этом смысле однородное поле есть безусловный уникум. В этом разделе мы подробно рассмотрим две типичные ситуации ("стационарная" и "нестационарная"), которые обычно реализуются в системах поперечного ввода ионных пакетов во времяпро-летный масс-спектрометр (TOF-MS). Дело это считается едва ли не общим, тривиальным местом, хорошо изученным и привычным. Но так ли это?..

Случай 1, стационарный

Рассмотрим плоский конденсатор в соответствии с рис. 1, в котором движется ион с зарядом q и массой т, стартовавший из точки х0 со скоростью вдоль оси х величины у0. Конденсатор находится под напряжением Ф0, выталкивающим ионы в положительном направлении оси х. Компоненты начальной скорости вдоль пластин конденсатора примем нулевыми.

Движение иона определяется уравнением и начальными данными (1):

т

d2 х ^ = Г

Ф

0 .

и=0 х°,

dх

(1)

= V

Из (1):

qф0 t

х = —0 —ь у0( + х0. т1 2

Обозначим tk — момент пересечения иона с гранью х = 0, Ук — скорость в момент пересече-

2

ук

ния и Ек = т— — конечная энергия. Вычислим

все эти величины. Из-за простоты ситуации мы пользуемся размерными величинами, чтобы сильнее почувствовать в этой привычно-банальной обстановке "физичность" всех этих как будто бы тривиальных процессов. Итак, пишем условия пересечения х = 0 в виде

2 „ V01т „ х01т t2 + 2^— I + 2^— = 0.

qфo qфo

(3)

Откуда

t = -

V1т

qфo \

{ N 2

к qфo у

„ хЛт

- 2-°—.

qфo

(4)

Поскольку х0 < 0 в нашей системе отсчета, то выбирая положительный корень, запишем

2

v0lm

К qфo у

+ 2

т1 v0lm

qфo qфo

(5)

Далее вычислим скорость в момент пересече-dх

ния tk:

V =-

dt

Ф

т1

Ф

т1

(6)

Л + Vo =

v0lm

К qфo у

+ 2

т1 v0lm

qфo qфo

К V

-I

АУ

Vo

Х0

Ф0

Рис. 1. Расположение иона при старте в плоском конденсаторе

^ =\ V + 2 Х0

Ф

т1

Кинетическая энергия в момент tk :

Ек=т2=т к+2 х„>Ф

2 2

2

т1

ту.

2

+ х,

qФo

0

(7)

(8)

х

0

I

t=t

к

t =0

vk =

2

х

0

0

х

I

Пусть

Тогда

E0 = m 0 2

E = E + Фx I

l

(9)

(10)

Все эти привычные соотношения можно было бы писать сразу же по памяти, но наш опыт подсказывает, что при этом мы можем проглядеть простые, но весьма важные вещи.

Например, аналитическая функция (5) имеет особенность при Ф0^-0, и надо рассматривать предел. Имеет смысл поэтому преобразовать (5) к другой форме, домножая на сопряженное:

i л2 v0lm

t,, =-

ф

+ 2J

xJlm

2

v0lm

—0 j

Ф l Ф j

2

v0lm

(11)

Ф

+ 2

lm + vjm

"'0 j

ф ф

tk =

2 Xn

v0 + 2 X0

ф

lm

(12)

+ vn

X = lx, t = Tt, T = l

m

2Ф

T

■ —"1

l

(13)

(14)

Тогда имеем:

X = 1,

- I XXгГ I ;

2 0

(15)

N \/X0 _ 2X 0

N \/X0 _ 2 X 0

k II x 2 2 - x0.

Xf\

(16)

Положим

x 2

0

(17)

И приведем (16) к виду

{yjw - X0 ±

= V2 -д/ w - x0 ,

t =-

yfW j,

(18)

wk = w0 - X0, X0 <

В этой форме становится прозрачным процесс изменения tk по мере исчезновения поля Ф0^0.

Из обеих формулу (5) и (12) одинаково видно, что если частица "легчает" (m^-0), то tk ^ 0 . Однако для очень тяжелых частиц (m^-да) формула (5) опять дает неопределенность (да - да), в то время как из (12) видно, что с ростом m влияние поля Фо становится все меньше и движение при малой скорости v0, если Е0 = const, приближается по свойствам к дрейфовому.

