Оценки числа появлений элементов на отрезках линейных рекуррентных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 Теоретические основы прикладной дискретной математики №1(19)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

УДК 621.391.1:004.7

ОЦЕНКИ ЧИСЛА ПОЯВЛЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОТРЕЗКАХ ЛИНЕЙНЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

И. Б. Биляк г. Москва, Россия E-mail: [email protected]

Рассмотрен некоторый класс тригонометрических сумм от линейных рекуррентных последовательностей. Эти суммы исследуются с использованием метода В. М. Сидельникова. Получены оценки числа появлений элементов на отрезках линейных рекуррент, которые в некоторых случаях уточняют ранее известные результаты.

Ключевые слова: тригонометрические суммы, линейные рекуррентные последовательности, число появлений элементов.

Введение

Изучение числа появлений элементов в линейных рекуррентных последовательностях (ЛРП) над кольцами является одной из важных математических задач. Интерес к этой задаче связан прежде всего с построением на основе ЛРП генераторов псевдослучайных чисел, использующих различные способы усложнения аналитического строения линейных рекуррент (см., например, [1]).

Пусть GF(q) — конечное поле из q элементов, f (x) = xm — am-1xm-1 —... — a\x — a0 — реверсивный (a0 = 0) неприводимый многочлен степени m над этим полем. Линейной рекуррентной последовательностью над полем GF(q) с характеристическим многочленом f (x) будем называть последовательность u = u(0)u(1)u(2) ... элементов этого поля, удовлетворяющую соотношению

u(i + m) = a0u(i) + a1u(i + 1) + ... + am-1 u(i + m — 1), i ^ 0.

Каждая такая ненулевая ЛРП u является чисто периодической последовательностью, при этом её период T(u) равен периоду T(f) многочлена f(x) и делит qm — 1 (см., например, [2]).

Рассмотрим линейные рекуррентные последовательности u1, u2, ..., ur с характеристическим многочленом f (x). Назовём эти последовательности линейно независимыми над полем GF(q), если для всех ненулевых векторов с = (c1 , c2,... ,cr) Е GF(q)r последовательность c1u1 + c2u2 + ... + crur является ненулевой. Обозначим через Ni(z, u1,... , ur) количество целых чисел i Е {0,1,... , I — 1}, удовлетворяющих условиям u1(i) = z1, u2(i) = z2, ..., ur(i) = zr, где z = (z1,z2,..., zr) Е GF(q)r. Таким образом, величина Ni (z, u1,... , ur) равна количеству появлений r-граммы z на отрезке длины I последовательности векторов, элементы которой имеют вид (u1 (i), u2(i),..., ur(i)) для всех i ^ 0.

Всюду в дальнейшем будем считать, что Мі, м2,... , мг —линейно независимая система ЛРП над полем СР(д) с реверсивным неприводимым характеристическим многочленом / (ж). В работах В. И. Нечаева [3] и И. Е. Шпарлинского [4] доказано, что для произвольной г-граммы г Є ОЕ(д)- при всех I, не превосходящих период Т = Т(/) многочлена /(ж), справедлива следующая оценка:

N (г, Мі,... ,м- ) - -1-д-

^ --------------1 д т 1п Т.

д-

Величина \/с[ представляет собой «естественное» среднее значение для количества появлений г-граммы на отрезке длины I в последовательности векторов. Таким образом, неравенство (1) можно рассматривать как верхнюю оценку модуля отклонения количества появлений г-граммы на отрезке ЛРП векторов от средней величины. Из этого неравенства следуют верхняя и нижняя оценки числа N¿(2, «1,... ,«). При условии

I ^ дт/2+г !п т нижняя оценка рассматриваемой величины больше нуля, а верхняя — меньше /, т. е. оценка (1) нетривиальна. Впервые она была получена Н. М. Коробовым в [5] для простого поля и случая, когда ЛРП и1, и2,... , — сдвиги одной последова-

тельности. В этой работе впервые был применен аппарат тригонометрических сумм для получения оценок количества появлений элементов в ЛРП.

В. М. Сидельниковым в работе [6] в случае, когда д — простое число, доказано неравенство

' I

N (г,Мі,... ,м-)-------

д

Оценка (2) является нетривиальной и улучшает оценку (1) при

^3д(т+3г)/2 ^ I ^ ^((т + 3г)1п д)3дт/2.

