CC BY
5
УДК 669.539.381.296
Паттерн локализованной пластичности на стадии предразрушения: зарождение и развитие
Л.Б. Зуев, Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия
На стадии предразрушения, предшествующей образованию макроскопической шейки в одноосно деформируемом образце, экспериментально наблюдается формирование паттерна в виде полос макродеформации с характерным размером ~10 мм. Эти полосы движутся с разными скоростями к точке, в которой в дальнейшем образуется шейка. Для описания формирования такого паттерна в деформируемой среде выделены два динамических параметра порядка, представляющих амплитуды неустойчивых пластических и упругих мод деформации. Изменение динамических параметров порядка описывается системой двух связанных нелинейных уравнений параболического типа. На основе анализа решений уравнений найдены условия зарождения и развития паттерна на стадии предразрушения.
Ключевые слова: пластическая деформация, стадийность деформации, стадия предразрушения, паттерн, неустойчивость, динамические параметры порядка, автосолитоны
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_5_71
Localized plasticity pattern at the prefracture stage: Origin and development
L.B. Zuev and Yu.A. Khon
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia
A pattern of macroscopic deformation bands with a characteristic size of ~10 mm was revealed experimentally in a uniaxially deformed sample at the prefracture stage prior to macroscopic necking. The bands moved at different velocities to the place of subsequent necking. The observed banding pattern in the deformed medium was described using two identified dynamic order parameters, which are the amplitudes of unstable plastic and elastic deformation modes. The change in the dynamic order parameters was described by a system of two coupled nonlinear parabolic equations. Analysis of solutions to the equations revealed the conditions for the formation and development of the found pattern at the prefracture stage.
Keywords: plastic deformation, stages of deformation, prefracture stage, pattern, instability, dynamic order parameters, autosolitons
1. Введение
Стадийность и локализация пластического течения являются характерными особенностями необратимого изменения формы твердых тел. Картины распределения локализованной макроскопической деформации (паттерны локализованной пластичности) для каждой стадии при одноосном растяжении образца с постоянной скоростью к настоящему времени экспериментально опреде-
лены, являются информативными признаками многостадийного процесса пластического течения и характеризуют отдельные его стадии [1]. Данная картина типична для всех исследованных материалов с разной микроструктурой. Различие состоит лишь в длинах стадий. Характерная ширина полосы макродеформации 4 ~ 10 мм. Каждая макрополоса, в свою очередь, состоит из чередующихся областей с высокой плотностью носи-
© Зуев Л.Б., Хон Ю.А., 2023
телей деформации (полос скольжения) и областей, которые деформируются упруго [2]. Решение уравнений, описывающих динамику накопления деформации в отдельно взятом следе скольжения, является трудно выполнимой задачей. Эта трудность проявляется в большом числе носителей деформации (плотность дислокаций ~1010-1012 см-2) и в нелинейном дальнодействующем характере взаимодействия между дефектами. Из-за накопления случайных отклонений через конечное время цепочка причинно-следственных связей разрывается и прогноз поведения носителей деформации и их пространственного распределения на больших временах становится невозможным. Развиты подходы, учитывающие коллективный характер изменения дислокационных ансамблей при пластической деформации [3-5], основанные на методе фазового поля [6, 7] и статистической термодинамике мезодефектов [8, 9]. На основе этих подходов возможно решение задачи о деформации в отдельно взятом следе скольжения. Далее возникает задача о динамике большого числа следов скольжения на временах, сравнимых со временем деформации образца с учетом перераспределения в нем упругой деформации. В существующих подходах механики сплошных сред [10-13] решение задачи численными методами, в принципе, возможно, но для нахождения условия формирования крупномасштабных пространственно-временных структур необходимо дополнительно учитывать механизмы пластической деформации на стадии предразрушения. Вследствие такого учета задача становится трудно реализуемой. К настоящему времени разработаны методы, позволяющие исследовать динамику формирования паттерна в неравновесных системах [14, 15], в которых изменение состояния среды определяется процессами, протекающими на одном пространственно-временном масштабе (уровне деформации). В таком случае формирование паттерна определяется зарождением и развитием одной неустойчивой моды, а динамика формирования паттерна вблизи порога устойчивости системы описывается уравнением Гинзбурга-Ландау для параметров порядка (амплитуд неустойчивых мод). Специфика деформируемой среды состоит в том, что ее состояние при деформации непрерывно меняется вследствие упругих смещений и необратимых смещений, вызванных носителями необратимой деформации. Поэтому формирование паттернов макроскопической пластической деформации требует рассмотрения как минимум двух мод
деформации, зарождение и развитие которых определяется процессами с различными пространственными и временными масштабами. В работах [16, 17] был предложен подход, учитывающий такие процессы. Удалось получить решения, описывающие паттерны макродеформации, характерные для стадий легкого скольжения, линейного и параболического упрочнения. Настоящая работа является продолжением работ [16, 17] и ставит своей целью выяснение условий зарождения и развития паттерна на стадии предразрушения.