Безразмерная модель

Все-таки в этих размерных физических формулах есть какая-то математическая несуразность, не отвечающая сути проблемы, поэтому мы вернемся к своему обычному порядку, положив

Знак перед радикалом ^ в (13) должен совпадать со знаком Х0. Заметим, между прочим, что формулы (16) дают гладкую относительно Х0 аналитическую функцию, а (18) относительно w терпит разрыв по производной в нуле. Факт примечательный, который не следует упускать из вида.

Физическое время ^к на грани х = 0 получается из (13) и (18.1)

tk = К

I 2m Ф 0

(4w-X0 ±4W).

(19)

В сущности, это выражение характеризует своеобразный масс-спектрометр, который надо встраивать в общую схему оптической системы TOF-MS, например масс-рефлектрона. Нам кажется, что обычный способ рассмотрения самого оптического тракта TOF в отрыве от выражения (19) принципиально неверен. Плоский конденсатор сам по себе деформирует ионный пакет и частично разделяет его по массам. Будучи пристроен к какому-либо "времяпролетнику", он может менять в целом фокусирующие свойства тракта по энергии, и все это надо прогнозировать.

Рассмотрим теперь, что же конкретно мы имеем на грани х = 0 после того, как ее пересек ионный пучок в виде бруса

a < x0 < b

с распределением энергии

0 < w < 5.

(20)

x0, X0

2

2

T

w0 =

2

x

0

X0 =

l

Здесь нам в первую очередь интересно определить максимальный размер интервала во времени Атк, в течение которого ионы из бруса (20, 21) пересекают грань x = 0. Для этого нам необходимо изучить мах и min функции

тк =V2уw + |x0| ±VWj (22)

при условиях (20, 21). Нам еще раз хочется подчеркнуть, что выражение (22), в сущности, описывает две функции, сливающиеся в нуле w = 0, а полный размах тк может включать в себя значения из обеих ветвей. Вполне очевидно, что

maxr, = V2 {js +ь +VS"},

<

min т. =V2 у S + a - л/S}. Разница этих величин:

Атк = V2УS + b-VS + a + 2yfS} =

= V2

b - a

VS + b + yfd

+

2y[S

+a

max wk = S + b и, полагая x0 = a, w = 0, получим

Отсюда разность (max wk - min wk ) значение

Awk = S + (b - a).

му, несмотря на конечную толщину пучка (Ь - а). Из этого можно сделать вывод, что имеет смысл отодвинуть ионный пучок подальше от грани х = 0 и стараться сделать толщину его (Ь - а) как можно меньше. При этом уменьшаются обе величины Дwk и Атк .

Случай 2, нестационарный

Запитаем пластину X = -I переменным напряжением, и потенциал Ф запишем в виде

* = -Ф0 f ^ ) X ■

(29)

(23)

(24)

Безразмерная функция f задает временную форму электрического питания, а Т — ее временной масштаб. Для стационарного случая f = 1. Если предполагается что напряжение ограничено по величине при всех t, тогда имеет смысл конструировать f так, чтобы ее максимум был 1. Если мы изучаем ход напряжения с неограниченным ростом, то выбор f надо сообразовывать с частными обстоятельствами. Запишем уравнение движения в данной ситуации и начальные данные:

В течение этого времени ионы пересекают грань х = 0, будучи частично диспергированными по массам т и приобретя при этом дополнительное ускорение. Кроме того, происходит трансформация энергии в соответствии с формулой (18). Полагая х0 = Ь и w = 3 , получим

m

d х fIii;

dt2

X\t=t0 = X0,

(25)

(26) принимает

(27)

dX |

dt '

Сделаем запись безразмерной:

X = lx, t = T-т. Получим уравнения:

X = .. f (т),

= Vo.

(30)

(31)

ml2

г0 = J,

X0 l

Г0 = J0

TV0 l

(32)

Конечная величина толщины бруска (b - a) увеличивает энергетический разброс Awk на выходе из конденсатора. Если пучок очень тонкий (b - a) = 0 , то энергетический разброс сохраняется

на уровне (0,5) . Из (24) при (b - a) = 0 получается, что выходная длительность имеет min и отвечает чистому времени разворота ионов

Атк = 2424s. (28)

Если увеличивать b и a так, чтобы разность (b - a) сохранялась, то дробь в (24) постепенно уменьшается и Атк стремится к своему миниму-

В отличие от стационарного случая у нас здесь нет возможности ввести скользящий масштаб времени Т, зависящий от масс ионов т. Теперь Т — замороженная величина, как и I. Мы можем оставить в уравнении движения коэффициент перед / (т) таким, каков он есть, но, в принципе, можно ввести специальную единицу измерения массы т0, положив

m = m0 - ц, и далее наложить условие на выбор m0

m0l2

= 1.

