Патрулирование пространства децентрализованной сетью роботов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Патрулирование пространства децентрализованной сетью роботов

Яцкин Д.В., Московский физико-технический институт (государственный

университет), ОАО «РТИ» danil@frtk.ru

Кочкаров А.А., Финансовый университет при правительстве Российской Федерации,

ИПУ РАН, ОАО «РТИ» акосЬкаг@§таП. сот

которой сенсор способен осуществить

Аннотация

Задача мониторинга, интерпретированная в качестве аналога задачи обнаружения, в частном случае приводится к задачам покрытия и патрулирования пространства. Установлены и математически определены ограничения и допущения, приводящие к задачам покрытия и патрулирования. Задачи формализованы, Для задачи покрытия проведена дискретизация и приведен алгоритм ее решения во введенных обозначениях. Для задачи патрулирования предложены подходы к поиску решения, введены критерии, позволяющие оценивать эффективность найденных решений задачи и сравнивать их между собой.

1 Введение

Мониторинг - систематическое наблюдение за каким-либо процессом с целью фиксировать соответствие (или несоответствие) результатов этого процесса первоначальным предположениям [Крысин, 2008]. Задача мониторинга пространства возникает в разных областях нашей жизни. Сводится она, как правило, к своевременному обнаружению некоей цели в пределах заданной области пространства (зоны мониторинга). Параметры цели, характеристики пространства, особенности обнаружения и значение, вкладываемое в слово «своевременная» - конкретизация задачи мониторинга, приводящая к частным конкретным задачам. При этом следует отметить, что под объектом (целью) мониторинга могут подниматься не только предметы, но и объекты другой природы - сигналы, изменения параметров среды и проч.

Задачу обнаружения удобно решать группой одинаковых сенсоров, каждый из которых имеет свою зону видимости - область пространства, связанную с геометрическим расположением сенсора, в пределах

идентификацию объекта [Яцкин, 2013]. При таком подходе задача обнаружения очевидным образом разбивается на две части -задачу идентификации и задачу расположения идентификаторов (сенсоров). Задача идентификации решается для одного сенсора и сводится к поиску пути выявления целевого объекта (цели мониторинга) в пределах зоны видимости. Для этой задачи невозможно определить общего решения без введения допущений, упрощений и/или конкретизации природы цели мониторинга. Не будем касаться методов решения этой задачи для конкретных случаев, считая ее решенной, а решение реализованным в виде некоего макета. Таким образом, для решения задачи обнаружения остается решить только задачу расположения идентификаторов (сенсоров) - механизм распознавания целевого объекта каждым отдельно взятым сенсором считается разработанным.

2 Задача покрытия

Наиболее общая формулировка задачи покрытия такова:

• Задана некая рабочая зона (зона мониторинга) - связная область пространства.

• Даны N одинаковых устройств, каждому из которых соответствует своя зона покрытия (определяется аналогично для всех устройств).

• В рабочей зоне задано распределение конечное число препятствий - связных множеств точек рабочей зоны, в которых устройства не могут находиться.

• Каждое препятствие каким-либо образом (известным для каждой частной задачи) изменяет зону покрытия каждого устройства (в зависимости от взаимного расположения препятствия и устройства). После учета влияния всех препятствий образуется реальная зона видимости.

Требуется найти такие к < N наборов координат, что если каждое устройство зай-

мет позицию, соответствующие одному из этих наборов (так, чтобы два устройства не использовали один набор координат), в рабочей зоне не было бы точки, не входящей в реальную зону видимости одного из устройств. При этом значение k должно быть минимальным из всех возможных.

Здесь следует заметить следующий принципиальный момент. При подобной постановке задачи возможна ситуация, при которой препятствия будут изменять зону покрытия таким образом, что мониторинг в некоторых точках будет невозможен при любом взаимном расположении устройств. В таком случае будет сделан вывод о невозможном полном решении задачи с помощью сети таких устройств. Однако в какой-то мере задача может быть решена, поэтому при реальной постановке задачи требуется указать допустимые размеры слепых зон (зон, которые не могут входить в зону видимости ни одного из устройств, независимо от расположения) при которых решение задачи считается допустимым.

Соответственно, на математическом языке задача звучит следующим образом:

• Дано связное ограниченное множество A , на котором задано K связных подмно-

K

жеств Bi. При этом U Bi — B . Мы счита-

i—1

ем, что множества задаются на некоей евклидовой плоскости, а значит, мы можем вычислять расстояния между элементами этих множеств.

