Параметрическая оптимизация температурного профиля нагреваемой заготовки перед прессованием Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 681.5

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПРОФИЛЯ НАГРЕВАЕМОЙ ЗАГОТОВКИ ПЕРЕД ПРЕССОВАНИЕМ1

Ю.Э. Плешивцева, А.А. Афиногентов, С.Е. Коршиков2

Самарский государственный технический университет 443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Формулируется и решается задача параметрической оптимизации процесса прессования на максимум точности приближения температуры в фильере матрицы к её заданной технологическими требованиями величине, обеспечивающей необходимое качество структуры материала пресс-изделий и энергетических характеристик прессового оборудования. В качестве управляющего воздействия рассматривается начальное температурное состояние обрабатываемого изделия после его загрузки в контейнер пресса.

Ключевые слова: параметрическая оптимизация, изотермическое прессование, метод последовательной параметризации, альтернансные свойства, температурное распределение.

Введение. Энерготехнологический комплекс «нагрев - обработка давлением» предназначен для производства изделий широкой номенклатуры (валки, профили) из стандартных металлических заготовок, как правило, цилиндрической формы. Технология прессования через матрицу на гидравлических прессах предварительно нагретых заготовок, в свою очередь, является наиболее широко распространенной для получения различных видов профилей из алюминиевых сплавов.

Технологический комплекс «нагрев - прессование» характеризуется, прежде всего, совокупностью процессов тепловой обработки заготовок на всех стадиях технологического цикла, включая нагрев в индукторе, передачу нагретой заготовки к прессу и собственно процесс прессования. Распределение температуры по радиусу /е |,1 и длине у в |>Д_ цилиндрической заготовки в процессе ее индукционного нагрева 0//(7 С у. х

длительностью т”, последующего транспортирования к прессу 0тр С, т длительностью АТ и прессования 9Я С. у. т _ со скоростью УП может быть описано системой двумерных уравнений теплопроводности с граничными условиями третьего рода на всем временном интервале обработки заготовки длительностью [1].

Поведение температурного поля 9п(1,у, х) в процессе прессования, как правило, должно быть подчинено ограничению

®п(1к’Ук1Т)-®Пкр1 Тн+А-Г -Т — Тк? (1)

согласно которому температура 0п(/к,ук,т) в фильере матрицы (/ = 1к, у = ук), т.е.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-08-00297-а), Целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009-10 гг.» (проект № 2.1.2/4236) и Целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-13 гг.» (проекты П231, П1448).

2 Плешивцева Юлия Эдгаровна - доктор технических наук, доцент.

Афиногентов Александр Александрович - кандидат технических наук, ассистент.

Коршиков Степан Евгеньевич - аспирант.

максимальная температура в зоне деформирования, не должна превышать допустимого предела Qjjxp, что гарантирует отсутствие на изделиях трещин - основного

вида необратимого брака изготавливаемых полуфабрикатов [1, 2].

Силовые возможности пресса, прочность инструмента, температурный интервал пластичности прессуемого металла и другие факторы позволяют осуществить процесс прессования лишь в определенной области Q начальных температурных состояний:

+^т ■ (2)

В качестве управляющего воздействия для процесса прессования может рассматриваться скорость прессования Vn(x), стесненная ограничением [1]:

О < Vn(x) < ГЯшах, т°н + Дг < т < т°. (3)

Однако типичные технологии обработки металла давлением предусматривают работу прессового оборудования в режиме с постоянной скоростью прессования

Vn = const [2]. В этих условиях возникает актуальная задача оптимизации режимов

работы технологической системы по критерию максимального приближения к режиму изотермического прессования с управляющим воздействием по начальному температурному состоянию прессуемой заготовки, которое, в свою очередь, может быть обеспечено на предыдущем этапе путем надлежащего проектирования ИНУ.

В работе формулируется и решается задача оптимизации температурного распределения по длине заготовки перед процессом прессования с целью поддержания с максимальной точностью постоянной температуры в зоне деформации на предельно допустимом уровне.

Рассматриваемая задача сводится к задаче математического программирования, решение которой может быть получено альтернансным методом [3]. Такой подход предполагает наличие процедуры конечномерной параметризации управляющих воздействий, т.е. задание начального температурного распределения с помощью конечномерного вектора А(S) параметров, значения которых подлежат определению.

Процедура непосредственной А(S ^-параметризации управляющих воздействий проводится на основе метода последовательной параметризации [4].

Постановка задачи параметрической оптимизации температурного

распределения по длине заготовки перед операцией прессования

Рассмотрим в качестве объекта управления нестационарный процесс прессования цилиндрической заготовки, описываемый двумерным уравнением теплопроводности Фурье в относительных единицах вида (4) с краевыми условиями (5)-(6) и внутренними источниками тепла пластического формоизменения W* 4, у j.