(33)

(34)

min wk = a.

x

= X0 =

Тогда уравнение динамики будет

f (t)

x = -

И

(35)

а начальные данные остаются прежними, но что при этом происходит с энергией?

E = ^L = ^t. X0

0 2 T2 ' 2 .

T

Заменяя — из (34), получим

или

E0 = 2Ф0 -

X2 Е

w = ^ = -^

2 дФ1

0

Л =

ф2 ml2

и не вводить никаких особых единиц для массы m.

Для разных т мы имеем и разные Л, так что сценарий движения ионов с разными массами в нестационарном поле тоже разный. Интегрируем (41) с учетом начальных условий. Пусть Е (т) — первообразная для f

(36) Тогда

j f (t) dr = F (t) + const.

X - X0 = 1{F (t)-F (T0 )j.

(42)

(43)

(37)

(38)

Таким способом мы получим скользящую шкалу масс, связанную с энергетическим параметром поля Ф0. Удобно ли это, все зависит от исследуемого диапазона масс (т^т2). Ему будет отвечать некоторый интервал безразмерных масс (м1^м2). В целом условие (34) выглядит каким-то искусственным. Можно было взять и какое-нибудь другое число вместо единицы, но тогда "поплыло" бы соотношение (38), а оно имеет ясный физический смысл, так что надо признать, что в таком варианте "обезразмеривания" есть доля привлекательности. Однако сейчас мы предпочтем положить

(39)

Положим

Q = j F (г) dr + const (44)

и проинтегрируем (43), получим окончательно x = AQ (г) + { X0 - № (Г0) j (г-Г0) +

+ {x0 - ЛЛ3 (r0)}. (45)

Обе первообразные F и Q определены с точностью до const, что вносит в структуру (45) некий привкус психологической зыбкости, которая, конечно, пропадает при конкретном выборе функции f (r) . Какие вопросы можно решать с помощью нестационарного режима работы плоского конденсатора? Нас, конечно, будет интересовать сокращение Atk на ионном пакете при выходе через грань х = 0, снижение Ask.

Пример, f = eaT

Здесь F = — ear, Q = -1 ear, тогда (45) примет

a

a

вид

Л

Теперь связь начальной энергии E0, выражен- x = -Л(ear - ear° ) + (X0 - Леаг° j(r - r0) + x0. (46)

ной в какой-нибудь обычной системе физических единиц с выбором местных масштабов I и Т выразится формулой

a

E = ^

ml 2 T2

2 Л

(40)

Возьмем т„ = 0

Л

x = — (ea -1) + ( x0 -Л It + X0. a v 7 l a j

(47)

Коэффициент при X^ можно рассматривать как

некую характерную энергию иона, в долях кото- „ „

^ 2 жим х < 0 и запишем

рой выражается безразмерным параметром Х0 величина Е0. (Кажется странным, что не величиной

Условие перехода иона на грань х = 0 дает уравнение относительно момента пересечения тк . Поло-

X2

Л0 ) 2

a (e" -1)+( x0- aT-i =0.

(48)

Итак, пишем

Xе = ^.f (r).

Уравнение трансцендентное, и просто так его не решить относительно т . Для простоты положим

(41) а = 1 и запишем Л(ет -т -1) + Х0 - |х0| = 0, или

2

2

ет -т -1 —-

Л

(49)

Корень т зависит от одного объединенного параметра. Уже интересно, что одному корню тк — const отвечает многообразие масс и начальных данных, связанных линейным соотношением

X"q — Xq — сЛ.

(50)

Если записать общий случай (45), то получим

ЛQ(т) + {х0 -ЛF(т0)}(т-т0)-

-| xo|- Ц) (т0 ) = q. (51)

Перепишем это в виде

Л{) (т)-F (tq )(т-Tq )-Q (tq )} — |х„| - Xq, (52)

или

Q (т)-Q (Tq )-F (Tq )(t-Tq ) —-

Л

(53)

Q (Tk )-Q (TQ )-F (TQ )(Tk -TQ ) —J Q (Tk )-Q (Tq )-F (TQ )(Tk -TQ ) —

Л

xo + \xo\

(54)

Л

Но левые части одинаковы и, следовательно, не могут давать справа неодинаковые числа.

