Перечисление функций, имеющих заданное число аффинных сомножителей Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Коломеец Н. А. Верхняя оценка числа бент-функций на расстоянии 2к от произвольной бент-функции от 2к переменных // Прикладная дискретная математика. 2014. №3.

С.28-39.

УДК 519.719.1 Б01 10.17223/2226308Х/8/17

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ЗАДАННОЕ ЧИСЛО АФФИННЫХ СОМНОЖИТЕЛЕЙ

А. В. Черемушкин

Предлагается рекурсивный способ вычисления числа двоичных функций от п переменных, имеющих заданное число аффинных сомножителей, допускающий введение ограничений на вес или степень нелинейности функций.

Ключевые слова: двоичные функции, аффинная классификация, формула обращения Мёбиуса.

1. Случай обычных функций

Пусть п ^ 0. Подсчитаем число двоичных функций от п переменных заданного веса, имеющих аффинные сомножители. Функция / : ^(2) ^ {0,1} имеет аффинные сомножители, если найдутся такие функция /(ж) = (ж, а*) Ф Ь, ж Е ^(2), 0 = а* Е Е ^П(2)* (^(2)* — сопряжённое пространство), Ь Е {0,1} и функция Л, что / = / ■ Л.

Пусть к Е {0,..., п}. Обозначим через Тп(к) множество всех двоичных функций от п переменных, имеющих ровно к аффинных сомножителей. Функцию / = 0 не включаем ни в одно из множеств Тп(к). Легко видеть, что выполняется равенство

п

Т = и ^п(к) и {0}. (1)

к=О

Справедливы следующие свойства:

1. Множества Тп(к) при разных к не пересекаются, к = 0,..., п.

2. Множества Тп(к), к = 0, ...,п, инвариантны относительно действия полной аффинной группы ЛОЬ (п, 2) (и, следовательно, разбиваются на классы эквивалентности относительно этой группы).

3. Каждую функцию / Е Тп(к) можно привести с помощью некоторого аффинного преобразования к виду

Л(ж) = /(хф Ф Ь) = Х1... Хкд(хк+1,..., Жп), (2)

где д Е ^п-к(0).

4. Если к Е {0,... ,п} и / Е Тп(к), то 1 ^ ||/1| ^ 2п-к, где ||/1| —вес функции /.

5. Множество векторов, входящих в область истинности {а Е ^(2) : /(а) = 1} функции / вида (2), порождает смежный класс по подпространству размерности п — к.

Теорема 1. Пусть 1 ^ к ^ п и функции /, Л Е Тп(к) и д Е Тп-к(0) удовлетворяют равенству (2). Тогда порядки групп инерции функций /, Л и д в группе аффинных преобразований связаны равенством

|ЛОЬ (п, 2)/1 = |ЛОЬ (п, 2)л| = 2к(п-к)|ОЬ (к, 2)| ■ |ЛОЬ (п — к, 2)я|. (3)

Доказательство вытекает из инвариантности подпространства, порождённого областью истинности функции. При п ^ 1 числа

п к

к-1 2п — 2®

П тк—Тй, если к е {1,...,п}

г=0 2 — 2

1, если к = 0,

называются коэффициентами Гаусса (индекс 2 для простоты записи далее будем опускать).

Теорема 2. При 1 ^ к ^ п справедливо равенство

|^п(к)| = 2к

п к

' \?п-к

(4)

Доказательство. Для каждой функции / е ^П(к) число эквивалентных ей функций совпадает с индексом группы инерции

\/ась(п>2)\ = (АСЬ (п, 2) : ЛОЬ (п, 2)7),

который в силу теоремы 1 равен 2 для всех функций / е ^п(к), получаем формулу (4

п к

|дАСЬ (п к'2) |. Применяя данное равенство

Наряду с множествами Тп и ^п(к), к = 0,... , п, рассмотрим (2п + 1)-мерные вектор-столбцы Тп и ^п(к), з-я координата которых равна числу функций из соответствующего множества, имеющих вес з, з = 0,..., 2п. Для этих векторов справедливо аналогичное (1) соотношение

