CC BY
14
УДК 62-192
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ОЦЕНИВАНИЯ ДОСТОВЕРНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОРРЕКТИРОВАННЫХ ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ И НАГРУЖЕННОСТИ
В.В. Дерюшев, А. А. Котесов, А. А. Котесова
Статья посвящена оценке достоверности корректированных выборочных распределений характеристик прочности и нагруженности. Классические основы выборочного метода предполагают увеличение достоверности оценок параметров генеральной совокупности путем увеличения объема выборки. Существуют методики позволяющие повысить достоверность оценок путем корректировки параметров выборочного распределения при наличии дополнительной информации, которая достоверно описывает генеральную совокупность или, по крайней мере, считается (принимается) более достоверной. Но при такой корректировке возникает необходимость дать оценку достоверности корректированного распределения, поэтому в данной работе предложен критерий параметрической достоверности, зависящий не только от объема выборки, но и от величины корректирования параметров.
Ключевые слова: достоверность, оценка безотказности, распределение, параметры распределения.
Введение. Вопросами обеспечения надежности машин занимались многие ученые, в частности вопросы определения исходных данных для вероятностных расчетов элементов машин на усталость отражены в работах Н.С. Стрелецкого, А.Р. Ржани-цина, В.В. Болотина, В.В. Вержбицкого, А Фрейденталя, С.В. Серенсена, В.П. Когаева, В.И. Брауде, В.В. Болотина, В.Е. Касьянова, В.М. Труханова, И.А. Хозяева, В.Г. Ана-нина, В.П. Жарова, Д.М. Беленького, Л.М. Грошева, В.С. Исакова, О.А. Полушкина и других ученых.
При оценке безотказности металлоконструкций машин по критерию сопротивления усталости необходимо располагать статистическими данными о рассеянии характеристик прочности и нагруженности. Вероятностную оценку рассеяния характеристик прочности и нагруженности обычно выполняют, используя выборочный метод, но даже представительная выборка дает всегда оценочный результат отличный от генеральной совокупности. В своих работах Касьянов В. Е. одной из причин наступления ранних (преждевременных) отказов машин считает ошибки репрезентативности выборок и, как следствие, получение недостоверных значений прочности и нагруженности использованных при оценке безотказности.
Поэтому для уточнения расчетов в работах В.Е. Касьянова, и его учеников предлагается производить коррекцию параметров выборочных распределений с помощью различных аналитических методик. [1-9].
Однако остается открытым вопрос, насколько изменяется достоверность полученных оценок безотказности и других, связанных с корректированными распределениями, показателей надежности. Построение параметрического критерия для оценивания достоверности показателей безотказности при использовании корректированных выборочных распределений характеристик прочности и нагруженности рассматривается впервые.
Материалы и методы. Под достоверностью в данной работе понимается степень истинности получаемых оценок, т. е. большей достоверностью обладают оценки, которые меньше отклоняются от истинных, но не известных, значений. Достоверная оценка соответствует истинной. В обычном случае для увеличения достоверности оценок параметров генеральной совокупности увеличивают объем выборки [10-11]. Одна-
615
ко, если объем выборки не менять, а получаемые оценки параметров корректировать, как предлагается в работах В.Е. Касьянова и его учеников, то для оценки достоверности необходимо предложить новый критерий, зависящий не только от объема выборки, но и от величины корректировки параметров, который будем называть параметрическим критерием достоверности. Критерий назван параметрическим, так как степень достоверности получаемых оценок будет определяться величиной отклонения откорректированных параметров выборочного распределения от истинных параметров генеральной совокупности.
Здесь возникает вопрос, как между собой соотносятся понятия достоверности и точности. Может ли быть оценка параметра достоверной, но не точной? И наоборот -может ли быть оценка параметра точной, но не достоверной? Будем считать, что точность - это соответствие расчетной или измеряемой величины истинному значению объективно существующего параметра, значение которого не зависит от метода расчета или измерения. В данном случае мы говорим о параметрах распределения некой совокупности объектов и в качестве истинного, принимаем значения параметров для выбранного распределения генеральной совокупности объектов, которые изначально неизвестны. Другими словами, истинные значения вероятности безотказной работы существуют только применительно к некоторой совокупности объектов и определяются выбранной методикой расчета этого истинного значения. Поэтому в данном случае можно говорить только о достоверности.