• Задан закон, ставящий в соответствие некоей точке рабочей зоны X—(Xi, , Хз) ограниченное связное множество C(X), содержащее в себе точку X .

• Для каждого Bi задана функция f, преобразующая C(X) в каждой точке X рабочей зоны. Соответственно, при заданном распределении Bi каждой точке X можно поставить в соответствие множество

K

D( X) — I f (C (X)).

i—1

Требуется найти точек таких, что:

1. "i е {1,2,..., k} ® Xt £ B ;

k

2 A с U D(Xi).

i—1

3. k ® min

Рис 1. Пример. Рабочая зона А , препятствия В и В и зона видимости С(Х) (слева). То же

и реальная зона видимости D(X) (справа).

3 Дискретизация задачи покрытия

Для эффективного решения указанной задачи удобно свести ее к дискретной.

Рабочая зона A представляется в виде сетки (некоего аналога расчетной сетки

[Thompson,1985]) L = {li} с шагом А .

Определяется сетка следующим образом:

• Элементом сетки являются точки в рассматриваемом пространстве.

• Для каждого элемента lt на расстоянии А находится минимум один элемент lj . Если таких элементов несколько, то расстояние между ними равно или 2А или л/2А соответственно. На евклидовой плоскости это соответствует некоей структуре, состоящей из квадратов, вершинами которых являются элементы L .

• Нет такой точки пространства A , в А -окрестности которой (на расстоянии, не превышающем А ) не находился бы хотя бы один элемент сетки L .

С точки зрения физики шаг А должен быть пренебрежимо малым по отношению к характерным размерам задачи.

Итак, после перехода к описанию рабочей зоны в виде сетки, начинается мышление в дискретных терминах. То есть, например, будем считать, что множество

D(li) - дискретное множество, состоящее из элементов L , принадлежащих непрерывному множеству, соответствующему

непрерывному D(li), описанному ранее.

Поскольку рабочая зона A ограничена и А - конечное число, можем считать, что

задано конечное множество L = {l1, l2,...,lM }. Действительно, ограниченность множества A означает, что означает, что

"x е A $ м e N ® max (dist (x, y)) £ МА , где N

ye A

- множество натуральных чисел, dist(x,y) -расстояние между элементами x и y . Со-

ответственно, общее число элементов сетки

не может превышать M (при рассмотрении каждого элемента x е A ). Это очень грубая оценка, но она в полной мере подтверждает конечность множества L . Обозначим множество подмножеств L как S = {S1, S2,..., Sp}. Здесь Si = D(li) для

всех ^ е А \ B. Таким образом, надо найти покрытие множества A - подмножество такое, что

и ^=ь

S'¡ еS'

Покрытие S' называется минимальным, если не существует покрытия S" с S'. Минимальных покрытий может быть несколько. Покрытие S' называется наименьшим, если для любого минимального покрытия S ' выполняется |< , где |х| - мощность множества X. Оптимально искать наименьшее покрытие S'.

Используя такие математические обозначения, можно вывести и доказать следующий алгоритм для решения задачи покрытия.

4 Алгоритм построения наименьшего покрытия множества L

1. Имея множество L, задающее рабочую область, строим множество подмножеств

5 = ^, S2,..., Sp } где Si = D(li) для всех

I е А \ B.

2. Ставим в соответствие этим множествам множество L(y(0)) = {Ь \ Si}. Если один из элементов этого множества - пустое множество, делаем вывод о том, что существует тривиальное решение, алгоритм закончен. Иначе - переход к шагу 3.

3. Строим полный нагруженный граф G(0) = (V(0), E(0), L(V(0)), L(E(0))). О том, какие вершины и ребра какими множествами надо нагружать, можно прочитать в разделе «Метод построения полного нагруженного графа».

4. Проверка существования покрытия. Для произвольной вершины у(0) определяется подмножество Ь(Е(0)) = I L(х). Если в

результате получится непустое множество -

делается вывод о том, что покрытия не существует, алгоритм закончен. В противном случае - переход к шагу 5.

5. k — 0 . Присвоение переменной k значения 0 .

6. В полном нагруженном графе G(k) осуществляется поиск ребра e<¡Jk), для которого

|ь(е(к))| = тт|Ь(х)|. Если Ць^) = 0,

]

осуществляется переход к шагу 8, иначе - к шагу 7.

