CC BY
14
УДК 622.333
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕРНИЗАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
© 2008 г. М.В. Савельев *, А.Ю. Аликов * *, С.В. Федосеев *
*Южно-Российский государственный *South-Russian State Technical University
технический университет (Novocherkassk Polytechnic Institute)
(Новочеркасский политехнический институт)
** Северо-Кавказский горно-металлургический **North Caucasian Institute of Mining
институт, г. Владикавказ and Metallurgy, Vladikavkaz
Совершенствование методов синтеза систем управления направлено на формализацию сложности и исключение избыточности синтезируемых структур. Считается, что решение задачи синтеза обладает избыточно сложной структурой, если представляется возможным его упростить без нарушения условий его допустимости. Возможны различные походы к формализации понятия сложности и, следовательно, избыточности решения. В данной работе формализованное сопоставление сложности решений основано с учетом того, что решение содержит указание на наличие либо отсутствие тех или иных элементов структуры синтезируемого объекта.
Ключевые слова: параметры, система, управление, модернизация, коррекция, избыточность.
Perfection of methods of synthesis of control systems is directed on formalization of complexity and exception of redundancy of synthesized structures. It is considered, that the decision of a task of synthesis possesses is superfluous difficult structure if it is obviously possible to simplify it without infringement of conditions of its admissibility. Various campaigns to formalization of concept of complexity and, hence, redundancy of the decision are possible. In the given work the formalized comparison of complexity of decisions is based in view of that the decision contains the indication on presence or absence of those or other elements of structure of synthesized object.
Keywords: parameters, system, management, modernization, redundancy.
Работа посвящена проблеме совершенствования методов синтеза систем управления в направлении формализованного учета сложности и исключения избыточности синтезируемых структур. Считается, что решение задачи синтеза обладает избыточно сложной структурой, если представляется возможным его упростить без нарушения условий его допустимости [1].
Возможны различные походы к формализации понятия сложности и, следовательно, избыточности решения. В данной работе формализованное сопоставление сложности решений основано, во-первых, на учете того, что решение содержит указание на наличие либо отсутствие тех или иных элементов структуры синтезируемого объекта, и, во-вторых, на использовании следующего правила: решение х признается более сложным, чем решение у, если х содержит все структурные элементы решения у, и, кроме того, некоторые дополнительные.
Решение, в котором при соблюдении условий его допустимости не может быть исключён ни один из его структурных элементов, в данной работе называется структурно-неизбыточным, а соответствующая ему структура - простой.
На практике необходимо приблизить поведение располагаемой динамической системы к поведению эталонной. Структура располагаемой системы считается неизменной и эквивалентной структуре эталонной системы. Полагаем, что в уравнениях динамики можно выделить обобщенные параметры (парамет-
рические комплексы), являющиеся функциями первичных (конструктивных и эксплуатационных) параметров. Различие в поведении располагаемой и эталонной систем обусловлено различием только их параметров. Часть первичных параметров являются варьируемыми - их значения могут выбираться из заданной для каждого из них области допустимых значений. Остальные первичные параметры должны оставаться неизменными.
Требуется найти наборы, составленные из таких первичных параметров, изменение которых является необходимым и достаточным условием для приближения поведения располагаемой системы к поведению эталонной с заданной точностью. Используя принятую нами терминологию, указанную задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти простые (минимально-факторные) наборы первичных параметров, допустимость которых определяется заданной точностью приближения поведения располагаемой системы к поведению эталонной.
К представленной задаче могут быть приведены разнообразные задачи из практики синтеза систем управления. Укажем на некоторые из таких задач.
Пусть система управления описывается уравнениями:
dx/dt = f (х, и, а); и = и(х, и, аи); х(0) = х0, (1)
где х, и, g - соответственно векторы состояния, управления и внешних воздействий (задающих и возмущающих); а, аи - векторы параметров.
Закон управления и = и(х, и, аи) полагается заданным и неизменным. Учитывая это, можно объединить уравнения (1) в одну систему
dx/dt = f (х, и, а); х(0) = х0, (2)
где а - вектор обобщенных параметров.
Вектор обобщенных параметров а = (аь ..., ап) есть функция вектора первичных параметров а = (аь
ат+к).
