Переходные процессы в массивном магнитопроводе электромагнитного привода фрикционных механизмов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-592.117:621.313.13

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАССИВНОМ МАГНИТОПРОВОДЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПРИВОДА ФРИКЦИОННЫХ МЕХАНИЗМОВ

Ж.Т. Галбаев

Кыргызский государственный технический университет, г. Бишкек E-mail: galbaev@ktu.aknet.kg

Приводятся результаты экспериментальных и теоретических исследований процесса проникновения электромагнитной волны в сплошной сердечник управляющего электромагнита фрикционных муфт и тормозов. Получены аналитические выражения, позволяющие вычислять величину вихревого тока, наводимого в сердечнике в переходных режимах работы

Ключевые слова:

Сплошной ферромагнитный сердечник, управляющий электромагнит, вихревой ток, переходные режимы работы, глубина проникновения электромагнитной волны, магнитная индукция.

Введение

В основу традиционных методов проектирования фрикционных механизмов (ФМ) типа муфт или тормозов [1] с электромагнитным приводом в виде управляющего электромагнита (УЭ) положены требования выполнения заданных статических характеристик и параметров быстродействия при размыкании и замыкании их фрикционного узла. При этом учет нестационарных электромагнитных процессов, протекающих в массивных нешихто-ванных сердечниках УЭ, в инженерных методиках обычно не делают. Такой подход оправдан для ФМ, используемых в устройствах, условия эксплуатации которых не предъявляют повышенных требований к точности расчета параметров их быстродействия, например, для подъемно-транспортных механизмов. Однако для автоматизированных быстродействующих электроприводов, в работе которых определяющими являются динамические режимы работы, учет этих явлений должен проводиться обязательно. Известно, что вихревые токи, которые наводятся в массивных сердечниках в переходных режимах работы, замедляют нарастание магнитного потока, что приводит к снижению быстродействия ФМ. Расчет увеличения времени их срабатывания за счет влияния вихревых токов чрезвычайно сложен. Известны немногочисленные работы, в которых в той или иной мере рассматривается указанная задача и содержатся различные подходы к ее решению.

Математическая модель переходных режимов электромагнитных устройств, имеющих массивный сплошной магнитопровод, обычно формируется в виде краевой задачи теории электромагнитного поля. Магнитные цепи с распределенными параметрами в рассматриваемых системах описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, для решения которых разработаны графические, графоаналитические и численные методы (см., например, [2, 3]). Однако все разработанные алгоритмы решения достаточно сложны и трудоемки, поэтому указанная задача решается при целом ряде допущений, упрощающих расчет. На-

пример, на практике часто используют эквивалентные схемы замещения массивного магнито-провода. Для получения параметров этих схем экспериментальным или расчетным путем определяют зависимость изменения тока в обмотке при ее включении или отключении от сети, раскладывают её в экспоненциальный ряд и вычисляют величины активных и индуктивных сопротивлений схемы замещения.

При расчетном определении параметров необходимо или находить численным методом корни трансцендентных уравнений, или применять итерационный способ, с помощью которого вычисляют режимы магнитной системы [4, 5]. Несмотря на сложность и громоздкость данного метода, высокой точности он не дает. Вопросам поверочных расчетов динамических характеристик электромагнитов постоянного тока с массивным магнитопроводом посвящен ряд работ. Так, в [6] предложен метод, заключающийся в том, что действие вихревых токов, наводимых в массивном магнитопроводе, заменяется введением эквивалентной дополнительной короткозамкнутый обмотки, которая индуктивно связана с обмоткой электромагнита. Расчет выходных показателей производится по известной методике расчета электромагнита, имеющего две магнитосвязанные обмотки. Метод, предложенный в [7], основан на совместном решении уравнений поля внутри отдельного массивного участка и уравнений для схемы замещения магнитной цепи электромагнита. Однако такие методы также малоприемлемы для практических инженерных расчетов.

В данной статье приводится вывод аналитических выражений, позволяющих вычислять величину вихревого тока, наводимого в сердечнике в переходных режимах работы. В основу положены результаты экспериментальных и теоретических исследований процесса проникновения электромагнитной волны в сплошной сердечник УЭ ФМ.