2. Формирование паттерна макроскопической пластической деформации на стадии предразрушения (экспериментальные данные)
На этой стадии зависимость нормированного на модуль Юнга Е напряжения течения о от деформации е плоских образцов при растяжении с постоянной скоростью в имеет вид о ~ еп с п < 1/2.
На рис. 1 приведены примеры экспериментально установленных зависимостей положения X полосы локализованной деформации от времени ^ для различных материалов. Видно, что на стадии предразрушения, выделенной по специфической форме зависимости Х(0, эти зависимости прямолинейны и при экстраполяции сходятся в одной точке, образуя пучки прямых. Скорости движения отдельных полос различаются, но скорость каждой полосы остается постоянной. Длина стадии предразрушения для всех материалов составляет несколько процентов. Имеются различия в числе полос. Так, для мелкокристаллического алюминия (рис. 1, а) с размером зерна ~10 мкм формируется три неподвижных полосы деформации. Для крупнокристаллического алюминия (рис. 1, б) с размером зерна порядка 10 мм образуются шесть полос. Паттерну на стадии предразру-шения предшествует паттерн, характерный для стадии параболического упрочнения. Это видно из рис. 1, а. До момента времени ^ ~ 200 с полосы локализованной деформации неподвижны, что характерно для стадии параболического упрочнения. Число движущихся полос локализованной деформации может меняться в процессе растяжения.
Рассматривается плоский образец длиной Ь0, который деформируется растяжением вдоль оси х. Ось г перпендикулярна, а ось у параллельна плоскости образца. Зависимость приведенного к
Рис. 1. Диаграммы X-t для стадии предразрушения: мелкокристаллический Al (а); крупнокристаллический Al (б); Al-4 мас. % Cu (в); Fe-3 мас. % Si (г); Mg-2 мас. % Mn (д); Zr-2.5 мас. % Nb (е)
модулю Юнга напряжения а от деформации образца 8 = (L - L0)/L0 предполагается известной. Скорость деформации è = const. Коэффициент деформационного упрочнения 0(8) = da/d8 для стадии предразрушения предполагается известным. Ширина полос макроскопической локализованной деформации и динамика их развития слабо зависят от исходной микроструктуры поликристаллического образца. Это позволяет считать деформируемую среду в начальном состоянии однородной и изотропной. Кроме дислокационных мод не исключаются из рассмотрения моды деформации,
определяемые точечными дефектами, границами зерен и пр. Сходство сценариев формирования паттернов локализованной деформации в материалах с различной структурой означает, что структурная релаксация среды может быть описана небольшим числом переменных. Такие переменные, названные динамическими параметрами порядка, были введены в [17]. Поясним физический смысл и процедуру их выделения.
