CC BY
51
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Гораздо эффективнее использование градирни, в которой охлаждаемая вода непосредственно контактирует с воздухом, увлажняя его и охлаждаясь не только за счет передачи теплоты воздуху, но и за счет частичного испарения. Воздух в градирню подают с помощью вентиляторов. Унос воды составляет примерно 0,001 от ее расхода. Температура охлаждаемой воды на выходе из градирни оказывается в зависимости от влажности воздуха на 4-5 градусов ниже температуры воздуха, входящего в систему. Это увеличивает температурный перепад на предыдущей ступени, где вода является охлаждающим агентом.
Мощность вентиляторов при использовании градирен по данным изготовителей составляет примерно 0,01 от тепловой нагрузки и с ростом q возрастает линейно. Для контакта с воздухом в градирне нельзя использовать воду, прошедшую химводоочистку или дистиллированную воду в силу их дороговизны, так как эту воду приходится постоянно пополнять из-за уноса.
Выводы
При расчете теплообменных систем нужно учитывать условия их термодинамической реализуемости и выбирать водяные эквиваленты и гидравлические сопротивления для каждого из потоков с учетом затрат энергии на их реализацию. Системы охлаждения суперкомпьютеров требуют значительных затрат мощности на последней ступени передачи теплоты окружающему воздуху. Экономия может быть достигнута только за счет перехода к «влажному» охлаждению.
Другим способом, позволяющим резко сократить затраты энергии на охлаждение, является переход на второй ступени от воздушного охлаждения к водяному, используя холодную воду из артезианской скважины или водоема больших размеров.
Литература
1. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. с нем. 2-е изд. - М.: Мир, 1985. - 520с., ил., с. 466-468.
2. Цирлин А.М. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и микроэкономических систем. М.; Наука, 2003. 349с.
3. Цирлин А.М., Ахременков А.А., Григоревский И.Н. Минимальная необратимость, оптимальное распределение поверхности и тепловой нагрузки теплообменных систем // Теоретические основы химической технологии, т.42, №1, 2008, с.1—8.
4. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. С нем. 2-е изд. - М.: Мир, 1985. - 520с., ил., с. 466—468.
5. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям./ под ред.М.О. Штейнбер-га - М.: машиностроение, 1992.
6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. М.: Мир, 2002.
Параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления для общей математической модели объекта
к.т.н. доц. Полянский В.П.
Университет машиностроения 8(499)267-07-82
Аннотация. В статье рассматривается параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления при условии, что математическая модель объекта представляется дифференциальным уравнением в в операторной форме с левой и правой частями в виде алгебраических полиномов относительной переменной р = . В такой же форме представляется математическая модель регулятора. На этой основе получена система уравнений Эйлера-
Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 2 181
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
Пуассона для экстремальной вариационной задачи. После приравнивания коэффициентов полиномов оптимальной задачи и полиномов, полученных из исходных уравнений объекта и регулятора, получим настройки заданной структуры регулятора.
Ключевые слова: оптимизация, математическая модель, уравнение Эйлера, функция Лагранжа, параметры настроек регулятора.
Пусть математическая модель объекта регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме с правой частью, заданной номиналом переменной р = ^
ёг
ж(Р) ь(р)
(1)
(рп + ёп-1рп 1 +... + ё1р + ё0) у = (Ьхрх + Ьх 1 +... + Ь1р + Ь0
при этом п>х; ё(р)у = Ь(р)и;
Математическую модель регулятора также возьмем в общем виде следующим образом.
_яСР)_ _г(р)_
(?*-1рх-1 +... + + %0 )и = (Г + Г р +... + гпрп-1) (2)
% (р)и=г(р) У
В качестве функционала качества примем интегрально-квадратический критерий в обобщенном виде с учетом ограничения на затраты энергии на управления в виде
¥( у \
1 = /|ЕЯ«У(г-1)2 +и2 л (3)
0 V г=1 0
Требуется определить такую структуру регулятора (2) и такие настройки что функционал (3) принял минимальное значение.
Структура регулятора задана значениями г не равными нулю или нулевыми значениями или близкими значениями к нулю.
Для решения задачи оптимизации [1] т.е. нахождения переходного процесса от возмущения в виде неравенства нулю начальных условий у(0) = у10; у(0) = у20; ... у (п)(0) = уп0, с учетом краевых условий характеризующих асимптотическую устойчивость.