Вывод

Ни при каком профиле нестационарного электрического питания / (т) в плоском конденсаторе невозможно ликвидировать время разворота ионов.

Такой эффект в чистом виде следует искать в классе пространственно-неоднородных полей с переменным во времени электрическим питанием.

Однако можно надеяться на уменьшение времени разворота ионов уже в сильно неоднородных полях даже в условиях статического ускоряющего напряжения.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИОННЫХ ПАКЕТОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЯХ

Вместо однородного поля рассмотрим одномерный потенциальный рельеф

Ф — Фо^| —

(55)

Появление обобщенного параметра справа, как и в (49), есть общее свойство данной структуры.

Могут ли два иона с противоположными скоростями ±| х0|, стартующие с фиксированной точки (х0), достичь грани в один и тот же момент тк . Для этого должны выполняться два равенства:

и изучим движение при тех же начальных условиях. Физические уравнение движения

m-

d2 X dt2

—-Фо ^

0 ах

(56)

и начальные данные приведем к безразмерной модели теми же подстановками (13, 14). В результате запишем

X — lx, t — Tt,

х — -

dp( х)

dT '

(57)

(58)

Интеграл энергии:

П Ф-

ii -ф

Рис. 2. Возникновение "времени разворота" для ионов I и II

Отсюда

— + р( х) — g,

х 2

go — ^ + р( Хо ),

т —

dx

1 х

-L | _

^ W g - р(х)

(59)

(60)

Хо Хо

Хо Хо

xo Хо

Х т—0~ х0, х\ т—0 ~ Х0

2

2

о

2

Пусть

^ > 0 dx

при x> 0

(61)

и a < xn < b, 0 < w < 5.

Изучаем время полета ионов (рис. 2) до грани х = 0 при условии разброса начальной скорости в интервале

-л/25 < Х0 <^26. (62)

Для иона I имеем условие полета до грани х = 0:

1 0 2 ■

dx

Ti — I I-

2 Х0 Vg " Р(х)

dx

1 ^С

-1. J_.

^ 0 д/ g - p( x )

(63)

1 xb * 1

dx

- I — --I —

^ Wg -P(x) ^ x^g - p(x)

1 0 ir i-

dx

1

V2

2

b

J-

dx

r +

л0 J-

dx

10 Vg - P(x) 0yjg -p(x)

Окончательно можно записать

■Л Jb-

dx

+ T.

4g- p(x) 1

(64)

(65)

При фиксированном х0 длительность ионного пакета на выходе через грань х = 0 определяется чистым временем разворота иона в поле

(ATk )x

— ТП Tt —

b

I — *2 J

dx

^g -P(x)

(66)

Полная же длительность ионного пакета на выходе при конечной толщине бруска (b-a) и разбросе (0^) энергии w должна определяться через min Tj и max tii :

ATk — maxTn - minTi. (67)

Для вычисления интегралов (63) и (65) нужно указать конкретный вид p(x) . Координата величины определяется из уравнения

g - p(xb) — 0. (68)

Интервал энергий wk на выходе при монотон-

ном росте ((х) определяется с помощью интеграла энергии и, очевидно, будет определяться неравенством

((а)< wk < 5 + ((Ь). (69)

Соответственно разброс Awk:

0 < Awk < 5 + [p(b)- p(a)].

(70)

Для иона II время полета складывается из двух частей:

Поведение Атк и Awk может оказаться весьма различным при фиксированной толщине пучка (Ь-а). Чем круче ход ((х), тем больше Awk, и в тоже время величина Атк может оказаться существенно меньше, чем в плоском конденсаторе, если ((х) некая нелинейная функция. Сказать, какой именно должна быть функция ((х) для уничтожения Aтk или хотя бы уменьшения ее до приемлемых размеров, достаточно трудно. Во всяком случае никаких абсолютов на данном этапе просто так нам не найти. Математическая проблема здесь весьма нетривиальна. Прояснить ее могут разные частности.

Квадратичное поле

Положим

p — ax .

Вычислим сначала интеграл:

(71)

b

42 JJ

dx

ъчg-ax

(

2

2 a I

— J- arcsrn. — x

ж

--arcsin

2

y[axn

4

w + ax.

