CC BY
200
УДК 532.5.011
A.А. Комаров, В.В. Казеннов
ФГБОУВПО «МГСУ»
ПАДЕНИЕ ТЕЛА В РЕЗЕРВУАР С ЖИДКОСТЬЮ И РАСЧЕТ ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ЭТОМ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
На основании концепции, предложенной ПВ. Логвиновичем, решена задача по определению нагрузок на тело и ограждающие конструкции бассейна при падении тела в жидкость с учетом захвата воздуха падающим телом. Численный метод расчета основан на распаде произвольного разрыва.
Ключевые слова: тело, жидкость, падение, воздушная прослойка, гидродинамические нагрузки, присоединенная масса, распад произвольного разрыва.
Теория удара тел о жидкость интенсивно начала развиваться с конца 1920-х — начала 1930-х гг. в связи с задачами посадки гидросамолетов. Основные результаты в этом направлении были получены советскими учеными Л.И. Седовым, М.В. Келдышем, А.С. Повицким, И.П. Абрамовым и др., а также рядом иностранных исследователей — Г. Вагнером, Т. Карманом и
B. Пабстом.
За последние годы изучение удара и погружения тел в жидкость приобрели еще большую актуальность. С ними приходится сталкиваться при расчете на прочность корпусов судов в судостроении и различных других конструкций в современной технике [1—4].
При погружении произвольного тела в жидкость характер распределения гидродинамического давления по смоченной поверхности тела и бассейна, а также его величина определяются многими факторами: начальной скоростью удара, углом входа, массой тела, условиями сжатия воздушной среды в момент контакта поверхности тела с жидкостью, сжимаемостью жидкости, упругостью тела и другими факторами [5]. Во многих случаях, когда скорость движения жидкости существенно меньше скорости звука и различные точки поверхности тела не вступают одновременно в контакт с жидкостью, сжимаемостью и весомостью жидкости можно пренебречь [6].
Решение задачи даже при оговоренных упрощениях представляет большие математические трудности, которые обусловлены неустановившимся характером движения жидкости при погружении тела, а также струйными явлениями и брызгообразованием, приводящими к разрывным движениям [1].
В настоящее время представляется невозможным исчерпывающий нелинейный анализ удара тела о жидкость и взаимодействие тела и жидкости на протяжении всего процесса — от проникания тела в жидкость до его удара о дно резервуара. Поэтому важны идеализированные подходы к рассмотрению такой задачи [7].
Следует отметить, что наибольшие нагрузки испытывают тело и ограждающие конструкции бассейна в начальной стадии удара тела о жидкость и при его погружении [8].
При падении тел на жидкость между телом и свободной поверхностью возможно образование прослойки воздуха с последующим вовлечением его в жидкость, что приводит к существенному изменению характеристик погружения. Это явление особенно проявляется при симметричном ударе [9].
При решении гидродинамических задач, вызванных падением тела на свободную поверхность жидкости, примем за основу расчетную концепцию, изложенную в [7].
Предварительно рассмотрим наиболее простой случай — симметричное падение тела массой МТ без увлечения воздуха в жидкость.
Пусть в момент касания тела свободной поверхности жидкости его скорость равна У0. За элементарный промежуток времени Л возмущение в жидкости (волна уплотнения) продвинется на расстояние Сdt, где С — скорость звука в жидкости. В движение со скоростью от У0 до нуля будет вовлечен слой жидкости толщиной Сdt. При этом падающее тело потеряет импульс, равный импульсу, который был передан этому слою жидкости. Следующий слой жидкости за второй элементарный промежуток времени Л будет двигаться по уже возмущенной жидкости, имеющей некоторую скорость, т.е. в движение будет вовлечена дополнительная масса жидкости, а тело потеряет импульс, необходимый для придания скорости дополнительно вовлеченной массе жидкости. И так будет до тех пор, пока вся масса жидкости в бассейне не будет вовлечена в движение. В этот момент времени тело потеряет импульс, равный импульсу присоединенной массы, поэтому скорость тела в жидкости УВ будет равна:
V V,, (!)
МТ + МПР
где МПР — присоединенная масса жидкости.
Последнее соотношение вытекает из закона сохранения импульса:
му = му + м ГОУВ.
