CC BY
79
Параметрический метод определения разности фаз квазигармонических сигналов
А.И. Квочкин, А.В. Никитин, В.К. Игнатьев
Необходимость точного измерения фазового сдвига возникает при решении задач радиолокации и радионавигации, неразрушающем контроле, радиофизике, радиоастрономии и во многих других прикладных областях [1 -3]. Прецизионные фазометры используются в радиодальномерах и измерителях геометрических параметров объектов, а также в фазированных антенных решетках [4], однако измерение разности фаз с высокой точностью стандартными методами требует очень большого отношения сигнал/шум. Для повышения точности измерений разности фаз необходимо использовать дополнительную априорную информацию об исследуемых сигналах, а реализация фазометра в виде прибора, работающего в режиме реального времени, возможна только на основе современных цифровых параметрических методов.
Существующие методы измерения разности фаз - метод компенсации фазы, метод преобразования временного интервала в напряжение [1], метод с преобразованием частоты [1, 5], метод на основе преобразовании Фурье [5 - 8], цифровой метод подсчета импульсов [5, 8], ряд корреляционных методов [1, 5] предполагают постоянство частоты и огибающей сигналов на интервале измерения, а точность этих методов сильно зависит от уровня аддитивного шума. Предлагаемый метод может применяться для обработки зашумленных сигналов с существенно изменяющимися на интервале измерения параметрами.
Рассмотрим два гармонических сигнала с одинаковыми частотами, разными фазами и различными огибающими [9]:
х1 (?) = а1 ()т[0(?)], х2 () = а2 ()вт[б(?) + ф0 ] и предположим, что параметры этих сигналов меняются медленно:
) = 0(), СО() = ё(?) ~ цю2 (), а1 () ~ ца1 ^)ю(), а2 () ~ ца2 ^)ю(),
0 < ц << 1,
где а(?) - огибающая, ю(?) = 0() - мгновенная частота.
Пусть А - некоторый временной интервал, такой, что ю(?)Д < п/2. При дискретизации сигнала с шагом Аt интервал А может содержать несколько интервалов Аt, то есть А = QАt. Возьмем значения сигналов в точках (? - /А), (/ =
0, ..., 4) и разложим их в ряд около центральной точки ^ - 2А) с шагом А и 2А: х1 ( - /А) = (( - 2А) + а1 ^ - 2А)А(2 - /) + о(ц))х
0(t - 2А)+ - 2А)А(2 -/)+ ю(t -2А)((2 -1 )А)2 + о(ц2),
х2 (t - /А) = (2 (t - 2А) + а2 (t - 2А)А(2 - /) + о(ц))х
0( - 2А)+ ю(t - 2А)А(2 -1)+Ю(t - 2А) (2 - / )А)2 + 2)+ ф0
f
х sin
V
Для простоты введем обозначения:
a1(t - 2Д) = a1, a2(t - 2Д) = a2, 0(t - 2Д) = 0, rn(t -2Д) = ю. Рассмотрим две комбинации отсчетов сигнала:
A1 (t) = x1 (t - 4 Д)х2 (t) - x1 (t )x2 (t - 4 Д)«
« a1a2 [sin (0 - 4юД)п(0 + ф0)- sin(0)sin(0 - 4юД + ф0)] = (1)
2
aa
= —^ [cos(4^ + ф) - cos(4^ - ф0)] = -a1a2 sin (4шД)т(ф0),
A2 (t) = x1 (t - 3 Д)х2 (t - Д) - x1 (t - Д)х2 (t - 3 Д)«
« a1a2 [sin (0 - 3шД)т (0 - юД + ф0) - sin( - юД)т (0 - 3юД + ф0)] = (2)
= [^^(юД + ф0) - cos(2^ - ф0)] = -a1a2 sin (2шД)т (ф0).
Отношение этих величин дает выражение для оценки частоты
2cos(mAU x1(t ~ 4Д)х2(t)-x1(t)х2(t ~4Д) = AW (3)
Xj (t - 3Д)х2 (t - Д)- Xj (t - Д)х2 (t - 3Д) А2 (t), которая соответствует моменту времени (t - 2Д).