Применяя трехпараметрические законы Вейбулла и Фишера-Типпета имеем -три параметра, значения которых определяют достоверность оценки безотказной работы.
Плотности распределения закона Вейбулла (I) и Фишера-Типпета (II) с тремя параметрами имеют вид:
где: а,Ь,с - параметры масштаба, формы и сдвига распределений.
Поэтому для построения критерия достоверности необходимо также задать три параметра (или условия для их определения), которые однозначно определяют эти распределения. Будем называть эти параметры обобщенными. Они могут в общем случае не совпадать с параметрами распределений Вейбулла и Фишера-Типпета.
Известная теорема в теории вероятностей гласит [10-11]: если достоверно известно, что возможные значения случайной величины заключены в интервале [а, Ь], то:
где / (х) - функция плотности распределения случайной величины.
На основании данной теоремы определены условия корректирования выборочного распределения:
1. Первое условие: интервал для функции выборочного распределения не может быть уменьшен в результате коррекции. откорректированный параметр сдвига Ск не может быть больше выборочного параметра сдвига Св для закона Вейбулла (Ск < Св) и не может быть меньше для закона Фишера-Типпета (Ск > Св).
2. Второе условие определяет величину интервала для функции распределения после корректирования, т.е. - значение параметра сдвига Ск, которое может быть задано исходя из физических ограничений на случайную величину, либо, если таких ограничений нет, то можно условно принять для закона Вейбулла Ск = Св/2 и Ск — 2Св. Фишера-Типпета. Смысл этих выражений будет объяснен чуть позже.
ь
а
3. Третье условие определяет равенство мод выборочного и откорректированного распределений Мк = Мв. Основанием для данного допущения является неизвестное значение моды генеральной совокупности, поэтому при коррекции интервала выборочного распределения необходимо ориентироваться на моду выборочного распределения.
Первое условие не изменяет уровень параметрический достоверности, так как во всех случаях, для истинной, выборочной и откорректированной функций распределения должна выполняться теорема 1.
Из этого следует, что число обобщенных параметров сокращается до двух в результате наложения ограничения в виде условия №1.
В качестве первого обобщенного параметра (из оставшихся двух) используем параметр сдвига С, а в качестве второго обобщенного параметра - моду функции распределения М.
Введем следующие обозначения:
Си, Св, Ск - истинное, выборочное и откорректированное значение параметра
сдвига;
Ми, Мв, Мк - истинное, выборочное и откорректированное значение моды распределения.
Тогда в пространстве обобщенных координат (С и М) отклонение выборочного распределения и откорректированного распределения от истинного распределения можно определить по формулам:
1 1
Б в = [(Ми - Мв )2+(Си - Св )2Г; Б к = [(Ми - М к )2+(Си - Ск )2]>. Предполагаем (допускаем), что мода истинного распределения почти равна моде выборочного распределения:
Ми = Мв ,
тогда получим:
Б = С - С .
в и в
Используя введенные допущения и перейдя от абсолютных величин отклонения к относительным, получим выражения:
б в = |Св/Си -1, (1)
А к =
(Мк/Мв -1)2 + (1 - Ск/Си)21. (2)
Для комплексного корректирования параметров в работах [9,10] вводится условие Мк = Мв, тогда последняя формула (2) примет вид:
Бкк =|1- Ск/Си|. (3)
Если это условие не использовать, как в работах [1-9], то отношение мод выборочного и корректированного распределений будет больше единицы Мв/Мк >1, что приведет к снижению достоверности.
Если принять, что откорректированный параметр сдвига и есть истинный, то с учетом допущений Дкк = 0.
В качестве показателя параметрической достоверности предлагается использовать выражение:
-Г V
В = е ^ Я ) , (4)
где Д - относительное отклонение, определяемое: для исходного выборочного распределения по формуле (1), для выборочного распределения с корректировкой параметра сдвига по формуле (2), для выборочного распределения с комплексно откорректированными параметрами по формуле (3).
Если для выборочного распределения в качестве истинного (неизвестного) значения принять Си — Св/2, тогда Д — 1 и достоверность будет определяться отношением (К - п)/К и при п — N получим Б — 1. Даже если истинное значение неизвестно и отклонение Д конечно (не равно бесконечности), то при п — N получим Б — 1. Это не противоречит существующим подходам к оцениванию достоверности. Здесь Б — 1 - абсолютная (максимальная) достоверность, Б — 0 минимальная достоверность или абсолютная недостоверность.