В данной работе доказано, что в условиях, сформулированных для результата (1), и при дополнительном условии I ^ шт{Т/2, Т/(Т, д — 1)} справедлива следующая оценка:

N¿(2, Мі,. .. ,м- ) - -1-

д-

д- - 1 / 3д

д- (д - 1Н2

^((д - 1)дтг - /2)

(3)

Оценка (3) является нетривиальной и улучшает оценку (1) при значениях /, удовлетворяющих условию

^3д—

\/%)

3

где Л,(д) = 2(д — 1)2/д. Правые части неравенств (2) и (3) совпадают, если д = 2. Оценка (3) улучшает также оценку (2) при д ^ 3 и

^ < I < 10<Л

У^(д) 13

Кроме того, при д ^ 3 правая часть неравенства (3) меньше правой части неравенства (2) в Vх2(д — 1)/д раз.

3

1. Оценка тригонометрической суммы

Для изучения количества появлений элементов на отрезках ЛРП докажем вспомогательные результаты о тригонометрических суммах. Обозначим через х аддитивный характер поля СЕ(д), определённый на элементах поля равенством х(ж) = = ехр(1гр(ж)2пг/р}, где р — характеристика поля СЕ(д); ^(ж) — функция следа из поля СР(д) в поле ОЕ(р); г — мнимая единица. Пусть Ь(/(ж)) —множество всех ЛРП над полем СР(д) с характеристическим многочленом /(ж), а Ь(/(ж))* —множество всех ненулевых ЛРП из множества £(/(ж)). Период каждой ЛРП из множества £(/(ж))* равен периоду Т многочлена /(ж) и порядку корня а многочлена /(ж) в мультипликативной группе поля ОЕ(дт) (см., например, [2]). Определим величину ^(г,и) следующим равенством:

1-1

V(г,и) = Е х(-с^Е х(си(г))

сеОР(д)* ¿=0

где ОЕ(д)* —мультипликативная группа поля СЕ(д), а г — произвольный элемент этого поля. Сформулируем и докажем некоторые свойства этой величины.

Лемма 1. Пусть /(ж) —реверсивный неприводимый многочлен степени т над полем СЕ(д), Т — его период, а / —натуральное число, не превосходящее величину Т/(Т, д — 1). Тогда для любого элемента г поля СР(д) справедливо соотношение

2 _ Г (д — 1)дт/ — /2, если г = 0,

«е/г»*^(г,и)| I (д — 1)(дт/ — (д— 1)/2) если г = °. (4)

Доказательство. Левую часть (4) можно представить в виде

______г-1 _______

Е Е х(-с^)х(-М Е хМ^МКі)),

адЄЬ(/(ж))* 6,сЄОР(д)* *,.7=0

где черта обозначает комплексное сопряжение. Очевидно, что х(ж) = X 1(ж) = х(—ж). Воспользуемся этим в (5) и получим

Е Мг,и)|2 = Е Е Х(—+ МЙ-=о Х(си(г) — Ьи(7)). (6)

«€£(/(ж))* «€£(/(ж))* Ь,с€ОР(д)*

Для нулевой последовательности и из определения величины V(г, и) следует, что

при г = 0 она принимает значение —/, а при г = 0 — значение (д — 1)/. Таким образом,

получим

22

Е И(г,и)|2 — /2, если г = 0,

2/2

IV (г,и)| — (У — ^)

«€£(/(ж))

/|* <г’“)|2 = і 1Г|* (г,и)|2 — (У — 1)212, если г = 0

Для любой ЛРП из множества Ь(/(ж)) найдётся единственный элемент 7 из поля ОЕ(дт), такой, что

и (і) = ^ (7«*) для всех і ^ 0,

где (ж) — функция следа из поля ОЕ(дт) в поле СЕ(д) (см. [2, Теорема 8.24]). Далее,

с использованием этого представления знаков ЛРП, из выражения (6) получим

Е N(г,и)|2 = Е х(—+ И Е Е Хт(т(са*— Ьаі)). (8)

иЄ£(/(ж)) 6,сЄОР(д)* *,І=0 7ЄОР(дт)

где хт — аддитивный характер поля ОЕ(дт), определённый на элементах этого поля равенством хт(ж) = х(^Гр(ж)). Воспользуемся соотношением ортогональности для характеров и получим

Е - ьа)) = f- g = 5“)• (9)

Y^GF(qm) I 0 6СЛИ са = Ьа .