п

Я = £ ^(к) + {4}, к=0

где е0 — вектор, у которого первая координата равна 1, а остальные — нули. В силу свойства 4 у векторов ^(к) первая координата и последние 2п — 2п-к координат равны нулю. Заметим, что в (2) веса функций /, к и д совпадают. Поэтому равенства, аналогичные (4), выполняются между первыми 2п-к + 1 координатами вектор-столбцов Тп и к (0). Дополним вектор к(0), имеющий длину 2п-к + 1, до вектора длины 2п + 1, полагая координаты с номерами з, 2п-к + 1 ^ з ^ 2п, равными нулю. С учётом этого дополнения можно записать равенство (4) в векторном виде

^п(к) = 2к

п к

к (0).

(5)

В силу равенств (4) и (5) для вычисления значений ^(к), к = 0,... , п, достаточно вычислить лишь величины = |^т(0)| и 24 = ^4(0)^-, з = 0,... , 24, т = 0,... , п. Воспользуемся равенством

п

22П = £ |^п(к)| + 1,

к=0

которое непосредственно вытекает из равенства (1) и свойства 1.

2

Обозначая для краткости

п к

Л(п, к) = 2к

с учётом равенства (4) получаем рекуррентное соотношение

п

¿п = 22П — 1 — Е Л(п, к)^п-к.

п

к=1

Аналогично, с учётом равенства (5) имеем ¿п0 = 0 и для ] = 1,... , 2п

2п п

¿п = . — Е Л(п, к)^п-к,^-. (7)

V .7 / к=1

2п

При этом при всех п ^ 0 выполнено равенство Е ¿п = ¿п.

¿=0

Рекуррентные соотношения (6) и (7) позволяют вычислять значения величин ¿п и ¿п, ^ = 0,... , 2п, последовательно для п = 0,1, 2,... В табл. 1 приведены соответствующие значения при п = 3.

Таблица 1

0 |Тз| {0} |Тз(3)| |Тз(2)| |Тз (1)| |Тз(0)|

0 1 1 0 0 0 0

1 8 0 8 0 0 0

2 28 0 0 28 0 0

3 56 0 0 0 56 0

4 70 0 0 0 14 56

5 56 0 0 0 0 56

6 28 0 0 0 0 28

7 8 0 0 0 0 8

8 1 0 0 0 0 1

Всего 256 1 8 28 70 149

Найдём теперь общий вид решений рекуррентных уравнений (6) и (7). Формула обращения Мёбиуса в данном случае принимает следующий вид.

Утверждение 1 [1,2]. Если последовательности {ип} и {^п} связаны соотношением

п

п

«п = Е к=0

к

^п-к,

то

п

№п = Е (—1)к2к(к+1)/2

к=0

п к

Переписав рекуррентное соотношение (6) в виде

п ^ 0,

«п-к, п ^ 0. 22" - 1

2п

Е

к=0

п к

пк

-г, с помо-

2 п- к

щью формулы обращения получаем следующий окончательный результат. Теорема 3. При всех п ^ 0 справедлива формула

¿п

Е(—1)к 2к(к+1)/2 к=0

п к

(22 — 1)2к

Эта формула позволяет, например, оценить вероятность рп того, что у функции /(^1,... , хп) есть аффинные сомножители:

_ , zn

1 — •

Значения вероятности при 1 ^ n ^ 10 представлены в табл. 2.

Таблица 2

n Pn n Pn

1 0,75 6 2,9 ■ 10 -8

2 0,6875 7 1,3 10- -17

3 0,4218 8 1,4 10- -38

4 0,0809 9 8,8 10- -75

5 8,9 ■ 10-4 10 1,5 10- 151

2. Случай сравнения функций по модулю

При —1 ^ s ^ n — 1 обозначим Us подпространство функций, степень нелинейности которых не превышает s (степень нулевой функции полагаем равной —1).

