CC BY
5
УДК 621.372.061
Я. К. ТРОХИМЕНКО, д-р техн. наук, А. И. РЫБИН, канд. -ехн. наук, Е. Г. ПЛАВНЕЕ А, студентка
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ КОРНЕЙ
Несмотря на фундаментальный характер проблемы собственных значений при решении большинства задач теории цепей и многочисленные работы в этой области [1, 3], чисто математические аспекты использования разработанных процедур встречают на практике значительные трудности.
Одним из важнейших вопросов при поиске координат корней является оценка точности получаемого результата, позво-
5
ляющая сделать вывод о целесообразности дальнейших уточнений вычисляемых величин. Известные математические критерии точности [1, 3] носят абстрактный характер и не сводятся к «естественным» исторически сложившимся инженерным понятиям. Предлагаемый параметрический критерий в значительной степени позволяет решить вышеизложенную проблему.
Пусть схема анализируемой цепи разбита на ряд подсхем обнулением проводимостей — связей между подсхемами (см. рисунок), т. е. у\—уг=Уъ~У^~ — =#7=0- В полученной схеме матрица узловых проводимостей является блочно-диаго-нальной матрицей, а ее определитель равен произведению определителей обособленных подсхем (блоков диагоналей). Тогда при объединении двух подсхем необходимо «вырастить» последовательно каждую из разорванных ранее проводимостей в соответствии с известным [2] соотношением
= + у2А(а+Ь)(а+ь). (1)
Здесь Д2 — определитель матрицы подсхем с проводимостью у2, равной номинальной (см. рисунок, б); и Д°— определители обособленных подсхем (при у2 =■ 0); Д(й+г>)(а+г» — суммарное алгебраическое дополнение. Если корни определителя р} найдены, то Д£ «= 0 и выражение (1) может быть представлено в виде
У2 — — Д1 Дг/ Д(а+&)(а+£)- (2)
Зависимость р^уъ), как известно, не представима в виде аналитического выражения, а г/2(р;) как раз и является выражением
(2). Таким образом, выражение (2)—это формула для коррекции значения параметра при вычисленном рДг/г). Относительная параметрическая погрешность
Ь2,} = (У2 — У2)/У 2 (3)
выступает параметрическим критерием для оценки точности вычисления координаты корня рВ самом деле, если вычисленное значение г/2 весьма мало отличается от номинального, нет смысла в дальнейших уточнениях координаты ру, если отклонение 62,з лежит ниже границы точности для параметра г/2 — координаты корней Рз можно считать вычисленными не для заданной схемы, а для некоторой гипотетической, параметры которой г/г заданы с некоторым наперед заданным малым отклонением б 13 от номинальных параметров исходной схемы.
Удобство предложенного критерия очевидно. Процедура поиска корней в соответствии с (1), (2) требует последовательного «выращивания» всех ранее обнуленных проводимостей уч-. Поэтому погрешность 62 в процессе «выращивания» связей будет накапливаться. Если малое отклонение Дг/г приводит к малому отклонению координаты Др/ и наоборот, очевидной является линеаризация отклонений вблизи истинных значений у1 и Рз, что позволяет линеаризовать погрешность, вследствие чего погрешности на каждом этапе «выращивания» проводимостей становятся независимыми. Поэтому максимальная суммарная погрешность для всех т «выращенных» параметров г/г для каждого корня р, имеет вид
62 - УвЧ -Г 822/ + ... + 62т/. (4)
Следует отметить, что по формуле (4) можно оценить параметрическую погрешность для всех практически интересных случаев. В самом деле, пусть малое отклонение Дг/г приводит, к большому отклонению Ар]. Если координата Рз является показателем качества разрабатываемой схемы, то полученный результат заставляет отбраковывать такую схему, поскольку она не будет ни серийно способна, ни надежна в условиях изменения внешних факторов. Предложенный критерий весьма удобен при ручных вычислениях, а также анализе с помощью ПМК и ЭВМ.
1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 573 с. 2. Сигор-ский В. П. Методы анализа электрических схем с многополюсными элементами. К.: Изд-во АН УССР, 1958. 475 с. 3. Уилкшсон А. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 263 с.
Поступила в редколлегию 02.09.86