8Qn(l,y,x) _d2Qn(l,y,х) \8Qn(l,y,x) 2d2Qn(l,y,x)

- +----

dx dl2 I dl dy2

'mr /1 ir 1^9п(1’У’Х) -jr/l ir l d®n(l>y>Z) тхГ/1 ir \

-у P Vy(l,y,vn) n\y 7-y Vl(l,y,Vn) n\ ' ' + W (l,y,Vn);

dy dl

(3,y* = const >0; l,ye(0,1); x°H + AT < x < x°;

(4)

*п£М = Л t -еп(1,у.^уУпУ, ^§М = „; (5)

ol ol

*4±i>=»,fc -еми*) ■ -«ММ=*„4», -вл(/дт)', (6)

OJ ду '

где Bi, Bi0, Hi] - коэффициенты конвективного теплообмена, qty,Vn ^ - тепловой поток, учитывающий контактное трение, О". 0"п. О", - температура среды на поверхности и торцах заготовки, V ,Vr - продольная и радиальная составляющие скорости

течения металла.

Начальное температурное состояние заготовки непосредственно перед операцией прессования вп(1,у, т®+Аг) определяется температурным распределением

()■/-/> (1,у,т® +АТ) в момент окончания операции транспортирования:

®пО’У’Тн + ^г)= ®трО’У’т<н + ^г) • (7)

Требование к поведению температурного поля Qn(l,y,x) в оптимальном процессе прессования формулируется, согласно (1), в виде максимально допустимой величины 8q абсолютного отклонения температуры О ц (/^,1,1) в фильере матрицы от её заданной технологическими требованиями величины 0Пкр в каждый момент

времени те[т° + Аг;х°], т.е. в равномерной чебышевской метрике:

so= ^ о|ея(4,Л^)-0я^|- (8)

;ф°+Лг;4?] 1

Соответствующее заданному значению е = s0 целевое множество может быть описано в форме требования достижения с допустимой погрешностью предельного значения температуры 0 [! кр в каждый момент процесса прессования т е [т° + АТ; т° ]:

тах0| Ъп(1к>УкЛ)-ЪпЛ^Ч- (9)

Будем считать неравномерность распределения температуры в поперечном сечении цилиндра незначительной, т.е. перейдем к рассмотрению одномерного температурного распределения по длине цилиндра Qn(y,x® + АТ) перед прессованием, которое и выберем в качестве управляющего воздействия.

Задаваясь целью обеспечить возможно меньшую погрешность s0 приближения Qп(1к,ук,т) к ОЦИр в метрике (8), рассмотрим в качестве критерия оптимизации

процесса прессования абсолютную точность приближения температуры 9п(1К,ук,т) в фильере матрицы в каждый момент процесса прессования т на временном интервале [т° + Ат; ] к предельно допустимой температуре 0Я Кр :

1 = max I %(lK,yk^)-0Я1-> min . (10)

т-Фн+^T ^к] еЯ (УД„+Лт

Выбирая начальное состояние объекта (4)-(6) в качестве управляющего воздействия, осуществляется переход к следующей задаче оптимального управления по начальным условиям.

Задача 1. Для объекта, описываемого неоднородным уравнением Фурье (4) с

краевыми условиями (5)-(7), необходимо определить такое оптимальное распределение температуры 9^ (у,тн + Д7 ) по длине заготовки перед процессом прессования, рассматриваемое в качестве начального условия, которое обеспечивает минимальное значение критерия (10) в каждый момент процесса прессования т на временном интервале [т° + А у; ] в условиях выполнения ограничения (1).

Особенность рассматриваемой задачи заключается в формировании функции максимума в (9), (10) не в пространственной, а во временной области изменения управляемой величины.

Редукция к задаче математического программирования

Представим управляющее воздействие Вп(у,т® + Ат) в виде функции

Оп(у,х'и + АТ, А*-5-*) некоторого вектора параметров А,л’ = (А,), і =1,5', непосредственно характеризующего управление Вп(у,тн + Ат) оптимальной структуры во всей пространственной области его определения.

В роли рассматриваемых параметров Аі, і = 1,Л' могут выступать непосредственно параметры функций, описывающих искомое одномерное температурное распределение 9^ (у, %°н + Ат).

Для решения задачи 1 используем, в пренебрежении радиальной неравномерностью начального температурного состояния, А(^) -параметризованное представление управляющего воздействия в форме кусочно-линейной функции, повторяющей требуемый характер распределения температуры по длине слитка при его градиентном нагреве, который обеспечивает достаточно малую величину ^ :

(-5)

0Д (1,у,х:+ Ат) = 0°д (у,А(*> ) =

0.

02

+ Со1 Єо^ У , 0< У<Уо:,

^02

С

Уоі

— 9

00 °01

(11)

]*-У01.

