Оценка границ больших уклонений фазовых переменных в линейных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Автоматизация и электротехнические системы

УДК 62-83:621.77, 62-83:681.5

к.т.н. Полилов Е.В.

(ДонГТУ, г. Алчевск, ЛНР)

ОЦЕНКА ГРАНИЦ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ФАЗОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Впервые представлена аналитическая зависимость максимума переходной характеристики в управлении линейными динамическими системами произвольного порядка. Рассмотрены случаи m=n, m<n однотемповых и сингулярно-возмущённых систем. Получены условия возникновения т.н. феномена всплеска и неконтролируемого роста фазовых переменных.

Ключевые слова: характеристический полином, нестационарное алгебраическое уравнение, корни алгебраического уравнения, феномен всплеска.

Проблема и ее связь с научными и практическими задачами. Зависимость эффекта всплеска от спектра матрицы A (и других ее характеристик) интересовала специалистов по теории управления с самого начала становления этой научной дисциплины. Пионерской работой в этом направлении явилась статья А. А. Фельд-баума [1] 1948 года. А. А. Фельдбаум получил ряд результатов о связи расположения корней с характеристиками переходного режима. Решения ограничены частным случаем, когда все корни вещественны, кроме, быть может, одной комплексной пары. Вопрос о существовании больших уклонений был поставлен в конце 1970-х годов В. Н. Полоцким в ряде работ; см., например, [2, 3]. Достаточно полный ответ на этот вопрос был получен Р. Н. Измайловым в [4] в 1987 году. Показано, что "сдвиг" всех полюсов влево (это способствует более быстрой асимптотической скорости затухания процесса) приводит к неизбежной плате за это - к большим уклонениям траектории на начальном участке. Эти важные результаты Измайлова были несколько обобщены в [5], а их более простое доказательство дано в [6]. Новым шагом было доказательство того, что и при малых собственных значениях возникают большие уклонения, см. [7-9]; более того, эти эффекты присущи и другим расположениям полюсов. Существенно, но и сами авторы работ позиционируют решения лишь в оценке нижней границы вспле-

ска, заведомо полагая, что всплеск всегда больший. В разы? На порядок? Много больший? Стратегическая ошибка сторонников представленного направления исследований и, посему, ставших де-факто эмпирическими их решениях - заключается в не учёте взаимного местоположения нулей и полюсов передаточной функции

A (iöj / B (

проектируемой замк-

нутой системы, желая пояснить процессы лишь терминами собственных значений матрицы динамики A.

Особый интерес в исследовании феномена всплеска представляет класс т.н. сингулярно возмущённых или разнотемповых систем. Процессы в этих системах кардинально отличаются от классических одно-темповых систем. Теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений интенсивно развивается, и ее методы активно применяются для решения широкого круга задач из различных областей естествознания и техники.

Постановка задачи. Терминами классической теории автоматического управления (корневые методы) обосновать феномен всплеска и неконтролируемый рост фазовых переменных x линейных динамических систем произвольного порядка, найти аналитическую зависимость верхней границы или максимума переходной характеристики h{t) однотемповых и сингулярно возмущённых систем.

Pole-Zero Map: Random n-th order system, tf[nz/np= 54 /55]

8

£.....X-®-

О

x

X

О

О

x

m

*

:)

xO

\

x

(St О

4

0 \ и

m - ii

Л

i о/

tw

e

о-нули/х-полюсы

co0z, числитель

то же, инои метод o:>0p, знаменатель

-2 0 2 4

Real Axis (seconds'1)

Автоматизация и электротехнические системы

A(pJ/B(pJ: (R.(x)= 10 и 1.8565 рад/с, rss(55))

Time (seconds)

A(pj/B(pj: (R = 10 и 1.8364 рад/с, rss(55))

Time (seconds)

Рисунок 3 - Клоны h (t) во времени, системы 55-го порядка

Автоматизация и электротехнические системы

Теорема.

Гурвицев

полином

B

(Pqw) = (R(*): ß*Pn,ß*-iPn-1 -ßo*)

представим

'( pQ[x))x б ( pQ(J

произведением полино-

В( ро В(Г"

мов меньших степеней т и q заведомо

предопределённых радиусов Я(х) или

геометрических средних,

B ( Po[x)) = ( R(x) : ßm Pm, ßm-lPm-1 -Ä* )

та-

б(Ром) = ( Яу: У*РЧУ^Р*1'1 -У*)

кие, что т + * = п . В силу свободно назна-

-

чаемых т , Я(х) и ¡0* V/ = 0, т , например, одного из сомножителей, вариантов кон-

фигурации B (pn-x)) х Q (po, ) бесконеч-

но много. ПХ звеньев 1/ B

1

/ B (Po;*,)* Q (Po,,,)

(po1))

( х - xi), V/ = 1,

n.

