CC BY
22УДК 629.7.064.54:621.431.37
оценка времени снижения температуры криогенного компонента топлива путём объёмного кипения в баках ракет-носителей и разгонных блоков при наземной подготовке к запуску
© 2022 г. диесперов н.в.1, черкасов С.г.2
1КБ «Салют» ГКНПЦ имени М.В. Хруничева Ул. Новозаводская, 18, г. Москва, Российская Федерация, 121309,
e-mail: agd@khrunichev.ru
2Акционерное общество «Государственный научный центр Российской Федерации «Исследовательский Центр имени М.В. Келдыша» (АО ГНЦ «Центр Келдыша») Онежская ул., 8, г. Москва, Российская Федерация, 125438, e-mail: kerc@elnet.msk.ru
Предложена расчётная модель для оценки времени снижения температуры жидкого водорода, используемого в качестве компонента топлива, путём объёмного кипения как частного случая термостатирования баков ракет-носителей и разгонных блоков, содержащих криогенное топливо. Модель включает в себя три различных способа расчёта времени данного процесса — осреднённая оценка, равновесная оценка и оценка с учётом «вспухания» применительно к условиям наземного термостатирования. По результатам работы всеми способами, заложенными в модель, была произведена оценка времени снижения температуры топлива при наземной подготовке для бака горючего перспективного разгонного блока, содержащего в качестве компонента топлива жидкий водород, а также получены зависимости изменения основных внутрибаковых параметров во времени. Как частный случай рассматриваемой в работе модели получена оценка процесса с учётом «вспухания» компонента топлива, т. е. увеличения объёма компонента топлива за счёт объёмов пузырей, образованных при объёмном кипении компонента. Данный подход, помимо оценки собственно времени снижения температуры путём объёмного кипения, позволяет оценить изменение высоты компонента топлива в баке при наземном термо-статировании, и, соответственно, оценить риски так называемого «каплеуноса», т. е. ухода компонента топлива через дренажную магистраль. По результатам работы разработано программное обеспечение для расчёта на языке Visual Basic, которое позволяет на стадии проектирования изделий космической техники произвести быструю предварительную оценку времени снижения температуры компонента топлива путём объёмного кипения жидкого водорода в баке.
Ключевые слова: объёмное кипение, термостатирование, дренаж, математическое моделирование, внутрибаковые процессы, среднемассовая температура, вспухание.
ESTIMATING THE TIME NEEDED TO LOwER
the temperature of a cryogenic propellant
COMpONENT THROuGH BuLK BOILING IN TANKS
of launch vehicles and upper stages during pre-launch processing
Diesperov N.V.1, Cherkasov S.G.2
1Salyut Design Bureau State Space Research and Production Center named after M.V. Khrunichev (Salyut Design Bureau) 18 Novozavodskaya str, Moscow, 121309, Russian Federation, e-mail: agd@khrunichev.ru
2Joint Stock Company Keldysh State Research Center (Keldysh Research Center) 8 Onezhskaya str., Moscow, 125438, Russian Federation, e-mail: kerc@elnet.msk.ru
The paper proposes a computational model for estimating the time needed to lower the temperature of liquid hydrogen used as a propellant component through bulk boiling as a particular case of thermostatting the tanks of launch vehicles and upper stages containing cryogenic propellants. The model includes three different methods of calculating the time of this process — an averaged estimate, equilibrium estimate and an estimate that takes into account the «swelling» applicable to the thermostatting on the ground. Based on the results of working according to all the methods included in the model a time estimate was made for the propellant temperature lowering during ground processing for the fuel tank of an advanced upper stage containing liquid hydrogen as a propellant component, while also obtaining the curve of internal tank parameters vs. time. As a specific case of the model considered in this paper, an estimate of the process was made taking into account the «swelling»» of the propellant component, that is, the increase in the propellant component volume due to the volumes of the bubbles formed during bulk boiling of the component. Such an approach, besides providing an estimate of the time needed to lower the temperature through bulk boiling, also makes it possible to estimate the change in the height of propellant component in the tank during termostatting on the ground, and, accordingly, to evaluate the risks of the so-called «drop entrainment», that is, the loss of the propellant component through the vent line. Based on the results of this work, a piece of software was developed in the Visual Basic language, which enables, at the space hardware preliminary design phase, quick preliminary estimation of the time needed to lower the propellant component temperature through bulk boiling of liquid hydrogen in the tank.
Key words: bulk boiling, thermostatting, venting, math simulation, internal tank processes, mass-average temperature, swelling.
диесперов н.в. черкасов С.г.