После введения в (1) параметра ц = МПР , скорость тела в жидко-
МТ
сти будет определяться как УВ =—1— V Тело теряет скорость равную
1 + ц
У0 — УВ = ——— У0. Импульс, передаваемый телом жидкости в этом случае равен 1 + —
М = ¥0МТ =-±- ¥аМ Пр. 1 + ц 1 + ц
Известно, что присоединенная масса зависит от размеров тела и его формы, она пропорциональна плотности жидкости р и не зависит от скорости тела после удара [10]. Например, для диска диаметром ОТ при вертикальном и симметричном ударе присоединенная масса равна
М ПР = — р^ БТ = арП^2 £>Т, где а = — = 0,212 [7]. 3п 4 4 Зр
В начальный момент удара тела о жидкость т0 динамика тела описывается
уравнением: Мт = pV0CST, где р — плотность жидкости; С — скорость
Л
звука в жидкости; — площадь поперечного сечения тела. Изменение скорости тела на элементарном начальном интервале времени т0 будет описываться
зависимостью VB (t) = V0 exp
—ц— I. За это время в движение будет приведе-
но некоторое количество жидкости, имеющей определенную скорость (рис. 1). Поэтому через время т0 динамика тела будет описываться уже другим уравнением: Мт <^У = р(У0 - VB)CST, решение которого имеет вид
dt
V, -.V
1 + ц
- (1+ц)— 1 + це т"
Л
(2)
В частности, это уравнение приводится в [7, 11, 12].
Рис. 1. Мгновенные вертикальные составляющие скорости жидкости в первые моменты времени после контакта тела с ее поверхностью (интервал времени 0,01 мс)
Таким образом, в момент удара скорость тела — V а с течением времени, когда ударная волна уходит внутрь жидкости от тела, скорость тела стремится
У
к V =-
1 + ц
что соответствует ситуации, когда тело полностью передало им-
пульс присоединенной массе жидкости, т.е. началось квазистационарное движение тела в жидкости.
Численное решение уравнений движения позволяет получить мгновенные вертикальные составляющие скорости жидкости У2 на оси, проходящей через центр торца тела, для начальной стадии удара (см. рис. 1). Интервал времени составлял 0,01 мс.
Из приведенного рисунка видно, что в каждый последующий момент времени после удара вовлекаемая в движение жидкость приводится в движение уже движущимся с определенной скоростью слоем жидкости. Это показывает насколько сложен гидродинамический процесс после удара тела о жидкость. Найти решение этой задачи можно только численным методом [13].
Численный метод основан на решении задачи о распаде произвольного разрыва [4] и сводится к системе нелинейных уравнений относительно давления Рр и скорости ир среды в точке распада разрыва. Данные величины определяют потоки массы М.т и импульса I которыми обмениваются соседние расчетные ячейки 7 и 7+1.
В линейной постановке, что допустимо в силу малости скорости движения тела по сравнению со скоростью звука в жидкости, значения давления Рр и скорости ир в месте разрыва характеристик среды (граница ячейки) определяются по следующим соотношениям:
р = Р1Р2С2 + Р2Р1С1 + (М1 - и2 )Р1С1Р2С2 . (3) Р1С1 + Р2С2
и = и1р1С1 + и2р2С2 + Р1 - Р2 (4) Р1С1 +Р2С2
Тогда, потоки массы и импульса определяются как:
М = рВр; (5)
I = Рр +рир, (6)
где р — плотность жидкости; С — скорость звука в жидкости; Р — давление; и — скорость потока.
Расчет давления и скорости среды в (7, /)-й ячейке в момент времени t + т —> (Р"+, <+1, ) производится через значения давления и скорости для предыдущего момента времени t — (Pi",ип^, ) по явной разностной схеме:
(РГ - )+Тх К+> - М^ )+Ту К, - м-и )=
«+1 --1-1 )=о; (7)
(# -<-)+Аур( 1+1,- -1--',-)=
Из соображений устойчивости расчетной схемы промежуток времени т
Ах _ Ау
должен быть меньше, чем °, 5 тт
тах (и,,, + сг,, у тах (у7,, + сг,,)
На жестких границах принимается условие непротекания жидкости: в прилегающей к границе области ячейке давление равно давлению в граничной ячейке, а скорость потока в этой ячейке имеет противоположное направление, т.е. принимается, что р1 = р2 и и1 = -и2. Для условия свободного прохода принимаются условия: р1 = р2 и и1 = и2.