то

Рп(х ) = ап(Х - хп )( х " Хп-1)-( х " х1) , причем х., V/ = 1, п являются корнями многочлена. Это утверждение справедливо для комплексных корней х/, V/ = 1, п и комплексных коэффициентов ак, Vk = 0, п . Оно является основой для разложения лю-

бого

многочлена

P\xt

o,

и

In * n * n-1 * I

(R(х) : anx «n-1x -«o )

:(x),

на множители,

и

совпадают до бес-

х)/ Т (У), конечно малой £ ) ~ 0, Vt = 0, да . Каждый из двух сомножителей

в(Р"(х))х 6(ро(У)) в свою очередь расщепим на иные сомножители и т.д.

Доказательство. Сущность озвученного наиболее ярко представима элементарным расщеплением целых чисел: 6 ^ 2 х 3, как произведения двух сомножителей. Или расщеплением полиномов

4 3 2 малой степени х + 3х -х -9х-18:

(х2 + х - б)( х2 + 2 х + з)^

(х - 2 ) ( х3 + 5 х2 + 9 х + 9 ), например.

Известно, любой многочлен степени п вида Рп (х) = апхп + ап-1хп-1 + — + а1х + а0 представляется произведением постоянного множителя при старшей степени ап и п -шт. линейных множителей

сленгом относительных а* V/ = 0, п .

Если коэффициенты ак, Vk = 0, п - действительные числа, то комплексные корни многочлена обязательно будут встречаться комплексно сопряженными парами. К примеру, если корни х1 и х2 многочлена

Рп (х) = апхп + ап-1хп-1 + — + а1х + а0 являются комплексно сопряженными, а остальные корни х/, V/ = 3, п действительные, то многочлен Рп (х) представится в виде Рп (х) = ап(х - хп )(х - хп-1 )-

(х - х3 ) (х2 + wx + 1) .

Объединяя образованные пары (п - k) /2 -штук комплексно-сопряжённых

корней (х. и х/+Л в квадратичные формы

тем самым исключая

(х - х/) (х - х/+1) ^ х2 + Р/х +1/, V/ = 1, (п - k)/2,

комплексные числа в представлении динамических систем типовыми апериодическими звеньями 1-го порядка, и, чего не существует в терминах классической теории автоматического управления, запишем

множители:

(n-k )/2

Pn (х)= П (х2 + w/x + q/)

/=1

х + w(x + qA х

парыкомплексно-сопряжённых (2) корней, (n-k)/2-шт. ^ '

есть

xan (x - xn ) (x - xn-1)- (x - xk ).

V-V-'

вещественныекорни, k-шт.

Автоматизация и электротехнические системы

Интуитивно понятно, перестановкой элементарных множителей (х - х1) и/или

(х2 + wix + qi ) всегда могут быть «геометрически пересобраны» два полинома

в Цх)) ^в (& Ц,)) любых

степеней т ид такие, что т + д = п, радиусы геометрических средних ^(х) и/или

Ri^) которых близки заведомо предопределённым величинам.

Более строго, полином

в( Ро(х) ) = (^х) : Р*т Рт, Р*т-1Рт-1 -К ) может быть назначен любым. Тогда, в силу

1+R(pa

парный

искомый

(у) : YqP4 lYq-lP4

-1 *\ -Уо)

оп-

делением

ределяется

вЦх)) = (^ (х): Р*Рп, К-1Рп-1 - Р*) в(Ра(х)) = : ртРт,рт-1Рт-1 -А*) с

точностью до остатка R () / В (Р^ ^) . Доказательство закончено. Теорема. Обратная ПФ 1 / в(р^ ^) =

1

pn + Рр)=1 pn-1 + - + "И-1

R

R

А

Ri (х

p + А)

ВК)Н

стационарные), а, следовательно, и величины радиуса Ri(х) ^) = О1 ^) инварианта,

как их геометрического среднего.

Доказательство. Выше показано, что обратная передаточная функция

KJ

(PQ(X)) = (R(х) : РпРП, Рп-1Р

Гурвицевого полинома

п-1

(

полином

1/в

\х)1 \ 2( х|

любого порядка представима (2) последовательным соединением (к < п) -штук

классических апериодических звеньев 1-го порядка (0 -20 дБ/дек ЛАЧХ), их образуют

вещественные корни 1/ (Р - с1) , и (п - к) /2 -штук колебательных звеньев 2-

го порядка (0 -40 дБ/дек ЛАЧХ), образованных парами оставшихся комплексно-

сопряжённых корней 1/ (Р2 + wip + д1) . И,

очевидно, вся эта конструкция - последовательное соединение фильтров нижних частот, каждого из множителей в разло-

на жении 1/ В

К))

также обладает свойст-

вами ФНЧ, 0 -я-20 дБ/дек ЛАЧХ. Доказательство закончено. Ослабление динамического звена

Гурвицев полином п-го порядка, R■{ х) - любой положительный

Гурвицевого полинома

(^(х) : Р*РП, Р*-1РП-1 - Р0*)

любого порядка п обладает фильтрующими свойствами независимо от геометрии и/или динамики его корней

с* ^), * = 1, п, (если Р* ^) V * = 1, п - не-

1/ В(Р0х)) для частот °вх > Ri(х) на участке -п^20 дБ/дек:

20пх^О*, [дБ] или 10пх18, [раз] (3)

*

здесь О = 0вх / Оф > 1.