Цели и методы. Несмотря на относительно несложное конструктивное исполнение магнитных систем УЭ ФМ [1], их расчет, а тем более оптималь-

ное проектирование встречают ряд затруднении, обусловленных сложностью составления и совместного решения системы нелинейных уравнении, которыми описываются процессы в электрических и магнитных цепях. В общем случае уравнение, описывающее процесс проникновение электро-магнитнои волны в массивныи сердечник электромагнита, может быть получено из уравнений Максвелла в следующем виде:

дН _ 1 д2Н дt у-Цд дг2

где Н - напряженность магнитного поля в сердечнике; у и нд - удельная электрическая проводимость и дифференциальная магнитная проницаемость материала сердечника; г - пространственная координата; / - время.

Уравнение (1) может быть решено только численными методами [8], что неудобно при выполнении практических инженерных расчетах. Поэтому чтобы оценить величину вихревых токов и получить аналитические зависимости, позволяющие учесть их влияние на быстродействие ФМ без применения ЭВМ, необходимо упростить реальную физическую картину.

Результаты исследования. Рассмотрим основные особенности электромагнитного процесса в сплошном ферромагнитном сердечнике 2 при возбуждении обмотки 3 электромагнита постоянным током (рис. 1).

нию геометрических параметров и электрического сопротивления контура, по которому замыкается вихревой ток. С одной стороны, величина х(/) ограничена поверхностью полюса, а с другой - фронтом движущейся вовнутрь сердечника волны.

Рис. 1. Эскиз магнитной системы управляющего электромагнита ФМ: 1) якорь; 2) магнитопровод; 3) обмотка

В момент включения электромагнитное поле с большой скоростью проникает только в тонкий поверхностный слой сердечника, возбуждая в круговом контуре радиусом Д/2 (рис. 2) и толщиной Д вихревой ток, который препятствует дальнейшему движению электромагнитной волны внутрь сердечника. Линии потока как бы «вязнут» в поверхностном слое, что приводит к большим значениям магнитной индукции и плотности вихревого тока. По этой причине в момент включения поле во всем объеме сердечника за исключением поверхностного слоя равно нулю. С течением времени плотность тока и индукция в поверхностном слое уменьшаются, что приводит к проникновению магнитного потока вглубь сердечника. При этом увеличивающаяся глубина проникновения х(/) приводит к измене-

Рис. 2. Процесс проникновения магнитного потока в массивный сердечник

В пространстве внутри сердечника, ограниченном глубиной проникновения поля, протекает наиболее интенсивный электромагнитный процесс. Однако в течение большей части времени переходного режима магнитная индукция и плотность вихревого тока в поверхностном слое превышает соответствующие величины в любой точке внутри сердечника. Это свидетельствует о решающем влиянии электромагнитного процесса в поверхностном слое на скорость нарастания магнитного потока. Таким образом, анализ экспериментальных данных показывает, что возбуждение вихревого тока может быть представлено как результат пересечения слоев сердечника магнитным полем, движущимся с определенной скоростью от внутренней границы в направлении оси симметрии. Параметры движущегося поля существенно зависят от координаты r. В частности, движение поля в сердечнике характеризуется существенной неравномерностью магнитной индукции по координате r.

Для выполнения анализа особенностей проникновения электромагнитной волны в сердечник управляющего электромагнита были проведены экспериментальные исследования электромеханического тормозного устройства для электродвигателя типа 4А80В4. На рис. 3 приведены экспериментальные зависимости значения магнитной индукции от времени в различных областях внутри сердечника в переходном режиме. Кривая 1 соответствует индукции на площади, определяемой координатами r точек I, II (рис. 2), кривая 2 - точек II, III, кривая 3 -точек III, IV и кривая 4 - точек IV,V Анализ приведенных зависимостей показывает, что магнитная индукция в областях, расположенных ближе к обмотке возбуждения, в любой момент времени переходного процесса всегда оказывается большей по величине, чем в областях от нее отдаленных.