Если для некоторых элементов Ь и с поля GF(q) выполняется соотношение са: = baj, то элемент а:-) является элементом поля GF(q). Далее получим a(:-j)(q-1) = e и, следовательно, T(f) = ord a|(j — i)(q — 1), T(f)/(T(f), q — 1)|(j — i). Элементы i и j всегда меньше T(f )/(T(f ),q — 1), значит, соотношение ca: = baj выполняется тогда и только тогда, когда i = j и Ь = с, откуда, используя (8) и (9), получим

Е h(z,u)|2 = Е Еqm = (q— 1)qm^. (10)

u€L(/(ж)) cGGF(q)* :=0

Для завершения доказательства остаётся подставить равенство (10) в равенство (7). ■

Лемма 2. Пусть u — ЛРП периода T над полем GF(q), j — целое число из отрезка —T, T, z — произвольный элемент поля GF(q). Тогда

|v(z,xTu) — Vi(z,xT+ju)| ^ q|j|.

Доказательство. Пусть x(x) = exp{trp(x)2ni/p} для всех элементов x поля GF(q). Воспользуемся соотношением ортогональности для характеров

Е Е X(c(u(i) — z)) = q^ (z,u),

:=0 cGGF(q)

где Ni(z,u) —число появлений z среди элементов u(0), u(1),... , u(/ — 1). Так как |N(z,xTu) — N(z,xTu)| ^ |j| для всех j G —T, T, то |^(z,xTu) — Vi(z,xT+ju)| = = q|N^(z,xTu) — N(z,xT+ju)| ^ q|j|. ■

Лемма 3 [7]. Пусть q — натуральное число, тогда для всех действительных чисел v ^ 0 справедливо неравенство

[v/q] 2v 3

v2 + 2Е (v — qj)2 ^ —.

j=i 3q

Теорема 1. Пусть f (x) — реверсивный неприводимый многочлен степени m над полем GF(q), T — его период, u — ненулевая ЛРП над полем GF(q) с характеристическим многочленом f (x), z — элемент поля GF(q), а / — натуральное число. Тогда при I ^ min{T/2, T/(T, q — 1)} справедлива оценка

Мг.и)! « ((д — 1)дт/ — /2)

Доказательство. Рассмотрим в множестве Ь(/(ж))* ЛРП и0, для которой величина V = | ^(г, и0) | равна максимально возможному значению. Пусть ] — произвольное целое число из интервала — |^/д], |^/д]. Через и, обозначим ЛРП, определённую равенством

и (г) = и0(г + Т + ]) для всех г ^ 0.

Покажем, что среди Uj, где j Е -[v/q], [v/q], нет одинаковых. Если найдутся целые числа ji и j2, такие, что Uj = Uj2, то для корня а многочлена f (x) будет справедливо соотношение aj1-j2 = e. Это равенство может выполняться лишь при условии, что Т делит ji — j2. Как показано при доказательстве леммы 2, справедливо соотношение v = |qNi(z,Uo) — Z|, поэтому v < qZ ив условиях теоремы справедливы неравенства

|ji — j'21 ^ 2[v/q] < 2Z ^ Т.

Значит, Uj = Uj2 тогда и только тогда, когда ji = j2. Теперь с использованием лемм 1-3 имеем

[v/q] [v/q] 2v 3

(q — 1)qmZ — Z2 ^ E |vi(z,Uj)|2 ^ v2 + 2 £ (v — qj)2 ^ —.

Окончательно получим

|vi(z,u)| ^ ^ ((q - l)qmZ - Z2)^)

Теорема доказана.

Заметим, что полученная оценка справедлива для произвольного г Є ОЕ(я). Далее сформулируем результат, доказанный О. В. Камловским для случая г = 0.

Теорема 2 [7]. Пусть f (ж) —реверсивный неприводимый многочлен степени т над полем СЕ(^), Т — его период, и — ненулевая ЛРП над полем СР(^) с характеристическим многочленом f (ж), а I —натуральное число. Тогда при условии I ^ ¿/2, где і = Т/ (Т, я — 1), справедлива оценка

і

М0.и)| ^ («”■' — <« — 1)(2^ 3

2. Оценка числа появлений г-грамм в ЛРП векторов

Сформулируем и докажем основной результат работы.