Низкочастотный фильтр 7-го порядка ослабит входной сигнал с кратностью частот О* = 2 в ю7х1ё2 = 128 раз. В справедливости (3) легко убедиться, декада:

О* = 1, 107х1§1 = 1 раз и О* = 10, 20•7х^10=7•20 дБ, линия наклоном -п^20 дБ/дек, идеальная аппроксимация фильтра низких частот.

*

Множитель М = 10 8 О « 1 будем использовать при оценке максимума переходной характеристики h(t).

Автоматизация и электротехнические системы

Bode Diagram

Frequency (rad/s) Рисунок 4 - АЧХ ПФ 1/ B (pQ( ^ ), наклон -n-20 дБ/дек

1st Order Filter

First-order

stage

2nd Order Filter

Second-order

stage

'M,

Roll-off 20dB/decade

Roll-off 4D dB.'de cade

3rd Order Filter

First-order J. Second-order Roll-off

stage 1 stage eOdB/decade

Roll-off ICWdB/decade

Рисунок 5 - Графическая интерпретация произведения

( "'к )/2, ,

1/Pn (x) = 1/an (Х - xn )(x - Xn-1 )■■■ (x - xk )X П (x2 + wix + q )

2=1

Автоматизация и электротехнические системы

Теорема. Максимум переходной характе- сингулярно невозмущённой динамической ристики h (t) устойчивой нестационарной системы, описываемой линейной ПФ

W

I «m_ (t) Pm-i

В ( Ра

(х)

=k

i=0

I Рп-j(t)Р

n-j

j=0

= k

* m * m_1 * m— j * *

«m Ра(0) + «m _1Рц0) + - + am _ jp^) + - + «1 Ра(0) + «о

10)

10)

10)

рПРщ х)+ ^ро)1) + -+рП-+ -+ргРа(х) + р0

х)

pm +

=k

«m „m , «m-1 „m-1 + + «m_j pm-j

•■■ Rm_ j Г

Ri( 0)

Р

m m -1

Ri(0) Ri(0)

+ - + -

«

R(0)

p + «0

Рп Рп + Ррп_гРп-1 + - + Рп-] + -+ ^Р + Р*

п п-1

Ri(x) %)

г(х)

Ri(x)

(4)

(здесь Ро(0) = Р/0), Ра(х) = Р/а(х); gmean(cj (t)) корней с1 (t), с2 (t), ...,

Ri( 0,х)=°( 0,х) = gmеап (0,х)

«m-j = «m-j • °(0)j ' Рп_ j = Рп-j ' j )

j=1,п

"m+п

(t) полиномов числителя А (Р) и знаменателя В (р) (как энергетической

для всех т = п имеет место в квант време- меры сил к = R■(х) / ^0) сингулярностей ни г = 0 и однозначно определяется геометрическими средними 8теап (с (t)) ,

полиномов к < 1, к = 1 и к > 1):

i=1,m

max h (t)

t=0,ю

_ i «m

= k0 ^L

t=0+

Р*

т>п r>m

Щ)/ Що)

= k0 «m х km;

к =Rj(x) / R(0), кратность радиусов инвариантов Полилова-Мотченко

Р*

km =

Л/п (

Пc(t)l /ПCj(t)

v i=1 ) U=i

m

\1/m

«m (t )f Р0 (t)

4m/п

«0

0 (tРп (t).

t=0+

то же, сленгом геометрических средних или категориями коэффициентов

корней с,* (г) полиномов числителя А(р) полиномов числителя А( р) и и знаменателя В( р) рассматриваемой ПФ знаменателя В( р) рассматриваемой ПФ

(5)

где 0)(t ) = ^(х) (t) = пР0 (t) / Рп (t)

и п -шт. полюсов (х) линейной динамической системы с передаточной функцией

радиусы инва-

ко [10-14] (геометрические средние т -шт. нулей (0) и теории автоматического управления).

т-т л ,т ил л лл г А( рО )/В( рО ) сленгом классической

риантов Полилова-Мотченко [10-14] (гео- \ (0) / \ М/

х

Автоматизация и электротехнические системы

Доказательство. Началу движения Передаточная функция W (р) в этот квант

t = 0 динамической системы (4) соответ-

^ 4 7 времени не определена:

ствует оператор Лапласа р = да.

