CC BY
75
УДК 539.6
Параметризация модифицированного потенциала Терсоффа для расчета межатомных взаимодействий в кластерах оксида висмута
В.В. Решетняк1, А.Н. Кириченко2, Е.А. Трусова3
1 ООО «РнД-М», Москва, Троицк, 142191, Россия 2 Технологический институт сверхтвердых и новых углеродных материалов, Москва, Троицк, 142190, Россия 3 Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН, Москва, 119991, Россия
В работе определены параметры модифицированного потенциала Терсоффа для расчета межатомных взаимодействий в оксиде висмута. Потенциал учитывает влияние локального окружения атома на энергию связи, образованной с его участием, и хорошо подходит для описания структуры, включающей ковалентно связанные атомы. Полярный характер связей был учтен путем дополнительного использования кулоновского слагаемого. При расчете энергии кулоновского взаимодействия принято условие, что заряды атомов кислорода и висмута фиксированы. Параметризация выполнялась по результатам квантовомеханических расчетов для кластеров оксида висмута. Найденный потенциал был протестирован в анализе результатов оптимизации и расчета энергии кристаллов а-, Р-, у- и 8-фаз и кластеров оксида висмута различной структуры и размеров. Тестирование в расчете структуры кристаллических фаз проводилось в сравнении с известными из литературы экспериментальными данными. Тестирование при расчете структуры и энергии кластеров выполнялось в сравнении с результатами квантовомеханических расчетов. Показно, что потенциал хорошо описывает структуру и энергию кластеров оксида висмута, а также дает верный результат при сравнении энергий различных изомеров. Таким образом, потенциал может быть использован для расчета равновесных и низкоэнергетичных метастабильных структур кластеров. Однако точность расчета кристаллической структуры с использованием потенциала ниже: параметры решетки кристаллов, как правило, оказываются меньше примерно на 10 %. Кроме того, потенциал не предсказывает стабильности а-фазы оксида висмута. Таким образом, возможности использования потенциала для расчета межатомных взаимодействий в кристаллических фазах ограничены.
Ключевые слова: потенциал межатомного взаимодействия, потенциал Терсоффа, теория функционала электронной плотности, параметризация, оксид висмута
Parameterization of a modified Tersoff potential for the calculation of interatomic interactions in bismuth oxide clusters
V.V. Reshetnyak1, A.N. Kirichenko2, and E.A. Trusova3
1 LLC "RnD-M", Troitsk, Moscow, 142190, Russia 2 Technological Institute for Superhard and Novel Carbon Materials, Troitsk, Moscow, 142190, Russia 3 Baikov Institute of Metallurgy and Materials Science RAS, Moscow, 119991, Russia
The parameters of a modified Tersoff potential has been determined to calculate interatomic interactions in bismuth oxide. The potential accounts for the influence of the local environment of an atom on the energy of the bond formed with the participation of the environment. Hence, it is well suited for describing the structure that contains covalently bound atoms. The polar character of bonds was taken into account by additionally using the Coulombic term. The Coulomb energy was calculated under the assumption of fixed oxygen and bismuth atomic charges. Parameterization was carried out based on the quantum mechanical calculation results for bismuth oxide clusters. The found potential was tested by analyzing optimization results and by calculating the energy of а-, P-, у- and 8-phase bismuth oxide crystals and clusters of different structure and size. The test calculation results for crystal phase structure were compared to the experimental data from the literature, and those for cluster structure and energy were compared to the quantum mechanical calculation results. The tests have shown that the potential describes well the structure and energy of bismuth oxide clusters and gives a correct result in comparing energies of different isomers. The potential can therefore be used to calculate equilibrium and low-energy metastable structures of clusters. However, the accuracy of crystal structure calculation with the use of the potential is lower: crystal lattice parameters are usually lower by about 10 %. Moreover, the potential does not predict the а-phase stability in bismuth oxide. The applicability of the potential to calculate interatomic interactions in crystal phases is thus limited.