ДИЕСПЕРОВ Николай Вадимович — ведущий инженер-конструктор КБ «Салют» ГКНПЦ им. М.В. Хруничева, e-mail: ig_3@mail.ru
DIESPEROV Nikolay Vadimovich — Lead engineer-designer at Salyut Design Bureau, e-mail: ig_3@mail.ru
ЧЕРКАСОВ Сергей Гелиевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник АО ГНЦ «Центр Келдыша», e-mail: sghercasov@yandex.ru
CHERKASOV Sergey Gelievich — Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Lead research scientist at Keldysh Research Center, e-mail: sghercasov@yandex.ru
введение
Процессы тепломассообмена, протекающие в баках ракет-носителей и космических аппаратов с криогенными компонентами топлива, уже давно являются объектом как научных исследований, так и инженерной практики [1-3]. Однако в целом эти процессы изучены еще недостаточно, особенно в расчётно-теоретическом плане. Одна из причин такого положения состоит в том, что процессы, протекающие в баках на различных стадиях эксплуатации баковых систем, значительно различаются между собой по своей физической сущности. В настоящее время в расчётно-теоретическом плане наиболее глубоко исследованы процессы, определяющие скорость роста давления при бездренажном хранении криогенных компонентов топлива (КТ) применительно к условиям космического полёта [4-7]. В этом случае существенную роль играет неоднородность температурного поля (температурное расслоение) в жидкой фазе компонента топлива, расчёт которой представляет собой сложную задачу. Поэтому многие результаты здесь [8-16] были получены на основе решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Бусси-неска [17], что потребовало применения достаточно сложных методов численного моделирования [18]. Вместе с тем, среди внутрибаковых процессов есть и такие, где температурное расслоение мало. К ним относятся, например, некоторые процессы, протекающие в криогенном баке на стартовой позиции, когда в жидкости имеется интенсивное перемешивание вследствие объёмного
кипения. Для таких задач эффективным подходом может оказаться применение более простых моделей, предполагающих однородность температурного поля, таких, например, как модель, описанная в статье [19].
В данной статье рассматривается задача об оценке времени предстартового термостатирования топливного бака разгонного блока, содержащего в качестве топлива жидкий водород. Данный процесс представляет собой снижение температуры криогенного КТ в баке посредством объёмного кипения, которое происходит вследствие снижения давления при дренаже бака. Снижение температуры КТ путём объёмного кипения является частным случаем процесса термостатирования топлива, который имеет целью поддержание температуры КТ в допустимых диапазонах, необходимых для запуска и последующей работы двигателя.
Актуальность работы обусловлена разработкой новых образцов российской космической техники, где в качестве одного из КТ используется жидкий водород. В частности, по данным открытой печати, в России разрабатывается ракета-носитель «Ангара-А5В» с третьей кислородно-водородной ступенью, а также кислородно-водородный разгонный блок КВТК. Соответственно, необходима методика экспресс-оценки времени снижения температуры КТ путём объёмного кипения, которое увязано в общую циклограмму предстартовой подготовки изделия, а также прочих параметров данного процесса.
Новизна работы состоит в том, что в единую расчётную методику (и, соответственно, разработанное программное обеспечение (ПО)) включены три
различных способа расчёта времени рассматриваемого процесса — осред-нённая оценка, равновесная оценка (предполагающая равновесное восстановление паров в каждый момент времени) и оценка с учётом явления «вспухания», обусловленного конечной скоростью всплытия пузырей.
По результатам работы были разработаны модели оценки времени рассматриваемого процесса. Модели включают в себя ПО на языке Visual Basic, которое позволяет на стадии проектирования изделий космической техники произвести быструю предварительную оценку времени снижения температуры путём объёмного кипения жидкого водорода в баке.
1. Постановка задачи
Рассматривается бак с жидким водородом, связанный через дренажный (дренажно-предохранительный) клапан с дренажной магистралью, по которой осуществляется частичный сброс паров водорода в окружающую атмосферу с давлением = 1 Па-105. Требуется
определить время, которое необходимо, чтобы температура КТ в баке уменьшилась от заданного начального значения до заданного конечного. Предполагается, что инициируемое процессом дренирования газовой полости бака интенсивное объёмное кипение в компоненте приводит к скорости парообразования намного большей, чем скорость парообразования, обусловленная внешним теплопритоком через оболочку бака, поэтому внешний теплоприток не учитывается. Далее, поскольку скорость пара в подушке бака намного меньше скорости звука, можно принять приближение гомобаричности [20, 21], т. е. считать, что давление в подушке изменяется во времени, оставаясь однородным по пространству. Что касается давления в жидкой фазе компонента, то, поскольку плотность жидкого водорода довольно мала, можно пренебречь гидростатическим давлением и считать давление одинаковым по всему объёму жидкой фазы. Наконец, поскольку в процессе рас-кипания имеют место интенсивное объёмное кипение в жидкой фазе и интенсивная продувка образующимся паром объёма подушки бака, можно
пренебречь и неоднородностями температуры как в жидкости, так и в паровой области. В качестве исходных данных для проведённых расчётов приняты значения, описанные ниже.