Вср , Тл

0,8

0,6

0,4

0,2

1 1 1 1

1 1 • __

~ т — 'В7=0 54 Тл " -—ь

1 1

4 1

20

40

60

зс

100

*. с 10"

Рис. 3. Экспериментальные зависимости значения магнитной индукции от времени в различных областях внутри сердечника

В начальный период переходного процесса индукция вблизи внутренней границы полюса растет очень быстро, оставаясь по величине больше установившегося значения Ву=0,54 Тл вплоть до момента времени /=0,114 с, когда ток в обмотке достигает установившегося значения. Этим объясняется то обстоятельство, что средняя по всей площади полюса магнитная индукция в течение всего переходного процесса растет быстрее, чем если бы она изменялась по экспоненте.

Отметим, что ток в обмотке и магнитный поток в сердечнике изменяются по закону, мало отличающемуся от экспоненциального. На рис. 4, а, показано изменение средней индукции ВсД/) в виде кривой 1, построенной в результате обработки экспериментальных данных. Рядом для сравнения приведена соответствующая экспоненциальная зависимость 2 (постоянная времени и установившаяся индукция были известны из эксперимента). Зависимости на рис. 3 показывают, что к моменту времени, когда ток обмотки достигает установившегося значения (/=0,114 с), магнитная индукция ни в одной из рассматриваемых областей не достигает величины Ву=0,54 Тл. Это объясняется явлением магнитного последействия: проходит еще некоторое время после достижения током установившей-

ся величины, по истечении которого индукция по всей площади полюса распределяется равномерно.

Анализ полученных экспериментальных данных позволяет перейти к выводу упрощенных формул, устанавливающих зависимость вихревого тока от времени при подключении обмотки управляющего электромагнита к источнику постоянного тока. Допустим, что граница движущегося потока определяется глубиной проникновения волны х(/) (рис. 2). Тогда круговой контур, в котором в любой момент времени действует ЭДС, являющаяся причиной вихревого тока, имеет сечение £=х(/) и среднюю длину 4(/)=п[2Я3-х(/)], а сама ЭДС е(/) возбуждается магнитным потоком Ф(/), движущимся к оси сердечника со скоростью Г„(/):

е(Г) = Бср (Г) 4к (Г) V (Г). (2)

где Др(/) - среднее мгновенное значение магнитной индукции.

Зависимость вихревого тока от времени может быть записана в виде

¡е (Г) = е(Г)/ Як (Г). (3)

Сопротивление контура вихревого тока Д.(0, входящее в выражение (3), равно

К (О = рс • 4 (О / (О, (4)

где рс - удельное сопротивление материала сердечника.

Примем следующие допущения:

1. Индуктивность обмотки УЭ Ь=сош11, а магнитный поток есть экспоненциальная функция времени

! ' \

Ф = Ф.

1-е

(5)

Здесь Фу - установившееся значение магнитного потока; Т=Ь/Я - постоянная времени обмотки; Ь и Я - индуктивность и активное сопротивление обмотки.

2. В любой момент времени переходного процесса скорость движения магнитного потока в пределах глубины проникновения электромагнитной волны х(/) одна и та же.

3. Пренебрегая явлением магнитного последействия, будем считать, что переходной процесс в ферромагнитном сердечнике заканчивается в момент времени, когда ток обмотки достигает установившегося значения.

Кроме того, примем вначале, что, проникая вглубь сердечника, магнитный поток равномерно распределяется по торцевой поверхности и в каждый момент времени пронизывает площадь (рис. 2)

(0 = пД2 - г2) = 5 -п(у2 + 2Г4 у),

(6)

где г - текущее значение координаты; !^„=л(Я32-Я42) - торцевая поверхность полюса.

Данное допущение равносильно тому, что магнитная индукция остается постоянной и равной установившемуся значению Ву в течение всего времени переходного процесса, т. е. приращение площади полюса по (6) пропорционально приращению магнитного потока по (5). В дальнейшем неравномерность распределения магнитной индукции будет учтена.