Keywords: interatomic interaction potential, Tersoff potential, density functional theory, parameterization, bismuth oxide
© Решетняк В.В., Кириченко А.Н., Трусова Е.А., 2016
1. Введение
Для создания теоретически обоснованных разработок новых наноматериалов необходимо детально исследовать структурные особенности и электронные свойства нанопорошков оксидов, которые предназначены для их получения. Одним из важнейших полупродуктов для получения наноструктурированных полупроводниковых материалов является оксид висмута. Как известно, существенной особенностью оксида висмута являются полиморфизм и большое различие электронной структуры разных структурных модификаций, что делает его привлекательным для использования при разработке новых материалов для электроники и катализа [1, 2]. Особый интерес вызывает изучение аморфной фазы оксида висмута, его кластеров, структурное многообразие которых позволяет ожидать от них новых уникальных свойств [3-5]. Аналитические потенциалы межатомного взаимодействия при этом могут быть эффективно использованы для изучения структуры кластеров, а также аморфной фазы оксида висмута.
Для описания межатомных взаимодействий в кристаллах и кластерах оксидов металлов с помощью эмпирических потенциалов широко используются различные парные и трехчастичные потенциалы, включающие кулоновскую добавку для учета полярного характера связей [6-8]. В случае структур с ковалентно связанными атомами необходимо учитывать влияние локального окружения атомов на энергию связей между ними.
Хорошо известно, что трехчастичные потенциалы Стиллингера-Веббера [9] или Терсоффа [10, 11] эффективны в решении подобных задач в отличие от двухчастичных. Заряды атомов при этом можно принимать фиксированными, либо вычислять их в зависимости от локального окружения и проводить их переопределение при реорганизации структур в ходе расчетов [12, 13].
На сегодняшний день параметризация потенциалов межатомного взаимодействия выполнена далеко не для всех атомов и соединений. В частности, в литературе отсутствуют параметры для описания межатомных взаимодействий в оксиде висмута. В настоящей работе для расчета энергии межатомных взаимодействий в оксиде висмута выполнена параметризация модифицированного потенциала Терсоффа [11], учитывающего полярный характер связей с помощью дополнительного куло-новского слагаемого. Заряды атомов, фиксированные для всех атомов одного сорта, определялись в ходе процедуры параметризации независимо от структуры и не пересчитывались при реорганизации структур в ходе расчетов. Параметризация выполнялась по результатам сканирования поверхности потенциальной энергии кластеров оксида висмута различных размеров, выполненного в рамках теории функционала электронной плотности (density functional theory (DFT)). Найденные таким образом параметры лучше всего подходят для
исследования структуры кластеров. Тестирование потенциала по отношению к кристаллическим фазам оксида висмута показало, что его применение для оптимизации атомных позиций и параметров ячейки кристаллических фаз оксида висмута дает удовлетворительные результаты, однако потенциал не предсказывает стабильности а-фазы.
2. Описание и тестирование DFT-мoдeли
При квантовомеханических расчетах использовали обменно-корреляционный функционал B3LYP [14], базис def2-SVP [15] и релятивистский псевдопотенциал [16]. Для ускорения расчета кулоновских интегралов использовали RПCOSX-аппроксимацию [17]. Вычисления выполнялись с помощью программного пакета ORCA [18]. Для тестирования модели использовали данные авторов [4, 5] для кластеров (В^03)2 с симметрией
Td и °2Н (Рис. 1).
Энергия структуры, представленной на рис. 1, а, ниже, чем структуры на рис. 1, б на 0.989 эВ по данным
[4] и на 1.447 эВ по данным [5]. В настоящей работе полученная разница составила 1.445 эВ, что идеально согласуется с результатами работы [5] и заметно отличается от результатов [4]. Различия обусловлены использованием в работе [4] функционала GGA РВЕ, однако в настоящей работе, как и в [5], используется гибридный функционал B3LYP, позволяющий более точно рассчитывать энергии полупроводников и диэлектриков.
Рассчитанные в данной работе длины связей и валентные углы в кластерах оксида висмута (рис. 1), а также литературные данные [5] приведены в табл. 1. Анализ табл. 1 показывает, что результаты тестирования хорошо совпадают с данными литературного источника
[5], при этом расхождения не превышают 5 %.
3. Потенциал Терсоффа
С учетом электростатических межатомных взаимодействий с помощью кулоновского слагаемого выражение для потенциала Терсоффа имеет вид:
Рис. 1. Кластеры (В^03)2 с симметрией (а) и (б). Здесь и далее атомы висмута окрашены темно-серым цветом, а атомы кислорода — светло-серым
Et=1 ЕЕ
i j>i
Vj+k
QiQj
(1)
где Q — заряд атома; к — кулоновская константа; i, j — индексы атомов; V — обобщенный потенциал Морзе. Для пары атомов с индексами i и j потенциал Vij имеет вид:
V = Щ)[ Ле-^- ЦВ^ ], (2)
где /с — функция обрезки, определяющая радиус взаимодействия пары атомов, имеет постоянные значение и производную для всех г и изменяется от 1 до 0 в малой окрестности радиуса D обрезки й: 1, r<R - D,
fc =
1 9 . fn r - R ) 1 . f 3п r - R ---sin I--I--sin I--
2 16 I 2 D I 16 I 2 D
(3)
R - D<r<R + D, 0, r>R + D,
bij — функция порядков связи, которая зависит от коор динации атомов i и j:
bj = (1+znj) "1/(2й).