— J- arccos-

' a

1 +

yfw

12

== — \ ~ arCt^ w V a x0va

(72)

Далее вычислим интеграл (63):

1 xb — J

dx

g -ax

1 ¡a

■— arcsin x — <2a \g

ж

Соответственно из (65) и (72)

1 w

Tn ~ arctg—a — +

ж

l^jla

(73)

(74)

x

x

x

0

Поскольку т: — const, то остается найти тахтп, а он вполне очевиден. Надо только положить

w — 5, х„ — a,

х0 — a, тогда окончательно

1 5

maxTjj — J- arctg —и или

a V а

ATk ^FarCtg-j-.

V а a V а

(75)

а —

Awk - 5

и подставим в (75), получим

ATk —

2 (b

2 - a2

Aw, - 5

) 1 - arctg —

а

5(b2 - a2)

Awk - 5

(77)

(78)

At, = 425

b2 - a2 Awk - 5'

AT, '(Aw, - 5) = 425(b2 - a2).

(80)

Если брать большие а и а при достаточно малом 3, то Дтк можно сделать сколь угодно малым, но ценой этого будет огромный рост Дwk :

Дwk = 3 + а (Ь2 - а2 ) = 3 + а(Ь - а )(Ь + а). (76)

Если скобка (Ь - а) остается постоянной, то с отдалением границ пучка растет скобка (Ь + а); она и задает рост Дwk. Между Дтк и Дwk явно присутствует какая-то внутренняя связь в виде некого инварианта. Одно растет, другое падает и наоборот...

Какова природа этой связи, и какую фундаментальную роль играет выбор типа функции р(х) ?

Может быть, она следует из классических инвариантов механики?

Пока мы будем искать ее на частных примерах.

Так, в нашем случае квадратичного поля параметр а характеризовал явно крутизну рельефа, в то время как р(х) характеризует и крутизну, и кривизну. Чтобы менять крутизну, достаточно менять а , в каком бы месте оси х мы не находились. Кривизна же сильно зависит от места х, и она определяет качество фокусировки по времени. Однако сейчас мы можем поставить вопрос так: в чем состоит влияние крутизны а на соотношение между Дwk и Дтк в данном случае и есть ли оно вообще?

Выразим а из (76)

Получилось нечто вроде соотношения неопределенности. Величины Дтк и Дwk оказались взаимно обратно пропорциональны, и связь их не зависит от крутизны рельефа а , по крайней мере для квадратичной функции р( х) . В этом новом

свете мы должны вернуться к однородному полю и посмотреть, что делается там.

Однородное поле

Положим р = ах и вычислим т: итп :

dx

1 Хо

ti — V2 ivp

42

т +42 J

ах а dx

^yfg-ах Объединяя, получим

42

tii —-

а

(4w -ах0-Vw), (81)

■ — ti +"

242

4w.

а

(4 w + ах0 + 4w ).

(82)

(83)

Соответственно Atк — maxTjj -ттт: выразит-

ся формулой

ATk —

42

а

(45 + аЬ -45+oa + 245). (84)

Если сравнивать (75) и (84), то при достаточно больших а и фиксированной толщине пучка (Ь - а) при одних и тех же 3 и а квадратичное поле дает гораздо меньшую величину Дтк, чем однородное. Найдем теперь Дwk:

Awk — 5 + а (b - a).

(85)

Очевидно, что Дwk будет конечной величиной, даже если 3 = 0. Это происходит за счет падения потенциала на толщине пучка (Ь - а). Если предположить что 3 очень мала, то можно отождествить величину аг^ с величиной под знаком этой функции:

Если сравнивать с квадратичным вариантом (76), то там разброс Дwk гораздо больше, и он растет с удалением пучка (х0 ^ да), в то время как в однородном варианте он определяется только толщиной пучка и крутизной а . Чем больше а , тем больше разброс Дwk, и из (84) следует, что тем меньше Дтк. Однако опять можно исключить а из (84) и (85) и получить связи

а =

Дwk - 3 Ь - а

Запишем (84) в виде

42

а

(Ь - а)

к а IV3 + аЬ + 43

+ аа

+

(86)

23 (87)

Подстановка а из (86) в (87) дает искомую язь Д ефа а :

связь Дтк и Дwk , не зависящую от крутизны рель-

Дт, =42

(ь - а )3

4ЬДтк - а3 +у]aДwk + Ь3 - 2а3 2>3(Ь - а)!