На основании принятых допущений уравнение, описывающее изменение магнитной индукции в полюсе электромагнита, представляется в виде

в = ф (1 - ^) у 5и -п(у2 + 2Ду)'

(7)

После упрощений получим следующее квадратное уравнение

у2 + 2Ду - (Д2 - Д2)- е ' = 0.

(8)

Корнем данного уравнения, имеющим физический смысл, является выражение

■I

у(0 = -4 +\№2(1 -е 7) + Д2-е 7 .

(9)

х(г) = а - у (г) = Д3-•/Д4(1 - е 7) + Я" -е 7 . (10)

Продифференцировав уравнение (10) по времени, найдем скорость движения магнитного потока в сердечнике

,, „) =| = -

дг

2Т

(11)

(Дз2 - Д2)- е - 7 + Д2

Воспользовавшись уравнениями (2-4) и (11), можно получить зависимость для расчета вихревого тока в сердечнике

К (г) =

КтН = Дз -VД42(1 - е'7) + Д1е7

2прс П ~ , -1

У^2(1 -е 7) + Л2-е 7

(12)

где Ет=и/Ж - ЭДС в поверхностном слое сердечника в момент включения; и - напряжение на обмотке; Ж - число витков обмотки.

Исследования показывают, что расчеты по выражению (12) дают значительную погрешность, так как это выражение выведено при допущении постоянства магнитной индукции в любой точке внутри сердечника в течение переходного процесса. Это равносильно допущению об экспоненциальном изменении среднего значения индукции. Однако, как уже отмечалось, средняя по всей площади полюса индукция растет не по экспоненте 2 (рис. 4, а), а по кривой 1, которая хорошо аппроксимируется функцией

Вср = Ву (1 -ст-е 7),

(13)

где ст<1 - коэффициент, зависящий от материала сердечника.

На рис. 4, б, представлены графики зависимости, рассчитанные по (13) при различных значениях ст. При правильном выборе величины ст можно добиться удовлетворительного совпадения кривой средней индукции с экспериментальной зависимостью ДД?).

Перепишем ур. (7) в виде

г г

Ву (1 - ст - ет) = Фу (1 - ет) /[5 - п (у2 + 2Я, - у)].

После преобразований, аналогичных тем, которым было подвергнуто уравнение (7), получим

Фу - Л

К (г) = —2— ^

2п7 рс

Я3(!-ст-е 7)-У (1 -ст-е7 )[Д2(1 - е 7 ) + Л32(1 -ст) е7

)(

Используя (7-9), глубину проникновения электромагнитной волны в ферромагнитный сердечник (рис. 2) найдем по выражению

(1 -ст-е 7 )^(1 -ст-е7 )[Л42(1 - е7 ) + Л32(1 -ст)е7

г

Х(1 -ст) ет. (14)

При практических расчетах вихревого тока величина ст может быть вычислена из (13) по экспериментальным данным. Например, из опыта легко определить величину установившейся индукции в сердечнике, а также индукцию в поверхностном слое в момент включения. Последняя может быть с достаточной степенью точности определена экстраполяцией экспериментальной зависимости 1 (рис. 3, а) до пересечения с осью ординат. Тогда в момент времени =0 из (13) получим

ст=1-В(0)/Ву=1-0,08/0,54=0,85.

Формула (14) может быть использована при расчетах управляющих электромагнитов для оценки величины вихревых токов. Подставляя в (14) заданную величину времени трогания якоря, находим величину вихревого тока. Размагничивающее действие вихревого тока учитывается путем суммирования его величины с магнитодвижущей силой обмотки, определяемой при расчете магнитной цепи.

Таким образом, полученные аналитические выражения позволяют уже на стадии проектирования ФМ вычислять обмоточные данные его УЭ с учетом величины вихревого тока. Проиллюстрируем сказанное.