Zj = Е fc(r&)g(Ojk )e, k &,j
g (6) = c, + g o(6) gfl (6),
(4)
go(6)=
c2(h - cos6)
c3 + (h - cos 6)2 ga (6) = 1 + C4 exp(-c5 (h - cos 6)2),
где 6jk — валентный угол между связями ij и ik; Aj, A2, A, B, n, n — параметры парного взаимодействия, которые должны быть определены для каждой пары атомов; R, D — параметры функции обрезки, которые определяются для каждой пары атомов; Z, а, в, h, c1, c2, c3, c4, c5 — зависящие от координации центрального из трех атомов параметры порядка связи, которые определяются для каждой комбинации трех атомов. Значение параметра m должно быть равно 3 или 1.
Таблица 1
Результаты тестирования DFT-модели в расчете длин связей и валентных углов в кластерах оксида висмута (рис. 1)
Результаты, полученные в настоящей статье Данные работы [5]
Td D2h Td D2h
Bi-O1, нм 0.1947 0.2086 0.2039 0.2028
Bi-O2, нм - 0.2122 - 0.2062
< (O1-Bi-O1) 99.0 - 97.3 -
< (O2-Bi-O2') - 80.5 - 80.1
< (O1-Bi-O2) - 103.8 - 102.5
< (Bi-O1-Bi) 128.3 144.5 130.3 150.6
Заряды атомов висмута получали при оптимизации потенциала, а заряд атомов кислорода устанавливали исходя из условия нейтральности кластеров. При этом принимали допущение, что все кластеры содержат только два типа атомов, висмут и кислород, а все параметры для атомов одного и того же типа одинаковы.
Для параметризации потенциалов в рамках DFT-модели было выполнено сканирование поверхности потенциальной энергии для различных кластеров. Рассмотрены кластеры (В^О3)п, п = 1,..., 4 (рис. 2). В работе [4] было установлено, что эти кластеры являются наиболее стабильными при п = 1-4.
Сканирование поверхности потенциальной энергии выполнялось при изменении расстояний В^В^ В^О и О-О с фиксированным шагом в диапазоне значений г0 - 0.05 нм < г < г0 + 0.05 нм, где г0 — соответствующее межатомное расстояние в равновесной структуре, г — межатомное расстояние, использованное при сканировании. Все остальные внутренние степени свободы для кластеров были оптимизированы на каждом шаге сканирования. В процессе сканирования были получены по 25 различных изомеров для каждого значения п (полное число структур N = 100). Для каждой структуры была рассчитана энергия диссоциации как разность энергии кластера и суммы энергий всех отдельных атомов, входящих в его состав:
M
EDFT = Etot -Е Ei ■ i=1
(5)
Затем энергия диссоциации Е^ была рассчитана для каждого из найденных ранее N кластеров с использованием потенциала (1), реализованного в программе LAMMPS [19, 20]. Координаты атомов в кластерах определяли по результатам DFT-расчетов и не меняли в ходе дальнейших вычислений. Необходимые для расчета параметры определяли путем минимизации целевой функции
AE =
1 N
1 V ( J7m J7m\ 2 — Е (EDFT - ET ) . N m=1
(6)
Оптимизация была выполнена с применением алгоритма bassin-hopping: на каждом шаге использовали случайное смещение значений параметров, а затем полученные параметры использовали в качестве входных данных для локальной оптимизации, которая была выполнена с помощью прямого метода COBYLA [21], реализованного в программе SciPy [22]. В ходе оптимизации были применены следующие ограничения:
1) значения всех параметров, кроме параметра h, положительны;
2) -1 < h < 1;
3) заряд атомов висмута должен иметь величину в интервале 0 < Q < +3.