+

+

Дwk - 3

(88)

При достаточно больших а и Ь и небольшой разнице (Ь - а) первым членом в (88) можно пренебречь и записать эту приближенную связь в ви-

де

Дтк • (Дwk - 3) = 2425 (Ь - а). (89)

Сравнивая с (80), мы видим, что при одинаковых избытках разброса энергии (Дwk - 3), если поделить (80) на (89), можно получить

(ДТк )и

(ДТк )о

Ь - а 2

(90)

Понимая всю достаточность приближенных замен, все же надо думать о природе всех этих вещей более глубоко, ибо из (90) следует, что для двойного уменьшения Дтк в квадратном поле по сравнению с однородным надо брать а и Ь из условия

а + Ь < 1.

(91)

р = ах

(92)

где положительный показатель п может меняться в широких пределах от 0 до сколько угодно больших (0 < п < да). Записываем

1

дх

т =

^ = w + ах0,

g - ах

тп = т1 +

ЛЬ

Г2 /

дх

(93)

Если п Ф 1, 2, то интегралы (93) не берутся в элементарном виде, и приходится прибегать к разным аналитическим оценкам. Для начала введем замену переменной интегрирования

х=| а •?

и учитывая, что ?0 = х0 лы (93) к виду

^а^п

§

94

приведем интегра-

т =

1 §

1~42

1 1

п 2 ?

- I

а?

а

11 ""2 1

(95)

Т11 = т +

д?

а

Эти интегралы (95) следует брать по следующей схеме. Сначала берется несобственный интеграл

=}

1 Г1 2 М п

п

Получается, что крутизна рельефа а играет значительную роль в уменьшении времени Дтк, но в большей степени влияет кривизна рельефа. Все это побуждает изучать этот вопрос со всей тщательностью и в самом общем виде.

Все-таки, насколько можно уменьшить Дтк без существенного уширения энергетического разброса Дwk, если рассматривать весь класс неоднородных монотонно растущих рельефов в целом?

Степенные поля

Рассмотрим класс потенциальных рельефов р ( х ) вида

П2+1

2п

(96)

где Г — гамма-функция Эйлера. Далее вычисляется собственный интеграл

0 л/1 - ?п

1

Для ?0 <— и больших п дробь

1

(97)

можно

2 71-?

разложить в степенной быстро сходящийся ряд, после чего интеграл вычисляется в виде ряда по степеням ?0. Имеем:

х

1 13 5

, = 1 + - 4я + - 42я + —43я +•

Vi-i7 2Ь 8 16ь

J1 = 4 +

1

+

2 (я +1) 5

16 (3я +1)

47+1 +

8 ( 2я +1)

4 2я+1 + 0

(98)

4Зя+1 +

Ь0 '

Пусть я = 4, тогда

J = 4 + —45 + —4 + —4 + ••• •Л 40 + 10 40 + 24 40 + 238 40 + .

(99)

Конечно, здесь так же можно избавиться от крутизны а и найти связь Атк и Awk, но ввиду того, что построение это приближенное, то и смысла выводить данное соотношение никакого нет.

"Радикальные" рельефы

До сих пор мы рассматривали рельефы выпуклые вниз. Однако при п <1 степенные рельефы выгибаются дугой вверх, и интересно, как они работают.

Положим

Быстрая сходимость этого ряда вполне очевидна. Для достаточно больших я члены ряда убывают достаточно быстро, так что для оценок можно пользоваться только первым членом. При фиксированном я J0 представляет собой const, которую раскрывать не будем. В этих предположениях за-

<Р

= ССл/x.

(103)

В нуле этому рельефу отвечает бесконечное поле, и в окрестности нуля ион летит малое время. Несмотря на физическую несуразность, в математическом отношении оценки получаются вполне конкретные, ибо область нуля всегда мешает. Снова вычисляем т: и тп :

г =

V2

g

1 1

я 2

V2g

= V2 ^ J0 -

J0 -

^ a^я

g

1 1 гя ~ 2

a

72g'

Полагая g = w + axя :

г =

.^2 (w + axd )

1 1

(w + ax"0)я 2

= V2

J0-

a

(100)

(101)

Awk = 5 + a(b"-a").

(102)

1 X0 TI = Тя j

dx

^2 0 ^ g -ajx

xb

T + V2 j

g = w + aTX",

dx

(104)

^g -aVXX

Интегралы эти легко берутся заменой ^ Vx = u , и получается

ti={2g32 - •( 2g+,

•( 2g+aVx0).

