Формализация задачи синтеза неизбыточных архитектур сложных функциональных блоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.013

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА НЕИЗБЫТОЧНЫХ АРХИТЕКТУР СЛОЖНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ БЛОКОВ

© 2010 г. В.Г. Манжула

Южно-Российский государственный университет South-Russian State University

экономики и сервиса, г. Шахты of the Economy and Service, Shahty

Предложен метод формализации задач синтеза неизбыточных архитектур сложных функциональных блоков на основе минимально-факторного подхода, включающий в себя систему математических определений и обеспечивающий возможность учета сложности структуры в постановке задачи ее синтеза.

Ключевые слова: синтез; минимально-факторный подход; неизбыточная архитектура; сложный функциональный блок.

In work the method offormalisation of problems of synthesis of irredundant architecture of difficult functional blocks on the basis of the is minimum-factorial approach, including system of mathematical definitions and providing possibility of the account of complexity of structure directed by a problem of its synthesis is offered.

Keywords: synthesis; minimum-factorial approach; irredundant architecture; difficult functional block.

Роль применения современных методов синтеза архитектур сложных функциональных (СФ) блоков возрастает в условиях резкого увеличения числа элементов, роста трудоемкости, возрастания сроков проектирования, архитектурной и функциональной избыточности, снижения надежности, необходимости минимизации затрат на проектирование, сопровождение и эксплуатацию изделий, также недостаточной разработкой вопросов синтеза в направлении формализованного учета сложности, исключения архитектурной избыточности и необходимостью формулирования критериев отбора, наиболее полно учитывающих возможные формализации оптимального выбора [1, 2].

В качестве элементов архитектуры СФ блока могут выступать информационно-преобразовательные элементы (усилители, сумматоры, интеграторы и т. п.), датчики, исполнительные устройства, импульсы и моменты переключения программного закона управления. Их количественными характеристиками, отражаемыми значениями компонент вектора решения, являются, соответственно, различные конструктивные и эксплуатационные параметры, амплитуды и длительности импульсов и т. д. Таким образом, вектор решения определяет одновременно решение задачи параметрического и архитектурного синтеза. Для полной конкретизации варианта неизбыточной архитектуры синтезируемого объекта достаточно определить перечень элементов, исключаемых из его начальной архитектуры, заданной либо на содержательном уровне, либо путем ее математического описания.

Варианту архитектуры соответствует не единственный вариант вектора решения, а в общем случае некоторое их множество (в том числе бесконечное), но каждому варианту решения соответствует единственный вариант архитектуры.

Всякое исключение элемента из архитектуры считается как ее упрощение. В этом случае применим следующее правило сравнения сложности. Архитектура Ь признается более сложной, чем архитектура а, если множество элементов архитектуры Ь содержит все элементы архитектуры а и, кроме того, некоторые дополнительные. Варианты не сравнимы по сложности, если множество элементов одной архитектуры не является подмножеством элементов другой.

Указанное правило определяет следующее бинарное отношение:

тсмф : а «проще» Ь » а с Ь,

где а, Ь - варианты архитектур, представленные наборами составляющих их элементов. Символ ямф здесь обозначает введенное правило сравнения сложности вариантов, которое далее будем называть правилом минимально факторного (МФ) сравнения сложности. Отметим, что ямф одновременно можно рассматривать как определение бинарного отношения, являющегося одним из вариантов формализации понятия «проще».

Наряду с МФ правилом ямф сравнения сложности используем следующие правила.

Правило сравнения сложности архитектур по числу элементов

тсмф: а «проще» Ь » саМ(а) < са^(Ь),

где сай(^) - кардинальное число (число элементов) множества (•). Данное правило предполагает, что архитектура а проще, чем Ь, если а состоит из меньшего, чем Ь, числа элементов.

Правило минимально взвешенного сравнения сложности архитектур

Ям, : а «проще» Ь » Т^аУг < 2 ^ъУг,,

где у, - весовой коэффициент сложности i-го элемента архитектуры. В данном правиле, в отличие от предыдущего, учитывается различие в сложности, вносимой каждым элементом в отдельности в сложность системы.

Далее запись anb будет означать высказывание а «проще» b в соответствии с формальным определением отношения ie {Пмф,Пмв,Пм}.

Далее считаем, что архитектура является допустимой, если удается выполнить все условия допустимости решения надлежащим выбором значений активных компонент вектора решения. Иными словами, архитектура а принадлежит множеству допустимых архитектур Qg, если существует допустимый вектор решения х, набор активных компонент которого совпадает с набором, определяющим архитектуру а, что математически выражается формулой

aeQ0 » Эх: (P(x)=l)&(a=s(x)),

где Р(х) - логическая функция вектора решения, истинное значение которой (единица) соответствует выполнению условий допустимости, s(^) - функция, определяющая набор активных компонент решения (•).