Если новое значение целевой функции, полученное на данном этапе оптимизации, оказывалось меньше предыдущего минимального значения, старые значения
Рис. 2. Стабильные кластеры (В^О3)И при п = 1...4, по данным работы [4], использованные в настоящей статье для параметризации потенциала межатомных взаимодействий
Рис. 3. Использованные для тестирования потенциала межатомного взаимодействия кластеры, структуры которых не были рассмотрены в ходе параметризации потенциала
параметров заменялись новыми. Описанная процедура повторялась до тех пор, пока значение целевой функции не оказывалось неизменным в течение заключительных 100 шагов.
4. Результаты
В результате оптимизации значение целевой функции составило 0.151 эВ. Заряд атома висмута, соответствующий оптимальному значению целевой функции,
Таблица 2
Значения параметров модифицированного потенциала Терсоффа
Bi Bi Bi О О о Bi Bi О Bi О Bi О Bi Bi О О Bi О Bi О Bi ОО
а 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000 3.000
в 5.278 7.047 9.355 0.000 7.055 2.607 3.207 1.398
h 0.709 1.000 0.369 0.682 0.889 1.000 0.989 0.509
п 7.050 1.347 7.050 6.871 6.871 1.347 6.871 6.871
нм-1 15.54 13.68 15.54 11.99 11.99 13.68 11.99 11.99
В, эВ 37.258 4.870 37.258 5.296 5.296 4.870 5.296 5.296
R, нм 0.3433 0.3482 0.3433 0.3500 0.3500 0.3482 0.3500 0.3500
D, нм 0.0041 0.0300 0.0041 0.0018 0.0018 0.0300 0.0018 0.0018
А2, нм-1 31.83 49.92 31.83 45.00 45.00 49.92 45.00 45.00
А, эВ 3823.4 5672.7 3823.4 6373.1 6373.1 5672.7 6373.1 6373.1
п 2.831 6.154 2.831 2.765 2.765 6.154 2.765 2.765
С1 0.000 0.980 0.004 0.916 0.580 0.004 0.969 0.967
с2 0.586 0.828 1.000 1.000 0.959 1.000 0.956 0.609
С3 1.390 1.188 3.467 0.100 1.423 15.673 1.744 4.171
с4 6.516 12.905 7.192 14.199 5.269 1.681 11.398 2.311
С5 5.240 4.127 6.760 0.925 6.875 3.719 11.361 1.501
Таблица 3
Тестирование потенциала при определении равновесной геометрии и энергии кластеров ^2О3)И
п = 1, рис. 2, а п = 2, рис. 2, б п = 2, рис. 3, а п = 2, рис. 3, б п = 3, рис. 2, в п = 3, рис. 3, в п = 4, рис. 2, г п = 5, рис. 3, г
RMSD, нм 0.008 0.011 0.009 0.021 0.015 0.028 0.029 0.0238
¿ОТТ' эВ -32.41 -69.19 -67.26 -67.75 -103.39 -103.88 -140.01 -175.961
ЕТ, эВ -32.66 -69.97 -68.60 -68.64 -105.20 -106.19 -143.26 -180.603
был равен +1.501е. Значения параметров функций двухчастичного и трехчастичного взаимодействия, входящих в потенциал (1), представлены в табл. 2. Формат столбцов табл. 2 соответствует формату строк файлов потенциала в программе LAMMPS. В каждой тройке атомов, указанных в таблице, первый из трех атомов является центральным, второй — атом из ближайшего окружения первого, взаимодействие с которым определяется данными параметрами, третий — атом из ближайшего окружения первого, влияющий на взаимодействие между первым и вторым через функцию порядков связей.
Для тестирования качества параметризации было проведено сравнение результатов оптимизации кластеров (ВШ2О3)п в рамках DFT-модели с результатами, полученными с использованием потенциала (1). Сначала кластер предварительно оптимизировали с использованием DFT-модели и вычисляли его энергию. Затем этот кластер оптимизировали с использованием потенциала (1) и рассчитывали энергию полученной структуры. Сравнение результатов проводили по энергиям и атомным позициям, для которых рассчитывалось среднеквадратическое отклонение (RMSD). Кроме кластеров с п = 1, ...,4, представленных на рис. 2 и использованных при проведении параметризации, были рассмотрены кластеры, представленные на рис. 3 (результаты сравнения см. в табл. 3).
Кроме энергий диссоциации и атомных позиций, в рамках DFT-модели для всех указанных выше кластеров были рассчитаны атомные заряды с использованием малликеновского анализа заселенностей атомных орби-
талей. Средние значения зарядов атомов висмута и кислорода, рассчитанные для всех атомов рассмотренных структур, составили соответственно +1.133е и -0.755е, а значения среднеквадратического отклонения составили 0.054е и 0.034е соответственно.