ти=ti +

"r

W2

3a2

(105)

Окончательно мы получим следующие формулы, раскрывая еще g = w + а^/х^ , но сначала вставим т1 в тп. Получаются весьма симметричные формулы

Получаем интересную картину: при п > 2 с ростом х0 обе величины и т:, и тп убывают и тем более убывает их разница, однако, увы, и здесь с ростом а и Ь на естественный разброс ионов в пучке накладывается растущая полевая надбавка

242 i

~arY

2V2

a

2 g32Г •(2 g+aVx0)},

{2g32 +4 g - a4X0 •( 2g + ^V^G )}.

(106)

Подставим g и получим:

3

пишем rI и rII:

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

2^2

TI = 2 а

2(w + а^Х) ) 2 -

- s/w - ( 2w + 3а )

2л/2

TII = " 2 а2

(107)

2 (w + aJX~0 У

+

+

4w -(2w + a*Jx~0) L

Теперь ищем min т1, когда скорость направлена в сторону x = 0, X < 0, энергия w = 5 , а координата старта минимальна, x0 = a.

тттт =

2^2

I 2

а

2 (5 + а 4~a )

45 -( 25 + 3а4й )|. (108)

тахт =

242

II 2

а2

2 (5 + ау/b )

+

+

45-(25 + а4ь )!.

Отсюда

Л 2л/2

Атк = —< а

(5 + а 4b ) -

-(5 + а 4a у

+4532 + 3а45(4ь -4äU.

Остается найти Aw, :

Aw, = 5 + а

5 + а (4ь-4a).

(109)

(110)

(111)

Соответственно

Можно и здесь исключить а , чтобы получить связь Дтк и Дwk , но она слишком сложная, и есть ли в этом необходимость? Положим а = 1 и упростим эти формулы:

Ат, = 242 Ь

Aw, = 5 + (

(5+4ь) -(5+4ä) + 4532 + з45(4ъ -4ä)|,

5 + (4b -4ä) = 5 +—Д—<a= V ' 4b +4ü

(112)

Если сильно отдалить а и Ь, так чтобы разность (Ь - а), толщина пучка, сохранялась, то

Awk ^ 5, Атк ^ 8>/253

(113)

из (87) для однородного поля при а =1 и при тех же условиях роста а и Ь

Ат, ^ 2425.

(114)

фиксированной величине (Ь - а) для таких полей меньше, чем в плоском конденсаторе.

Электрическая стенка

Рассмотрим рельеф вида

р =

а

(ß- x)2

(115)

Как это ни удивительно, отношение величин (113) и (114) равно 43 . Если 3 = 0.01, то в рассмотренном варианте Дтк в 25 раз меньше, чем в плоском конденсаторе, и при этом добавка энергетическому разбросу сильно уменьшена. Конечно, это только качественная оценка, но все же факт, не совсем понятный физически. Может быть, все дело в том, что мы считаем а и Ь слишком большими величинами и рассмотрение приобретает асимптотический характер. Некоторая странность во всем этом есть. Поля с потенциальным выгибанием вверх не должны уменьшать Дтк, хотя Дwk при

Потенциальный рельеф неограниченно растет при х ^ 3 (рис. 3), образуя гладкую стенку. Вычисления с таким рельефом отличаются тем, что хЬ < 3 . В данной структуре, меняя а и 3, мы можем построить множество профилей, отличающихся крутизной и кривизной. Вычисляем сначала т:, потом

т:

1 x0 ti =Т2 0-

dx

а

g "(ß-x)2

-У g (Р-X0 )2-a +4gp2 Л- g

-a

(116)

или

4gp2 - ag (p-x0 )2-a

V2 •

(117)

g

T = r

g = w +

ЛЬ

I +V2 j-

dx

g

a

(Р- x )2

(118)

a

(Р - X0 )2

4gp2 -a + Vg(p-x0) -a

g

(119)

Рис. 3. Потенциальный рельеф и время разворота

Гипотеза

Может быть, имеет смысл сначала ускорить брусок до большой энергии w и отразить от электрической стенки?

Но, увы, само устройство ускорения обязано также бороться с обратным временем разворота ионов.

Преобразуем выражение

g (р-x0 )2-a =

w + -

a

(Р- X0 )2 = w (р- x0 )2.

(р- x0 )2 - a =

Отсюда

Вычисляя интеграл (118) и учитывая (117), получим

Из выражений (117) и (119) можно сделать несколько парадоксальный вывод: при неограниченном росте энергии w величина g растет, а обе величины т1 и тп, а вместе с ними и их разница, падают к нулю. Иначе говоря, быстрая частица высоко взлетает на стенку и тотчас же с нее сваливается. Этот механизм приводит нас к следующей гипотезе.