Неизбыточной архитектурой является допустимая архитектура а, для которой невозможно указать допустимую архитектуру b, элементы которой являются подмножеством набора элементов архитектуры а. Это определение выражается формулой

a eQn (a еПг)&(3b £ Qg : b с a).

С учетом определения МФ правила сравнения сложности можно записать так:

a £Qn » (a £Qg )&(3b £ Qg : bn^a) .

Таким образом, неизбыточная архитектура определяет набор элементов, присутствие которых в архитектуре синтезируемого объекта необходимо и достаточно для достижения поставленной цели - выполнения системы условий, определяющих допустимость решения.

Минимальной архитектурой будем называть допустимую архитектуру, в которой число составляющих ее элементов минимально среди всех допустимых архитектур. Данное определение математически выражается следующей формулой:

a £ Q„ » (a £ Qg) &(3b £ Qg : card (b) < card (a)), или

a £ Q м « (a £Qg )&(3b £ Qg : b^ a),

где Q„ - множество минимальных архитектур. Очевидно, минимальная архитектура всегда принадлежит множеству неизбыточных архитектур и является частным случаем неизбыточной архитектуры.

Имеет практический смысл рассматривать задачи синтеза множества всех неизбыточных архитектур и не всегда следует искать минимальную архитектуру,

т.е. существуют практические задачи, где минимальная архитектура может оказаться менее привлекательной, чем некоторая другая из множества неизбыточных. Существуют практические задачи, в которых при содержательном сопоставлении архитектур по сложности предпочтительной может оказаться архитектура, число элементов в которой больше, чем в минимальной архитектуре. Данный факт может иметь различные объяснения. Он имеет место, если отдельные элементы и различные их сочетания неодинаково влияют на сложность синтезируемой системы. В таком случае техническая реализация архитектуры, состоящей из большего числа элементов, может при их содержательном сопоставлении оказаться проще, чем реализация архитектуры, объединяющей меньшее число элементов.

Особого внимания заслуживает наличие «сочетаемости» элементов, составляющих данный вариант архитектуры. Это обстоятельство не позволяет при формализации выбора использовать в качестве универсальной оценки сложности архитектуры аддитивный критерий (суммы весовых коэффициентов) сложности включения в архитектуру отдельных ее элементов. Однако в некоторых случаях использование такого критерия (шкалы) может быть признано возможным, если полагать известными числовые коэффициенты каждого элемента, оценивающие его вклад в суммарную оценку сложности, которую будем называть взвешенной суммой элементов архитектуры. Данное определение выражается следующей формулой:

a £ Qмв » (a £ Qg )&(Э b £ Qg : £^ у,),

где Qm - множество минимально взвешенных архитектур.

Учитывая ранее сделанное определение правила пмв, можно записать

a £ Qмв « (a £ Qg )&(Э b £ Qg : b^ a).

Решение с минимальной архитектурой можно представить формулой

х £ Хм » (х £ Xg) & (Эy £ Xg : card(s(y)) < card(s(x))),

где Хм - множество решений с минимальной архитектурой.

Решение с минимально взвешенной архитектурой соответствует определению

х £ Хмв (х £ Хg)&(Эy £ Хg : E,£s(y)уi <£,£s(х)уiЬ

где Хмв - множество минимально взвешенных решений.

Множество решений с неизбыточной архитектурой, найденное в результате формализованного МФ выбора, содержит, как правило, несколько вариантов, среди которых окончательный выбор производит лицо, принимающее решение (ЛПР) на основе присущей ему неформальной системы предпочтений.

Неоднозначность МФ выбора отражает объективно существующие ограничения в возможностях полной формализации. ЛПР не имеет отчетливых, логически осознанных представлений. Такие представления нестационарны и субъективны. Попытки обеспечить единственность выбора на основе введения дополнительных критериев качества и их свертки в один нецелесообразны, так как одна нерешенная задача заменяется другой, корректное решение которой не намного проще исходной. В этом случае актуальным является использование подхода, предполагающего формализацию устойчивой (стационарной и объективной), логически понятной части системы предпочтений, обеспечивающего выделение пусть не единственно наилучшего варианта, а некоторого их множества, составляющие варианты которого признаются наилучшими широким кругом экспертов [3, 4]. Окончательный выбор единственного варианта из множества, найденного в результате решения формализованно (математически) описанной задачи, производит ЛПР. При этом оно может использовать дополнительные критерии, эффективно дополняющие использованные, либо основываться на неформальные (интуитивные) предпочтения, отражающие его практический опыт и содержательные представления об оптимальности принимаемых решений.