Тензор деформации в^- (г, г) = в^1 (г, г) + вр (г, г) (/, ]=х, у, 2) в точке г с координатами х, у, 2 в момент времени г содержит упругую в?1^, г) и плас-
тическую вР'(г, t) моды деформации. Наблюдаемый экспериментально паттерн пластической деформации определяется продольной компонентой
Вхх (Г, 0 = вХх(г, 0 + вРХ(г, 0 (1)
упругой и пластической мод деформации образца. Эти моды связаны между собой, изменение одной влечет изменение другой. Величина локальной упругой деформации прямо пропорциональна локальному напряжению огу(г, 0. Введение локальных напряжений предполагает рассмотрение деформации на масштабах, намного превышающих межатомные расстояния. На этих масштабах пластическая деформация врХ(г, t) определяется зарождением и движением носителей необратимой деформации с плотностью ру(г, 0, где у = 1, ..., п — тип ансамбля. В дальнейшем предполагается, что зависимость врх (х, t) = врХ[ру (х, t)] известна либо может быть вычислена, например в рамках теории дефектов. Каких-либо ограничений на тип носителей необратимой деформации не накладывается.
Пространственное распределение врх (х, t) и вхх(х, t) определяется решениями системы уравнений механики сплошной среды
^е( х, t) = Г(х, е, Уе, в,...), (2)
где е = {ер1, ее1}, Г = {ер1, ее1} — векторы состояния сплошной среды. В силу сложности (зачастую нерешаемости) задачи явного определения Г обычно исходная система уравнений просто решается численными методами без определения зависимости (2). Однако для качественного математического анализа предполагаем, что (2) известно, функции Г описывают взаимодействие между модами деформации и являются в общем случае нелинейными функциями, е является управляющим параметром. Предполагается, что связь ер1 с ру известна. Непосредственное решение уравнений (2) для макроскопической системы при различных значениях е вряд ли возможно. Тем не менее, используя методы, развитые в теории нелинейных систем [14, 15], причины и условия формирования паттерна могут быть найдены. Обозначим через е (в) = {Вр1, Ве1} однородное стационарное решение системы уравнений (2). В основе методов лежит анализ линейной устойчивости однородного стационарного решения е(в) системы уравнений (2) относительно малых возмущений ~ехр[/ х (кх - /Ю]. Здесь к — волновой вектор; ю(к, е) = юге(к, е) + /ю1т(к, е) — частота; юге, ю1т — вещественная и мнимые части. Анализ линейной устой-
чивости является стандартной процедурой, но для удобства чтения основные этапы анализа приведены в приложении А. Если юге < 0 (юге > 0), то однородное состояние устойчиво (неустойчиво). При юге = 0 имеется неустойчивая мода с частотой ю1 и волновым вектором к\. Величина ¡1 = 1/к1 определяет масштаб длин, на которых происходят изменения плотности носителей необратимой деформации. Классификация пространственно-временных неустойчивостей основывается на значениях юь к1 [14]. Ниже рассматриваются два случая, имеющие отношение к деформируемой среде.
Если ю1 = 0, к1 = 0, то паттерн не формируется, происходит переход из одного стационарного состояния в другое. Такая ситуация имеет место при однородной деформации среды, когда меняется только плотность носителей необратимой деформации.
Если ю1 = 0, к1 > 0, тогда критическая мода при е = е1 (о = о1) от времени не зависит, 5врх(х, t) ~ ехр(7к1х). Это имеет место в начале стадии пластической деформации. При е > е1 моды с к=к1 ± Дк растут. Вблизи приведенного порога устойчивости а1 = (в-в^/в1 ■ 1 растущее решение ищется в виде суперпозиции плоских волн с волновыми векторами к=к1 ± Дк (Дк/к ■ 1) и локальная пластическая деформация может быть представлена в виде
врх(х, t) - вр1 = в°х[ф(х, t)ехр(}к1х) + сс]. (3)
Коэффициент в°хх определяется свойствами деформируемой среды и механизмами пластического течения, сс означает комплексное сопряжение. Формируется стационарный периодический паттерн, характерный для рассматриваемой стадии пластического течения. При однородной пластической деформации к1 = 0. Амплитуда неустойчивой моды ф(х, 0 характеризует паттерн пластической деформации на пространственных масштабах ¡1 ~ 1/к1. Частота неустойчивой моды ю1 определяет характерное время ^ ~ 1/ю формирования паттерна. Суперпозиция плоских волн, как известно, описывает биения, отличительная особенность которых состоит в том, что их амплитуда в п раз превышает амплитуду отдельной взятой моды. Заметим, что помимо распределения (3) возможны и другие распределения. Но частота ю является наибольшей из всех возможных. Поэтому время образования распределения (3) является наименьшим из всех возможных. Фактически, речь
идет о коллективной моде деформации, возбуждение которой проявляется в виде паттернов локализованной пластичности, определяемых формулой (3). В эксперименте проявляются те моды деформации, при возбуждении которых
<в £( х, г )>>в (г). (4)
Это означает, что характерное время смещений ~1/вхх на масштабе 11 ■ Ь0 удовлетворяет неравенству ■ 1/ в.