Первичные параметры, составляющие вектор а~ = = (ат+ь ..., ат+к), подвержены изменениям в процессе функционирования системы в пределах, определяемых условием а~ еА~д. Их значения в каждый момент времени будем полагать известными либо исходя из априорной информации о законах их изменения, либо в результате их измерения непосредственного либо косвенного - при помощи устройства идентификации параметров.
Первичные параметры (аь ..., ат), составляющие вектор а", будем считать варьируемыми - допускающими контролируемое изменение в процессе функционирования системы в заданных пределах, опреде-
V /— л V
ляемых условием а с А д.
Известно номинальное а0 значение вектора обобщенных параметров, или в более общем случае множество Ад его допустимых значений. Система (2), в которой а = а0, является эталонной, а система, в которой а Е Ад, достаточно близкой к таковой. При этом Ад - множество значений обобщенных параметров, соответствующих допустимой точности приближения располагаемой системы к эталонной.
Требование стабилизации свойств системы (1) математически определяется условием
а(а, О Е Ад. (3)
В частном случае, когда Ад = а0, указанное условие примет вид
а(а, 0 = а0. (4)
Выполнение условия (3) возможно в результате изменения значений части координат вектора а", что означает придание системе адаптивных свойств. Реализация механизма изменения каждого первичного параметра предполагает усложнение располагаемой системы. При этом степень усложнения системы определяется не столько амплитудой изменения варьируемого параметра, сколько главным образом самой необходимостью его изменения.
Количественная оценка трудоемкости либо стоимости изменения отдельного параметра затруднительна. Тем более затруднительной оказывается количественная оценка суммарной трудоемкости либо стоимости изменения того или иного набора первичных параметров. В этой связи потребуем определения таких наборов координат вектора а", изменение значений которых является необходимым и достаточным условием для выполнения условия (3), т. е. наборов, не содержащих избыточных параметров, подлежащих изменению и, таким образом, удовлетворяющих определению простого (минимально-факторного) набора [1].
Иными словами, требуется найти множество наборов S координат вектора av, удовлетворяющих множеству минимально-факторных наборов. После формализованного выявления всех таких наборов проектировщик может выбрать среди них единственный, в наибольшей мере соответствующий его содержательным представлениям о наилучшем наборе первичных параметров, подлежащих изменению с целью придания системе адаптивных свойств.
Пусть (а°ь---, а°т+к) - номинальные значения первичных параметров и (5а°ь.--, 5a°m+k) - отклонения первичных параметров от номинала. Вектором решения рассматриваемой задачи является вектор отклонений варьируемых параметров
5а v(t) = (5а° vi(t),..., 5а° vm(t)).
Структура решения рассматриваемой задачи (структура параметрической коррекции и, следовательно, структура закона адаптации системы управления) определяется набором номеров активных компонент вектора решения 5а v(t).
Условием допустимости структуры S является выполнение соотношения (3), стесненного требованием равенства нулю компонент вектора решения 5а v(t), не включенных в S, а также требованием принадлежности варьируемых параметров области их допустимых значений. Данное условие запишем следующим образом:
а(а° + 5а S (t), t) еАд, а° v + 5а vS (t) = а vS (t) еАд. (5)
Особо выделим частный случай рассматриваемой задачи, когда условия допустимости ее решений могут быть выражены линейными зависимостями. Указанный случай имеет место, например, когда обобщенные параметры есть степенные мультипликативные комплексы первичных параметров, а в качестве координат вектора решения v(t)** рассматриваются логарифмы отношений номинального и реального значения первичного параметра. В этом случае
a („) = „уЛ ауй „71 , щ+к = П „y»
а1(а) = а 1 а 2 .■■ а m+k = nj = 1,m+k а р
где Yj - действительные числа. Тогда
log (a/a0) = Ер = i,m+k log
или
Mai = = 1,m+k Y^ïЦ^', где a°„ а°р - номинальные значения обобщенных и первичных параметров; цш- = log (a,- /a°), Mj = log (ар /а' -логарифмические масштабы изменения соответственно обобщенных и первичных параметров.