2. Методики решения задачи
2.1. Метод осреднённой оценки.
Данный метод является наиболее простым, он основан на работе с осред-нёнными параметрами жидкого КТ и паров водорода в газовой подушке. Именно этот метод в большинстве случаев применяется для инженерной оценки времени снижения температуры КТ путём объёмного кипения, так как не требует привлечения компьютера. Расчёт данного времени основан на классической формуле расхода:
т
At
G
(1)
где тдрен — масса паров водорода, эвакуируемого из газовой подушки через дренажную систему за время объёмного кипения (масса дренируемого водорода); G
дрен
средний массовый расход паров водорода через дренажную систему.
Расход дренирования Gдрен оценивается по формуле для докритического истечения газа [24]:
G = 5
дрен дрен .
(р2
^ сред
_ р2 )
* ятя-'
CRT
ct
Р.
Рпод.бак.нач Рпод.бак.кон
сред
T =
сред
T + T
под.бак.нач под.бак.кон
(2)
(3)
(4)
где 5дрен — площадь сечения дренажной магистрали; — суммарный коэффи-
циент гидравлического сопротивления (КГС) дренажной магистрали; рсред среднее по времени давление в подушке бака (давление паров насыщения); р , , р , — начальное
/' * под.бак.нач7 * под.бак.кон
и конечное давление в газовых полостях баков, соответственно; p
' 7 * ата
атмосферное давление; Г — средняя по времени температура в подушке бака; ^ ^ , Т , — начальная
под.бак.нач' под.бак.кон
и конечная температура в газовых полостях баков, соответственно.
2
2
При расчётах во всех уравнениях, представленных в данной работе, формально под массовым расходом дренажа С н понимается суммарный дренаж через дренажный клапан (ДК) и дренажно-предохранительный клапан (ДПК), поскольку предстартовое снижение температуры осуществляется посредством одновременного дренажа через эти два клапана. Однако при расчётах две магистрали дренажа одинаковой площади сечения заменяются одной — с эквивалентным КГС. При параллельном задействовании двух магистралей дренажа эти магистрали заменяются на одну — с эквивалентным КГС. Эквивалентный КГС ^экв рассчитывается, исходя из того, что при параллельном соединении он связан с КГС каждой из двух параллельных магистралей ^ и соотношением следующего вида (вывод здесь приводиться не будет):
^экв
+
5 = + 52,
экв 1 2'
где С2 — КГС обеих линий
дренажа (через ДК и ДПК); ^экв коэффициент гидравлического сопротивления эквивалентной магистрали; 51, 52, 5экв — площади дренажных магистралей (через ДК и ДПК) и эквивалентной магистрали, соответственно. Это соотношение выводится на основании равенства суммы расходов в обеих магистралях дренажа и расхода в эквивалентной магистрали, а также на основании закона Дарси [25].
Для расчёта по формуле (1) предполагаем, что давление и температура в газовой полости бака являются одинаковыми по всему объёму в каждый момент времени. Далее считаем, что температура пара в газовой полости бака мало отличается от температуры жидкого компонента, а давление отслеживает температуру жидкой фазы по кривой насыщения, т. е. выполняются условия:
Т б = Т ,
под.бак кт'
р
под.бак
= /(ТД
(5)
(6)
где Ткт — температура КТ; / — функция или таблица, описывающая кривую насыщения.
Таким образом, зная начальную и конечную температуры КТ и воспользовавшись соотношением (6), находим давление паров водорода в подушке в начальный и конечный моменты времени для подстановки в формулу (3).
Тогда в уравнении (4) выразим температуру в газовой подушке через температуры КТ:
Т б = Т
под.бак.нач к
Т б = Т ,
под.бак.кон кт.кон
где Т , Т — начальная и конечная
кт.нач кт.кон
температуры КТ.
Далее необходимо оценить массу паров водорода шдрен, эвакуируемых за время снижения температуры КТ через дренажную систему для подстановки в уравнение (1). По сути это масса испарившегося вследствие снижения температуры КТ жидкого водорода. Найдём её из уравнения теплового баланса для КТ в предположении, что масса жидкого водорода мало меняется в процессе снижения температуры КТ:
сМ(Т
кт.кон кт.нач
Т ) = тш ,
кт.нач дрен
(7)
где М — масса КТ.
Таким образом, система уравнений (1)-(7) является полной для оценки искомого времени снижения температуры КТ путём объёмного кипения. Её применение для исходных данных даёт результат. На основании исходных данных, приведённых в разд. 3, получаем оценочное время снижения температуры КТ Ь = 474,23 с.