Неоднородная пластическая деформация еххр1(х, г) неизбежно сопровождается неоднородной упругой деформацией в^Х (х, г), для нахождения которой требуется решать уравнения механики сплошной среды, состояние которой в каждый момент времени зависит от врх(х, г). Решения уравнений можно избежать, если воспользоваться рассмотренным выше методом выделения неустойчивых мод. Прежде всего, при однородной пластической деформации (а\ < 0, ф = 0) следует ожидать однородное распределение упругой деформации в^. Математически это означает, что решение соответствующей системы уравнений при ф = 0 устойчиво относительно малых обратимых смещений ~ехр[/(кх - /юг] с любым волновым вектором к > 0 и частотой ю > 0. При о = о2 > 01 однородное распределение упругих смещений при ф > 0 может стать неустойчивым относительно малых возмущений с волновым вектором к2 и частотой ю2. Длина волны ~1/к2 должна превышать характерный размер неоднородности ~/ь Вблизи безразмерного порога устойчивости а2 = (о - о2)/о2 << 1 рассматривается суперпозиция плоских волн с волновыми векторами, близкими к к2, и вех записывается в виде
вхх (х, г) - ве1 = в0'[л(х, г) ехр(кх)], (5) где в01 определяется свойствами среды; п — безразмерная амплитуда неустойчивой моды упругой деформации. В общем случае п является комплексной величиной. При неоднородном распределении носителей необратимой деформации о(х, г) = о[ф(х, г)] и а2 = а2[ф(х, г)]. В линейном приближении
а2(х, г) = -1 + рф(х, г), р = —^. (6)
С2 ¿ф
В физике амплитуды неустойчивых мод ф, п, следуя Ландау, принято называть параметрами порядка. Учитывая, что изменения внутренней структуры определяются внешней силой, будем называть их динамическими параметрами порядка.
Уравнение для определения п имеет вид [15] ^л = (-1 + Рф)Ц-ЬцЪ +11д2х2 л (7)
и носит название вещественного уравнения Гинзбурга-Ландау. Здесь д1 = д/дг, дх2 = д2/дх2, 12 = 1/к2, г2 = 1/ю2. Коэффициент Ь ■ 1. В дальнейшем п предполагается вещественной величиной. Вблизи порога устойчивости 0 < х, г) ■ 1. При р = 0 уравнение (7) имеет единственное решение П = 0. При рф > 1 имеются решения п(х, г) > 0, описывающие согласно (5) пространственно-временное распределение упругой деформации. Нетрудно видеть, что потенциальная энергия — /д п ¿п при этом понижается.
Уравнение для динамического параметра порядка ф можно получить на основе имеющихся экспериментальных данных. Установлено [18], что на каждой стадии пластического течения формируются дислокационные ансамбли, характерные именно для этой стадии. Вначале они формируются в локальном объеме образца, а в конце стадии занимают весь объем образца. Такое поведение характерно для бистабильных сред, которые одновременно могут находиться в двух устойчивых состояниях. Учитывая, что динамический параметр порядка ф характеризует изменения в ансамбле носителей необратимой деформации, уравнение для бистабильной среды запишем в виде
^ф = аф + «?зф2 -^4ф3 -^Ф + А^ ф, (8)
где коэффициенты а, g > 0, д3 > 0, > 0 являются параметрами деформируемой среды и зависят от е. Уравнение (8) является уравнением Ландау-Халатникова д(ф = -Г5и(ф)/5ф, здесь Г — кинетический коэффициент, потенциальная энергия и(о, ф) с точностью до постоянной величины имеет вид
и (а, ф) ~ |
аф Чзф , Ч4ф , gЛф
4
¿ф. (9)
При g = 0 и а < 0 подынтегральная функция может иметь либо один минимум в точке ф = 0, либо два минимума (бистабильная среда) в точках ф = 0 и ф > 0. При а > 0 имеется только один минимум в точке ф > 0. Поэтому параметр а = а(е) может иметь разный знак. Коэффициенты д3, могут также зависеть от е. Положительный знак g в четвертом слагаемом в квадратных скобках означает, что при пластической деформации деформирующее напряжение должно возрастать пропорцио-
нально величине деформации е ~ 1/0. Поэтому £(0)~1/0.