Было проведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными1. Численный расчет был проведен для условий эксперимента (рис. 2): диаметр падающего тела ОТ = 16,8 см, его высота ЬТ = 42 см, его масса МТ = 47 кг. Высота падения тела НТ = 30 см. Скорость тела вблизи поверхности воды V = 2,43 м/с. Диаметр бассейна О = 20,0 см, высота воды в нем Н = 45 см. Плотность материала тела рТ = 5000 кг/м3, скорость звука в материале тела СТ = 4100 м/с. Плотность воды р = 1000 кг/м3, скорость звука в воде С = 1460 м/с. Дт
Численный расчет показал, что максимальное давление на торце тела (рис. 2 точка А) в момент его удара о воду значительно больше в сравнении с экспериментальными данными. Объяснить это можно существенным изменением характера погружения тела в результате захвата воздуха и его погружения в жидкость, что не учитывалось в численном расчете.
Рис. 2. Схема экспери-
При приближении тела к поверхности жид- ментальной ^тан™ и при-
г-. нятые обозначения: А, В, С —
кости, образуется воздушный поток. Этот поток ,
г ^ точки фиксации давления
деформирует невозмущенную поверхность жидкости еще до наступления непосредственного контакта между телом и жидкостью. При дальнейшем уменьшении расстояния между телом и свободной поверхностью жидкости происходит повышение давления в воздушном слое. В силу сжимаемости воздуха, а также из-за деформации свободной поверхности в жидкости образуется каверна, которая замыкается в момент контакта кромок плоского дна тела с деформированной поверхностью жидкости. Затем происходит сжатие воздуха в каверне и ее погружение вместе с телом в жидкость.
Таким образом, передача импульса от тела жидкости происходит через прослойку воздуха, заключенного в каверне. В дальнейшем, по мере погружения, каверна размывается и сносится [15].
Рассмотрим процесс передачи импульса жидкости через воздушную прослойку несколько подробнее. За элементарный промежуток времени Л тело пройдет расстояние V0dt, а возмущение в жидкости пройдет расстояние — СЛ. Давление в элементарном объеме, содержащем воздух и жидкость, увеличится
на P
V F
_ f о _ смес
смеси с F
-рУ0С , где Е — модуль Юнга смеси; Е — модуль
Юнга жидкости. Это равносильно (по граничным условиям) формальному
Е
уменьшению скорости подлета тела к жидкости в —смеси раз. Такой подход к
Е
решению задачи позволяет учесть наличие воздушной прослойки, существующей в момент удара между телом и жидкостью.
1 РД 95 10534—96. Руководство по определению нагрузок на строительные конструкции и оборудование атомных станций при падении в бассейн, заполненный водой, контейнера или
других тел. (НТЦ «Взрывоустойчивость», 1996). Утверждено зам. министра по атомной энергии 23.04.1996. Согласовано Госатомнадзор России № 008-11/526 от 05.08.96. Дата введения
01.02.97 (пояснительная записка).
5/2014
Эксперименты показывают1, что для учета воздушной прослойки начальная скорость падающего тела должна быть уменьшена в k = 5,6 раз, где k — коэффициент, учитывающий наличие воздушной прослойки, т.е. начальная
V
скорость падающего тела должна быть принята равной и = — . При таком
к
подходе наблюдается хорошее совпадение опытных и расчетных результатов (рис. 3).
Рис. 3. Сравнение результатов расчета с экспериментом: т. А торца тела; т. С — центр дна бассейна (см. рис. 2)
центр нижнего
Таким образом, захват воздуха при контакте падающего тела с жидкостью оказывает существенное влияние на величину гидродинамической нагрузки как на само тело, так и на ограждающие конструкции бассейна. Неучет этого фактора приводит к значительному завышению (в несколько раз) нагрузок.
Библиографический список
1. Ионина М.Ф. Численное исследование задачи об ударе упругих цилиндрических оболочек о воду // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 3. С. 84—94.
2. Рябченко В.П. Метод интегральных уравнений в плоской и пространственной задачах об ударе пластины о жидкость конечной глубины // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. № 4. C. 98—111.