= k

A I PQ0)

W (p )= 1 (0)

BI Pq

!W

t=0

m Z «m-i i=0 (t) Pm-i

n (t) Pn-J

Z ßn-J

j =0

p=ro

= lim

am pm + «m-1 „m-1 + + «m-j pm-j + + «1 m r>m-1 Rm-j

k

r>m m-1

R(0) R(0)

i( 0)

Ri( 0)

P + «0

pn + pn-1 +... + ^z/ pn-J +... + p + ß0* r>n T>n-1 r>n- / r JT I 0

r(x) RW Ri(x) R(x)

(6)

да да

Для раскрытия неопределенности пре- числитель и знаменатель на старшие сте-

разделив пени многочленов А (Ра^) и В (р^ :

°бразуем AI pQ(0)j / B ( pq()

lim^-

p^<x> p(

- +

«m-1 p

k

Ri(0) ^m-)1 pm

+... +

* m- J *

«m-j p «1 p * 1

^ +... h--— —--h«0 —

0 п

Rm-J pm Ri(0) p

R(0) P

ßn , ßn-1 p

n-1

- +

nn nn-1 n R(x) R(x) P

- + ... + -

A

*

n-j p

n-J i(x)

n-j

Rn-J pn

1* p * 1

+ ... + h ß0-

nn R(x) p p

= lim

n

p^<X> p'

1

*

*

«

-m

m h «m-1 1

«m- j 1 «1 1 * 1

- + ... + ----T + ... + -1--Г + «0 -

r>m r>m-1 r>m-/ „/ „m-1 0 „m

R(0) R(0) p Ri(0) p] Ri(0) p p

I_I

-0, бесконечно малые

ß+ ßßnj-L^ + ... + ß

n-J

Ri{x) ^ P

rnr{ pj

/(x)

- +... +

T? „n-1 n

Ri(x) P P

0, бесконечно малые

(7)

* T?n «* r/(x)

ßn Rm0)

Vm = n;

0, Vm < и и ±да, Vm > и. Доказательство окончено.

Особо обращаем внимание, на рис. 6

скои системы

= n

Динамика всегда неизменна и подобна представлена не импульсная, а переходная представленнои на рис. 6. В нулевои ккшт характеристика h (t) линеИноИ динамиче-

времени имеет место max h (t), процесс ла-

t=0,да

винообразно и колебательно уменьшается до

* *

установившегося значения. am и рп, как,

**

впрочем, и ao и Ро всегда равны 1.

A (PQ(0)) / B (PQ(x)) Vm

как реакция на 1( I) . Феномен всплеска h (t) имеет место для всех 0) < .

п

1

Автоматизация и электротехнические системы

-Г-Г-Г-Г-Г-1-Г—I-I-I-I-Т Т Т Г Г Г I-I-1-I-I--1 I t I I 1 1

ю

эрп}цс1шу

Рисунок 6 - ПХ h (t) устойчивой нестационарной сингулярно невозмущённой динамической системы A ( Pq^ ) / В (рщ ^) , Vm = п

Автоматизация и электротехнические системы

Теорема. Максимум переходной харак- ной сингулярно невозмущённой динамиче-теристики h (г) устойчивой нестационар- ской системы, описываемой линейной ПФ

W

(A (PQ0)

I «m-г (t) Pm_

В ( Pq

(х)

=k

i=0

I Рп-j (t)P

п- j

j=0

= kn

* m * m_1 * m— j * *

«m PQ(0) + «m -lPQ(0) + - + «m - jPq0) + - + «1 Pq0) + «0

10)

10)

10)

tipQ (х) + zi-ipQ—1) + -+pL_ jpQ—j + -+p*pqw + р0

х)

pm +

(8)

=k

«m „m , «m-1 „m-1 + + «m—j m-j

- Rm—j

Ri 0)

P

m m -1

Ri 0) Ri 0)

+ - + -

«

Ri 0)

P + «0

Рп Рп + p—!Рп-1+-+PLjРn-J + -P + PL

п п-1

Rnr{ г(х)

(здесь Pq(0)= p/ Q 0), 0,х)=0(0,х)= gmеап (0,х)

р0(х) = Р / а(х);

и

gmean (Cj (t)) корней cL (t), с2 (t), ...,

j=1,п

"m+п

и

, = • Q£-j, Рп-j = Рп- j • апх_/)

m-j

m- j

10)

п- j

(г) полиномов числителя А (р) знаменателя В (р) (как энергетической

для всех т < п имеет место в квант време- меры сил к = R■(х) / ^0) сингулярностей ни г > 0, и однозначно определяется геометрическими средними 8теап (с( (г)) ,

полиномов k < 1, k = 1 и k > 1):

max h (t)

t=0,ю

= M х k

t > 0

i=1,m *

«m

0 T

m

Т?т пт К1(х) ' К(

к=Ri (х) / Ri (0), кратность радиусов инвариантов Полилова-Мотченко

= M х k

«

0 Т

m

х k

(

km =

Г п

П C (t)

v i=1 У

1/п

/

m

у/m

П ^j (t)

v j =1

«m (t )Г P0 (t)

«0

m/п

0 (t)V Рп (t).

t=0+

то же, сленгом геометрических средних или категориями коэффициентов

корней с,* (г) полиномов числителя А(р) полиномов числителя А( р) и и знаменателя В( р) рассматриваемой ПФ знаменателя В( р) рассматриваемой ПФ

где

0) (t )=i«w«mmM

и M = 10

_ i р^х^ Q

(9)

определён в теореме о

^{х)(г) = пр0 (г) / Рп (г) - радиусы инвариантов Полилова-Мотченко (геометрические средние т -шт. нулей (0) и п -шт.