Аналогично соотношениям (1) и (2), построим еще две функции
A3 (t) = X1 (t - 3 A)x2 (t - A) - X1 (t - 2 A)x2 (t - 2 A)« axa2 [sin(e - 3®A)sin(e - ®A + ф0) - sin( - 2®A)sin(e - 2oA + ф0)] = (4)
= ^2^ [cos(2®A + ф0) - cos (фо )]=-aa 2 sin(ooA + ф0 )sin(2®A),
A4 (t) = x1 (t - A)x2 (t - 3 A) - x1 (t - 2 A)x2 (t - 2 A)« a1a2 [sin(e - caA)sin(e - 3oA + ф0) - sin( - 2roA)sin(e - 2oA + ф0)] = (5)
[cos(2roA - ф0) - cos()] = -a1a2 sin (A - ф0 )sin (oA)
2
и рассмотрим отношение вида
А3 (t)- А4 (t)= sin(a)Д + ф0)- sin(<^^0 ) = cos(<^) )
A3 (t)+ A4 (t) sin (юД + ф0)+ sin (юД-ф0) sin(a^) 0
Отсюда следует выражение для оценки фазового сдвига:
2А2 (t)-A1 (t)
tgfe )«±-A (t)- A (t)
2 A2 (t)+ A1(t)
(б)
Аз ( )+ А4 ( )-\
Перейдем к дискретному времени ґ = пАґ, п = 0,..., N - 1, А = QАt. Тогда соотношения (1), (2), (4) и (5) примут вид
Аі[п] = *1[п - 4Qк[п] - *1 [п]х2[п - 4Q1 А2 [п] = *1 [п - 3^^]*2 [п - 0\- *1 [п - ]*2 [п - 3Й А3 [] = *1 [п - 3^^]*2 [п - Q] - *1 [п - 2^^]*2 [п - 2Й (7)
А4 [п] = *1 [п - ]*2 [п - 3Q] - *1 [п - 2^^]*2 [п - 2Й
п = 4Q,...,N -1,
а 1§(ф0) может быть найден с помощью метода наименьших квадратов путем минимизации ошибки:
N-1
E (фо ) = Z lA [n] + A4 Н^ЛИ+ЛИ tg(ф) - A [n] - A4 [n]}2 A2 [n]-A1 [n].
n=4Q
Выражение для оценки разности фаз примет вид:
N-1
Z( [n]-A42 [n])4 A22 [n]-A12 [n]
tg(Фо..........................................- . (S)
Z ((^3 [n] + A4 [n]W2 A2 [n]+ A1[n] )
n=4Q
В этом выражении необходимо использовать знак «+», если сумма в числителе отрицательна, и «-» - если положительна.
Если известно, что частота сигналов на всем временном интервале [0, АА?] постоянна, можно воспользоваться выражением (3), записанным для дискретного времени:
Аі[п]
2 А2 [п]
п = 4Q,...,N -1.
Применяя метод наименьших квадратов (МНК), получим выражение для оценки частоты:
f
4^Аґ
-агссоБ
N-1
X А1 [П]А2 [п]
n=4Q
N-1
п=4Q
(9)
Для экспериментальной проверки данного метода были разработаны и изготовлены два устройства: двухканальный цифровой генератор (ДЦГ) и блок дискретизации сигналов (БДС) на основе отладочного модуля 8К-9045-0БМ [10]. Особенностью ДЦГ является непрерывное генерирование гармонического сигнала с заданной частотой, фазой и модуляцией, причем значение фазы можно задавать не только в начальный момент времени, но и на протяжении генерации всего модельного сигнала. Это позволяет избежать применения управляемых фазовращателей, не обладающих необходимыми
метрологическими характеристиками [11]. Структурная схема ДЦГ приведена на рис. 1.
1
Рис. 1. Структурная схема генератора
Основой устройства является быстродействующий цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) и ARM-процессор AT91SAMG45 [12], работающий на частоте 400 МГц. Благодаря большему объему памяти SRAM, подключенной к процессору, можно создавать непрерывный сигнал, состоящий из более S млн. точек разрядностью 1б бит на один канал генератора.
Управление системой производится при помощи персонального компьютера (ПК) c помощью программы, написанной в среде программирования Borland C++ Builder v. б.0. Программа выполняет несколько задач. В первую очередь настраивается соединение с ДЦГ, подключенным через преобразователь USB-UART, который построен на микросхеме CP2102 [13] и подключен через гальваническую развязку ISO7231 [14] к процессору. Она позволяет избавиться от сетевых наводок ПК, так как питание устройства осуществляется от аккумуляторных батарей. Затем задаются значения амплитуды, частоты и фазы для обоих каналов.