Как показал анализ научно-технической документации, в настоящее время наблюдается четкая тенденция объединения ФМ и приводного электродвигателя в единую электромеханическую систему. В этом случае диаметральные размеры маг-нитопровода управляющего электромагнита ФМ (рис. 1) необходимо увязать с размерами того электродвигателя, для которого предназначено проектируемый ФМ:

• диаметр Д следует вычислять по высоте оси вращения электродвигателя;

• диаметр Д выбирается с учетом наружного диаметра подшипникового узла Бпу электродвигателя для обеспечения возможности крепления ФМ к подшипниковому щиту и установки на валу фрикционного диска.

Как показали проведенные исследования и результаты оптимизационного проектирования ФМ различных типов, для определения можно воспользоваться следующей формулой:

А=(1,6...1,8Яя где кер - высота оси вращения электродвигателя.

Таким образом, можно утверждать, что средний диаметр обмотки также практически однозначно зависит от габарита приводного двигателя.

Покажем, что заданное напряжение и и допустимая плотность тока у, выбранная по заданному классу нагревостойкости изоляции обмотки и условиям охлаждения, при известном среднем диаметре обмотки БС1 однозначно определяют число витков обмотки ^управляющего электромагнита.

На основании закона Ома имеем

Я = и //' . (15)

С другой стороны, примем во внимание, что

Я 1 1р ^

Я = р-= р—-,

(16)

где \с==пВср средняя длина витка обмотки; - сечение проводника.

Сечение проводника £пр выразим через установившийся ток ¡у следующим образом:

¿р =/

Подставим значение £ в (16). Поскольку левые части уравнений (15) и (16) равны, то равны и правые части этих уравнений. Приравняв их и выполнив несложные преобразования, получим V = и /(р. ]-п-ВСр).

Необходимая величина магнитодвижущей силы (МДС) ¥ обмотки УЭ равна: ¥=¥ +1

где ¥мц — МДС, полученная в результате расчета магнитной цепи УЭ.

Зная суммарную МДС обмотки, вычисляем сечение 8„р и диаметр й„р провода, а также глубина паза к под обмотку:

где ¡=¥/Ж; к3 - коэффициент заполнения паза.

В качестве примера приведем расчетные данные магнитной системы фрикционного тормоза с электромагнитным приводом для электродвигателя типа 4А71А4. Исходные данные для расчета: тормозной момент Мт=3,5 Н.м; Д=120 мм; Д=60 мм; максимально возможный рабочий воздушный зазор 5=1,5 мм; напряжение 36 В. Результаты расчета сведем в таблицу, где значения параметров в числителе соответствуют расчету без учета вихревого тока, а в знаменателе - с его учетом (¡у и Д/ - установившийся ток и перегрев обмотки УЭ; обозначения - по рис. 1):

Таблица. Расчетные данные магнитной системы фрикционного тормоза с электромагнитным приводом

Ь, мм Dср, мм № у, А 3„р, мм2 dПр, мм Ь, мм Д^ °С ¡вт, А

23 105 1560 0,735 0,89 0,184 0,222 0,484 0,63 21 25,2 65 72 24

Проведенные экспериментальная проверка подтвердила достоверность полученных результатов и показала, что для обеспечения требуемого быстродействия при срабатывании /ср=60 мс обмоточные УЭ необходимо вычислять с учетом влияния вихревого тока.

Выводы

1. Проведены экспериментальные и теоретические исследования и получены аналитические зависимости, описывающие процесс проникновения электромагнитной волны в сплошной магнито-провод электромагнита фрикционных механизмов. Выведены формулы, позволяющие вычислять величину вихревого тока, наводимого в магнитопроводе в переходных режимах работы.

2. Полученные аналитические зависимости позволяют вычислять обмоточные данные управляющего электромагнита и параметры быстродействия фрикционных механизмов с учетом размагничивающего действия вихревого тока путем суммирования его величины с магнитодвижущей силой обмотки, определяемой при расчете магнитной цепи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочкарев И.В., Галбаев Ж.Т. Электродвигатели с встроенным электромеханическим тормозом для станков и роботов. -Бишкек: Изд-во «Илим», 2005. - 314 с.

2. Буль Б.К. Основы теории и расчета магнитных цепей. - М.: Энергия, 1964. - 464 с.