Сосредоточив все неуправляемые слагаемые справа от знака равенства, получим
= 1,m JijMj = Mai + = m+1,m+k JijV-j или, перейдя к векторным обозначениям, Гц = m*,
где m = (Mj) j = 1,m - вектор искомых логарифмических масштабов изменения варьируемых первичных параметров, Г = (Yj) i = 1,n; j = 1,m , M* = (M*i) i = 1,n , M*i = Mai +
+ = m+1,m+k Y ijMj.
Теперь условие допустимости структуры предстанет в виде
= ц*, (6)
где 5 - набор номеров активных компонент вектора неизвестных ц, определяющий вариант структуры параметрической коррекции; Г5 - матрица, составленная из столбцов Г/, ]<е8 матрицы Г; ц - вектор, составленный из координат ц/ /е5.
Заметим, что ц есть функция времени и, следовательно, условие (6) выполняется для каждого момента t, т. е. V te ^ : Г5ц5 = ц*(0, где t2] - заданный интервал времени.
В случае назначения интервала допустимых значений вектора ц (() условия допустимости структуры 5 предстанут в виде V te t2] : ц - * (0 < Г5ц5 < ц+* (t).
К аналогичным линейным условиям допустимости варианта структуры параметрической коррекции можно прийти в результате линеаризации функций, определяющих зависимость обобщенных параметров от первичных, посредством их разложения в ряд Тейлора, что целесообразно в случае правомерности гипотезы малых отклонений первичных параметров от их номинальных значений, в окрестности которых проводится линеаризация.
В результате рассматриваемая задача сводится к поиску структур 5, удовлетворяющих определению, в зависимости от принятого варианта формализации условие 5е5д описывается одной из ниже представленных формул:
(5е5д)О (V te а(а0 +5а 5(О, Г) еЛд, а0" +даг5 (t) = аv5(t) еЛГд),
(5е5д) О (V t6 ЙЛ]: Г5ц5 = ц*(0), (5е5д) О (V te ц - * (t) < Г5ц5 < ц+* (0).
Таким образом, показано, что задача синтеза простых структур закона адаптации системы управления (структур нестационарной параметрической коррекции) сводится к задаче поиска простых (минимально-факторных) структур с различными видами ограничений, в том числе с линейными ограничениями.
К математической постановке задачи, отличной от предшествующего изложения [2] только стационарностью значений параметров, можно прийти из следующих содержательных предположений.
Пусть изменение обобщенных параметров в системе (2) обусловлено не естественной изменчивостью ряда первичных параметров, а вынужденным изменением проектировщиком одного или нескольких первичных параметров системы, что может быть обусловлено, например, изменениями характеристик комплектующих элементов, используемых в системе, осуществленными их поставщиками, изменениями в условиях эксплуатации системы, в частности, приводящими к изменению питающих напряжений и давлений, моментов инерции и масс отдельных элементов и т.п.
Требуется сохранить прежние динамические свойства системы управления, изменив достаточный, но неизбыточный набор первичных параметров из их множества, допускающих ту или иную свободу выбора с целью парирования изменений, вносимых в систему первичными параметрами, претерпевшими изменения.
В данном случае вектор а~ = (аи+ь ..., а„+£) составляют вынужденно измененные первичные параметры. Вектор а как и прежде, составляют варьируемые параметры (а1, ..., ат), допускающие контролируемое изменение с целью сохранения динамических свойств системы, что формально соответствует требованию соблюдения условия (3) с тем лишь отличием, что в рамках данной задачи значения всех параметров считаются стационарными.
Каждый набор 5 первичных параметров, подлежащих изменению в располагаемой системе, представляет собой вариант ее доработки (параметрической коррекции). Условие (5) выступает в качестве условия допустимости варианта 5.
Стремление ограничиться изменением первичных параметров, составляющих необходимый и достаточный для достижения поставленной цели набор, продиктовано тем, что изменение в располагаемой системе каждого параметра предполагает ее доработку, сопряженную либо с физическими действиями, если система изготовлена, либо с действиями по корректировке технической документации на изготовление системы и технологического процесса ее производства.
Учитывая, что изменение в существующей системе каждого значения параметра сопряжено с ее доработкой, а количественная оценка трудоемкости либо стоимости изменения отдельного параметра затруднительна, потребуем выявления всех наборов 5 координат вектора а", изменение значений которых является необходимым и достаточным условием для выполнения условия (5), т. е. наборов, не содержащих избыточных параметров, подлежащих изменению.
