Оценки приближений линейными средними через локальный модуль непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

и условие (6) для a (t) в точке to = 0 выполнено. С другой стороны

h 1 I (a(x © u) — a(x)) du

h 1

h

1

(f (x © u © t) — f (x © t))g(t) dtdu

oo

<

<

h 1 I (f (x © u © t) — f (x © t)) du

g\\<x>dt.

oo

Применяя условие (9), и, учитывая инвариантность интеграла относительно сдвига, мы получаем, что a(x) удовлетворяет (3) равномерно по x Е [0,1) Значит, выполнены условия следствия и Sn(a)(0) сходятся, откуда следует равенство Парсеваля. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

3. Izurni S., So,to М. Some trigonometrical series. XVIII. // Proc. Japan Acad. 1956. V.32. N 1.

h

1

h

УДК 517.51

Т. В. ИОФИНА

Оценки приближений линейными средними через локальный

модуль непрерывности

Пусть [Рп}п=1 " последовательность натуральных чисел, такая что 2 ^ рп ^ N при п Е N Положим то определению т0 = 1, тп = .. .рп при п Е N ^^ждое х Е [0,1) имеет разложение

ж

x = ^2 xn/m n, xn Е

Z, 0 < xn < Pn. (1)

n=1

Представление (1) единственно, если для ж = к/т^, 0 < к < т^ к,] £ Н, брать разложение с конечным числом жп = 0. Для ж, у £ [0,1) вида (1)

то

положим x © y = z = znfmn, Zn G Z П [0,pn) zn = xn + yn (mod pn).

n=l

Аналогично определяется x 0 y.

Если k E Z+ записано в виде

то

k = ^^ kimi-1, ki E Z, 0 ^ ki < pi, (2)

i=i

и x E [0,1) имеет разложение (1), то по оп ределению Xk (x) =

то

= exp(2ni Е Xjkj/pj). Система {xk(x)}TO=0? называемая системой Вилен-j=i

кина, ортонормирована и полна в L[0,1). Кроме того, при фиксированном х E [0,1) для почти всех y E [0,1) и всех k E Z+ имеют место равенства xk(х©y) = xk(x)xk(У) Xk(x©y) = Xk(x)xk(y)- Эти свойства можно найти в [1, §§1.5,2.8]. Пусть f E L1[0,1). Коэффициенты Фурье, частная

сумма Фурье и ядро Дирихле по системе {xk(x)}TO=0 задаются формул 1 __n—1 л

лами f(n) = /0 f (t)xn(t) dt, n E Z+ Sn(f)(x) = E f(k)xk(x) n E N;

k=0

n— 1

Dn(x) = E xk(x) n E N. В работе будут также рассматриваться средние k=0

n

Фейера и ядро Фейера по системе {xk(x)}TO=0: &n(f )(x) = Yh Sk(f )(x)/n,

k=i

n

Fn(x) = £ Dk(x)/n, n E N. k=i

Рассмотрим w(f; x, ö) = sup h—1 Jo |f (x © u) — f (x)| du. Эта величи-

0<h^ö 0 x

ции f) и ö > 0. Пусть A = {an,k}k°n=1 _ нижнетреугольная матрица,

n

такая что an°k ^ 0 для всex n,k и £ an,k = 1- Будем рассматривать

k=1

n

Tn(f)(x) = £ an,kSk(f)(x). Впервые величина, аналогичная w(f; x, ö) в k=1

2п-периодическом случае рассматривалась в [2], где она была использо-

вана в оценке уклонения непрерывной функции от ее средних Фейера. Мазхар [3] распространил эту оценку на общие линейные средниеТп(/) с

возрастающей по к Е [0,п] последовательностью ап,к. Здесь будет доказан подобный результат для мультипликативных систем ограниченного типа и матриц, удовлетворяющих более общим условиям, чем в [3]. Эти классы матриц были введены Л.Лейндлером [4]. Для дальнейшего необходима

Лемма 1. (см. [1, §1.4] и [5]). Для всех п Е N и х Е (0,1) верны неравенства

1) |Лп(х)| ^ Жх—1, где рп ^ N для всех п Е N5

2) |пВД| ^ С2х—2.

Основным результатом работы является

Теорема 1. Пусть / Е Ь1[0,1) и при данном х Е [0,1) величина ; х, 5) конечна для всех 5 Е [0,1) и {ап,к}П=1 удовлетворяет неравенству

т—1

У^ — 1 < С^т, 1 < т < п. (3)

к=1

Тогда

п п

|Тп(/)(ж) — / (х)| ^ С^ к-1w(/; х,к—[) ^ а^.

к=1 г=п—к+1

Доказательство В силу определения Тп(/)(х) имеем

п 1 п

Гп(/)(ж) — /(х) = (/(х © г) — /(х))£ ап,кАь(г) ^

к=1

Г1/

(/(х © г) — /(х))£ ап,кЯ*(г)

_ ;х © г) — г(х)) > а '0 к=1

/1 п

(/(х © г) — г(х))£ ап,к(г) ^ =: /1 + /2.

-/п к=1

Поскольку |Dk(x)| ^ k и £ an,k = 1, получаем

k=1

-1/

n

n

|1i| ^ / If (x 0 t) - /(x)|V ßn,kkdt ^ ^ k=i

r1/n

^ - / If (x 0 t) - f (x)I dt ^ w(f; x, 1/n). (4)

Из условия (3) вытекает, что £(an,j — ßn,i+1) = an,k — an,m ^

n.mj

«=k

откуда an,k ^ (C1 + 1)an,m, k < m. С учетом этого неравенства получаем

n

Ei • k

ön,i ^ k min an,« ^ max ttn,, ^

n—k+1<i<n C1 + 1 1<i<n—k

i=n—k+1

k n—k k n—k—1

> (C1 + 1)(n — k) £ ön- ^ C-——k £ an-'.

