Переход от динамической структуры к численному решению Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

. Сборник научных трудов ДонГТУ. 2015. № 1 (44)

АВТОМАТИЗАЦИЯ И ЕЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 681.51

к.т.н. Зотов В.А. (ДонГТУ, г. Алчевск, ЛНР)

ПЕРЕХОД ОТ ДИНАМИЧЕСКОМ СТРУКТУРЫ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ

Предложена методика расчета процессов в динамических системах в реальном времени. Получены рекуррентные выражения состояния выходов типовых инерционных звеньев в функции произвольного состояния их входов.

Ключевые слова: динамическая система, инерционное звено, рекуррентное выражение.

Постановка задачи анализа процессов в динамической системе часто представляется в виде структурной схемы, содержащей типовые инерционные звенья, нелинейности, алгебраические функции и т. п. Анализ процессов в такой структуре может выполняться микропроцессорными модулями мехатронных систем или подсистемами автоматизированного проектирования.

Различного рода алгебраические и нелинейные звенья легко реализуются программно в соответствии с типовыми алгоритмами [1, 2].

Для вычисления процессов, определенных как инерционные звенья, с помощью микропроцессорных устройств, удобно использовать рекуррентные формулы зависимости состояния выходов звеньев от произвольного состояния соответствующих входов. Это позволяет выполнять анализ процессов непрерывно, в реальном времени.

Указанные зависимости можно получить, используя усовершенствованный метод Эйлера-Коши, применяемый для структурного моделирования систем автоматического управления [2]. Организуя в программе анализа системы взаимодействие между отдельными звеньями, можно рассчитывать процессы в системе, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений. При этом обеспечивается простота получения и наглядность результатов, снижается вероятность получения ошибочного решения.

Линейная часть любой динамической системы может быть описана с помощью интегрирующих и дифференцирующих звеньев. Как правило, на основе интегрирующего звена дополнительно строят апериодические звенья первого и второго порядка, а также колебательные звенья.

Для дискретного описания интегрирующего звена, описываемого уравнением вида

У(0 = Т |ох(г^г

где х - входная координата звена; у -выходная координата звена; I - время; Т -постоянная времени,

используем численное интегрирование по методу трапеций

Уп = к

±1 + У х.

2 ¿ш^ 1 о

2

(1)

где х0 - состояние входа в начальный момент времени; х. - состояние входа в текущий момент времени; у. - состояние выхода в текущий момент времени; п -номер интервала разбиения; к -шаг квантования.

Время на п-м интервале определяется как произведение t = пк .

Для получения рекуррентного выражения, отражающего зависимость состояния выхода уп от состояния входа хп, и использующего минимальное количество предыдущих состояний, из (1) найдем предыдущее значение функции и составим разность Уп - Уп-1 .

1=1

Сборник научных трудов ДонГТУ. 2015. № 1 (44)

АВТОМАТИЗАЦИЯ И ЕЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

( V п-2 „

у = h + У V. + 1

' П-\ ~ / у , п.

V 2

п-1 п—2

Уп — Уп—1 = V, —X V. + ^ — ^

выхода апериодического звена на п-м интервале интегрирования в функции его входа

к

(х + V ,).

2 V п п-1 /

где А =

уп Ап т ■>

(2т—иК— + ту + Vn-l) 2Т + h

Из полученного разгосгното уравнения Рекуррентное описание звена второго найдемУn, получая рекуррентное выражение порядка получаем аналогично.

= Уп—1 + ^

—1).

Таким образом, выход интегрирующего звена в функции произвольного состояния его входа, запишется в виде

Уп =

Уп—1 + И ^п + Vn-1 )

2

(2)

Апериодическое звено первого порядка можно представить в виде интегрирующего звена, охваченного обратной связью, описываемого системой уравнений

А(Г) = (е(т'Ыт; Jo

е(0 = v(t) — ^А«; к

УС) = -АС),

где е^) и А О - промежуточные координаты модели звена.

Используя выражение (2), запишем эту систему в виде

Ап = Ап-1 +И (еп + еп-1)

еп ^^п т Ап

= -А

У п т п,

где еп и Ап - промежуточные координаты модели звена, соответствующие текущим значениям величин е(t) и АО .

Получив из второго уравнения системы (3) предыдущее значение еп-1 и подставив в первое уравнение, получим рекуррентное выражение, описывающее состояние

Система уравнений, описывающая процессы в звене:

21 1 е(t) = v(t) — T-A(t) — — ВС);

A(t) = ['е(т^т;

М

В(') = |'а(г^Г; к

У(') = "Г B(t),

где В(') - промежуточная координата звена второго порядка.

С использованием (2) эта система преобразуется к виду

е = — —А — В • " " Т п т 2 п *

п п

Ап = Ап-1 + 2 (еп + еп-1);

Вп = В п-1 + 2 (Ап + Ап-1);

У п т 2 Вп ,

где Вп - промежуточная координата звена второго порядка, соответствующая текущему значению величины В(') в теку-(3) щий момент времени.

Путем аналогичных преобразований получаем рекуррентное описание звена второго порядка

У = В--

.7 п п т 2 5

где Вп = Вп-1 + ^ (Ап + Ап-1);

А = [4т (т — &)— И2 ¡Ап-1 + 2к[т2 V + Vn-l)— 2Вп-1 ] п 4т (т + &)+ И2 '

Выходная координата дифференци-

,=1

,=1

. Сборник научных трудов ДонГТУ. 2015. № 1 (44)

АВТОМАТИЗАЦИЯ И ЕЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

рующего звена записывается в виде

Уп =(хп - Хп-1 )/к

Для оценки погрешности расчетов вычислялись реакции апериодических звеньев первого и второго порядков на единичное ступенчатое воздействие при k=T=1 и шаге квантования к=0.05Т. Сравнение с результатами, полученными аналитически, показывает, что относительная погрешность расчетов не превышает 5%. При

Библиографический список

этом она имеет наибольшее значение только в начале процесса интегрирования, а с момента времени t > 1.25Т стремится к нулю. Так как время переходных процессов в звеньях в практических случаях оценивается как (3 ^ 5)Т, расчет производится с достаточной точностью. Уменьшить погрешность удается уменьшением шага квантования.

1. Краскевич В. Е. Численные методы в инженерных исследованиях / В. Е. Краскевич, К. Х. Зелинский, В. И. Гречко. — Киев : Вища школа, 1986. — 263 с.

2. Гостев В. И. Системы управления с цифровыми регуляторами : справочник /В. И. Гостев. — Киев: Тэхника, 1990. — 280 с.

Рекомендована к печати д.т.н., проф. ДонГТУКорнеевым С.В,

д.т.н., проф. НГУУ Шириным Л.Н.

к.т.н. Зотов В.О. (ДонДТУ, м. Алчевськ, ЛНР)

ПЕРЕХ1Д В1Д ДИНАМ1ЧНО1 СТРУКТУРИ ДО ЧИСЕЛЬНОГО Р1ШЕННЯ

Запропонована методика розрахунку процеав в динам1чних системах у реальному чаа. Отримат рекурентт вирази стану виход1в типових ШерцШних ланок в функцИ' в1льного стану гх вход1в.

Ключовi слова: динам1чна система, ШерцШна ланка, рекурентний вираз.

PhD Zotov V.A. (DonSTU, Alchevsk, LPR )

TRANSFORMATION FROM DINAMIC STRUCTURE TO NUMERICAL SOLVING

Calculation procedure of processes in dynamic real time systems was proposed. Recurrent expressions of output condition of typical inertia chains in unspecified state function of their inputs were obtained.

Key words: dynamic system, inertia chain, recurrent expression.