Введением переменных
= -4, х = 4, л = ф = <
t = —, х = ^ 'Л ^^ ф =ф?42 t2 I
(10)
уравнения (8) и (9) сводятся к виду (знак ~ далее опускается)
5 ,' = (-1 + а ф)'-' +<5 хл,
(11)
ф = аф-с'ф + Рф2-ф3 +12д2хф, (12)
где
х =
\ I=¡к
¡2
(13)
р = ^3^4-12, а = с = дЬ-12. (14)
Система связанных нелинейных параболических уравнений (11) и (12) описывает изменение амплитуд неустойчивых мод при зарождении и развитии деформационного паттерна. При этом свойства материала заложены в коэффициенты уравнений (11), (12). Эти уравнения являются частным случаем системы, возможные решения которой рассмотрены в общем виде в [19].
3. Паттерны локализованной пластичности на стадии предразрушения
Уравнения (11), (12) всегда имеют однородное стационарное решение п0 = П = 0, ф0 = ф = 0, описывающее деформируемую среду в самом начале стадии. Стандартный анализ устойчивости однородных стационарных решений относительно малых возмущений 5п, 5ф ~ ехр /(кх - /Ю) с частотой ю = юге + /ю1т (здесь юге, ю1т — вещественная и мнимые части соответственно) и волновым вектором к показывает следующее. При
а<-
Р2
4
решение п0, ф0 устойчиво (юге < 0). При
Р2
-— < а < 0, 4
(15)
(16)
кроме решения п0, ф0, имеются еще два однородных решения п0, фи = Р/2 - (Р2/4 + а)1/2 и п0, фь = р/2 + (р2/4 + а)ш. Решение п0, фи всегда неустойчиво относительно малых однородных возмущений. Решение п0, фь метастабильно, а п0, ф0 стабильно при
Р2 2р2
-— <а <—— 4 9
(17)
Возмущения Дф с любой амплитудой затухают. При
2р2 9
<а<0
решение п0, фь стабильно, а п0, ф0 метастабильно. Решение п0, ф0 устойчиво относительно малых возмущений с амплитудой Дф < фи. Уравнение
2р2 9
= а
(19)
определяет пороговое значение напряжения, выше которого возмущения с амплитудой Дф > фи могут нарастать. При а > 0 решение п0, фь стабильно, а п0, ф0 неустойчиво.
Стационарные однородные решения п8, ф8 определяются точками пересечения кривых
Л =-1 + й ф,
Л =
а+Рф-ф
(20) (21)
При выполнении неравенств (18) кривая (21) пересекает ось ф в точках фи и фь. Если
1
а >—,
фи
(22)
то кривые (20), (21) вблизи точки фи не пересекаются, решение п0, ф0 устойчиво относительно малых возмущений. При наличии неоднородных возмущений с амплитудой Дф > фи, Дп > 0 решение п0, ф0 может быть неустойчивым. Развитие неустойчивости приводит к возбуждению локализованных решений ф(х, п(х, t), названных в [19] автосолитонами. Автосолитоны являются мета-стабильными локализованными состояниями нелинейной среды. Внутри автосолитона переменные меняются резко, а на периферии среда находится в состоянии п0, ф0. Именно такое поведение характерно для полос локализованной деформации на стадии предразрушения. При
а <— (23)
фи
существуют стационарные однородные решения П > 0, ф5 > фи. При (ф8 - фи)/фи « 1 однородное решение Пя, ф8 неустойчиво относительно малых неоднородных возмущений, устойчиво пространственно-неоднородное распределение динамических параметров порядка.