Теорема 3. Пусть f (ж) —реверсивный неприводимый многочлен степени т над полем ОЕ (я) , Т — его период, и, и2, ..., иг — линейно независимая система ЛРП над полем СЕ(я) с характеристическим многочленом f (ж), I —натуральное число, не превосходящее значения шіп(Т/2. Т/(Т. я — 1)}, г — произвольный элемент множества ОЕ(я)г. Тогда справедлива следующая оценка:

N*(z,ui,... ,ur) - qr

1

< q^u ((q - 1)qmz -f2)'3

Доказательство. Пусть х(ж) = ехр{ігр(ж)2пг/р} — аддитивный характер поля ОЕ(я), где р — характеристика поля. Используя соотношения ортогональности для характеров, представим N¿(2. и і.... . иг) в виде

1—1 г 1

^(г.иі.....игНЕП- Е х(сі(и(і) — ^)).

і=0 І=1 Я с, ЄОР(д)

Тогда справедливо соотношение

1 1—1 / г \

Жг(г,иі..... и) = -^Е Е X Е^(иі(і) — ) . (11)

Я і=0(сі,С2,...,сг)ЄОР(д)г \І=1 /

3

1) Пусть z = 0. Тогда воспользуемся результатом теоремы 2:

(0, иъ ... , ur) — ~

qr - 1 ^(q-i - (q - 1)/2)

qr (q- 1H 2

2) Пусть далее г = 0. Для каждого вектора с = (с1. с2..... сг) через и обозначим такую последовательность, элементы которой определены равенствами

и обозначим

Uc(i) = Е cjUj (i) Для всех i ^ 0, j=i

Е cj zj. j=i

Последовательность — ЛРП с характеристическим многочленом f (x), причём из условия линейной независимости системы Ui, U2, . . ., ur следует, что для всех 0 = 0 ЛРП является ненулевой. В равенстве (11) выделим слагаемое, соответствующее нулевому набору (c1, c2,... , cr), тогда получим соотношение

_ 1 1 i-i N¿(z,ui,...,ur) = — + -Е Е _ x(uc(i)-zc).

- - г=0 c€GF(q)r\{0}

Для любого а £ GF(-)*справедливо соотношение а« = «ас, azc = zaC, следовательно, получим

_ 1 11 i-i N¿(z,ui,...,ur)- — = — —— E E E x(auc(i)-

- - - 1 a£GF(q)* i=0 c€GF(q)r\{0}

а значит,

N(z,ui,..., u-) - -1-

1

qr qr (q - 1) сєор^\{o>

Из соотношения (12) следует неравенство

Е V¿(Zc,Uc).

f12)

N(z,ui,... ,u-) - q-

Используя теоремы 1 и 2, получим

qr - 1

^ ;-------г max Ivz(zc,Uc) |.

q-(q - 1) c=o 1 Д c’ c; 1

Ni(z,ui,... ,u-) - -1-qr

q- - 1 - 1) - i2)

qr (q - 1H 2

Í13)

В силу того, что при ^ = 0 оценка является более точной, можем применить оценку (13) для любого ■

Если ограничиться случаем г = 0, то при некоторых ограничениях на I возможно доказать более сильную оценку, чем в теореме 3.

Т _ -

Теорема 4. Пусть дополнительно, в условиях теоремы 3, I ^ ------------т- и ^ = 0.

Тогда справедлива следующая оценка:

2(T,q - 1)

N¿(z,ui,... ,u-) - — qr -—i __________________ 1

qr - q-^ /3q

q- (q - 1)V2

^((q - 1)qmi - l2) +

q

3q

q- (q - 1^ 2

^ (qml - (q - 1)l2)

z

3

Доказательство. Разобьем правую часть равенства (12) на две суммы:

л,/- ч Z 1

N*(z,ui,... ,ur)—- =

, -ч“ У] V(zc, uc)+---;-----— , ,

q- q- (q - 1) c€{OF(q)r\0:zc=0} q- (q - 1) c€{OF(q)r\0:zc=0}

Y, V*(Zc,Uc).

Очевидно, что

r r—1

q - q ,

|{c Є GF(q)r \ 0: zc = 0}

|{c Є GF(q)r \ 0: zc = 0}| = qr-1 - 1

Отсюда получим

N*(z,ui,... ,ur) - -1-

qr

r r— 1 r— 1

qr - qr-i qr-i

^ -----:------г max |v*(Zc,Mc)| +

1

qr (q - 1) c=o,z=o

qr (q - 1) c=0

max |v* (0, Uc)|.