полюсов (х) линейной динамической системы (8)). Множитель М « 1 Vm < п .

фильтрации, здесь О = Овх / Оф > 1 и к < т - п порядок ФНЧ.

Автоматизация и электротехнические системы

Доказательство. Пусть полином т -го порядка

В( Ра(х)) = (Я (Х) : £ рт, £ -хРт~Х... & )

любой Гурвицев, выписан по заведомо предопределённой и/или желаемой геометрии решений ), ] = 1, т , например,

решения т шт. равномерно расположим на полуокружности по Баттерворту, или с любым иным стандартным распределением корней в левой полуплоскости, и, важно, масштабируемы геометрическим средним Я(х) = Я (х), численно совпадающим с

геометрическим средним Я(х) полинома

п п* „П-1

11 р

(х)/ * 21 X)

знаменателя ПФ.

Полином

знаменателя

B

(pq(J = (R(х): ß*Pn,ßliPn-1 •••

представим в виде произведения двух различных полиномов

Bl p^.,1-

НB( Р"И)х GhJ

здесь

второй

сомножитель

k * „k-1

^(ра(г)) = (.Я(у <Я(х): г\рк,Ук-1Рк-1 -гО) искомое. Очевидно, G(pQ^

определим

делением известных В( р^ ^) / В(р^ ^) ^

B

(po(.)) = Kx):ßn*Pn - ßn*-lPn-1 ••• ß*) G(pnW) + RKJ' *KJ

столбиком

G

Ц г))"

B( Pn

:(х)

B( Pa

:(х)

А

-pn + >=1 pn-1 + ... + ßßnzJj pn-j + ... p + ßQ*

r»n Tjn-1 Ijn- l Г JT r-\J

R(x) Яг(х)

V-V-'

делимое

ßm pm + ßm-1 Pm-1 + + ßm -j m-j + + А

pm nm-1 r,m- j R

r(x) %) r(x) %

P + >00

(10)

делитель

pk + % pk-1 + ... + ^ pk-j + ... +

R

(r)

R

k-1

(r)

Rk -j

'(r)

R

r *

P + r0 +

(r)

частное

R|

B

здесь к < п - т .

Ненулевой остаток я(р0(/ ВВ(рП(х)|

в случае {{некратного деления», отбросим в силу слабого влияния, что графически подтвердим позже, сравнивая обе переходные характеристики h(t).

Имеем, передаточная функция 0х)) системы:

A( Pn,

:(0)

B( Pn

(х)

остаток

1Ц 0))

К))х G(Pn r))

A( Pa

:(0)

Л

B( Pa

G( Pn

(r)

фиктивный избыточный генерирующий фильтрующий

1

х

Автоматизация и электротехнические системы

В развёрнутом виде, ПФ

( R(0): Рa-lPm-1 -"0 )_ A (PQW) _

"(^ = l^^n^C-Z-7-^^) = PQ(.))G^,.,) =

(* m * m—1 * I _ Ri(0) : a"P "m—lP -a0 ) _

" (R(x) - R(x): V"nPm, "iPm—1 -ft)( % < R (x): ПРк ,n—iPk—1 -У) "

* m * m—1 *

_ (R(0) : amP "m—lP -"0) 1

" {%) - Ri(x) :A"Pm, fi-1Pm—1 -•• A*) X (fy) < R(x) : 1Pk—1 - • У)

V-V-' V-V-'

1—й сомножитель, 2—й сомножитель,

фиктивный генерирующий избыточный фильтрующий

Или с неединичным к

0

* * * *

O^prn + рШ-l + _ + am-L рш-j + _ + p + „

D™ пга-1 T>m— j и

Wie. 1 = Ы ^-^-SO-^- vx

1PQ( 0,x)):

xl/

рт + ¿т± рт-1 + - + ^ рт-* + - + р + Д*

г>т т->т-1 г»т- * п

Дх) % ) ^(х/ ^М

-V-

а* I \т

Виртуальный всплеск ки^тх)/^0)) , тем самым однозначно

Рт

определена отправная точка, очевидно всегда больший шах А (г)

г=0,ш

' ^^ рк+-¿1 рк-1+-+рк-* + -р + ^

1

V _

4)

a I \m

Фильтрующий полином, гасит виртуальный x I R( x) / R( 0))

Pm

до точки перегиба max А (г). Очевиден и масштаб гашения M«1

(ll)

(12)