7. Строится полный нагруженный граф

G(к+1) = (V(к+1) е(к+1) L(V(к+1)) Ь(Е(к+1)))

следующим образом:

у (к+1) = V (к )\{^(к)} ^

Е (к+1) = Е(к) \ Е(к)

+1)) = Ь(е<к)),

ь(ер+1)) = ь(е(к)) П ь(ер))

для всех v(tk+1) е V(к+1), е(к+1) е Е(к+1).

к — к +1. Переход к шагу 6.

8. Начало построения наименьшего покрытия.

V = V ({е(к)}) = {V}к), V (к)}.

9. Если к = 0, осуществляется переход к шагу 12. В противном случае: к — к -1, переход к шагу 10.

10.В графе G(k) определяется подмножество Ь(¥) = У Ь( х).

хе¥

11. Если в G(k) выполняется условие Ь(¥) ^0, то V = V и ^г(к)}. Переход к шагу 9.

12.Множество S ' = {Ь \ L(V((o)): V((o) е V} определяет наименьшее покрытие множества ь .

Конец алгоритма

5 Задача патрулирования

Задача расположения сенсоров сводится к поиску такого набора геометрических положений сенсоров, который обеспечивал бы наиболее эффективное решение задачи мониторинга. Понятие эффективности решения на данном этапе не определяется, так как существенным образом зависит от специфики задачи, о которой будет упомянуто далее. Дело в том, что от начальных условий зависит сама постановка задачи, подхо-

ды к ее решению, а также понятия об эффективности решения задачи. В зависимости от геометрических параметров зоны мониторинга, а также количества сенсоров и геометрических параметров их зон принципиально выделяется 2 случая.

1. Существует такое множество точек в зоне мониторинга (за вычетом препятствий), что при размещении указанного (при задании начальных условий) числа сенсоров в них зона мониторинга полностью содержится в множестве, представляющем собой объединение зон видимости всех сенсоров. Иными словами, возможно покрытие зоны мониторинга указанным числом сенсоров с соответствующими характеристиками.

2. Зону мониторинга невозможно покрыть указанным (при задании начальных условий) числом зон видимости, соответствующих сенсорам, размещенным в зоне мониторинга (в любых точках, кроме препятствий).

Задача покрытия, соответствующая первому случаю, исследуется нами в других работах [Кочкаров, 2015], здесь же будет рассматриваться только второй случай. Однако же, для перехода к математической постановке задачи необходимо сделать еще одну оговорку. Существуют такие начальные условия задачи мониторинга, при которых зону мониторинга (связную за вычетом препятствий) нельзя покрыть никаким числом сенсоров с соответствующими параметрами. Такая ситуация может возникнуть из-за специфического расположения препятствий. В таком случае делается вывод о невозможности решения задачи мониторинга. Исключим этот случай из рассмотрения и произведем постановку задачи с учетом введенных ограничений и допущений.

Количество сенсоров, рассматриваемое в этой задаче, не позволяет покрыть зону мониторинга целиком. Соответственно, нельзя обеспечить такое положение сенсоров, чтобы обеспечивалось обнаружение в каждой точке зоны мониторинга. В отдельно взятый момент времени в каких-то точках зоны мониторинга обнаружение не будет осуществляться. Однако не всегда требуется моментальное обнаружение объекта в любой точке. В некоторых случаях достаточно однократно обнаружить цель в течение некоторого промежутка времени. Для

решения такой задачи надо разработать систему, которая гарантированно обеспечивала бы такое обнаружение в каждой токе зоны мониторинга при нахождении там объекта в течение некоторого времени Т (назовем его временем задержки). Таким образом, возникает объективный критерий для сравнения решений между собой, а также ответа на вопрос о существовании решения в принципе.

Для решения такой задачи требуется построить алгоритм, который обеспечивал бы перемещение сенсоров, позволяющее обеспечить требуемые в задаче условия. Такое перемещение будем называть патрулированием пространства, а саму задачу построения такого алгоритма - задачей патрулирования.

6 Формализация задачи патрулирования

• Дано связное ограниченное множество А (целевая зона), на котором задано К связных подмножеств Вг (препятствия).

К

При этом и Вг = В . Считается, что мно-

г=1

жества задаются на некоей евклидовой плоскости, а значит, известно правило вычисления расстояний между элементами этих множеств.