Мы не считаем существенным тот факт, что найденный в ходе параметризации заряд атома висмута (а значит, и рассчитанный из условия нейтральности заряд атома кислорода) заметно отличается от указанного среднего значения, поскольку данная эмпирическая модель не ставит целью расчет атомных зарядов. С нашей точки зрения, важна малая величина среднеквадрати-ческого отклонения, что свидетельствует о близких значениях зарядов всех атомов одного вида в кластерах различной структуры. Учитывая этот факт, считаем оправданным использование в модели фиксированных зарядов для атомов висмута и кислорода.
Результаты тестирования свидетельствуют о том, что набор параметров, рассчитанных в настоящей работе, может быть использован не только для расчета энергии и атомных позиций у весьма ограниченного набора структур, рассмотренных при параметризации, но и для кластеров самой разнообразной формы.
Для уточнения границ применимости найденных параметров было проведено тестирование потенциала для расчета структуры и энергии различных кристаллических фаз оксида висмута. При этом параметры решетки и атомные позиции различных кристаллических фаз, взятые из базы данных МИНКРИСТ [23], задавались в качестве входных данных для оптимизации с использованием эмпирического потенциала, после чего конеч-
Таблица 4
Тестирование применимости установленного потенциала для расчета кристаллических структур
Параметр а-фаза в-фаза у-фаза 5-ф аза
Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент Расчет Эксперимент
а 5.973 5.849 7.526 7.741 9.614 10.250 5.201 5.649
Ь 7.681 8.166 7.526 7.741 9.614 10.250 5.201 5.649
с 7.376 7.502 5.209 5.634 9.614 10.250 5.201 5.649
а 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
в 112.9 113.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
У 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
RMSD, нм 0.0213 0.0325 0.0423 0.0338
ную структуру сравнивали с исходной. Результаты сравнения представлены в табл. 4.
Из табл. 4 видно, что при расчете атомных позиций и параметров решетки кристаллических структур потенциал дает менее точный результат, чем при расчете атомных позиций в кластерах. При оптимизации структуры кристалла параметры решетки, как правило, оказываются заниженными примерно на 10 %. Также заметим, что потенциал дает заниженное значение энергии кристалла в a-фазе, не предсказывая ее стабильности. Таким образом, применение потенциала для изучения кристаллических структур оксида висмута можно считать частично ограниченным. Возможно, это связано с тем, что в кластерах, использованных при параметризации, значительную долю составляют атомы поверхности. Как известно, связи атомов на поверхности нано-частиц с окружающими атомами короче, чем в объеме, причем энергия этих связей соответственно выше.
5. Выводы
Определенные в настоящей работе параметры для потенциала Терсоффа позволяют с высокой точностью рассчитывать энергию диссоциации и равновесные атомные позиции в кластерах оксида висмута различной структуры. Использование потенциала для расчета параметров решетки и атомных позиций в кристаллических фазах оксида висмута приводит к занижению параметров решетки примерно на 10 %. Расчет энергии кристаллических структур не является достаточно точным, поскольку не предсказывает равновесного состояния для a-фазы. Возможно, это связано с тем, что в кластерах, использованных при параметризации, значительную долю составляют атомы поверхности, образующие с соседними атомами более прочные и более короткие связи, чем в объеме.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 14-02-00517_а.
Литература
1. Khairy M., Kadara R.O., Kampouris D.K., Banks C.E. Disposable bismuth oxide printed electrodes for the sensing of zinc in seawater // Electroanalysis. - 2010. - V. 22. - P. 1455-1459.
2. Cheng H., Huang B., Lu J., Wang Z., Xu B., Qin X., Zhang X., Dai Y Synergetic effect of crystal and electronic structures on the visible-light-driven photocatalytic performances of Bi2O3 polymorphs // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2010. - V. 12. - P. 15468-15475.
3. Leontie L. Optical properties of bismuth oxide thin films prepared by reactive magnetron sputtering // J. Optoelect. Adv. Mater. - 2006. -V. 8. - No. 3. - P. 1221-1224.
4. Geudtner G., Calaminici P., Koster A.M. Growth pattern of ^20з)л clusters with n = 1-5: A first principles investigation // J. Phys. Chem. C. - 2013. - V. 117. - No. 25. - P. 13210-13216.