Для оценки безотказности по схеме «нагрузка - несущая способность» по условию сохранения циклической прочности в течение срока службы, необходимо располагать распределением несущей способности и действующих средневзвешенных напряжений в элементах металлоконструкций. Для определения достоверности полученных оценок безотказности, необходимо учитывать достоверность сразу двух распределений, поэтому в данном случае для определения достоверности предлагается использовать следующее выражение:
(( ^ -ин \ ( ^ -Пп V 1
• Д
N
•Дн +
п
ОВБР = е н 7 4 п (5)
где Кп, Кн, Пп, Пн - объемы генеральных совокупностей и выборок характеристик прочности и нагруженности; Дн , Дп - отклонения выборочных распределений прочности и нагруженности от истинного распределения, определяемые по выражениям, представленным в табл. 1.
В качестве примера произведено моделирование генеральных совокупностей характеристик прочности и нагруженности металлоконструкции стрелы портального крана объемом N — 1000 с использованием программного комплекса МаШЬаЬ у8.6, а именно, средневзвешенных напряжений цикла нагружения осв, МПа и несущей способности по условию циклической прочности [ол], Мпа. Из данных совокупностей получены случайные выборки объемом п — 50. Генеральные совокупности и выборки аппроксимированы законом Вейбулла для прочности и законом Фишера-Типпета для нагруженности - /(х | а,Ь,с) . Произведено корректирование данных выборочных распределений по методикам, представленным в работах [5,9,10]. В первом случае произведена коррекция только параметров сдвига - с, в качестве которых приняты минимальное, в случае прочности, и максимальное, в случае нагруженности значения генеральных совокупностей - /(х | а,Ь,Ск). Во втором случае произведено комплексное корректирование всех параметров выборочных распределений /(х | Ак ,Вк ,Ск).
Используя полученные данные, выполнена оценка безотказности по условию сохранения циклической прочности осв < [огк], с использованием распределения генеральных совокупностей, выборочных и корректированных выборочных распределений в соответствии с методикой представленной в работе[14].
Определена достоверность оценок безотказности с помощью критерия (5) результаты расчетов представлены в табл. 1.
Результаты исследования. Анализ полученных результатов показывает, что при корректировании параметров выборочного распределения достоверность оценок безотказности изменяется. При использовании выборочного распределения величина параметрического критерия достоверности в рассмотренном случае составляет 0,735. Корректирование параметра сдвига без изменения других параметров распределений практически не изменяет достоверность оценок безотказности. В данном случае величина критерия достоверности незначительно снижается и равна 0,731.
Корректирование параметров сдвига необходимо для исключения случаев завышения уровней безотказности, что может привести к авариям и катастрофам [15]. В рассмотренном примере выборочное распределение показывает, что стрела портального крана является абсолютно безотказной в пределах заданного ресурса. Однако истинное значение вероятности безотказной работы равно 0,9994. Корректирование парамет-
ра сдвига, как отмечалось, дает возможность получить оценку снизу для вероятности безотказной работы, которая в данном случае равна 0,9292. Отклонение от истинного значения здесь достаточно большое, что свидетельствует о низкой достоверности и может привести к необоснованному завышению требований к проектируемым конструкциям.
с использованием распределений характеристик нагруженности и прочности: 1, 2 - генеральных совокупностей; 3,4 — выборочных; 5,6 — выборочных с корректированным параметром сдвига; 7,8 — выборочных с комплексно откорректированными параметрами
Таблица 1
Результаты применения критерия достоверности для оценок безотказности
Параметры Нагруженность - Осв, МПа Прочность - [огк], МПа Рвбр Критерий Бвбр
поз. С М Ан поз. С М Ап
Совокупность N = N0 = 1000 1 582,32 375,9 496,18 644,5 0 0,9994 1 (достоверное)
Выборка Пн = Пп = 50 3 494,4 388,4 0,151 4 568,49 645,1 0,146 1 0,735
Коррекция только сдвига 5 580,2 474,2 0,181 6 498,32 574,9 0,122 0,9292 0,731
Комплексная коррекция 7 580,2 388,4 0,0037 8 498,32 645,1 0,0043 0,9980 0,992
Комплексное корректирование параметров выборочных распределений позволяет существенно повысить достоверность оценок безотказности. В рассмотренном примере использование комплексно откорректированных выборочных распределений прочности и нагруженности повышает достоверность до уровня 0,992, что на 25,9% выше по сравнению с выборочными распределениями без коррекции и на 27,2% - по сравнению с коррекцией только сдвига. При этом расчетное значение вероятности безотказной работы отличается от истинного значения безотказности в меньшую сторону всего на 0,14%, что исключает ошибки в определении уровня безотказности и не приводит к необоснованному завышению требований.