• Задан закон, ставящий в соответствие некоей точке рабочей зоны

— (^1, Х, Хз )

ограниченное связное множество С(Х) (зона видимости), содержащее в себе точку X.

• Задано ограничение сверху на время задержки Т , определяющее допустимые границы этого времени.

• Задано число N - число сенсоров, доступных для решения задачи.

Требуется построить алгоритм, обеспечивающий нахождение N таких функций,

задающих траектории Уг (0, что:

1. Уг (/) непрерывны по t.

2. "г е {1,.., N1,"t > 0 ® У1 (0 е А \ В .

3 №

3. "0 >0,<<Т ® ииОД(0)3 А

t=t

7 Возможные решения задачи патрулирования

Для решения задач, связанных с поиском маршрутов (путей) в некотором пространстве хорошо подходит теория графов [Коч-каров и др., 2014]. В рамках этой теории разработаны многочисленные алгоритмы поиска путей и маршрутов, обладающих самыми разными характеристиками. Для сведения исходной задачи к задаче в терминах теории графов требуется определить правила, по которым будет устанавливаться соответствие между задачей в исходной записи и ее записью в терминах теории графов. Существует много подходов к определению таких правил, изложим один из них.

Предполагаем наличие алгоритма, способного прокладывать маршрут движения сенсора между двумя точками зоны мониторинга и с определенной точностью рассчитывать время его прохождения.

1) Выбираются точки, расположение сенсоров в которых обеспечит полное покрытие зоны мониторинга. Алгоритм выделения этого множества точек разрабатывается при решении задачи покрытия. Пусть

таких точек Ncov. Эти точки соответствуют вершинам графа, который будет формироваться.

2) Длительность прохождения маршрута, который проложенного между двумя точками, соответствует весу ребра между соответствующими вершинами графа. В силу связности рассматриваемых пространств, такой маршрут существует всегда, а значит, сформированный граф будет полным.

Итак, имеется граф, обход которого (с посещением всех его вершин) даст решение задачи патрулирования.

Существует достаточно большое количество решений задачи обхода вершин графа, в том числе и группой устройств [Portugal, 2011]. В основном методы сводятся к построению гамильтоновых/ эйлеровых циклов на графе, построению минимального остовного дерева и делению графа на подграфы.

Алгоритмы можно сравнивать по объективному критерию. Для каждой вершины определяется время ожидания - время с момента последнего посещения данной вершины. Максимальная величина времени

ожидания по всем вершинам и в течение всего времени выполнения алгоритма соответствует определенной характеристики, которую назовем максимальным временем ожидания алгоритма. Для того, чтобы разработанный алгоритм соответствовал решению задачи мониторинга, необходимо, чтобы его максимальное время ожидания было не больше T . Также можно сравнивать алгоритмы друг с другом по этой характеристики - более эффективным является алгоритм с меньшим максимальным временем ожидания.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 16-01-00342 а).

Список литературы

Крысин Л.П. Толковый словарь иноязычных слов. — М.: Эксмо, 2008. — 944 с.

Яцкин Д.В. Алгоритмическая самоорганизация и моделирование децентрализованных мобильных сетей связи// Труды 56-й научной конференции МФТИ. Радиотехника и кибернетика. - М.: МФТИ, 2013. - С. 178-179.

Кочкаров А. А., Яцкин Д.В. Задача мониторинга и покрытия связных пространств // Труды III Всероссийской научно-технической конференции «РТИ Системы ВКО-2015». - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. - С. 694-702.

D. Portugal and R.P. Rocha, On the Performance and Scalability of Multi-Robot Patrolling Algorithms. In IEEE Int. Symp. on Safety, Security, and Rescue Robotics, Kyoto, Japan, November 1-5, 2011. [М., 2008] URL:

http://protect.gost.ru/v.aspx?control=8&id=1656 14 (дата обращения 01.12.2015).

Thompson Joe F., Warsi Z. A., Mastin C. V. Numerical Grid Generation, Foundations and Applications. - Amsterdam: North-Holland, 1985

Кочкаров А.А., Сенникова Л.И., Яцкин Д.В. Применение методов динамической теории графов для разработки алгоритмов самоорганизации абонентов в сетевых системах // Перспективы развития РЛС дальнего обнаружения и интегрированных систем и комплексов информационного обеспечения Воздушно-космической обороны (РТИ Системы ВКО-2014): II Всероссийская научно-техническая конференция: Сборник материалов. - М.: Радиотехника, 2014. - С. 359-363.