Значит,

n—k n k n

1 ^ ^ an,i + ^ ^ an,i ^ C2 k an,« +

i=1 i=n—k+1 i=n—k+1

nn П

+ ^ ^ an,i = C3 k ^ v an,i5

i=n—k+1 i=n—k+1

n

то есть £ an,« ^ C3k/n. Поэтому

i=n—k+1

n n n k

^ k—1w(f; x k—1 ) E an,i ^ C3 E w(f;x, -—1)k—1 - =

k=1 i=n—k+1 k=1

= C3w(f; x,-—1). (5)

Из (4) и (5) следует, что

nn 11

|111 = ^Ek-11w(f; x,k—11) ^ аи,] . (6)

,k=1 i=n—k+1

С другой стороны,

п—1 л 1/ п

Е / (Г(х © г) — г(х))£ ап,кА(г) ¿г

V. ч - , — г(х)) > а

¿=1 "1/г+1 к=1

п—1 /> l/¿

^Е I |Г(х © г) — Г(х)|

¿=1

Е®п,к А (г) ¿г к=1

п1

¿=1

Имеем при г Е [(г + 1) , г 1) в силу преобразования Абеля и леммы

У^ ап,к (г) к=1

<

Е ап,к |А (г)| +

к=п—¿+1 п—¿—1

п—¿

У^ ап,к (г) к=1

<

< С4г—1 £

+

к=п—¿+1

У^ (ап,к — ап,к+1)к^к(г)

к=1 п

+ ап,п—¿(п — г)|^п—¿(г)| <

'п—¿— 1

+ г2 ( Е |

| + ап ,п ¿

к=п—¿+1

к=1

В силу отмеченного выше свойства ^ (С1 + 1)ап,^ при г ^ значит,

п

гап,п—¿ ^ (С1 + 1)( ^ ап,к), поэтому окончательно с учетом (3) имеем

к=п—¿+1

У^ ап,к (г) к=1

^ С6г ^ ап,к. к=п—¿+1

(7)

Из (7) вытекает, что

п—1 п—1 „ 1/ п

^ А ^ Сб ^ г/ |/(х © г) — /(х)| ¿г ^ ап,к =

¿=1 ¿=1 "'1Л+1 к=п —¿+1

п—1 / с^ = гЦ |/(х © г) — Г(х)| ¿г—

-1/с»+1)

|/(х © г) — Г(х)| ^ ап,к =

к=п—¿+1

п—1 р 1/ / п С^ |/(х © г) — Г(х)| ^ г £ ¿=1 V к=п—¿~

ап,к — (г — 1) ^ ап,к к=п—¿+1 к=п—¿+2

I- 1/п п

-Сб(п - 1) / |/(ж © *) - /(ж)| ^

к=2

п-1 п 1/г / п \

< Со^ / |/(ж © ¿) - /(ж)| гап,п-г+1 + Е ап,к I <

¿=1 V к=п-г+2 /

п-1 л 1/г / п п \

^ I/(ж © *) - /(ж)| ^ (С1 + 1) ^ + Е ^

г=1 V к=п-г+1 к=п-г+1 /

п-1 „ 1 /г п

п_1 /»1/г п

^ С^Ч |/(ж © *) - /(ж)| ^Г1 ^ ап

¿=1 к=п-г+1

п- 1 п

< ^^^ 1/^) Е ап,к.

¿=1 к=п-г+1

Суммируя оценки для /1 и /2 получаем утверждение теоремы. При ап,к = 1/п к ^ п получаем

Следствие 1. Пусть / £ Ь1[0,1) и при данном ж £ [0,1) величина w(/; ж, 6) конечна для всех 6 £ [0,1). Тогда |а"п(/)(ж) - /(ж)| ^

п

^ С^ w(/,ж, 1/г)п-1.

г=1

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы, только вместо неравенства (3) выполнено

п

У^ |ап,к - ап,к+1| ^ С1ап,г. (3/)

к=г

Тогда

п

|Тп(/)(ж) - /(ж)| ^ С2 ^ w(/; ж,к-1Кк.

к=1

Доказательство Запишем по определению (учитывая, что an,n+i = 0)

|Tn(f)(x) - f (x)| =

n

E an,k(Sk(f)(x) - f (x)) k=i

ni

<

E(an,k - an,k+1)k(^k(f)(x) - f (x)) + an,nnK(f)(x) - f (x)) k=1

n

< E |an,k - an,k+1|k|^k(f)(x) - f (x)|. k=1

Пользуясь свойствами матрицы {an,k}^°k=1 и утверждением (8), получаем

nk

|Tn(f )(x) - f (x)| < |an,k - ^E w(f; x,i-1) =

k=1 ¿=1

n n n

= C1EE |fln,k - an,k+1 |w(f; x,i-1) ^ C^E w(f; x,«-1)^.

¿=1 k=i ¿=1

Следствие доказано.

Библиографический список

1. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Aljancic S., Bojanic R., Tomic M. On the degree of convergence of Fejer-Lebesgue sums // Enseign. Math. 1969. V.15.

3. Mazhar S.M. On the degree of approximation of a class of functions by means of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.88. N 2.

4. Leindler L. On the degree of approximation of continuous functions // Acta Math. Hung. 2004. V.104, №1-2.

5. Волосивец С.С. О сходимости в Lp[0,1) 0 < p ^ 1 рядов Фурье-Виленкина // Известия Сарат. ун-та. Матем. Механика. Информатика. 2008. Т. 8. Вып. 3.