Далее ARM-процессором формируется непрерывная последовательность двух гармонических сигналов с заданными частотами и фазами, которые записываются в память. После окончания записи всей последовательности отсчетов по параллельной шине данных их значения поступают на программируемую логическую интегральную схему (ПЛИС) EPM3256 [15], а затем - на ЦАП. В устройстве используется высокоскоростной двухканальный ЦАП AD9747 [16], что позволяет минимизировать паразитную разность фаз между сигналами. Выходные напряжения генератора лежат в диапазоне, достаточном для наблюдения и оцифровки, поэтому на выходе не требуется устанавливать дополнительные усилители, которые также могут оказаться источниками дополнительной разности фаз.
Структурная схема БДС показана на рис. 2. Он представляет собой отдельное устройство с быстродействующими 16-разрядными аналогоцифровыми преобразователями, ARM-процессором и памятью, в качестве которой применяется SD-карта [17] объемом 2 Гб.
Рис. 2. Структурная схема БДС
Принцип работы устройства заключается в следующем - в первую очередь процессор проверяет наличие внешнего запоминающего устройства (ББ), затем формирует на нем файловую систему БАТ32 и создает файл для записи информации. Измеряемые сигналы, поступающие на входы АЦП, преобразуются в цифровой код, который затем поступает в память процессора и записывается в файл. Скорость записи на ББ-носитель составляет примерно 8 Мб/с.
Измерения производились следующим образом: с помощью ДЦГ
создавались два непрерывных гармонических сигнала частотой 104,1 кГц, амплитудой 1 В и заданным фазовым сдвигом между ними ф0. Частота сигналов подбиралась таким образом, чтобы шаг & между отсчетами ДЦГ превышал шаг дискретизации Аґ БДС не менее, чем в 3 раза. При частоте дискретизации, равной 1259,9959 кГц, измеренный сигнал содержал примерно 12 точек на период, а выдаваемый ДЦГ сигнал - 36 точек на период. Для сглаживания генерируемого сигнала к выходу генератора подключался пассивный ЯС-фильтр, настроенный на четверть частоты дискретизации ДЦГ.
Измерения проводились 30 раз с прерываниями 5 минут после прогрева установки в течение 60 минут. Длина выборки составляла 100000 точек, что соответствует примерно восьми тысячам периодов сигнала.
Предварительная фильтрация сигнала производилась с помощью цифрового полосового фильтра с заданными частотами среза /тіп = 103 кГц и /тах = 105 кГц. Импульсная характеристика к[т] КИХ-фильтра с линейной ФЧХ рассчитана методом взвешивания [18] с заданным количеством отсчетов импульсной характеристики М = 1001 и выбранным временным окном ^[т] [19]:
к[п] =
2^[п]
л(М -1 - 2п)
к
{іП (п/тах (М - 1 - 2П )А ) - вШ (п/тіп ( - 1 - 2п )Аґ)}
п = 0,...,М -1, п ф(М -1)2,
Аґ С^ах /т1п )-
" М -1" " М -1"
= 2w
_ 2 _ _ 2 _
АЧХ такого фильтра считается аналитически:
М -1
(М-1)2
К (/ )= 2 X *
п=1
2
п
соб(2п/пАґ )+ к
М -1' 2
При исследовании метрологических характеристик разработанного фазометра на первом этапе измерено рассогласование каналов ДЦГ - оба канала формировали гармонические сигналы с одинаковой частотой, фазой и амплитудой. Среднее значение рассогласования <фрас> составило 0,00848224 рад, а среднеквадратичное отклонение (СКО) по 30 реализациям - орас = 9,23872-10-7 рад. Таким образом, рассогласование каналов практически не меняется, и все дальнейшие результаты были получены с его учетом.
На втором этапе измерялись фиксированные значения фазового сдвига фо. На рис. 3 показаны зависимости среднего отклонения оценки фазового сдвига <Дф> и его СКО от задаваемого ДЦГ значения ф0 в пределах от -п/2 до п/2 для гармонических сигналов с частотой 104,1 кГц. Расчет производился по 30 реализациям при N = 100000. Как видно, ошибка отклонения фазового сдвига Дф растет вблизи значения фазового сдвига -п/2 и п/2, что полностью соответствует результатам численного моделирования.
Рис. 3. Зависимость среднего отклонения (а) и СКО (б) оценки фазового сдвига
от заданного значения ф0
На рис. 4 показана зависимость СКО оценки разности фаз от длины выборки, рассчитанная по 30 реализациям при заданном значении ф0 = 1. Из графика видно, какое число отсчетов необходимо выбрать для расчета, чтобы получить необходимую точность эксперимента.