Аналогично предыдущему случаю, при k € {0,..., n} обозначим через Fs)(k) множество всех двоичных функций, имеющих ровно k линейно независимых аффинных сомножителей по модулю Us. Функции f € Us не включаем ни в одно из множеств

, n. Легко видеть, что выполняется равенство

п

F = U Fs)(k) U Us. k=0

Заметим, что в работе [4] получена точная формула для числа функций от n переменных с алгебраической иммунностью равной 1, т. е. (f) = 1. Этот класс функций можно записать в виде

п

Bi = (J F0)(k). k=i

Справедливы следующие свойства:

1. Множества Fls) (k) при разных k не пересекаются, k = 0,..., n.

2. Множества Fns)(k), k = 0,..., n, инвариантны относительно действия группы AGL (n, 2)Us (и, следовательно, разбиваются на классы эквивалентности относительно этой группы).

3. Каждую функцию f € Fls)(k) можно привести с помощью некоторого аффинного преобразования к виду

h(x) = f (xQ 0 b) = xi ■ ■ ■ Xfcg(xfc+i,... ,xn) (modUs), (8)

где g € Firfck)(0).

Аналогично предыдущему случаю (подробнее см. [3]) доказываются:

Теорема 4. Пусть s ^ 0, 1 ^ k ^ n и функции f, h € F,ls) (k) и g € Fs_-fc)(0) удовлетворяют равенству (8). Тогда порядки групп инерции функций f, h и g по модулю Us связаны равенством

|AGL (n, 2)fs)| = |AGL (n, 2)<s)| =

2fc(n-fc+1) |gl (k, 2)| ■ | AGL (n — k, 2)gs-k) |, если s = deg f — 1, 2k(n-k)|GL (k, 2)| ■ |AGL (n — k, 2)gs-k)|, если s ^ degf — 2.

Теорема 5. При всех s ^ 0, 1 ^ k ^ n справедливо равенство

|Fs)(k)| =

n k

(s k)

n-k

|U

(n)|

17 /(n-k) I |Us-k

n k

1-Е

(s k)

n—k

|U

(n)|

|Us(n-k)|

если s = deg f — 1, если s ^ deg f — 2.

Равенство (9) позволяет составить соотношение рекуррентного типа, которое можно решить также с помощью формулы обращения Мёбиуса. Обозначим

= Йв)(0) п (Ц\Uj-i)|, з = 0,..., п.

Аналогично введём (п + 1)-мерные векторы з-я координата которых равна

числу функций из множества Лв) (к) степени нелинейности з, з = 0,... , п. Пусть п > з > в. Воспользуемся соотношением

(2(j

) — 1) |u?(n)i | = Е (Fs)(k)^-,

k=0

которое непосредственно вытекает из свойства 1. С учётом равенства (9) и теоремы 5 при фиксированных з и в получаем соотношение

(2(jj ) — 1)И™1|

Е

k=0

n

2k

k=0

n k

(s-k) |U

(n)

"n-kj-k, .(n-k)

если j = s + 1,

n k

|uTk |

(n)

(s-k) |Us | -^11

¿n-kj-k-^, еслиj>s + L

|Us-k |

В табл. 3 приведены для примера соответствующие значения при п = 3.

Таблица 3

k

2

s {Us} |Fs)(3)| |Fs)(2)| |Fs)(i)| |Fs)(0)|

—1 1 8 28 70 149

0 2 16 56 126 56

1 16 128 112 0 0

2 128 128 0 0 0

3 256 0 0 0 0

ЛИТЕРАТУРА

1. Comtet M. L. Nombres de Stirling généraux et fonctions symmetriques // C. R. Acad. Sc. Paris. 1972. V. 275. Ser.A. P. 747-750.

2. Bender E. A. and Goldman J. R. On the application of the Möbius inversion in combinatorial analysis // Amer. Math. Monthly. 1975. V.82. No. 8. P. 789-803.

3. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации двоичных функций // Труды по дискретной математике. Т. 4. М.: Физматлит, 2001. С. 273-314.

4. Tu Z. and Deng Y. Algebraic Immunity Hierarchy of Boolean Functions. Cryptology ePrint Archive, Report 2007/259, 2007. e-print.iacr.org. 6 p.