У 01

Зависимость (11) определяет набор температурных профилей, представленных на рис. 1. В качестве оптимизируемых параметров выступают значения температур 900, бог на концах у=0, у= 1 заготовки по ее длине, температура 901 в точке у01 < 1 и сама координата у01 .

а б в

Р и с. 1. Температурные профили нагреваемой заготовки перед прессованием

В результате параметризованное управление (11) характеризуется вектором А(5) = (АД/ =1,5, 2 < 5 < 4 : Дг = 0ОО; Д2- = 0О2; дз = Уо1> А4 = еоь гДе Для ^=2 принимается 002 = 0(л • Уо\ — I • а при 5=3 выполняются соотношения 0О1=0О2, 3^01 -1 •

При выборе А(5) в виде упорядоченной определенным образом последователь-

С О)

ности о параметров минимально достижимые значения е0 = в классе управлений, однозначно характеризуемых величиной 5, монотонно убывают с возрастанием 5 е {1, р} и образуют последовательность неравенств вида

(1) ^ 0(2) ^ ^ о0) ^ с.О'+1) £(р) = £ > о . (12)

min ^ min ^ ^ min ^ &min ^ ^ &min “ &inf

Решение уравнения объекта (4) с A(-S-) -параметризованным начальным условием и соответствующими граничными условиями позволяет получить температуру 0>7 ,1) в фильере матрицы и значение критерия оптимальности (10) в виде явных функций, соответственно 0 П(1К, yk, x,A(s)) и /(А*-5-*), вектора A*-S\ В результате без каких-либо погрешностей в рамках используемых моделей осуществляется точная редукция задачи (10) к виду

I(А(5))= max І0я(/к,Л,х,А(5))-0я 1^-пш . (13)

тєІ^+Аг-.т»]1 A(S>

Решение задачи (13) для каждого S є ^,3,4 , где по определению

min.

max

тє|°+Дтт°]

Я(/К,Т,А^)-0ЯКР =є^п, (14)

может быть получено по общей схеме альтернансного метода.

Метод базируется на специальных альтернансных свойствах вектора А(5о) оптимальных решений, являющихся аналогом известных условий экстремума в теории нелинейных чебышевских приближений [3]. Особенностью задачи (14) является ее формулировка в терминах ошибок равномерного приближения управляемой величины к 9/7кр не в пространственной, а во временной области ее определения в связи с минимизацией функции максимума (13) во временной области изменения температуры в фильере матрицы. Указанное обстоятельство требует проведения дополнительных исследований альтернансных свойств по форме оптимальной кривой изменения во времени температуры пластической зоны в процессе прессования с постоянной скоростью.

Альтернансные свойства оптимального процесса изменения

во времени температуры пластической зоны

Согласно общей теории оптимальных решений задач полубесконечной оптимизации [3], альтернансные свойства функциональной зависимости температуры пластической зоны от времени при оптимальном температурном распределении по длине заготовки перед процессом прессования подобны альтернансным свойствам конечного пространственного распределения температуры в конце оптимального по быстродействию процесса управления температурным полем заготовки [1, 3].

Согласно этим свойствам, равные величине /П1Ш (А ) = г. одинаковые значения максимальных отклонений тах 07/ (71..>’/. ,х. А<Л"о)) - 0 /7, I достигаются в не-

хе^+Дт-;!»]1 1

которые моменты времени т на временном интервале [т^ + Л у; т^. ]. общее число которых должно быть равным числу искомых неизвестных в (13).

Это означает, что альтернансные свойства решения ^ °) задачи (13) позволяют записать систему соотношений

тах 0 Рп(1к,Ук^Л(5а))-ЪПкР =£*; 7 = 1Л (15)

те^+Аг-;^]1 '

в моменты времени Ту е | х]и + Ду -; т^. |. общее число которых оказывается равным числу всех искомых параметров оптимального процесса, к которым относятся 50 составляющих А^°\/ =1,50 вектора А(Л""'1 и минимакс при 8* = в (8),

* ” №>) /104

поскольку 8 всегда совпадает с величинои еЦ в задаче (13).

Таким образом, в (15):

+1 при 8* = 8^п} . (16)

Если дополнить равенства (15) условиями существования экстремума максимума |0я(/к,_у£,т,А(5,о))-9Як/,| в моменты времени т° е (т° + Дг;т°) , которые заранее не определены, то мы приходим к следующей системе соотношений:

\ЪП{1к,ук,т)Л{5а))-ЪПк\ = г\] = Щ-,

Э(0я(/к,Л,т°е,А(5»))-0я^) ----- (17>

---------= 0,^ = 1

замкнутой в условиях (16) относительно всех неизвестных величин АР0\/ = 1,5,

о Л и №>) * №)) 0

Xj^,g = i,Rл и ст|п при 8 = £П1|П- где т/- точки экстремума

0

(0Я(/К, ^,т,А(5о))-0Я^) наотрезке [т° +Аг;т°], общее число которых ЯП<Я{.