Применив теоремы 1 и 2, получим необходимый результат. ■

Сформулируем и докажем утверждение, вытекающее из теоремы 3. Утверждение 1. Пусть выполнено условие теоремы 3. Тогда среди элементов

и(0), и(1),... . и ( л/3д/\/М?)

где Л,(я) = 2(я — 1)2/q, появляются все г-граммы.

Доказательство. Для произвольного г € GF(q)r справедливо соотношение

яг ^— 1) (у (^ — 1) — /2)) ^ ^и1>...).

Если левая часть больше нуля, то появятся все г-граммы. Рассмотрим неравенство

qr ^(f (q”‘Z(q -1)-z2)) >0

Оно равносильно

z3 > У 1)3 (у (qmz(q - 1) - z2)

(q - 1)

3

Это неравенство заведомо выполнено при условии

z3 > (¡q(qmz(q - 1))

то есть при

(q - 1)3

2

V3q

m + 3r 2

\A(q)

где h(q) = 2(q — 1)2/q. ■

Будем говорить, что оценка |N(z, u1,... ,ur) — Z/qr | ^ S является нетривиальной, если в неравенстве Z/qr — S ^ Nj(z, u1,... ,ur) ^ — Z/qr + S левая часть больше нуля, а правая часть меньше Z. Ясно, что это равносильно условию Z/qr — S > 0.

Следствие 1. Оценка (3) является нетривиальной при Z > -\/3q/\/h(q).

Доказательство. Условие нетривиальности доказано в утверждении 1. ■

Сравним оценку (3) и оценку (2). Заметим, что при д = 2 оценки совпадают. Утверждение 2. Пусть д ^ 3. Тогда оценка (3) улучшает оценку (2) при

1 « 13дт.

Доказательство. Выпишем необходимое условие:

дг - 1 (3д( ти Л, ^ дг - 1

(д - 1)д^ 2

Это неравенство равносильно соотношению

1 /д

(д - 1)3 \2 которое выполняется при условии

(I (<Л(д - 1) - г2))3 « ^ (3 (дга1 - г2))3.

(I (дт(д - 1) - г)) < дт - г,

(д - 1)3У V 2(д - 1)2

Выделив г, получим

г ^ дт ((д-1)3 - д(д- 1)/2А = дт Л + д/2 - д(д- 1)/2 ^ V (д- 1)3 - д/2 У V (д- 1)3 - д/2

Таким образом,

1 ^ дт (1------------д-г ) . (14)

" V 1 + 2д(д - 1)7 1 ;

(д Возьмём производную функции д(д) = 1 -

1 + 2д(д - 1)7 '

2д2 — 1

д'(д) = (1 + 2д(- - 1))2 > °, « £ ^

Это означает, что если / ^ дтд(3) = — дт, то для любого д ^ 3 выполняется неравен-

13

ство (14). ■

Используя рассуждения, аналогичные доказательству утверждения 2, несложно показать, что при д ^ 3 и I ^ (д - 1)дт-1 правая часть неравенства (3) меньше правой части неравенства (2) в Vх2(д - 1)/д раз.

Далее сравним полученную оценку (3) с оценкой (1).

Утверждение 3. Оценка (3) улучшает оценку Н. М. Коробова (1) при

г < М д т 1п3 Т

3 4

д

Доказательство. Выпишем необходимое условие:

Таким образом, из утверждений 2 и 3 следует, что полученная оценка при некоторых ограничениях на г уточняет известные результаты.

1. Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии: учеб. пособие. М.: Гелиос АРВ, 2001. 480с.

2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1, 2. М.: Мир, 1988. 824с.

3. Нечаев В. И. Распределение знаков в последовательности прямоугольных матриц над конечным полем // Труды матем. института им. В. А. Стеклова. 1997. Т. 218. С. 335-342.

4. Шпарлинский И. Е. О распределении значений рекуррентных последовательностей // Проблемы передачи информации. 1989. Т. 25. №2. С. 46-53.

5. Коробов Н. М. Распределение невычетов и первообразных корней в рекуррентных рядах // Докл. Акад. наук СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 603-606.

6. Сидельников В. М. Оценки для числа появлений знаков на отрезке рекуррентной последовательности над конечным полем // Дискретная математика. 1991. Т. 3. №2. С. 87-95.

7. Камловский О. В. Оценки частот появления нулей в линейных рекуррентных последовательностях векторов // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. №1. С. 135-144.

Оно равносильно соотношению

ЛИТЕРАТУРА