у(г ® ¥) = у (г ® ¥) =... = у(п) (г ® ¥) = 0
Далее введем в рассмотрение функции Лагранжа [2]. Поскольку ограничения в данном случае представляет собой дифференциальное уравнение: ё (р) у = Ь( р)и, то вместо множителя Лагранжа 1 в функцию Лагранжа должна входить переменная Лагранжа ). Тогда функция Лагранжа выглядит следующим образом:
Ь = £ ч,,у0-1)2 + и2 + 1(г)[ё(р)у - Ь(р)и ] (4)
г=1
Составим уравнение Эйлера-Пуассона для функционала Ь(у,и) от двух функций у(1;) и и(1;) и получим систему двух уравнений:
дЬ ё дЬ , ё дЬ _ , 2ч ^
* " ж др+' .+(-1) 1 ^=ё(-р)1+2?(р )у =0
дЬ ё дЬ 1 дЬ
----+... + (-1)"--— = 2и - Ь(-р)1 = 0
ди Ж ди ёга ди(а)
У
где д(р2) = ^ д„р(г-1)2(-1У-1 .
1=1
Исключая из этих уравнений переменные и и X, получаем уравнение для экстремалей вариационной задачи.
[й (р)й (-р) + Ь(р)Ь(-р)д(р 2)]у = 0 (5)
Характеристический полином
Л(р) = й (р)й (-р) + Ь(р)Ь(-р)д(р2 ), (6)
является уравнением степени Р = тах п, {(у + х -1)}.
Пусть для простоты х + у -1 < п. Это полином четных степеней Р и его можно представить в факторизованном виде:
Л(р) = 3(р)3(-р), (7)
где 5(р) - полином степени в, содержащий корни полинома Л(р) с отрицательной вещественной частью.
С другой стороны характеристический полином замкнутой АСР имеет вид:
Др) = й(р)д(р) + Ь(р)г(р) . (8)
Составляем тождества д(р) = О(р) и сравниваем в этом тождестве коэффициенты при одинакового степенях Р получаем уравнения для определения искомых настроек регулятора. Пример:
Модель объекта регулирования.
(р2 + ар + йо)у = (Ьо + Ьри . (9)
Модель регулятора
(ёхГ + &> = (г1 + г2р)У. (10)
Критерий оптимальности
¥
J = {(?1]У2 + и2
о
Составим функцию Лагранжа
Ь = ЧиУ2 + и2 + 1(1)[{р2 - й1р + йо )у - (Ьо + ^рУА
или
Ь = диу2 + и2 + Щ)(у "+йху+йоу - Ьои - Ь1и')
Составим уравнение Эйлера-Пуассона
дЬ - аъ + й! = о
ду й ду^ й2 ду "
дЬ - й _дЬ = о
ду й ду"
Запишем функцию Лагранжа в критерии оптимизации:
(11)
¥
1 = | [^11у2 + и2 + 1(г)(у у+ё0у - Ь0и - Ь1и)]ж (12)
0
В соответствии с уравнениями Эйлера-Пуассона построим производные:
дЬ _ Л Л Ч 7
— = 2Чиу + 1(г )ё0 ду
дЬ
— = 1(, )Ж
ду
Ж дЬ .,,. ,
ж ^=1(г)Ж (13)
§=к')
ду
4 — = 1"С)
Ж2 ду-
дЬ _ 7 „ , ч
— = 2и - Ь010(г) ди
дЬ
дЬ = -Ь1(,) (14)
ди
Ж дЬ 7 „,,.
--= -Ь11 (,)
ёг ди"
Подставив производные (13) и (14) в уравнение (11), получим:
Г 1у(,) + 1(г )ё0 -1 (г )ё1 + ) = 0 |2и - Ь01(,) + Ь11,(,) = 0
(15)
Ж
Преобразуем систему уравнений к операторному виду с переменной р = — . В резуль-
ёг
тате найдем:
Г(р2 - ё1р + Ж )1(р) + 2д„ у(р) = 0 ё(-р)1 + 2дпу = 0
[2и - Ь01(,) + Ь11(,) = 0, 2и - Ь(-р)1 = 0 ( )
что по форме соответствует уравнениям (5), записанным в общем виде.