Различают бегущие и статические автосолито-ны. Статические автосолитоны описывают неподвижные полосы локализованной деформации. Бегущие автосолитоны описывают движущиеся полосы локализованной деформации, которые и наблюдаются на стадии предразрушения. Как по-
с
Рис. 2. Распределение динамических параметров порядка ф (синие кривые 1, 3, 5), п (красные кривые 2, 4, 6) в момент времени г = 5 (1, 2), 10 (3, 4), 15 (5, 6) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 3. Распределение динамических параметров порядка ф (синие кривые 1, 3), п (красные кривые 2, 4) в момент времени г = 10 при т = 0.005 (1, 2), 0.008 (з, 4) (цветной в онлайн-версии)
казано в [19], возбуждению бегущего автосолито-на способствуют условия
l < 1, т «1. (24)
Из (24) с учетом (11) следует, что характерная скорость смещений v1 = l1/t1 должна быть больше v2 = l2/t2. Таким образом, для локализации деформации на стадии предразрушения в движущихся полосах необходимо, чтобы возбуждающиеся моды пластического течения удовлетворяли условию (24). Как известно, на стадии предразруше-ния деформация определяется формированием ячеистых дислокационных структур. Само их появление означает, что определяемая ими скорость смещений становится больше скорости смещений на стадии параболического упрочнения.
4. Паттерны локализованной пластичности на стадии предразрушения (численный анализ)
Ниже рассматриваются численные решения уравнений, описывающие зарождение полос локализованной деформации и их движение. Начальные возмущения Дф задавались в виде
Дф = Дфо ехр[-аф (х - Хд)2], (25)
где Дф0, оф, х0 — амплитуда, дисперсия и координата начального возмущения соответственно. Начальное возмущение для динамического параметра порядка п взято стохастическим с амплитудой 0 < Дп(х) < 10-3. На рис. 2-4 приведены результаты расчетов при
d = 20, а = -0.01, ß = 0.3, с = 0.1, l = 0.2 (26) и различных значениях т. При таких параметрах в (26) фи ~ 0.04, фь ~ 0.26, dфu < 1.
На рис. 2 приведены распределения динамических параметров порядка ф, п в различные момен-
ты времени для случая, когда т = 0.008. Начальное возмущение с Дф0 = 0.1, аф = 2 задано в точке х0 = 0. Видно, что начальное возмущение динамического параметра порядка ф с течением времени нарастает, приводя к возбуждению динамический параметр порядка п. Формируется бегущий автосо-литон (бегущая полоса локализованной деформации). На рис. 3 для момента времени t = 10 приведены распределения динамических параметров порядка ф, п при т = 0.005 и 0.008. Как и следовало ожидать, уменьшение т приводит к увеличению скорости автосолитона. При увеличении т возбужденный автосолитон может быстро затухать. В качестве примера на рис. 4 приведены распределения динамических параметров порядка ф, п при т = 0.01. Видно, что амплитуда автосоли-тона быстро уменьшается и на некотором расстоянии от точки возбуждения уже никак не проявляется.
ф, л 0.40.30.20.10.00 10 20 г
Рис. 4. Распределение динамических параметров порядка ф (синие кривые 1, 3), п (красные кривые 2, 4) при т = 0.01 в момент времени t = 5 (1, 2), 10 (3, 4) (цветной в онлайн-версии)
5. Обсуждение результатов
Ответ на вопрос о причине локализации деформации можно получить при рассмотрении неравенства (24) и уравнения (11). При выполнении неравенства ёф > 1 первое слагаемое в правой части (8) становится положительным и тем больше, чем больше произведение аф Как следствие, малое возмущение Дп быстро нарастает, неравенство (24) выполняется. Локализация пластического течения обеспечивает заданную условиями деформирования скорость деформации всего образца. Возможна ситуация, когда при быстром изменении п локальная скорость деформации будет превышать скорость деформирования образца. Тогда неравенство (24) может выполняться при меньшем значении деформирующего напряжения и, соответственно, при меньшем значении коэффициента деформационного упрочнения.