Очевидно, и в силу представленной

, о - 1/ ^ РО либо повторит поданное прак-

теоремы о фильтрах, 2-й сомножитель у}) ^ ^

1/ а(рО(,)) «безобидный», обладает тически без изменений при Щ(у) >> ^(х),

фильтрующими свойствами. И даже несу- приближая ПХ А(г) к предельному слу-

щественны ни его порядок к < п -т, ни чаю А (г) , когда степени полиномов чис-

его геометрическое среднее Riу). В лю- лителя

бом случае, «пропуская сквозь себя» сге- Л( \ / п * т * т-1 * \

11 А( рО , =(Ri{0): атр ,ат-1 р -а0 ) и

нерированное в виртуальном 1-ом форси- \ ( 0) Ч 0,|

рующем сомножителе А Ц0))/ в (РО(х)), В (рО(х)) = (щ(х): Р*рп, Р*-1Рп-1 -

последовательно соединённые, знаменателя близки и А> (г) = 1, либо же

Автоматизация и электротехнические системы

частично погасит виртуальное избыточное Ri(r < , и очевидны доминирующие к (7) до к (7) х Н} (7) = /г (7) , когда явные фильтрующие свойства.

i(0

(PnJ/^oJ

* а"> рт 4 * а 1 т-1 Рт~1+. * а .+ mjpnj+.. * а, .+—— р + а0

0* Рт шЛ ßm-1 .+ ßm ' pm j +.. р

h(t)

1

* п .л * , Гы-1 - пк~1 + * 1 Гкч nk~J 1 * 1 71 р * +"Г0

Р 1 р + • .. 1 р 1 .. . 1

1 IG

К))

МО

Рисунок 7 - Графическая интерпретация решения

Иными словами, однозначно определена верхняя граница феномена всплеска любой динамической системы. Выше точки перегиба, пика ¡г (7), определяемой в виртуальном 1-ом форсирующем сомножителе

/ В (р^ ) нет и быть не может.

Имеет ли смысл и дальше искать истинную «точку перегиба» фильтрованного

¡г (7), математически протягивая его сквозь

^ (А*.,)'B (

м

Пик ¡г (7), в свою очередь, определён однозначно, как степенная функция кратности k = ^(х) / 0) геометрических средних ге-

полиномов

нерирующих

/ т-» * m * m—1 * \

(Ri( 0) : am Р «m—lP ---«О )

(Я(х): ß*m Pm, &-xPm—X-~ß0):

A P*(0)l =

и

B P*l.,l =

max h (t) =

(t)-(Ri(x) /R0))m. и

имеет место в

нулевой квант времени 7 = 0 + с лавинообразным спадом 7 + А7 при подаче внешних воздействий 1(7) и/или ненулевых начальных

условий, и трогании системы с места инжек-цией колоссального количества энергии.

1' G ( Р%<) ?

Пожалуй, нет, даже несмотря на простоту

решения M = 10"^xlg Q . Поскольку принципиально никаких иных методов воздействия

на точку перегиба max(h(th (t)x h (t))

ПХ динамической системы, кроме примитива математического сдвига'масштабирования геометрических средних R(x) ^ shift и/или

R(0) ^ shift, не суть важно даже, чем реализованного технически, а также переформатирования порядков m и n полиномов числителя и знаменателя

/ т-» * m * m—1 * \

(Ri(0) : am Р ,ат—1Р ---«О ) , (*i(x): &V, PliPn—1 - ti) ПФ

AI P*(0)l =

BPq(x)I =

(алгоритмами управления) в теории автоматического управления нет!

Автоматизация и электротехнические системы

Time (seconds)

Рисунок 8 - ПХ h(t), h(t) x h2 (t) и h(t) . Масштаб M ^ 1 очевиден

Автоматизация и электротехнические системы

-1.5

0.5

3.5

1 1.5 2 2.5 3 Time (seconds)

Рисунок 9 - О пренебрежении ненулевым остатком R (P^ ^) / B (P^ ^) при определении G (P^ ^)

И эти механизмы в явном виде выписаны в h (t) . Уместно ограничить поиск max h (t) фактом масштабирования:

M x max h (tM x ko p(r(x) / R(0))

Pn

и

М = 10 кх18 О « 1. Иное лишено смысла, учитывая беспрепятственный визуальный доступ к точке перегиба А (г) численным

моделированием любой итерации кратности Ri(х) / ^(0) = var динамической систе-

мы

A p^J / в

i(p"(x)) •

Доказательство

0) О х)

окончено.

Сингулярно возмущённые системы.

В связи с интенсивным развитием приборостроения, авиации, космических исследований, химической промышленности и

других областей науки и техники возникла потребность в использовании сложных математических моделей, сочетающих в себе высокую размерность и вычислительную жесткость, что послужило толчком к значительному расширению исследований по теории сингулярно возмущенных дифференциальных систем, которые естественным образом возникают при моделировании и анализе объектов различной природы, способных одновременно совершать быстрые и медленные движения. Это может быть обусловлено наличием в системе малых или больших параметров, таких как массы, моменты инерции, коэффициенты упругости, постоянные времени, сопротивления, индуктивности и т.п. Сложную композицию медленных и быстрых движений представляет собой движение систем твердых тел.

m

Автоматизация и электротехнические системы

В линейную динамическую систему различными в общем случае, малыми посто-

А (р) / В (р) с полиномами янными времени Т^* , V* = 1, q. Тем самым

А(р) = (К.0) : а*п-С1рп-4,а*п-д-1 рп-С-1 -а0*) уравняем степени п°лин°м°в числителя

(\ (и п* п „* п-1 оЛ А(Р) = {Ri(0):а*р а*-1Р -а) (р) = (^х) : РР , Р*-1Р - Р0) ин- V у ^ >

и B (P) = (R,W : PnP', Pn—1P — Р0 ) инжектируем q -шт. форсирующих динамических звеньев П (T^jP +1) первого порядка с

—a0 | и знаменателя B ( p ) исследуемой ПФ.