Вывод. Таким образом, предложенный параметрический критерий оценивания достоверности показателей безотказности при использовании корректированных выборочных распределений характеристик прочности и нагруженности позволяет получить числовую оценку уровня достоверности по обобщенным параметрам этих распределений. В качестве таких параметров предложено использовать параметр сдвига С и модальное значение распределения М. Адекватное корректирование обобщенных параметров (М и С) позволяет повысить достоверность получаемых показателей безотказности в пределе до 100% (Бвбр = 1) даже при относительно небольшой выборке, если выборочное значение моды Мв будет равно истинному значению моды генеральной совокупности Ми.
Предложенный подход может быть использован для построения критериев достоверности других показателей надежности путем использования обобщенных параметров выборочных распределений.
Список литературы
1. Касьянов В.Е., Теплякова С.В., Котесов А. А. Применение генеральной совокупности конечного объема вместо выборочных данных в расчетах усталостного ресурса деталей машин // Научное обозрение. 2014. № 9-2. С. 395-398.
2. Касьянов В.Е., Котесова А.А., Котесов А.А., Котова С.В., Калабухов А.А., Климович А.Л., Ляшенко А.С. Сравнение параметра сдвига распределения совокупностей исходной и полученной вычислительным экспериментом для показателей надежности деталей // Инженерный вестник Дона. 2012. № 1 (19). С. 387-391.
3. Теплякова С.В., Котесова А. А., Копылов Ф.С., Крымский В.С. Анализ соотношения сдвигов и крайних членов совокупностей и выборок по ресурсу и прочности // Инженерный вестник Дона. 2018. № 4 (51). С. 170.
4. Ensuring assigned fatigue gamma percentage of the components / Kotesova А. А., Teplyakova S.V., Popov S.I., Kopylov F.C. // International Scientific Conference «Construction and Architecture: Theory and Practice of Innovative Development»: IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 698. DOI: 10.1088/1757-899X/698/6/066029.
5. The transition from the sample data to the total aggregate of the final volume and the analysis of this transition laws / S. V. Teplyakova, A. A. Kotesova, S. I. Popov, A. A. Ko-tesov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 913 (2020) 042054 IOP Publishing DOI:10.1088/1757-899X/913/4/042054.
6. Teplyakova, S. V. Theoretical substantiation of ensuring the machine parts' reliability for the assigned target life /, A. A. Kotesova, A. A. Kotesov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 913 (2021) 042054 IOP Publishing DOI: 10.1088/1757-899X/913/4/042054.
7. Kasyanov V.E. Synthesis of methods and principles of ensuring the reliability of one-off and serial production machines / V.E. Kasyanov, V.V. Deryushev, E.E. Kosenko [et al.] // International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment (ICMTMTE 2018) electronic edition. "MATEC Web of Conferences". - 2018. -С. 02106.
8. Kasyanov V.E. Endurance tests of single machines production / V.E. Kasyanov, V.V. Deryushev, L.P. Shulkin [et al.] // International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment (ICMTMTE 2018) electronic edition. "MATEC Web of Conferences". 2018. 02107.
9. Дерюшев В.В., Теплякова С.В. Обоснование предельной безотказности модернизированных деталей машин за назначенный ресурс // В сборнике: Достижения и проблемы современной науки. Сборник публикаций научного журнала «Globus» по материалам XIV международной научно-практической конференции. Сер. «Научный журнал «Globus»». 2016. С. 63-66.
10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник / Предисл. А.Н. Ширяева. Изд. 10-е, доп. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. 488 с.
11. Гнеденко Б.В. Математические методы в теории надежности [Текст] / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А. Д. Соловьев. М.: Наука, 1965. 524 с.
12. Котесов А.А. Методика определения параметров вероятностного распределения совокупности прочностных характеристик конструкционных сталей по выборочным данным // Вестник РГУПС. 2020. № 4. С. 23-29.
13. Котесов А.А., Котесова А.А. Методика определения параметров закона Фишера-Типпета 2-го порядка для распределения совокупности средневзвешенных напряжений по выборочным данным в интервале нормативных нагрузок // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. Вып. 11. С. 225231.