Vg(р - x0)2 -a =(р- x0,

Vgp2-a-(Р -Xq

V2 g '

jgp2-a +(p - Xq )Vw

V2 •

Г =

(120)

(121)

(122)

g

Опять надо искать minrI и maxrII. Преобразуем (117) к виду

1

Г =

Р2 -(Р-Xq )2

1 ^ Vg^-a + yj g (Р- Xq )

L Р2 -(Р-Xq )2

V2 ^Р2-a +jw(Р-Xq)'

(123)

Величина g достигает max при w = Р и x0 = b ; по крайней мере на первый взгляд из этого следует minrI при данных значениях параметров. Преобразуем и тп из (119), получим

1

Р2 -(Р-Xq )2

^ VgР2 -a-V g (Р-Xq )

-a -V g ( Р2 -(Р-Xq )

- x ) - a

^ ^Р2 -a-Vw(Р-Xq)'

(124)

Из вида тп можно утверждать, что тахтп достигается при w = /3 и х0 = а . Выражение Aтk = тахт11 - minтI достаточно громоздкое и не слишком прозрачное. Выбор параметров а и /,

2

2

Ф

2

2

1

X

в

при которых Дтк минимизируется, представляет отдельную задачу, и ее удобней решить на калькуляторе, задав приемлемые величины а,Ь,3 . Так или иначе в этом классе найдутся свои оптимумы, но величина Д^к вряд ли снизится по сравнению с квадратичном полем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели ряд полевых структур, пригодных для устройства ортогональных ускорителей и нашли новые возможности управления структурой ионных пакетов в режиме статического электрического питания, но в условиях сильной неоднородности полей. Полностью победить время разворота ионов на этом пути не удается, но существенно снизить его можно, пусть даже ценой некоторого уширения энергетического разброса, с которым можно справиться с помощью подходящего зеркала в схеме масс-рефлектрона. В то же время мы пришли к убеждению, что более успешную компенсацию дефектов ускорителя можно реализовать в пространственно неоднородных нестационарных полях.

tron impact source for a time-of-flight mass spectrometer with high mass resolving power // International Journal of Mass Spectrometry. 1999. V. 185. P. 221-226.

3. Помозов Т.В., Явор М.И. Бессеточный ортогональный ускоритель для многоотражательных время-пролетных масс-анализаторов // Научное приборостроение. 2012. Т. 22, № 1. С. 113-120.

4. Голиков Ю.К., Краснов Н.В., Бубляев Р.А. и др. Монополь как ортогональный ускоритель для времяпро-летного анализатора // Научное приборостроение. 2008. Т. 18, № 4. С. 97-103.

5. Бубляев Р.А., Голиков Ю.К., Краснов Н.В. Время-пролетный масс-спектрометр. Патент РФ № 2381591 зарегистрирован 10.02.2010 г. Заявка на изобретение № 2008114680 с приоритетом от 03.04.2008 г.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Голиков Ю.К., Краснов Н.В., Бубляев Р.А)

Санкт-Петербургский государственный_

политехнический университет (Голиков Ю.К. )

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Додонов А.Ф., Чернушевич И.В., Додонова Т.Ф. и др. Метод времяпролетного масс-спектрометрического анализа из непрерывных ионных пучков. А.с. 1681340. 1991.

2. Chen Y.H., Gonin M., Fuhrer K. et al. Orthogonal elec-

Контакты: Бубляев Ростислав Анатольевич, Bub-slava@yandex.ru

Материал поступил в редакцию 25.06.2013

TRANSIENT PROCESSES IN ORTHOGONAL ACCELERATORS

, N. V. Krasnov1, R. A. Bublyaev1

1 Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg 2Saint-Petersburg State Polytechnical University

The article deals with the issues related to compensation for the turn around time of ions in an orthogonal accelerator of the time-of-flight mass spectrometer. It shows limited opportunities for the reduction of the turn around time, achievable in stationary fields of different geometry with homogeneous and highly heterogeneous structures. A detailed analytical analysis was conducted along with the expert assessment of all dynamic phenomena accompanying formation of ion packages. The conclusion was made about limited opportunities of stationary fields in regulation of the turn around time and the preference of nonlinear in coordinates and changing in time electric fields.

Yu. K. Golikov1,2

Keywords: time-of-flight mass-spectrometer, orthogonal accelerator, turn around time, non-uniform fields, non-stationary fields