В соответствии с процедурой оптимизации исключим из системы (16) переменную 1(р):
1/ N 2и
Мр)=Ь"-Ьр (17)
Затем подставим (17) в первое уравнение (16)
2и -
Ь0 - Ь1р
2и
(р2 - йхр + ёо )--— + 2диу(р) = 0:
после преобразования получим
(р2 -й1р + йо)и + дпу(р)(Ьо -Ьр = о. (18)
Далее определим уравнение и(р) из математической модели объекта (10):
, ч р2 + й р + й„ , ч и(р) = , \-0 у . (19)
Ьо + Ь1р
Подставив (19) в (18), найдем:
(р2 - йхр + йо)(р2 + йхр + йоуу + дх ху(р)(Ьо - Ь!р)(Ьо + Ьр = о.
(й (-р)й (р) + Ь(- р)Ь(р)дх! )у = о. (2о)
Уравнение (20) представляет уравнение для экстремалей вариационной задачи. Из (20) определим характеристический полином.
Л(р) = й(-р)й(р) + Ь(-р)Ь(р)дп, (21)
что представляет собой полином четной степени. Такой полином может быть факторизован.
Л(р) = (р2 - й1р+йо Хр 2+йгр+йо)+дц(Ьо- Ьгр)(Ьо + Ь1р) = = ру - й р3 + йо р2 + й1 р3 - й р2 + й0йг р + йо р2 - йой1 р + й2 =
= р4 + (2йо - й2 - 2д11Ь12 )р2 + 2д11Ьо2 + йо2 = о Обозначим коэффициенты уравнения
А = 2йо - й2 - д11Ь12 д1Ь12 > 2йо - й2| => А => л/а - 24В > о
(22)
б = диЬ1 + йо
В результате получим окончательно:
Р4 + Ар + В = о. (23)
Представим (23) в факторизованном виде:
Р4 + Ар + В = (р2 + ар + е)(р2 - ар + с) = р4 + (2с - а2)р + е2
2с - а2 = А с = 4В
с2 = В 24В - а2 = А
а = л/ 24В - А
Примем устойчивое уравнение
р2 + л/ 24В - А р +4В = о
и определим корни л/2Л/Б - А
рх,2 =
2 "V
24В - А - ^В = V24В - А + Л/- А - 24В
4 2 2
Если -А - 24В > о , то корни р1,2 будут действительными и наборот - А - 24В < о, то корни будут комплексными.
л/24В - А .л/а + 24В л1^4В - А .Л/А + 24Б
р =--—+]—2—; р2 =--Б--7—2
Найдем устойчивый полином 3(р) :
3(р) = (р - Л)(р -р2) =
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология л/^л/В - А ^А + 24В Т - А л/А + 2л[в Л
р-----]--- Р----+ ]---
2
04
У^л/в - А | N А + 24В
2 2
0 4 0
( ГГп:—л2
= р
У2/В
- А +
42л[В - А
2
+1 (а+4В 2)=
= р2 -424в - ар + (2л/в - а)1 +1 (а + л/в2)= = р2 -424В - Ар + 4В1 (2л/В - А + А + 24В)= 44В
=р2-лЩВ-Ар +тБ
Приведем к такому же уравнение исходного объекта.
Для этого найдем управляющее воздействие и уравнение (10)
1 + Г р и = ——у
+ %0
и подставим его в исходную модель объекта (10):
(р2 + ёхр + /0)у = (Ь + ь,р) 1 +12р у
%1р + %0
^ + Ж0 )(р2 + Ж1р + Ж0 )у = (Ь0 + Ь^.р)(г1 + 12_р)у
рЪ+ й1^ + %0р2 + + %0Ж0 - Ь0Г1 + Ь0Г1р + Ь1Г1р + Ь112р2 ^^ = р3+ (%1Ж1 + %0 + Ь1Г2 )р2 + (%1Ж0 + %0Ж1 + Ь0Г1 + Ь1Г1 )р + %0Ж0 + Ь0Г1 %1ё1 + %0 + Г2Ь1 = 1
ЯА + + Ь01 + Ьг = -У2/Б-А = + +1 (Ь + Ь1) = -л/ 24В - А
%0ё0 + Ь0Г1 = ^В = 0
1 - + гоп =
; 1 —
- 424В - А - + . (,„оп = Ув -
1 =-
Ь1 Ь0 + Ь1 Окончательный закон регулирования имеет вид:
и(р) = ^^ у(р),
что соответствует ПД - регулятору: и
— = К + К Др - ПД - регулятор
у
/' г
н = кд =
Литература
1. Александров А.Г. Синтез регуляторов многоконтурных систем. М.: Машиностроение, 1986
2. Рей У. Методы управления техническими процессами. М.: Мир, 1983.