14. Котесов А.А., Касьянов В.Е., Котесова А.А. Методика обеспечения безотказности металлоконструкций грузоподъемных кранов в течение срока службы // Вестник РГУПС, 2020. № 4. С. 30-39.
15. Концевой Е.М., Розенштейн Б.М. Ремонт крановых металлоконструкций. М.: Машиностроение, 1979. 206 с.
Дерюшев Виктор Владимирович, д-р техн. наук, профессор, deryushevv@mail.ru, Россия, Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет (ДГТУ),
Котесов Анатолий Анатольевич, ассистент, voodoo-dollayandex.ru, Россия, Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет (ДГТУ),
Котесова Анастасия Александровна, канд. техн. наук, доцент, a.kotesova@mail.ru, Россия, Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет (ДГТУ)
THE PARAMETRIC CRITERION FOR ASSESSING THE RELIABILITY OF FAILURE-FREE OPERATION MEASURE WHEN USING FIXED SAMPLING DISTRIBUTION OF THE STRENGTH CHARACTERISTICS AND LOAD
V. V. Deryushev, A.A. Kotesov, A.A. Kotesovа
The article is devoted to the evaluation o f the reliability o f the corrected sample distributions o f the strength and load characteristics. The classical foundations o f the sampling method assume an increase in the reliability of estimates of the parameters of the general population by increasing the sample size. There are methods that allow to increase the reliability of estimates by adjusting the parameters of the sample distribution in the presence of additional information that reliably describes the general population or, at least, is considered (accepted) more reliable. But with such an adjustment, it becomes necessary to assess the reliability of the adjusted distribution, so in this paper we propose a criterion for parametric reliability, which depends not only on the sample size, but also on the value of the parameter correction.
Key words: reliability, assessment of failure-free performance, distribution parameters.
Deryushev Viktor Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, deryushevvamail.ru, Russia, Rostov-on-don, Don State Technical University (DSTU),
Kotesov Anatoly Anatolievich, assistant, voodoo-doll@yandex. ru, Russia, Rostov-on-don, Don State Technical University (DSTU),
Kotesova Anastasia Aleksandrovna, candidate of technical sciences, docent, a. kotesova@mail. ru, Russia, Rostov-on-don, Don State Technical University (DSTU)
УДК 621.941
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УРОВНЕЙ ШУМА ГАММЫ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩИХ СВЕРЛИЛЬНЫХ СТАНКОВ
Д.В. Русляков, А.Н. Чукарин
Приведены результаты экспериментальных исследований уровня звукового давления деревообрабатывающих сверлильных станков, в результате чего были выявлены закономерности формирования спектров шума на рабочих местах операторов, а также раскрыто влияние количества шпинделей, породы древесины и режимов сверления на звуковое давление.
Ключевые слова: акустические характеристики, одношпиндельные и многошпиндельные станки, древесина.
Целью эксперимента являлось исследование октавных уровней звукового давления деревообрабатывающих сверлильных станков. В соответствии с поставленной целью измерения уровней шума проводились на одношпиндельном станке модели СвА-2 и многошпиндельных станках моделей Св8, Св12 и СГВП. Особенности закономерностей процессов шумообразования многошпиндельных станков на рабочих местах операторов заключается в том, что узлы резания переставляются на траверсах. Таким образом, в непосредственной близости от рабочих мест звуковое поле может формироваться звуковым излучением различного количества узлов резания в зависимости от расположения обрабатываемых отверстий.
Следует отметить, что при сверлении отверстий в заготовках, длина которых достигает 1,8 м, следует учитывать расстояние от соответствующих шпинделей до рабочего места.
Экспериментальных исследований уровней звука на холостом ходу. Так на
первом этапе экспериментальных исследований измерялись уровни звука и октавные уровни звукового давления на рабочих местах, создаваемых различным количеством узлов резания на холостом ходу.
Спектр шума холостого хода станка СвА-2 и СвП-2 на рабочем месте оператора приведены на рис. 1.
I, дБ
31,5 63 125 250 500 1000 2000 4000 8000 1--2 — — 3 ^ ГЧ
Рис. 1. Спектр шума холостого хода станка СвА-2 и СвП-2: 1 — предельно-допустимые уровни звукового давления; 2 — СвА-2; 3 — СвП-2
622