Скорость бегущей полосы определяется динамическим параметром порядка ф. При постоянном значении сп в уравнении (12) скорость движения стационарного фронта [20]
v = у(фь -2фи),
(27)
где
фь =2-
Фи =-
^ß2 J--h а - c^
\1/2
^ß2
\1/2
(28)
а - c^
Из (27) следует, что при постоянных значениях ß и а скорость v зависит от параметров v1 ~ 1/t1 и c ~ 1/0. В линейном приближении разность фь - 2фи ~ c ~ 1/0. При дислокационных механизмах деформации v1 определяется потенциальным барьером Пайерлса, высота которого зависит от концентрации точечных дефектов, образовавшихся на предыдущем этапе деформации. Первая полоса формируется на фоне распределения носителей деформации, характерного для начала стадии пред-разрушения при g = о0, t\ = t10, 0 = 0о. При движении этой полосы за ее фронтом остается ячеистая дислокационная структура, в которой t\\ < t10, 0 < 0о. В этом случае скорость второй полосы будет больше скорости первой. По этой же причине скорость третьей полосы будет больше скорости второй. Поскольку в эксперименте проявляются наиболее быстрые процессы, то все полосы будут двигаться в одном направлении, но с разной скоростью.
6. Выводы
Движущиеся полосы локализованной пластичности на стадии предразрушения представляют бегущие автосолитоны — неравновесные локализованные состояния среды с непрерывно меняющимся распределением носителей необратимой деформации.
Условием зарождения полос локализованной пластичности является высокая скорость локальной деформации, определяемой формирующейся ячеистой дислокационной структурой на стадии предразрушения. Изменение состояния среды за фронтом прошедшей полосы и снижение коэффициента деформационного упрочнения приводят к большей скорости следующей полосы.
В рамках изложенного выше подхода на основе рассмотрения амплитуд неустойчивых мод удается, не прибегая к утомительным, а подчас и трудно реализуемым численным расчетам, определить в рамках предлагаемой постановки условия зарождения паттерна локализованной пластичности на стадии предразрушения.
Финансирование
Работа выполнена в рамках государственного задания ИФПМ СО РАН, тема номер FWRW-2021-0011.
Литература
1. Зуев Л.Б. Автоволновая пластичность. Локализация и коллективные моды. - М.: Физматлит, 2018.
2. Argon A. Strengthening Mechanisms in Crystal Plasticity. - Oxford: University Press, 2008.
3. Малыгин Г.А. Самоорганизация дислокаций и локализация скольжения в пластически деформируемых кристаллах // ФТТ. - 1995. - Т. 37. - № 1. - С. 3-42.
4. Малыгин Г.А. Процессы самоорганизации дислокаций и пластичность кристаллов // УФН. - 1999. - Т. 169. -№ 9. - С. 979-1010.
5. Aifantis E.C. Non-linearity, periodicity and patterning in plasticity and fracture // Int. J. Non-Linear Mech. -1996. - V. 31. - No. 6. - P. 797-809.
6. Levitas V.I., Javanbakht M. Thermodynamically consistent phase field approach to dislocation evolution at small and large strains // J. Mech. Phys. Solids. - 2015. -V. 82. - P. 345-366. - http://dx.doi.org/10.1016/jjmps. 2015.05.009
7. Javanbakht M., Levitas V.I. Phase field approach to dislocation evolution at large strains: Computational aspects // Int. J. Solids Struct. - 2016. - V. 82. - P. 95-110. -https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2015.10.021
8. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластич-
ности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. -№ 4. - C. 45-72.