Повторив далее действия по формализации рассматриваемой задачи, подобные приведенным ранее [1, 2], придем к задаче выявления минимально-факторных структур 5 законов стационарной параметрической коррекции, удовлетворяющих определению, где в зависимости от принятого варианта формализации задачи условие 5е5д описывается одной из ниже представленных формул:
(5е5д) О (а(а0 +да 5) еЛд , а0" +да"5 = аг5еЛгд),
(5е5д) О (Г5ц5 = ц*), (5е5д) О (ц - * (t) < Г5ц5 < ц+* (t)).
Таким образом, показано, что задача синтеза простых структур стационарной параметрической коррекции сводится к задаче поиска простых (минимально-факторных) структур и, в частности, к задаче с линейными ограничениями.
К математической постановке, тождественной изложенной выше, можно прийти в результате формализации следующей задачи.
Пусть изменение обобщенных параметров в системе (2) обусловлено необходимостью улучшить свойства располагаемой системы, например, в смысле уменьшения функционала качества
J = _р0(х, и, g, (7)
<1
Потребность в модернизации системы возникает в связи с тем, что располагаемая система была спроектирована исходя из представлений о качестве ее функционирования, отличных от тех, которые описываются требованием минимизации функционала (7). В другом варианте потребность в модернизации обусловлена тем, что в процессе опытной эксплуатации системы выяснилась необходимость учета в ее математическом описании некоторых дополнительных факторов или необходимость замены ранее использованного критерия оптимальности условием минимизации функционала (7).
Пусть а0 - оптимальное значение вектора обобщенных параметров, обеспечивающее минимизацию функционала качества, [а ", а+] - интервал значений вектора а, соответствующих удовлетворительному качеству управления, при котором функционал качества отличается от его минимального значения на допустимую величину.
В более общем случае можно считать, что значения а0 и [а ", а+] найдены из некоторых представлений о совершенстве синтезируемой системы, не обязательно представимых (адекватно формализуемых) условием минимизации одного либо нескольких функционалов.
Как и в вышерассмотренных задачах система (2), в которой а = а0, является эталонной, а система, в которой а(а) е Ад, достаточно близкой к таковой. По-прежнему требуется, изменив достаточный, но неизбыточный набор первичных параметров из их множества, допускающих ту или иную свободу выбора, т. е.
Поступила в редакцию
осуществив минимальную параметрическую доработку располагаемой системы, обеспечить ее приближение к эталонной в смысле выполнения условия (3) либо (4). В данном случае вектор а~ = (ат+ь ... , ат+к) составляют первичные параметры, не допускающие
V
изменения, а вектор а , как и прежде, составляют варьируемые параметры (аь ... , ат).
Повторив далее действия по формализации рассматриваемой задачи подобные приведенным, придем к математической задаче выявления минимально-факторных структур 5 (вариантов) законов параметрической коррекции, тождественной рассмотренной ранее.
Из представленных результатов следует, что многие практически важные задачи структурно-неизбыточной параметрической коррекции систем управления могут быть математически описаны как задачи поиска простых (минимально-факторных) структур, в частности, с линейными ограничениями. В общем случае при их описании можно использовать кроме правила пмф минимально-факторного сравнения вариантов структур также правило сравнения пм сложности структур «по числу элементов» или правило пм минимально-взвешенного сравнения сложности структур. Тогда рассмотренные задачи [3] будут являться частным случаем общей задачи поиска простых структур с линейными ограничениями.
Литература
1. Абрамов О.В., Барнацкий Ф.И. Параметрическая коррекция систем управления. М., 1982.
2. Айзерман М.А., Алискеров Ф.Т. Выбор вариантов: Основы
теории. М., 1990.
3. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М., 1977.
15 июля 2008 г.
Савельев Михаил Владимирович - докт. техн. наук, профессор кафедры ЭВМ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. (86352)55-100, Факс:(863-52) 284-63, E-mail: POST MASTER @ SRSTU.NOVOCH.RU
Федосеев Сергей Владимирович - канд. техн. наук, докторант кафедры ЭВМ Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
Аликов Алан Юрьевич - канд. техн. наук, доцент СКГМИ (ГТУ), заведующий кафедрой «Системы автоматизированного проектирования», Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет)._