3. Тарануха Н.А., Чижиумов С.Д. Численное моделирование падения на воду тела с гофрированным днищем // Прикладная механика и техническая физика. 2001. Т. 42. № 4. C. 112—118.
4. Коробкин А.А. Плоская задача о симметричном ударе волной по балке Эйлера // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т. 39. № 5. С. 134—147.
5. Malenica S. Modified Logvinovich model for hydrodynamic loads on asymmetric contours entering water. UEA Repository, 2005.
6. Scolan Y., Korobkin A. Energy distribution from vertical impact of a three-dimensional solid body onto the flat free surface of an ideal fluid // Journal of Fluids and Structures. 2003. Vol. 17. No. 2. Pp. 275—286.
7. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев : Наукова думка, 1969. 215 с.
8. Shibue T., Ito A., Nakayama E. Structural response analysis of cylinders under water impact // Hydroelasticity in Marine Technology. 1994. Рр. 221—228.
9. Arai M., Miyauchi T. Numerical study of the impact of water on cylindrical shells, considering fluid-structure interactions. PRADS'98, the Hague, September, 1998.
10. Stow C.D., Hadfield M.G. An experimental investigation of fluid flow resulting from the impact of a water drop with an unyielding dry surface // Proc. R. Soc. London Ser. 1981. Vol. 373. No. 1755. Pp. 419—441.
11. Iafrati A., Korobkin A. Asymptotic estimates of hydrodynamic loads in the early stage of water entry of a circular disk // Journal of Engineering Mathematics. 2011. Vol. 69. No. 2-3. Pp. 199—224.
12. Scolan Y., Korobkin A. Mixed boundary value problem in Potential Theory: Application to the hydrodynamic impact (Wagner) problem // Comptes Rendus Mecanique. 2012. Vol. 340. No. 10. Pp. 702—705.
13. Chau S.-W., Lu C.-Y., Chou S.-K. Numerical simulation of nonlinear slamming for a high-speed planning vessel // TEAM-2000: Proc. Of the 14th Asian technical exchange and advisory meeting on marine structures, Vladivostok, 18—21 Sept. 2000. Vladivostok : Far East. State Tech. Univ., 2000. Рр. 224—232.
14. Численное решение многомерных задач газовой динамики / под ред. С.К. Годунова. М. : Наука, 1976. 400 с.
15. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). Л. : Судостроение, 1976. 200 с.
Поступила в редакцию в марте 2014 г.
Об авторах: Комаров Александр Андреевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 261-48-04, bzbb@bk.ru;
Казеннов Вячеслав Васильевич — доктор технических наук, профессор, начальник сектора НТЦ «Взрывоустойчивость», Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 261-48-04, newdayru@bk.ru.
Для цитирования: Комаров А.А., Казеннов В.В. Падение тела в резервуар с жидкостью и расчет возникающих при этом динамических нагрузок // Вестник МГСУ. 2014. № 5. С. 135—143.
A.A. Komarov, V.V. Kazennov
BODY DROP INTO A FLUID TANK AND DYNAMIC LOADS CALCULATION
The theory of a body striking a fluid began intensively developing due to the tasks of hydroplanes landing. For the recent years the study of a stroke and submersion of bodies into fluid became even more current. We face them in the process of strength calculation of ship hulls and other structures in modern technology. These tasks solution represents great mathematical difficulty even in case of the mentioned simplifications. These difficulties emerge due to the unsteady character of fluid motion in case of body submersion, and also jet and spray phenomena, which lead to discontinuous motions.
On the basis of G.V. Logvinovich's concept the problem of loads determination with consideration for air gap is solved for both a body and reservoir enclosing structures when a body falls into a fluid. Numerical method is based on the decay of an arbitrary discontinuity.
Key words: body, fluid, drop, falling, air gap, hydrodynamic loads, added mass, decay of an arbitrary discontinuity.
References
1. lonina M.F. Chislennoe issledovanie zadachi ob udare uprugikh tsilindricheskikh obolochek o vodu [Numerical Study of Water Impact on Cylindrical Shells in Case of Stroke]. Vychislitel'nye tekhnologii [Calculative Technologies]. 1999, vol. 4, no. 3, pp. 84—94.