Решение задачи трехпараметрической оптимизации

Задача 1 решалась с использованием численной модели процесса прессования металла, построенной на основе известных зависимостей для поля скоростей деформации [4, 5].

Рассмотрим решение задачи трехпараметрической оптимизации температурного распределения по длине цилиндрической заготовки перед прессованием, представляющей возможность получения набора величин є = для различных значений координаты у01.

Данному случаю соответствует трехпараметрическое представление температурного распределения 0/7(.у, А<*>) при =3 (рис. 1, в). При этом оптимизируемыми параметрами являются температуры 0ОО и 0О2 на торцах заготовки, а также температура 0О1 в точке с заранее фиксированной координатойу01.

Таким образом, в качестве искомых неизвестных выступают вектор ^^ = ^00, 0О1,0о2., и величина г: = предельно достижимой абсолютной точности приближения температуры дп(1к,ук, х) в фильере матрицы в каждый момент процесса прессования х к предельно допустимой температуре 0 и Кр .

В соответствии с правилом (16) = 4, т.е. максимальное отклонение темпера-

туры в очке матрицы от заданной должно достигаться в процессе прессования четыре раза, а число экстремумов кривой (Оп(/,..ук.,\<2> )-0Пкр) не должно превышать Я( [4, 5].

416

412-

408

404

400

396-

392-

388-

384-

380-

Чиш /

/

/

=£1 /

1 /

V т:,сек

Р и с. 2. Температурные профили нагреваемой заготовки перед прессованием и общий вид зависимости температуры пластической зоны от времени в процессе прессования:

а- г* = еС «17.53 °С, б-г =8^ *9.69 °С, в-г* = -6.97 °С

Результаты трехпараметрической оптимизации температурного распределения

по длине заготовки

а

Уоі іоо іоі О вС Ш1П

°С °С °С °С

0.10 382.466813 312.986301 369.052679 17.5332

0.25 383.343212 317.214297 362.246559 16.6568

0.50 386.017635 323.622078 357.211063 13.9824

0.70 390.300329 331.107410 351.287530 9.6997

0.89 398.247523 349.790118 341.353296 2.2045

0.95 406.976922 358.940294 335.161631 6.9769

Установленные альтернансные свойства температурных зависимостей в процессе прессования с заданной скоростью заготовок цилиндрической формы позволяют найти решение задачи 1 с помощью специальных систем уравнений (17) .

Результаты решения задачи оптимизации процесса прессования с постоянной скоростью Vn = 450 мм/мин цилиндрической заготовки диаметром D=250 мм и длиной L=430 мм из сплава Д16 представлены на рис. 2 и приведены в таблице в абсолютных единицах для температуры в фильере матрицы оптимизируемых параметров профиля и точности соответственно.

Заключение. Как следует из приведенных численных результатов, решение сформулированной трехпараметрической задачи оптимизации позволяет получить удовлетворительную с технологической точки зрения точность равномерного приближения к оптимальной температуре в фильере матрицы на всем протяжении процесса прессования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. - М.: Металлургия, 1993. -279 с.

2. ПерлинИ.Л., Гайтбарг Л.Х. Теория прессования металлов. - М.: Металлургия, 1975. - 448 с.

3. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. - М.: Наука, 2000. -336 с.

4. Плешивцева Ю.Э. Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконеч-ная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06. / Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2009. - 50 с.

5. Афиногентов А.А. Моделирование и оптимальное управление технологическим комплексом «нагрев - обработка металла давлением»: Автореф. дис. ... канд. техн. наук: 05.13.06. / Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2008. - 22 с.

Статья поступила в редакцию 3 февраля 2010 г.

UDC 681.5

PARAMETRIC OPTIMISATION OF TEMPERATURE DISTRIBUTION WITHIN HEATED BILLET BEFORE PRESSING PROCESS

Yu.E. Pleshivtseva, А.А. Аfinogentov, S.E. Korshikov1

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

The problem ofparametric optimization ofpressing stage is formulated and solved. This problem provides the maximal accuracy of approximation of temperature in the die whole to the prescribed value that is given according to the technology demands to guarantee good quality of end-product material structure and necessary characteristics of pressing equipment. Initial temperature distribution within the treated billet is considered as control input function to be optimized.

Key words: parametric optimisation, isothermal pressing, method of subsequent parameterisa-tion, alternance properties, temperature distribution.

1 Yulia E. Pleshivtseva - Doctor of Technical Sciences, Associate professor. Alexander A. Afinogentov - Candidate of Technical Sciences, Assistant. Stepan E. Korshikov - Postgraduate student.