и условие (6) для a (t) в точке to = 0 выполнено. С другой стороны
h 1 I (a(x © u) — a(x)) du
h 1
h
1
(f (x © u © t) — f (x © t))g(t) dtdu
oo
<
<
h 1 I (f (x © u © t) — f (x © t)) du
g\\<x>dt.
oo
Применяя условие (9), и, учитывая инвариантность интеграла относительно сдвига, мы получаем, что a(x) удовлетворяет (3) равномерно по x Е [0,1) Значит, выполнены условия следствия и Sn(a)(0) сходятся, откуда следует равенство Парсеваля. Теорема доказана.
Библиографический список
1. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.
2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.
3. Izurni S., So,to М. Some trigonometrical series. XVIII. // Proc. Japan Acad. 1956. V.32. N 1.
h
1
h
УДК 517.51
Т. В. ИОФИНА
Оценки приближений линейными средними через локальный
модуль непрерывности
Пусть [Рп}п=1 " последовательность натуральных чисел, такая что 2 ^ рп ^ N при п Е N Положим то определению т0 = 1, тп = .. .рп при п Е N ^^ждое х Е [0,1) имеет разложение
ж
x = ^2 xn/m n, xn Е
Z, 0 < xn < Pn. (1)
n=1
Представление (1) единственно, если для ж = к/т^, 0 < к < т^ к,] £ Н, брать разложение с конечным числом жп = 0. Для ж, у £ [0,1) вида (1)
то
положим x © y = z = znfmn, Zn G Z П [0,pn) zn = xn + yn (mod pn).
n=l
Аналогично определяется x 0 y.
Если k E Z+ записано в виде
то
k = ^^ kimi-1, ki E Z, 0 ^ ki < pi, (2)
i=i
и x E [0,1) имеет разложение (1), то по оп ределению Xk (x) =
то
= exp(2ni Е Xjkj/pj). Система {xk(x)}TO=0? называемая системой Вилен-j=i
кина, ортонормирована и полна в L[0,1). Кроме того, при фиксированном х E [0,1) для почти всех y E [0,1) и всех k E Z+ имеют место равенства xk(х©y) = xk(x)xk(У) Xk(x©y) = Xk(x)xk(y)- Эти свойства можно найти в [1, §§1.5,2.8]. Пусть f E L1[0,1). Коэффициенты Фурье, частная
сумма Фурье и ядро Дирихле по системе {xk(x)}TO=0 задаются формул 1 __n—1 л
лами f(n) = /0 f (t)xn(t) dt, n E Z+ Sn(f)(x) = E f(k)xk(x) n E N;
k=0
n— 1
Dn(x) = E xk(x) n E N. В работе будут также рассматриваться средние k=0
n
Фейера и ядро Фейера по системе {xk(x)}TO=0: &n(f )(x) = Yh Sk(f )(x)/n,
k=i
n
Fn(x) = £ Dk(x)/n, n E N. k=i
Рассмотрим w(f; x, ö) = sup h—1 Jo |f (x © u) — f (x)| du. Эта величи-
0<h^ö 0 x
ции f) и ö > 0. Пусть A = {an,k}k°n=1 _ нижнетреугольная матрица,
n
такая что an°k ^ 0 для всex n,k и £ an,k = 1- Будем рассматривать
k=1
n
Tn(f)(x) = £ an,kSk(f)(x). Впервые величина, аналогичная w(f; x, ö) в k=1
2п-периодическом случае рассматривалась в [2], где она была использо-
вана в оценке уклонения непрерывной функции от ее средних Фейера. Мазхар [3] распространил эту оценку на общие линейные средниеТп(/) с
возрастающей по к Е [0,п] последовательностью ап,к. Здесь будет доказан подобный результат для мультипликативных систем ограниченного типа и матриц, удовлетворяющих более общим условиям, чем в [3]. Эти классы матриц были введены Л.Лейндлером [4]. Для дальнейшего необходима
Лемма 1. (см. [1, §1.4] и [5]). Для всех п Е N и х Е (0,1) верны неравенства
1) |Лп(х)| ^ Жх—1, где рп ^ N для всех п Е N5
2) |пВД| ^ С2х—2.
Основным результатом работы является
Теорема 1. Пусть / Е Ь1[0,1) и при данном х Е [0,1) величина ; х, 5) конечна для всех 5 Е [0,1) и {ап,к}П=1 удовлетворяет неравенству
т—1
У^ — 1 < С^т, 1 < т < п. (3)
к=1
Тогда
п п
|Тп(/)(ж) — / (х)| ^ С^ к-1w(/; х,к—[) ^ а^.
к=1 г=п—к+1
Доказательство В силу определения Тп(/)(х) имеем
п 1 п
Гп(/)(ж) — /(х) = (/(х © г) — /(х))£ ап,кАь(г) ^
к=1
Г1/
(/(х © г) — /(х))£ ап,кЯ*(г)
_ ;х © г) — г(х)) > а '0 к=1
/1 п
(/(х © г) — г(х))£ ап,к(г) ^ =: /1 + /2.
-/п к=1
Поскольку |Dk(x)| ^ k и £ an,k = 1, получаем
k=1
-1/
n
n
|1i| ^ / If (x 0 t) - /(x)|V ßn,kkdt ^ ^ k=i
r1/n
^ - / If (x 0 t) - f (x)I dt ^ w(f; x, 1/n). (4)
Из условия (3) вытекает, что £(an,j — ßn,i+1) = an,k — an,m ^
n.mj
«=k
откуда an,k ^ (C1 + 1)an,m, k < m. С учетом этого неравенства получаем
n
Ei • k
ön,i ^ k min an,« ^ max ttn,, ^
n—k+1<i<n C1 + 1 1<i<n—k
i=n—k+1
k n—k k n—k—1
> (C1 + 1)(n — k) £ ön- ^ C-——k £ an-'.
Значит,
n—k n k n
1 ^ ^ an,i + ^ ^ an,i ^ C2 k an,« +
i=1 i=n—k+1 i=n—k+1
nn П
+ ^ ^ an,i = C3 k ^ v an,i5
i=n—k+1 i=n—k+1
n
то есть £ an,« ^ C3k/n. Поэтому
i=n—k+1
n n n k
^ k—1w(f; x k—1 ) E an,i ^ C3 E w(f;x, -—1)k—1 - =
k=1 i=n—k+1 k=1
= C3w(f; x,-—1). (5)
Из (4) и (5) следует, что
nn 11
|111 = ^Ek-11w(f; x,k—11) ^ аи,] . (6)
,k=1 i=n—k+1
С другой стороны,
п—1 л 1/ п
Е / (Г(х © г) — г(х))£ ап,кА(г) ¿г
V. ч - , — г(х)) > а
¿=1 "1/г+1 к=1
п—1 /> l/¿
^Е I |Г(х © г) — Г(х)|
¿=1
Е®п,к А (г) ¿г к=1
п1
¿=1
Имеем при г Е [(г + 1) , г 1) в силу преобразования Абеля и леммы
У^ ап,к (г) к=1
<
Е ап,к |А (г)| +
к=п—¿+1 п—¿—1
п—¿
У^ ап,к (г) к=1
<
< С4г—1 £
+
к=п—¿+1
У^ (ап,к — ап,к+1)к^к(г)
к=1 п
+ ап,п—¿(п — г)|^п—¿(г)| <
'п—¿— 1
+ г2 ( Е |
| + ап ,п ¿
к=п—¿+1
к=1
В силу отмеченного выше свойства ^ (С1 + 1)ап,^ при г ^ значит,
п
гап,п—¿ ^ (С1 + 1)( ^ ап,к), поэтому окончательно с учетом (3) имеем
к=п—¿+1
У^ ап,к (г) к=1
^ С6г ^ ап,к. к=п—¿+1
(7)
Из (7) вытекает, что
п—1 п—1 „ 1/ п
^ А ^ Сб ^ г/ |/(х © г) — /(х)| ¿г ^ ап,к =
¿=1 ¿=1 "'1Л+1 к=п —¿+1
п—1 / с^ = гЦ |/(х © г) — Г(х)| ¿г—
-1/с»+1)
|/(х © г) — Г(х)| ^ ап,к =
к=п—¿+1
п—1 р 1/ / п С^ |/(х © г) — Г(х)| ^ г £ ¿=1 V к=п—¿~
ап,к — (г — 1) ^ ап,к к=п—¿+1 к=п—¿+2
I- 1/п п
-Сб(п - 1) / |/(ж © *) - /(ж)| ^
к=2
п-1 п 1/г / п \
< Со^ / |/(ж © ¿) - /(ж)| гап,п-г+1 + Е ап,к I <
¿=1 V к=п-г+2 /
п-1 л 1/г / п п \
^ I/(ж © *) - /(ж)| ^ (С1 + 1) ^ + Е ^
г=1 V к=п-г+1 к=п-г+1 /
п-1 „ 1 /г п
п_1 /»1/г п
^ С^Ч |/(ж © *) - /(ж)| ^Г1 ^ ап
¿=1 к=п-г+1
п- 1 п
< ^^^ 1/^) Е ап,к.
¿=1 к=п-г+1
Суммируя оценки для /1 и /2 получаем утверждение теоремы. При ап,к = 1/п к ^ п получаем
Следствие 1. Пусть / £ Ь1[0,1) и при данном ж £ [0,1) величина w(/; ж, 6) конечна для всех 6 £ [0,1). Тогда |а"п(/)(ж) - /(ж)| ^
п
^ С^ w(/,ж, 1/г)п-1.
г=1
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы, только вместо неравенства (3) выполнено
п
У^ |ап,к - ап,к+1| ^ С1ап,г. (3/)
к=г
Тогда
п
|Тп(/)(ж) - /(ж)| ^ С2 ^ w(/; ж,к-1Кк.
к=1
Доказательство Запишем по определению (учитывая, что an,n+i = 0)
|Tn(f)(x) - f (x)| =
n
E an,k(Sk(f)(x) - f (x)) k=i
ni
<
E(an,k - an,k+1)k(^k(f)(x) - f (x)) + an,nnK(f)(x) - f (x)) k=1
n
< E |an,k - an,k+1|k|^k(f)(x) - f (x)|. k=1
Пользуясь свойствами матрицы {an,k}^°k=1 и утверждением (8), получаем
nk
|Tn(f )(x) - f (x)| < |an,k - ^E w(f; x,i-1) =
k=1 ¿=1
n n n
= C1EE |fln,k - an,k+1 |w(f; x,i-1) ^ C^E w(f; x,«-1)^.
¿=1 k=i ¿=1
Следствие доказано.
Библиографический список
1. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.
2. Aljancic S., Bojanic R., Tomic M. On the degree of convergence of Fejer-Lebesgue sums // Enseign. Math. 1969. V.15.
3. Mazhar S.M. On the degree of approximation of a class of functions by means of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.88. N 2.
4. Leindler L. On the degree of approximation of continuous functions // Acta Math. Hung. 2004. V.104, №1-2.
5. Волосивец С.С. О сходимости в Lp[0,1) 0 < p ^ 1 рядов Фурье-Виленкина // Известия Сарат. ун-та. Матем. Механика. Информатика. 2008. Т. 8. Вып. 3.