5. Chrissanthopoulos A., Pouchan C. A density functional investigation of the structural and vibrational properties of symmetric molecules M4O6, M4010 (M = P, As, Sb, Bi) // Vibr. Spectroscopy. - 2008. -V. 48. - P. 135-141.
6. Behrman E.C., Foehrweiser R.K., Myers J.R., French B.R., Zandler M.E. Possibility of stable spheroid molecules of ZnO // Phys. Rev. A. - 1994. - V. 49. - No. 3. - P. 1543-1546.
7. Al-Sunaidi A.A., Sokol A.A., Catlow C.R.A., Woodley S.M. Structures of zinc oxide nanoclusters: as found by revolutionary algorithm techniques // J. Phys. Chem. C. - 2008. - V. 112. - P. 18860-18875.
8. Liang T., Shin Y.K., Cheng Y.-T. et al. Reactive potentials for advanced atomic simulations // Annu. Rev. Mater. Res. - 2013. - V. 43. - P. 12.112.21.
9. Stillinger F.H, Weber T.A. Computer-simulation of local order in condensed phases of silicon // Phys. Rev. B. - 1985. - V. 31. - P. 52625271.
10. Tersoff J. New empirical model for the structural properties of silicon // Phys. Rev. Lett. - 1986. - V. 56. - P. 632-635.
11. Kumagai T., Izumi S., Hara S., Sakai S. Development of bond-order potentials that can reproduce the elastic constants and melting point of silicon for classical molecular dynamics simulation // Comp. Mat. Sci. - 2007. - V. 39. - P. 457-464.
12. Erhart P., Juslin N., Goy O., Nordlund K., MUller R., Albe K. Analytic bond-order potential for atomistic simulation of zinc oxide // J. Phys. Condensed Matter. - 2006. - V. 18. - No. 29. - P. 6585-6605.
13. Yu J., Sinnott S.B., Phillpot S.R. Charge optimized many-body potential for Si/Si02 system // Phys. Rev. B. - 2007. - V. 75. - P. 085311.
14. Becke A.D. Density functional thermochemistry. III. The role of exact exchange // J. Chem. Phys. -1993. - V. 98. - No. 2. - P. 5648-5652.
15. Schafer A., Horn H., Ahlrichs R.J. Fully optimized contracted Gaussian basis sets for atoms Li to Kr // J. Chem. Phys. - 1992. - V. 97. -P. 2571-2577.
16. Metz B., Stoll H., Dolg M. Small-core multiconfiguration Dirac-Hartree-Fock adjusted pseudopotentials for post-d main group elements: Application to PbH and PbO // J. Chem. Phys. - 2000. -V. 113.- P. 2563-2569.
17. Neese F., Wennmohs F., Hansen A., Becker U. Efficient, approximate and parallel Hartree-Fock and hybrid DFT calculation // Chem. Phys. -2009. - V. 356. - P. 98-109.
18. Neese F. The ORCA program system // WIREs Comput. Mol. Sci. -2012. - V. 2. - P. 73-78.
19. Plimpton S.J. Fast parallel algorithms for short-range molecular dynamics // J. Comp. Phys. - 1995. - V. 117. - P. 1-19.
20. http://lammps.sandia.gov.
21. Powell M.J.D. A Direct Search Optimization Method that Models the Objective and Constraint Functions by Linear Interpolation // Advances in Optimization and Numerical Analysis / Ed. by S. Gomez, J.-P. Hennart. - Dordrecht: Kluwer Academic, 1994. - P. 51-67.
22. Millman K.J., Aivazis M. Python for scientists and engineers // Comput. Sci. Eng. - 2011. - V 13. - P. 9-12.
23. Чичагов А.В., Белоножко А.Б., Лопатин А.Л., Докина Т.Н., Само-хвалова О.Л., Ушаковская Т.В., Шилова З.В. Информационно-вычислительная система по кристаллоструктурным данным минералов (МИНКРИСТ) // Кристаллография. - 1990. - Т. 35. - № 3. -C. 610-616.
Поступила в редакцию 08.12.2015 г.
Сведения об авторах
Решетняк Виктор Витальевич, к.т.н., нс ООО «РнД-М», [email protected] Кириченко Алексей Николаевич, к.х.н., снс ТИСНУМ, [email protected] Трусова Елена Алексеевна, к.х.н., снс ИМЕТ РАН, [email protected]