+1

q

j=1

Wn(Р) = ^ftfep +1) = A(p)/В(p)

В ( p ) j=

(ап - с Р п " С + ап - с -1 р п - С -1 + - .. + ап р р р п - « - + ... + а р + 1) хЦ (Т* +1)

' АрРрррРРа1рРрРр1р^РрРр-аР ' (13)

1_1

= А(Р)=(RR■{0): а*пР" Х-1Р"-1-а*0 )

= (п Рп + Рп -1Рп-1 + - • • + рп- Р п+ - + р Р + 1 .

1 1

В силу теоремы о максимуме А (г) для °чевидным этот факт станотится, если случая одинаковых степеней т = п ПФ с вспомнить о малости Т^ , ^ =1, С в по-медленными нулями 0) < Rг■{х) в нулевой становке задачи. с -кратное произведение

квант времени г ^ 0 + амплитуда ПХ А/т

^ * Ц(Тд*Р +1) малых величин - величины

А (г)|г^0+= к0 °а*х ^х) / ^0), оранжевая *=1 _ ( п

+ Рп пренебрежимо малые. (п - к) -я степень в

точка рис. 10. Но, вопреки ожиданиям, А(р) = (: а*рп,°°п1рп-1 -°0*), с ко-оранжевая точка не является точкой мак- Ч0

симума А (г) сингулярно возмущённых торой невозможно его дальнейшее редуци-

систем при т = п ! рование и есть полином А (р) числителя:

°п Рп + °°п-1Рп~1 + - + °°п-кРп-к + °°п-к-1Р"~к-1 + - + °°1Р +1

A (p)=( Д(о):УП—kp"—k Л*п—к—1pn—k—^-У*)

W ( )_ A(P)_(Д(0}:a*nPn,"П-1 Pn 1-aa0*) (14)

■*n ^u y P _ P P n + /n—! P n—1 + . ..+p- P й+ ...+A P+1 '

1_1

Ib(p)_(R(x): /У А*-!?"-1-/0 ), расщепим наBB(P )G(p)^ \

\( R.(x}: ДО-kP^, ДО-к-У^-1- fiO)(R(y)<R(x): r*V yv1Pq-1-0)/

т.е. (Rl{0) : "an—kP"—>kX—k—1Pn—k—1 -a*). R(0) < R(x) (M _10—^°° «1, q < k) Теперь в силу второй теоремы о максиму- , ^ a

1 /л maxh11) = mi xk0

ме h (t) для случая неодинаковых степе- v y|t>0 P к

ней m < n ПФ с медленными нулями красная точка рис. 10.

I (У 1 t ^ \n—k

"('tosMxkoyP*—t(R(x)/'R-oo)] ■

Автоматизация и электротехнические системы

х 10

Step Response

1 1.5

Time (seconds)

Рисунок 10 - ПХ h (t) устоичивои нестационарном

сингулярно возмущённой динамической системы A (Pq^ ) / B (p^ ^) , Vm

Критерием невозможности редуцирования ниже (n - k) -й степени полинома

A

= n

Кp) = (Ri(0) : ä**pn A-lP R(0): <-kpn-k A-k-ipn-k-

n-1 ...«*

...«o)

\n-k

есть та_х_ (Я,(х) / Д(0) ) , на ^ -й итерации редуцирования Ak (p) .

Особо отметим, что сингулярно возмущённая динамическая система любого порядка, образованная псевдо-

умышленной накачкой, инжекцией q -шт. апериодических динамических звеньев

1/ П (Г^/Р +1) с малыми постоянными

j=1

времени Т^/ , V/ = 1, q в полином знаменателя Б ( р ) не редуцируема!

Выводы и направление дальнейших исследований. Впервые представлена аналитическая зависимость максимума переходной характеристики в управлении линейными динамическими системами произвольного порядка. Всплеск с лёгкостью может быть сгенерирован умышленно в любой ПФ с наперёд заданными порядками полиномов числителя и знаменателя m < n , любой геометрии нулей и полюсов, их местоположении относительно мнимой оси, и, что особо примечательно, любой амплитуды. Генерация, как, впрочем, и зеркально противоположное - исключение всплеска, сводятся к примитиву смещения радиусов геометрических средних R(x) ^ shift и/или о) ^ shift корней полиномов числителя и знаменателя генерирующей передаточной функции.

Автоматизация и электротехнические системы

Библиографический список

1. Фельдбаум A.A. О распределении корней характеристического уравнения систем регулирования /А.А. Фельдбаум. - АиТ. — 1948. — № 4. — C. 253-279.