3. Гринченков В.П., Никитенко А.Г., Павленко А.В. Исследование динамических процессов в электромагнитах // Известия вузов. Электромеханика. - 1982. - № 12. - С. 1432-1437.

4. Колесников Э.В. Переходные режимы магнитопроводов // Известия вузов. Электромеханика. - 1967. - № 6. - С. 625-647.

5. Колесников Э.В. Переходные режимы магнитопроводов // Известия вузов. Электромеханика. - 1967. - № 7. - С. 767-783.

6. Гринченков В.П., Ершов Ю.К. Метод расчета динамических характеристик электромагнитов с массивным магнитопрово-дом // Известия вузов. Электромеханика. - 1989. - № 8. -С. 61-68.

7. Никитенко А.Г., Бахвалов Ю.А., Никитенко Ю.А. и др. О проектировании электромагнитов с заданными динамическими свойствами // Электротехника. - 1998. - № 9. - С. 53-58.

8. Бочкарев И.В., Гунина М.Г. Переходные процессы, протекающие в электромеханическом тормозном устройстве в режиме растормаживания // Электротехника. - 2004. - № 11. -С. 34-38.

Поступила 16.04.2009 г.

УДК 621.3.01

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ СТЕРЖНЕВОГО ЗАЗЕМЛИТЕЛЯ

Н.А. Макенова

Томский политехнический университет E-mail: mna@iao.ru

Разработана численная модель исследования электрического поля вертикального стержневого заземлителя. Показано, что напряжение поля на поверхности земли уменьшается с увеличением длины стержня или с увеличением его диаметра.

Ключевые слова:

Стержневой заземлитель, электрическое поле, электрод, ток, сопротивление, шаговое напряжение.

Введение

В настоящее время проблемам техники безопасности уделяется все большее внимание. Для защиты жилых построек предусматриваются молниеотводы, представляющие собой молниеприемник (металлический стержень), токоотводящий шнур и заземлитель [1]. Заземлитель может быть простым металлическим стержнем (чаще всего стальным) или сложным комплексом элементов специальной формы. Для заземления электрооборудования в жилых зданиях и сооружениях используют «горизонтальные» и «вертикальные» заземлители, в данном случае электроды располагают в грунте на нужной глубине, чтобы они не были повреждены при работе машин. Горизонтальные заземлители прокладывают на глубине 0,5 м, на пахотной земле - не менее 1 м. Они рациональны в тех случаях, когда электропроводность верхнего слоя грунта обеспечивает нужную проводимость. Однако верхние слои почвы часто имеют большее электрическое сопротивление, чем глубинные. Кроме того, близко к поверхности земли растекание тока не идет равномерно во все стороны, как на глубине. Следовательно, сопротивление горизонтальных электродов обычно больше, чем сопротивление вертикальных электродов такой же массы. Поэтому наибольшее распространение в качестве заземлителей получили именно вертикальные электроды. Глубинные вертикальные электроды наиболее экономичны, достигают хоро-

шо проводящих слоев грунта [2]. Качество заземления определяется значением электрического сопротивления цепи заземления, которое можно снизить, увеличивая площадь контакта или проводимость среды - используя множество стержней, повышая содержание солей в земле и т. д.

Проектированием заземлителей занимается большое количество проектных организаций, но это достаточно не дешевая услуга. Нами предложена простая и удобная в использовании программа численного моделирования стержневого заземли-теля для бытовых или промышленных нужд. Программа написана на языке Visual C++ и построена как однодокументное приложение на основе приведенных ниже математических моделей.

1. Математическая модель заземлителя

Для расчета электрического поля сферического заземлителя диаметром d и с током I0, расположенного на глубине h (рис. 1), возможно использовать метод зеркальных изображений и наложения [3].

На месте зеркального изображения помещается электр од с тем же током I0, где r2=Vr2+(h+Z)2, причем 0<К<» и -<»<Z<0. Плотность тока в земле от уединенного шара без учета влияния поверхности земли будет равна при r1>d/2 (точка N)

5 =

I0

4nr,