2. Ryabchenko V.P. Metod integral'nykh uravneniy v ploskoy i prostranstvennoy za-dachakh ob udare plastiny o zhidkost' konechnoy glubiny [Method of Integral Equations in 2D and 3D Problems of Plate Impacting a Fluid of Finite Depth]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics]. 2001, vol. 42, no. 4, pp. 98—111.
3. Taranukha N.A., Chizhumov S.D. Chislennoe modelirovanie padeniya na vodu tela s gofrirovannym dnishchem [Numerical Simulation of a Body with Corrugated Bottom Falling on Water]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics]. 2001, vol. 42, no. 4, pp. 112—118.
4. Korobkin A.A. Ploskaya zadacha o simmetrichnom udare volnoy po balke Eylera [The problem of a symmetric wave impaction on the Euler beam]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics]. 1998, vol. 39, no. 5, pp. 134—147
5. Malenica S. Modified Logvinovich Model for Hydrodynamic Loads on Asymmetric Contours Entering Water. UEA Repository, 2005.
6. Scolan Y., Korobkin A. Energy Distribution from Vertical Impact of a Three-Dimensional Solid Body onto the Flat Free Surface of an Ideal Fluid. Journal of Fluids and Structures. 2003, vol. 17, no. 2, pp. 275—286. DOI: 10.1016/S0889-9746(02)00118-4.
7. Logvinovich G.V. Gidrodinamika techeniy so svobodnymi granitsami [Hydrodynamics of Free-Boundary Flows]. Kiev, 1969, 215 p.
8. Shibue T., Ito A., Nakayama E. Structural Response Analysis of Cylinders under Water Impact. Hydroelasticity in Marine Technology. 1994, pp. 221—228.
9. Arai M., Miyauchi T. Numerical Study of the Impact of Water on Cylindrical Shells, Considering Fluid-structure Interactions. PRADS'98, the Hague, September, 1998.
10. Stow C.D., Hadfield M.G. An Experimental Investigation of Fluid Flow Resulting from the Impact of a Water Drop with an Unyielding Dry Surface. Proc. R. Soc. London Ser. 1981, vol. 373, no. 1755, pp. 419—441. DOI: 10.1098/rspa.1981.0002.
11. Iafrati A., Korobkin A. Asymptotic Estimates of Hydrodynamic Loads in the Early Stage of Water Entry of a Circular Disk. Journal of Engineering Mathematics. 2011, vol. 69, no. 2-3, pp. 199—224. DOI: 10.1007/s10665-010-9411-y.
12. Scolan Y., Korobkin A. Mixed Boundary Value Problem in Potential Theory: Application to the Hydrodynamic Impact (Wagner) Problem. Comptes Rendus Mecanique. 2012, vol. 340, no. 10, pp. 702—705. DOI: 10.1016/j.crme.2012.09.006.
13. Chau S.-W., Lu C.-Y., Chou S.-K. Numerical Simulation of Nonlinear Slamming for a High-speed Planning Vessel. TEAM-2000: Proc. Of the 14th Asian Technical Exchange and Advisory Meeting on Marine Structures, Vladivostok, 18—21 Sept. 2000. Vladivostok, Far East. State Tech. Univ., 2000, pp. 224—232.
14. Godunov S.K., editor. Chislennoe reshenie mnogomernykh zadach gazovoy dinamiki [Numerical Solution of Multidimensional Problems of Gas Dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 400 p.
15. Grigolyuk E.I., Gorshkov A.G. Vzaimodeystvie uprugikh konstruktsiy s zhidkost'yu (udar i pogruzhenie) [Interaction of Elastic Structures with a Liquid (Impact and Immersion)]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1976, 200 p.
About the authors: Komarov Aleksandr Andreevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; bzbb@bk.ru; +7 (499) 261-48-04;
Kazennov Vyacheslav Vasil'evich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Head, Sector of Scientific and Technical Center «Blast Resistance», Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; newdayru@bk.ru; +7 (499) 261-48-04.
For citation: Komarov A.A., Kazennov V.V. Padenie tela v rezervuar s zhidkost'yu i ra-schet voznikayushchikh pri etom dinamicheskikh nagruzok [Body Drop into a Fluid Tank and Dynamic Loads Calculation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 135—143.