Задача синтеза неизбыточных архитектур в общем случае состоит в определении всех допустимых архитектур, для каждой из которых нельзя указать менее сложную допустимую архитектуру. В формальной интерпретации данная задача состоит в определении множества

О0 = еПа :{£бОд :^л^0} = 0},

где п - бинарное отношение, отражающее понятие «проще, чем ...».

В зависимости от используемого правила сравнения сложности архитектур далее будем различать следующие варианты общей постановки задачи синтеза неизбыточных решений. Задача синтеза множества Омф неизбыточных (минимально факторных) архитектур состоит в определении множества

Омф = ^0 еПд :{£ еПд : SлмфS0} = 0}.

Алгебраизация решаемой задачи, состоящая в переходе от описания условий допустимости решения на языке дифференциальных уравнений к системе алгебраических соотношений (в более общем случае, соотношений, не использующих бесконечно малых), позволяет значительно упростить задачу, сократить ее размерность и трудоемкость нахождения решения.

Учитывая сказанное, в качестве одного из типовых описаний условий допустимости вектора решения будем рассматривать систему линейных алгебраических уравнений:

Ax=b,

(1)

где х - вектор решения.

Для заданного варианта архитектуры S, учитывая равенство нулю всех координат вектора решения х, не включенных в S, систему Ах=Ь можно представить в виде

2= ь , (2)

где а- '-й столбец матрицы А; х}- - '-я координата вектора х.

Вариант архитектуры S, в случае использования условий допустимости в форме системы (1), является допустимым, если существует соответствующий ему вектор решения х, для которого система (2) совместна, т.е.

(S еПд) » (Эх: 2^а1х1 = Ь . (3)

Условия вида (3) формализованно описывают требования одинаковости назначаемых и получаемых характеристик системы. Приближенное выполнение тех же требований можно формально описать условием

b <Е]esajxj < b

тогда

(S е Qg) o3x: b" < £jesajxj < b+). (4)

Отыскание множества минимальных архитектур Ом состоит в нахождении множества

Омв = {S0 6 Од Од : л«S0} = 0}.

Синтез множества минимально взвешенных архитектур сводится к определению множества

Омв = {S0 6 Од Од : Sл»S0} = 0}.

Варианты математического описания множества допустимых архитектур Од потенциально существенно более разнообразны по сравнению с вариантами определения правила сравнения сложности. В результате различие в математической постановке частных задач состоит, главным образом, в форме описания множества допустимых архитектур Од .

Задачу, в которой условие S 6 Од описывается в форме (3) или (4), будем называть линейной задачей синтеза неизбыточных архитектур, или задачей синтеза неизбыточных архитектур с ограничениями. Привлекательность задач с ограничениями состоит в том, что для них удается сконструировать общие методы решения, обеспечивающие быстрое, надежное и строгое выявление всего множества неизбыточных архитектур.

Задачу, в которой допустимость архитектуры описывается условиями, не относящимися ни к одному из выделенных классов ограничений, будем называть задачей синтеза неизбыточных архитектур общего вида.

Формализацию задач синтеза неизбыточных архитектур систем управления, основанную на приведенных выше результатах анализа рассматриваемой проблемы, представляется целесообразным осуществлять в соответствии со следующим методом:

- указывается вектор решения задачи синтеза системы;

+

- задается начальная архитектура синтезируемой системы;

- выбирается правило сравнения сложности архитектур;

- математически описываются условия допустимости вектора решения;

- в результате анализа условий допустимости и выбранного правила сравнения сложности задача приводится к одной из типовых постановок задач синтеза.

Таким образом, предложенный метод формализации задач синтеза неизбыточных архитектур сложных функциональных блоков, включающий в себя систему математических определений, обеспечивает возможность учета сложности архитектуры в постановке задачи ее синтеза.

Выделенные типовые постановки задач на нахождение неизбыточных решений, являются, с одной стороны, массовыми, отражающими широкий круг

содержательно различных задач синтеза систем управления, и, с другой стороны, достаточно просто разрешимы при построении эффективных численных методов их решения.

Литература

1. Современная прикладная теория управления : оптимизационный подход в теории управления / под ред. А.А. Колесникова. Таганрог, 2000. Ч. 1 - 3

2. К вопросу выбора оптимальной архитектуры системы автономного электроснабжения / О.В. Григораш [и др.] // Промышленная энергетика. 2002. № 11. С. 23 - 27.

3. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. М., 1990. 240 с.

4. Айзерман М.А., Малишевский A.B. Проблемы логического

обоснования в общей теории выбора: Общая модель выбора и классически рациональные основания. M., 1980. 71 с.

Поступила в редакцию 26 апреля 2010 г.

Манжула Владимир Гавриилович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные системы и радиотехника», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (8636) 22-45-95. E-mail: manjula@sssu.ru

Manzhula Vladimir Gavriilovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information Systems and Radio Engineering», South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (8636) 22-45-95. E-mail: manjula@sssu.ru