Рис. 4. Зависимость СКО оценки разности фаз от длины выборки N
Таким образом, разработанный метод и фазометрическая установка позволяют оценить разность фаз двух сигналов частотой порядка 100 кГц с точностью 10-6 рад в диапазоне от -п/3 до п/3. Если необходимо проводить измерения вне этого диапазона без потери точности, необходимо применять искусственную задержку в одном из каналов, а затем учитывать ее при расчете фазового сдвига. Для этого можно использовать оценку частоты (9) - ее расчет не требует существенного увеличения времени измерения.
Полученные характеристики могут быть улучшены путем увеличения быстродействия и точности АЦП, например - с помощью динамической компенсации погрешностей [20], что позволит довести точность фазометрических систем ориентации до угловой секунды [21].
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашения № 14.В37.21.0736 и № 14.В37.21.0284).
Литература:
1. Чмых М.К. Цифровая фазометрия. М.: Радио и связь. 1993. 184 с.
2. Кинкулькин И.Е., Рубцов В.Д., Фабрик М.А. Фазовый метод определения координат. М.: Сов. радио. 1979. 280 с.
3. Манжула В.Г., Крутчинский С.Г., Савенко А.В., Воронин В.В.
Интерферометрический интерфейс системы определения относительных координат радиоизлучающих объектов // Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс]. 2012. № 3. - Режим доступа:
http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/1027.
4. Сабиров Т.Р. О формировании излучающими элементами АФАР размещаемой на космическом аппарате эллиптической поляризации поля. Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс]. 2013. № 2. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1612.
5. Webster J. G. (Ed.) Electrical Measurement, Signal Processing, and Displays. Boca Raton - London - New York - Washington D.C.: CRC Press. 2004.
6. Mahmud S. M. High precision phase measurement using reduced sine and cosine tables // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. 1990. 39. N
1. P. 56-60.
7. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь. 1986. 512 с.
8. Метрология и радиоизмерения / Под ред. Нефедова В.И. М.: Высшая школа. 2006. 519 с.
9. Игнатьев В.К., Никитин А.В., Бернардо-Сапрыкин В.Х., Орлов А.А. Измерение разности фаз квазигармонических сигналов в реальном времени. Наука и образование [Электронный ресурс]. 2013. № 7. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/588392.html
10. Процессорный модуль SK-9G45-OEM. Инструкция пользователя при совместном использовании с платой SK-9G45-MB. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.starterkit.ru/html/doc/Manual_SK-9G45-OEM_1A.pdf.
11. Зеленчук П.А., Евтушенко А.И. Разработка фазовращателей Ка-диапазона на основе гетероструктур М^О-ВЗТ с наноразмерными сегнетоэлектрическими пленками. Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс]. 2010. № 4. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/290
12. Техническое описание микросхемы ЛТ918ДМ045. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.atmel.com/Images/doc6481.pdf.
13. Техническое описание микросхемы СР2102. [Электронный ресурс]. -
Режим доступа: https://www.silabs.com/Support%20Documents/TechnicalDocs/
cp2102.pdf.
14. Техническое описание микросхемы К07230 [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.ti.com /lit/ds/symlink/iso7230a.pdf.
15. Техническое описание микросхемы ЕРМ3256. [Электронный ресурс].
- Режим доступа: http://www.datasheetarchive.com/EPM3256-144-7-
datasheet.html.
16. Техническое описание микросхемы AD9747. [Электронный ресурс]. -Режим доступа: http://www.analog.com/static/imported-files/data_sheets/AD9741_ 9743_9745_9746_ 9747.pdf.
17. SD/MMC карта памяти и микроконтроллер ЛУЯ (часть 3). Система FatFs [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.avrlab.com/node/231.
18. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1978. 848 с.
19. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. 1990. 584 с.
20. Игнатьев В.К., Никитин А.В., Перченко С.В., Станкевич Д.А. Динамическая компенсация дополнительной погрешности прецизионного АЦП. Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс]. 2012. № 2. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/latest/n2y2012/771.
21. Коноплев Б.Г., Лысенко И.Е., Шерова Е.В. Интегральный сенсор угловых скоростей и линейных ускорений Инженерный вестник Дона
[Электронный ресурс]. 2010. № 3. Режим
http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2010/240.
доступа:
