CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 517.518.83 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-177-186
Оценки приближений функций тригонометрическими полиномами в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом
А. И. Козко
Козко Артём Иванович — кандидат физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаменталвной и прикладной математики (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В теории приближений хорошо известны задачи о нахождении оценки наилучшего приближения через структурные свойства самой приближаемой функции. Работа посвящена таким задачам в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительными весами.
Ключевые слова: несимметричная норма, знакочувствительный вес, теоремы Джексона-Стечкина, модуль непрерывности, модуль гладкости, наилучшее приближение.
Библиография: 19 названий.
Для цитирования:
Козко, А. И. Оценки приближений функций тригонометрическими полиномами в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 177-186.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 517.518.83 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-177-186
Estimates of approximations of functions by trigonometric polynomials in spaces with an asymmetric norm and sign-sensitive
weight
A. I. Kozko
Kozko Artem Ivanovich — candidate of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University; Moscow center of fundamental and applied mathematics (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
In approximation theory, the problems of finding an estimate of the best approximation through the structural properties of the approximated function are well known. The work is devoted to such problems in spaces with an asymmetric norm and sign-sensitive weights.
Keywords: asymmetric norm, sign-sensitive weight, Jackson^Stechkin theorems, modulus of continuity, modulus of smoothness, best approximation.
Bibliography: 19 titles.
For citation:
Kozko, A. I. 2024, “Estimates of approximations of functions by trigonometric polynomials in spaces with an asymmetric norm and sign-sensitive weight” , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 177-
186.
1. Введение и основной результат
Работа посвящена вопросам наилучшего приближения тригонометрическими полиномами 2-л-периодических действителвнозначных функций в пространствах с несимметричной нормой. Напомним классические резулвтаты С.Б.Стечкина [1], [2] и М.Ф. Тимана [3] об оценке наилучших приближений функций в «стандартных» пространствах С и Lp через значения модуля гладкости произволвного порядка.
Пусть T — одномерный тор, реализованный как отрезок [-л; л] с отождествлёнными точками —■к и п. Через Lp(T), 1 ф р < обозначим пространство действительнозначных на T
функций, суммируемых в р-ой степени, с нормой
В/(-)Ир = (2^/1/wi”dx)’ ■
В
случае р = предполагается, что f £ С(T) и ||/||те = шахжет |/(ж)|.
Обозначим
д 1 « = В-Е'( I)
f (х + kt)
разности порядка г £ N функции f в точке х с шагом t и положим
(1)
шг(/; h) = sup ||д f ||р. (2)
|t|yh,
В [2] была приведена следующая конструкция оценки сверху приближения функций тригонометрическими полиномами через значения модуля непрерывности произволвного порядка. Приближающие полиномы получалисв в виде линейной комбинации свёрток функции с неотрицательными чётными полиномами по системе косинусов.
Пусть заданы натуралвное число г и {Ara}raeN — возрастающая последователвностъ поло-жителвных чисел, Ншп—Хп = +го, {а^,га| k,n £ N, п ^ 2, 1 ф к ф п — 1} — множество действителвных чисел, определяющие ядра
Ki(t) = 1, Kn(t)
1
2
п—1
+ ак,п cos (kt),
к=1
обладающие двумя свойствами: • Kn(t) ^ 0 yt £ [—л; л],
Ст = supneN ( 2(A;)m /0 tmKn(t) dt^j < +ю, 1 ф m Ф r
Заметим, что определённая выше константа Стщ>и т = 0 равна 1. Тогда для р-нормы (при любом р £ [1; +го] и п £ N разность между функцией f и тригонометрическим полиномом
Тп
</-)=1 /_'( е <-1)”(;)/<*+
(было доказано С.Б. Стечкиным и М.Ф. Тиманом), что Тп<f; х) ном степени ф п — 1 и справедлива оценка
1
Kn<t) dt
тригонометрический поли-
II/ — Tn<f)||Р Ф cw(f; ,
где
с=е(: )
т=0 ' '
сп
(3)
(4)
Замечание 1. В качестве Хп Обычно берут ^ или Ду, т > 0 д > 0. В (2] рассмотрено
X -1 = 1
лп = п
= но в ряде других работ изучалисв другие методы приближения, где аргументы модуля непрерывности бралисв в виде т/<п + д). Например, в (4] бралисв Хп-1 = зр+рщ-Особый интерес изучения различных \п вызван в связи с нахождением так называемой точки Черныха, начиная с которой наилучшая константа в неравенстве (3) выходит на глобалвный минимум см. [5]. Поясним на примере: для наилучшей константы С = С<Хп,р,г) в неравенстве (3) для р = 2 и г = 1 см. [6], [7] справедливо С<Хп, 2,1) = 1/\/2, 0 < Хп ф п/ж и С<Хп, 2,1) > 1/v% Лга >п/ж, т.е. для р = 2 и г = 1 точка Черныха равна Хп = п/ж. Задача о нахождении точки Черныха сложная, но тем не менее такого сорта резулвтаты все же были получены при некоторых значениях параметров (найденные Хп зависит от г, р, п). В конце работы процитируем ещё несколвко резулвтатов.
В данной работе рассматриваются более общие разности, чем (1) и достаточно широкий класс несимметричных норм. В соответствии с этим определяются модули непрерывности функций в несимметричных пространствах. Ставится вопрос: какова оценка сверху нормы разности f — Tn<f) в этих пространствах через модули непрерывности порядка г. Насколвко она хуже оценки (3)? Доказано, что оценка (3) в изучаемом общем случае заменяется на следующую:
II/ — Tn<f )|| Ф А ■ С ■ П0)Г(f; ^ (5)
В (5) постоянная та же, что и в (4), || -|| - произволвная норма рассматриваемого класса, а для постоянной А > 1, определяемой рассматриваемой несимметричной нормой с ограниченными знакочувствительными весами, получено явное выражение. В следующем параграфе будут изложены необходимые сведения из теории несимметричных норм со знакочувствительными весами и определена величина А, а также &а,г-
порядка г:
1. Для г £ N а > 0 h £ R определим, обобщённый разностный оператор
Щ<f,%), (6)
<f,X) = AhAah ... Аа
где Ahf <х) = f <х) — f <х + h).
Заметим, что "классический" разностный оператор Ньютона-Грегори
А
h'f(■) = Ahf<■) = (А„)”f <■) = £(—1)‘C*f<■ + kh)
k=0
и разность Туз Морса
Д,г(/, х) = AhA2h ... A2r-lh{f, х) (7)
являются частными случаями обобщённого разностного оператора при а = 1 и а = 2 соответс-венно. Основные свойства обобщённого разностного оператора порядка г можно найти в [8], [9]. Существенное отличие разности Туз Морса от разностного оператора Ньютона-Грегори состоит в том, что все константы перед функцией f(■ + kh) по модулю равны единице. Т.е., например, для г = 2 разность Туэ-Морса принимает вид:
Ah’2(/,х) = AhA2h(/, х) = f (х) - f (х + h) - f(х + 2h) + f(х + 3h).
2. Несимметричные нормы и основной результат
Определение 2. Обозначим, через Ф класс норм, на, плоскости, для которых выполнены, следующие пять свойств. Таким, образом, ф £ Ф означает
i) ^(w) ф 0, для любого w £ R2, причём, ^(w) = 0 ww = (0; 0) для w £ R2;
гг) ^(aw) = \ex^(w), w £ R2, a £ R;
iii) ф(wi + w2) = ф(и\ + U2,V\ + V2) ф ф(wi) + Ф(w2) = ф(и\, Vi) + ф(и2, V2), wi, w2 £ R2. Будем говорить, ч,т,о норм,а, ф симметричная, если выполнены i)-iii) и свойство
iv) ф(и,и) = ф(и,и), Vu,v £ R.
Будем говорите, ч,т,о норма ф монотонная, если вглполненм и свойство
v) yUi,U2,Vi,V2 £ R : \ui1 < |«2|, \м\ < |^21 =^ ф(и1,У\) ф ф(и2,У2).
Приведём примеры наиболее распространённых монотонных, симметричных норм на плоскости: ф(и,и) = \«\ + ф\; ф(и,и) = (и2 + v2)i/2 (Евклидова норма); ф(и,,и) = max{|-u|, ф\}; ф(и, v) = (\и\р + \v\p)i/p, р £ [1; ф(и,и) = \и\ + \v\ + lu - v\.
Определение 3. Будем рассматривать несимметричную норму фвр и будем пиеа,т,ь фвр £ Фвр, если несимметричная норма порождается, функцией ф £ Ф, обладающей свойствами i)-v), парой p = (pi, р2) элементов расширенной числовой прямой (1 ф pi,p2 Ф +го) и знакочуветвителъным весом q = (q+(x), q-(x)) - парой произвольных неотрицательных измеримых функций Q+ и Q-t которые могут, вообще говоря, принимать и бесконечные значения. Эта, "норма " задастая, формулой
Фд,Р(/) = Фд,Р(/ +, f )= Ф\
((21ф JTe+(x)(f+(x))P1 ^ JTe~ (x)(f (х))Р2 dx)P2^j
= Ф (II/+(-)IW,Pi, II/-(0Н
е- ,Р2,
(8)
Различным задачам теории приближения в несимметричных пространствах посвящено много работ см. [10]—[14] и список цитируемой литературы там. Но, здесь мы ограничемся лишь определением.
Модуль гладкости в случае несимметричной нормы фв,р £ Фе>р определим в виде:
^а,г(1\Ф)'фв,Р = sup фв,р (Д“’г(f\ •)) .
Поскольку все нормы на плоскости эквиваленты между собой, то для нормы ф £ Фи нормы \-и\ + ф\ £ Ф существуют такие положительные константы Су, С* (0 < Су < Су < +го), что
Сф • (\и\ + М) Ф ф(щ v) Ф Су • (\и\ + М)
для всех (u,v) £ R2. Например, эти константы можно определить следующим образом:
И
Сгф = inf
ф(и,у)
= inf
ф(и*,ь*)
(u,v)es2 \и\ + \ц\ (и* ,v*)eS2 \и*\ + \ц*\
> 0,
Су = sup
ф(и,у)
= sup
ф(и*, V*)
(«,„)!* М + М (u*,v*)€S2 И + И
< +ТО,
(9)
здесь S2 — сфера на плоскости.
Если предположить, что знакочувствительные веса почти всюду ограничены сверху и снизу положительными константами, то оказывается, что всё-таки можно получить прямой аналог теоремы Джексона-Стечкина об оценке наилучшего приближения через соответствующий модуль гладкости в несимметричном пространстве со знакочувствительными весами. Сформулируем результат.
Теорема 1. Пусть п,а,г £ N (Ага}гаек — возрастающая последовательность положительных чисел, limra—\п = и задана, несимметрична я норма, фв,р £ Фе,р; Pi, р2 £ [1;+го] такая, что для знакочуветвителъных весов почти всюду выполняются неравенства, 0 < а Ф Q±(x) Ф ф < +го. Тогда, для, произвольной функции f £ Ьфдр, pi, р2 £ [1; +то] справедливо
Еп(/)ьф
ф
е ,р а
С • ^ • Qa,r
\ лп / j
Q > Р
где положительные константы С, Сф, Су определены выше см. (4); (9).
Доказательство. Справедливо тождество
п—1 п—1 п—1
Anh(f,x) = ^ ^ ••• S Ahr(f,x + kih + ak2h + ••• + ar-1krh),
k\= 0 ^2=0 kr=0
которое для г = 1 очевидно, а для г £ N, г ф 2 доказывается индукцией по г с применением равенства A(f,x) = A<h’r—1(f,x) — Ah’r-1(f,x + ar-1h). Данное тождество вместе с неравенством фвР(Р + G) ф фвР(Р) + фв,Р(С) позволяет получить:
^(•),Р (Anh (f,x)) ф ^1,P(Anh (f,x)) ф
п—1 п—1 п—1
Ф ^ ^2 ••• ^2 ^р^Г (f,х + k1h + ak2h +-----------+ ar—1kr h)) ф
k±=0 ^2=0 kr=0
n—1 n—1 n—1 Q n—1 n—1 n—1
Ф P S E • • • £ ^1,P(Ah,rU, x)) Ф Д S E • • • £ ^e(-),P(Ahr(k x)).
k\=0 k2=0 kr=0 k±=0 k2=0 kr=0
Здесь под обозначением фур понимается, что весовая функция отсутствует, т.е. g+ = Q— = 1. Таким образом, для всякой функции f £ LP(T), р £ (0; +го] выполнено неравенство
&a,r (f, п5)Ьфв, p
Ф
а
пгПа,г(f, Ф)Ьфв р
при любых п Е N 5 ^ 0 Из последнего неравенства и оценки t Ф -г- ([An t] + 1), получаем
^в,Р а
Из неравенства на положителвную частв
tta,r(f,t)b^np Ф - ■ (Kt + 1)rtta,r(ЛА/Ь, p.
(10)
(p 'K \ + / p'K \ + p К
J f(x,t) dtj = (j f+(x,t) - f~(x,t) dtj f+(x,t) dt
и обощенного неравенства Минковского 11/-, f (;t) dt\\p Ф /-„ ||/(-Д)||Р dt для Lp - норм (1 Ф P Ф +то), получаем
(/*^ \ + pK p'K
/ /(',^) dt) д+Д Ф / f+(-,t)g+ (•) dt ^ \\f+(-,t)Q+(-)\\P dt.
J-ж J P J-ж P J-ж
Аналогичное неравенство выполнено и для отрицателвной части функции с весом д_ (х). Откуда получаем:
f(-,t) dt) = ^ (J f(-,t) dt)+g+(-) ^, (f f (',f) dt) в- (') P2)
Ф
Ф
Сф ( (У /(v0 dt)+£+(0 ^ + (У f (-,t) dtj Q-(-)
(II/(ч'О+Ие+.Р! + II/(*,^)-Ne-,P^ dt Ф ДТ II/O^lk,p dt. (П)
^ф J—ж
\dt) o-(-) ) Ф
^ fж
Сф J-ж
Оценим разности функции f (х) с тригонометрическим полиномом Tn(f) в несимметричной норме со знакочувствительным весом.
En(f )ьФв, p Ф ФвМ (■) - Tn(f, ■)) = ^ep(J (ДГ (f, х)) Kn>r (t) dtj Ф
С * г C * г
ф Y Jj Ye’p{ ДГ (- -)) Kn’r (t) dt Ф Y hQa,r (^|t|)L^ ■ p ■Kn,r (t) dt Ф
n ^ * p о ^ *
Ф £ ■ ^ ■ na,r(f, \-nl)L^e p ■ (\nt + 1)rKn,r(t) dt Ф £ ■ -E ■ c ■ na,r(f, p. (12)
и, ’ J t & ^ф ’
Теорема доказана.
Для а = 1, г = 1, Хп = 1/пъ случае классического разностного оператора 1-го порядка при р\ = р2 = р с нормой та плоскости 'ф(ифи) = (\v,\p + \v\p)1/p в пространствах Le,p(T) в работе (15] была получена следующая оценка En(f )lp(T) Ф 12 ■ ^1t1(f, 1/п)ь^в ^ 1 Ф Р Ф +^-Для получения этого результата авторы использовали ядро Джексона Кп(t) = t(x)/^n, где
t(x) = (8Ш(Д/2)/4)) > Jn = (1М /Ф t(x) dx.
Приведём следствие из теоремы 1 при отсутствии знакочувствиельных весов д+(х) =
= Q-(х) = 1, при р/ = р2 = р Е [1; +го] и ^^я нормы на плоскости 'ф(ифи) = (\и\р + \v\p)1/p. Т.е. для случая, когда обощенный модуль гладкости переходит в модуль гладкости r-го порядка в Lp(T) пространствах. Легко заметить, что в этом случае в неравенстве (11) отношение с*
констант можно заменить конетантой 1. Поэтому имеет место следующее утверждение:
Теорема 2. Следствие 1. Для любого г,п,а Е N f Е Lp, р е [1; +то] справедливо
En(f )lp(T) Ф Сша,г(f, \~1 )р, 1 Ф р Ф +ж. (13)
с положительной константой С, определённой в (4).
Условие Kn(t) ^ 0 Vt £ [—п; к] было принципиально важно для получения результата теоремы для пространств с несимметричными нормами. Для обычных норм данное условие неотрицательности ядра Kn(t) необязательно, и поэтому в следствие 1, если доказывать его напрямую (не используя теорему 1), условие не нужно. А следовательно, при получении неравенств вида (13) можно использовать ядра, которые не обладают свойством знакопостоянства.
Для а = 1, т.е. для классического модуля нейрерывности г-го порядка в обычных Lp(T) пространствах, следствие 1 было получено С.Б. Стечкиным в 1949 г. (1] и опубликовано с полным доказательством в (2] в 1951 г. Он интересовался случаем р = +го, хотя его методы дают возможность без труда получить это утверждение при любом р £ [1; +го\. В то же время появились публикации М.Ф. Тимана [3], где такое же утверждение (для классического модуля непрерывности в LP(T) пространствах) было доказано для 1 < р < +го. С.Б. Стечкин в своей
работе для г £ N использовал ядра вида Kn(t) = bpJn(t), где Jn(t) = (ЩШ) >т*ек*
целое, не зависит от п, 2к0 ^ г + 2, натуральное р определяется из неравенств —С < р Ф —С + 1, а Ьр выбирается из условия Kn(t) dt = 1.
Для а = 1 и г = 1, в пространствах С(T) = L^(T) следствие 1 см. (16] было получено Д. Джексоном в следущем виде En(f)l^(t) Ф 12wi,i(/,п-1)^. Константа 12 была получена на ядре Джексона Kn(t) = t(x)/^п, где t(x) и были определены выше. Более точно Д.Джексон получил En(f )lto(t) Ф 6wi,i(f, Д-Д )те для нечетн ых пи En(f )l^(t) Ф 6wi,i(f, д)~ Для четных
Отметим ещё несколько случаев оценок вида (13), которые были получены другими методами, отличным от изложенного нами.
Случай а = 1 и г = 1 в пространствах С(T) = L^(T) с Хп = 2пк, к £ N был изучен в работах Н.П. Корнейчука [17], [18], в которых он доказал, что точим константа Ci,k в неравенстве En(f )Lto(t) Ф Citkui,i(f, -tk)~ удовлетворяет (1 - А) Ф Ci,k Ф щу1. Оценка сверху в данном результате можно получить как при помощи теорем сравнения, так и при помощи приближения вспомогательным классом функций. Оценка снизу получена Н.П. Корнейчуком на специальной последовательности функций.
Случай а = 1 и г = 2 в пространствах С(T) = L^(T) с \п = 4п был получен в работе В.В. Жука и В.А. Шалаева (см. (19], гл. 8, §3, теорема 3 и комментарий к гл. 8, §3]). ВД)l^(T) Ф ClШl,2(f, 4^)те, причём они доказали, что точная константа Ci удовлетворяет неравенству 1 — 1/2п Ф Ct Ф 1.
Для случая а £ N нечётно, а ^ 3 и р = 2 оценка на наилучшую константу в неравенстве (13) С = С (а, г, 2, \п) для Хп = д ^ 1 получена в работе [9]:
Утверждение следствия 1 для произвольного а £ N г £ N 1 Ф р Ф +то, по-видимому, публикуется впервые.
1. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады АН
СССР. 1949. Том 71. № 2. С. 135-137.
2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Известия АН СССР. Сер. матем. 1951. Том 15. С. 219-242.
3. Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp (1 Ф р Ф ж) // Матем. сб. 1958. Том 46(88). Ж. С. 125-132. "
п.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
4. Гаврилюк В. Т., Стечкин С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурве, Исследования по теории функций многих действительных переменных и приближению функций, Сборник статей. Посвящается академику Сергею Михайловичу Никольскому к его восьмидесятилетию // Тр. МИАН СССР. 1985. Том. 172. С. 107-127; Ргос. Steklov Inst. Math. 1987. V. 172. Р. 119-142.
5. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для Т2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах// Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Том. 62. №6. 27-52.
6. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в 12 // Труды МИАН. 1967. Том. 88. С. 71-74.
7. Arestov V. V., Chernykh N. I. On the L2-approxiniation of periodic function bv trigonometric polynomials // Approximation and function spaces. Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland. 1981. P. 95-43.
8. Козко А. И., Рождественский А. В. О неравенстве Джексона с обощённым модулем непрерывности // Математические заметки. 2003. Том. 73. №5. С. 783-788.
9. Козко А. И., Рождественский А. В. О неравенстве Джексона в L2 с обобщенным модулем
непрерывности // Матем. сб. 2004. Том. 195 №8. С. 3 16.
10. Козко А.И. Дробные производные и неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Том. 62. №6. С. 125-142.
11. Козко А.И. Многомерные неравенства разных метрик в пространствах с несимметричной нормой // Матем. сб. 1998. Том. 189. Ш. С. 85-106.
12. Козко А.И. Аналоги неравенств Джексона-Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Матем. заметки. 1997. Том. 61. № 5. С. 687-699.
13. Козко А.И. Полнота ортогональных систем в несимметричных пространствах со знакочувствительным весом // Современная математика и ее приложения. 2005. Том. 24. С. 135-147.
14. Козко А.И. О порядке наилучшего приближения в пространствах с несимметричной нормой и знакочувствительным весом на классах дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. Том. 66. Ж. С. 103-132.
15. Рамазанов А.-Р.К., Ибрагимова Б.М. Несимметричный интегральный модуль непрерывности и аналог первой теоремы Джексона // Вестник Дагестанского государственного университета. 2010. Вып. 6. 51-54.
16. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. // Из-во Тех-Теорит. Литературы М. 1949. 688 с.
17. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Том. 145. № 3. С. 514-515.
18. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения // М.: Наука. 1987. 424.
19. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. //Л.: ЛГУ. 1982. 366 с.
REFERENCES
1. Stechkin, S. В. 1949, “On the order of best approximation of continuous functions”, Dokl. Akad. Nauk SSSR. vol. 65 (135), pp. 135-137. (In Russ.)
2. Stechkin, S.B. 1951, “On the order of best approximation of continuous functions”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. vol. 15 (3), pp. 219-242. (In Russ.)
3. Timan M. F. 1958, “Inverse theorems of the constructive theory of functions in Lp spaces (1 ф p ф to)”, Mat. Sb. N.S. vol 46(88), pp. 125-132. (In Russ.)
4. Gavrilvuk V. T. and Stechkin S. B. 1987, “Approximation of Continuous Periodic Functions by Fourier Sums”, Proc. Steklov Inst. Math, vol 172, pp. 119 1 12.
5. Babenko A. G. 1998, “An exact Jackson-Stechkin inequality for L2 -approximation on the interval with the Jacobi weight and on projective spaces”, Izv. Math. vol. 62:6, pp. 1095—1119.
6. Chernykh N. I. 1967, “Jackson’s inequality in L2”, Trudy Mat. Inst. Steklov [Proc. Steklov Inst. Math.] vol. 88, pp. 71-74.
7. Arestov V. V., Chernykh N. I. 1981, “On the ^-approximation of periodic function bv trigonometric polynomials”, Approximation and function spaces. Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland. pp. 95-43.
8. Kozko A.I., Rozhdestvenskii A.V. 2003, “On Jackson’s inequality for generalized moduli of continuity”, Math. Notes Vol. 73 (5-6), pp. 736-741.
9. Kozko A.I., Rozhdestvenskii A.V. 2004, “On Jackson’s inequality for a generalized modulus of continuity in L2”, Sb. Math. vol. 195:8, pp. 1073-1115.
10. Kozko A.I. 1998, “Fractional derivatives and inequalities for trigonometric polynomials in spaces with asymmetric norms”, Izvestiya: Mathematics vol. 62 (6), pp. 1189-1206. DOI: 10.1070/iml998v062n06ABEH000223
11. Kozko A.I. 1998, “Multidimensional inequalities between distinct metrics in spaces with an asymmetric norm”, Sb. Math. vol. 189:9, pp. 1361-1383.
12. Kozko A.I. 1997, “Analogs of the Jackson-Nikol’skii inequalities for trigonometric polynomials in spaces with asymmetric norms”, Math. Notes vol. 61 (5), pp. 574^584. DOI: https://doi.org/ 10.1007/BF02355078
13. Kozko A.I. 2006, “Completeness of orthogonal systems in asymmetric spaces with sign-sensitive weight”, Journal of Mathematical Sciences, Plenum Publishers (United States), vol. 139 (6), pp. 7151-7164.
14. Kozko A.I. 2002, “On the order of the best approximation in spaces with asymmetric norm and sign-sensitive weight on classes of differentiable functions”, Izv. Math. vol. 66 (1), pp. 103-132. DOI: https://doi.org/10.4213/im373
15. Ramazanov A.-R.K., Ibragimova B.M. 2010, “An asymmetric integral modulus of continuity and an analogue of Jackson’s first theorem”, Bulletin of Dagestan State University, vol 6, pp. 51-54. (In Russ.)
16. Natanson, I. P. 1964, “Constructive function theory. Vol. I. Uniform approximation. Translated by Alexis N. Obolensky”, New York: Frederick Ungar Publishing Со. IX, 232 p.
17. Korneichuk N. Р. 1962, “The exact constant in D. Jackson’s theorem on best uniform approximation of continuous periodic functions”, Doklady Akademii Nauk SSSR vol. 145 (3), pp. 514-515.
18. Korneichuk N. P. 1991, “Exact constants in approximation theory”, Approximation theory Publisher Cambridge ; New York : Cambridge University Press. 452 p.
19. Zhuk V. V. 1982, “Approximation of periodic functions. (Approksimatsiva periodicheskikh funktsij). (Russian)”, Leningrad: Izdatel’stvo Leningradskogo Universiteta. 368 p.
Получено: 07.03.2024 Принято в печать: 04.09.2024