9. Наймарк О.Б. О некоторых закономерностях скей-линга в пластичности, разрушении, турбулентности // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 3. - С. 71-83. -https://doi.org/10.24411/1683-805X-2015-00020
10. Романова В.А., Балохонов Р.Р., Шахиджанов В.С., Власов И.В., Москвичев Е.Н., Нехорошева О. Эволюция мезоскопического деформационного рельефа и локальных деформаций в процессе растяжения поликристаллического алюминия // Физ. мезомех. -2021. - Т. 24. - № 5. - С. 79-88. - https://doi.org/10. 24412/1683-805X-2021-5-79-88
11. Емельянова Е.С., Романова В.А., Балохонов Р.Р., Писарев М., Зиновьева О.С. Численное исследование вкладов различных систем скольжения в деформационный отклик поликристаллического титана // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. - № 4. - С. 68-81. - https:// doi.org/10.24411/1683-805X-2020-14009
12. Якушев В.В., Уткин А.В., Жуков А.Н., Гаркушин Г.В., Московских Д. О. Динамический предел текучести и откольная прочность поликристаллического алюми-нида никеля // Физ. мезомех. - 2022. - Т. 25. - № 2. -С. 5-13. - https://doi.org/10.55652/1683-805X_2022_ 25_2_5
13. Трусов П.В., Швейкин А.И., Кондратьев Н.С., Янц А.Ю. Многоуровневые модели в физической ме-зомеханике металлов и сплавов: результаты и перспективы // Физ. мезомех. - 2020. - Т. 23. - № 6. -С. 33-62. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2020-16003
14. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. - 1993. - V. 65. -No. 3. - P. 851-1112.
15. Hohenberg P.C., Krekhov A.P. An introduction to the Ginzburg-Landau theory of phase transitions and non-equilibrium patterns // Phys. Rep. - 2015. - V. 572. - P. 142. - http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2015.01.001
16. Зуев Л.Б., Хон Ю.А. Пластическое течение как процесс формирования пространственно-временных структур. Часть I. Качественные и количественные закономерности // Физ. мезомех. - 2021. - Т. 24. - № 6. - С. 514. - https://doi.org/10.24412/1683-805X-2021-6-5-14
17. Хон Ю.А., Зуев Л.Б. Пластическое течение как процесс формирования пространственно-временных структур. Часть II. Зарождение и развитие локализованных структур: двухуровневое макроскопическое описание // Физ. мезомех. - 2021. - Т. 24. - № 6. - С. 15-24. -https://doi.org/10.24412/1683-805X-2021-6-15-24
18. Козлов Э.В., Старенченко В.А., Конева Н.А. Эволюция дислокационной субструктуры и термоди-
намика пластической деформации металлических материалов // Металлы. - 1993. - № 5. - С. 152-161.
19. Кернер Б.С., Осипов В.В. Самоорганизация в активных распределенных средах // УФН. - 1990. -Т. 160. - № 9. - С. 2-73.
20. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990.
Приложение А
На первом этапе функция е = е + 5е подставляется в линеаризованную систему уравнений (2) и находится система линейных уравнений относительно переменных 5е;-
Л
dtdei (х, t) = X
de
5et (х, t).
(A1)
J
p=p
Далее используется преобразование Фурье
5е( х, ^ = |5е(к, ю)ехр[/ (кх - (А2)
где к — волновой вектор; ю = ю(к, е) — частота. В общем случае
ю(к, в) = юГе(к, в) + /Ю1т(к, в), (А3)
где юге, ю1т — вещественная и мнимые части. После подстановки (А2) в (А1) система уравнений (А2) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений
X Aßej (k, и) -5e, (k, и) = 0.
(A4)
Эта система уравнений имеет тривиальное решение = 0, если ее определитель не равен нулю. Из условия равенства определителя нулю находится частота ю(к, е) моды, амплитуда которой не равна нулю. Если юге(к, е) < 0 для всех к, тогда возмущения затухают и решение е устойчиво. Если юге(к, е) > 0, то е неустойчиво и уравнение юге(к, е) = 0 соответствует точке неустойчивости, которая имеет место при пороговом значении ес. Уравнение юге(к, е) = 0 определяет функцию е = ес(к), которую принято называть нейтральной кривой. Далее рассматривается случай, когда функция ес(к) имеет минимум в точке к=к1 (к1 может быть равным нулю). Для к=к1 и е = ес(к1) вещественная часть юге(к1, ес) = 0. Мнимая часть определяет частоту ю1 = ю1т(кь ес).
Поступила в редакцию 09.02.2023 г., после доработки 07.03.2023 г., принята к публикации 09.03.2023 г.
Сведения об авторах
Зуев Лев Борисович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, 1Ъ7@1яртя.ги Хон Юрий Андреевич, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, кЬоп^яртя.ги