2. Полоцкий В.Н. О максимальных ошибках асимптотического идентификатора состояния / В.Н. Полоцкий. - АиТ. — 1978. — № 8. — С. 26-32.

3. Полоцкий В.Н. Оценки состояния линейных систем с одним выходом при помощи наблюдающих устройств / В.Н. Полоцкий. - АиТ.— 1980. — № 12. — С. 18-29.

4. Измайлов Р.Н. Эффект "всплеска" в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами /Р.Н. Измайлов.- АиТ. — 1987. — № 8. — С. 56-62.

5. Sussmann H. J. The peaking phenomenon and the global stabilization of nonlinear systems / H.J. Sussmann, P.V. Kokotovic // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1991. — Vol. 36; № 4. — P. 424-439.

6. Bushenkov V. Stabilization Problems with Constraints: Analysis and Computational Aspects / V. Bushenkov, G. Smirnov. — Amsterdam: Gordon and Breach, 1997.

7. Smirnov G. Advances on the transient growth quantification in linear control systems / G. Smirnov, V. Bushenkov, F. Miranda // International Journal of Applied Mathematics and Statistics. — 2009. — Vol. 14. — P. 82-92.

8. Polyak B.T. Large deviations in continuous-time linear single-input control systems / B.T. Polyak,

G.V. Smirnov // 19th IFAC World Congress. — Cape Town, South Africa, August 24-29, 2014.

9. Вундер Н.А. Исследование особенностей траекторий свободного движения непрерывной системы в форме последовательной цепочки однотипных апериодических звеньев /

H.А. Вундер, О.С. Нуйя, Р.О. Пещеров, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2016. — Т. 16; № 1(101). — С. 68-75.

10. Полилов Е.В. Маркеры устойчивости линейных динамических систем: текст /Е.В. Полилов // М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. гос. авт. образоват. учреждение высш. проф. образования С.-Петерб. гос. ун-т аэрокосм. приборостроения. ; Завалишинские чтения'16 : сборник докладов 18-22 апреля 2016 г. — Санкт-Петербург : ГУАП, 2016.

11. Полилов Е.В. О границах достижимости теории автоматического управления /Е. В. Полилов // В1сник Нащонального техмчного умверситету «ХП1». — Х. : НТУ «ХП1». — 2015. — № 12(1121). — С .72-82.

12. Полилов Е.В. Исследование явления всплеска в линейных динамических системах, управляемых по состоянию / Е.В. Полилов, А.И. Мотченко, Д.А. Мироненко, М.Д. Мотченко // Сборник научных трудов студентов Донбасского государственного технического университета. — Алчевск : ДонГТУ, 2015. — Вып. 8, часть I. — С. 44-49.

13. Полилов Е.В. Феномен всплеска в управлении динамическими системами / Е.В. Полилов // Электротехнические и компьютерные системы. — К. : Техника. — 2014. — № 15 (91). — С. 25-35.

14. Полилов Е.В. Стратегии качественного управления многомассовыми электромеханическими системами / Е.В. Полилов, В.И. Бугаев, А.А. Меделяев и др. // В1сник Нащонального техтчного утверситету «ХП1». — Х.: НТУ «ХП1». — 2013. — № 36 (1009). — С. 86-96.

Рекомендована к печати к.т.н., проф. ДонГТУ Мотченко А.И., главным энергетиком ПАО «АМК» Диковичем Ю.А.

Статья поступила в редакцию 24.05.16.

к.т.н. Полшов €.В. (ДонДТУ, м. Алчевськ, ЛНР)

ОЦ1НКА МЕЖ ВЕЛИКИХ УХИЛЕНЬ ФАЗОВИХ ЗМ1ННИХ В Л1Н1ЙНИХ СИСТЕМАХ

Вперше представлено аналтичну залежмсть максимуму перех1дног характеристики в управлтт лтйними динам1чними системами довшьного порядку. Розглянуто випадки т=п, т<п однотемпових i сингулярно збурених систем. Отримано умови виникнення т.з. феномену сплеску i неконтрольованого зростання фазових змтних.

ISSN 2077-1738. Сборник научных трудов ДонГТУ 2016. № 3 (46)

Автоматизация и электротехнические системы

Ключовi слова: характеристичний полтом, нестащонарне алгебрагчне рiвняння, корен алге-брагчного рiвняння, феномен сплеску.

PhD Polilov E.V. (DonSTU, Alchevsk, LPR)

ASSESSMENT OF BORDERS FOR LARGE DEVIATIONS OF PHASE VARIABLES IN LINEAR SYSTEMS

World's first analytical dependence is presented of the maximum transient response in operating for linear dynamic systems of arbitrary order. The cases m=n, m<n of one-rate and singularly perturbed systems were considered. The so-called splash phenomena conditions and uncontrolled growth phase variables were obtained.

Key words: characteristic polynomial, unsteady algebraic equation, roots of an algebraic equation, splash phenomenon