2.2. Метод равновесной оценки. Недостатком изложенного выше, по сути, интегрального подхода является то обстоятельство, что он не даёт информации о динамике процесса. Поэтому рассмотрим теперь более детальный подход, основанный на решении системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс снижения температуры КТ путём объёмного кипения в каждый момент времени.
Рассмотрим сначала общий случай нестационарных процессов, протекающих в идеальном газе в условиях, когда
выполняется приближение гомобаричнос-ти, т. е. температура и плотность газа переменны по объёму, но давление при этом во всех точках объёма одинаково. Уравнения состояния и неразрывности запишем в следующем виде:
Р = РЯТ;
+ У.(рШ') = 0.
дЪ
(8) (9)
Рассмотрим некоторый объём V, содержащий массу идеального газа тг и введём среднемассовую температуру газа в рассматриваемом объёме:
1 ту
Т =-| Тйт.
т
(10)
V 0
С учётом уравнения (8) и условия гомобаричности можно записать:
? Г Г Р РУ
1 Тйт = | Tр¿V = ]- йV = -—
0 0 0 л л
(11)
С учётом уравнения (10) формула (11) принимает следующий вид:
PV = туЕГ. (12)
Как видно, уравнение состояния для объёма газа в целом имеет в рамках приближения гомобаричности тот же вид, что и для полностью однородного газа, если в качестве температуры использовать среднемассовую температуру (отметим, что при переменных по пространству температуре и плотности среднемассовая температура не равна среднеобъёмной температуре).
В рамках приближения гомобарич-ности давление в подушке бака является однородным по пространству, изменяясь во времени, откуда следует: 1
У.(рТ) = - V. Р = 0; (13)
д(рТ) _ 1 йР
дТ _ Я йЬ
(14)
Пренебрегая эффектами, связанными с вязкостью и теплопроводностью, уравнение энергии для неоднородно прогретого идеального газа можно представить в следующем общем виде [22]:
дт дР
с р-+ с рш]УТ =-+ Р.
рГ Л; рГ 3 ■
дТ
дТ
(15)
Используя уравнение неразрывности (9), это уравнение можно преобразовать к форме
д(рТ) дР
с^-^ + сУ.(рТШ) = — + ш'УР. (16) р дЬ р 1 дТ з
Используя теперь уравнение состояния (8) и свойства приближения гомобаричности (13), (14), преобразуем уравнение (16) к следующему виду:
йР
слг —¡г + С РУШ = 0.
V йЬ р з
(17)
Интегрируя уравнение (17) по произвольному объёму V и применяя теорему Гаусса, получим
йР }
cV—j-V + сР [ ш ¿Б = 0. V ¿Ь р I п
(18)
Второе слагаемое в уравнении (18) содержит интеграл по замкнутой поверхности X, ограничивающей объём V, где шп — проекция скорости газа на внешнюю нормаль к поверхности.
Применим теперь эти результаты к рассматриваемой задаче о раскипа-нии. Пусть V(t) — это объём подушки бака в какой-либо момент времени. Поверхность, ограничивающая подушку в любой момент времени t, состоит частично из непроницаемых стенок бака, где шп = 0, и двух проницаемых поверхностей. Первая проницаемая поверхность — вход газа в дренажную систему (параметры газа здесь будем обозначать индексом «дрен»), вторая проницаемая поверхность совпадает с поверхностью раздела фаз (параметры газа здесь будем обозначать индексом «пов.кт»). Тогда поверхностный интеграл, входящий в уравнение (18), можно записать в виде:
^ ^дрен ^пов.кт
[ ш ¿Б = 1 ш^йБ + 1 ш.йБ = О - О ;
J п 3 Оп 3 Бп ;!>-дрен -^^пов.кт7
0 0 0
ДРен ^повкт
Одрен = I ШВпйБ; ^ = - | Ш^ (19)
00
где Одрен — объёмный расход газа, вытекающего из подушки в дренажную систему; Оповкт — объёмный расход газа, втекающего в подушку через её нижнюю границу на момент времени t.
Обозначим через Оисп массу пара, образующегося в единицу времени внутри жидкой фазы за счёт объёмного кипения (массовый расход). Будем считать, что:
• этот пар сразу оказывается в подушке, что соответствует бесконечно большой скорости всплытия пузырей;
• при выходе в подушку плотность этого пара и его температура равны, соответственно, р и Т (насы-
7 1 пов.кт пов.кт ^
щенный пар при температуре зеркала КТ);
• температура поверхности КТ (зеркала КТ) Т равна среднемассовой
пов.кт
температуре основного объёма КТ Ткт.
Отметим теперь, что нижняя граница подушки опускается со временем за счёт уменьшения массы жидкой фазы. Как следствие, за время ¿Ь объём подушки увеличивается на некоторую величину ¿V, поэтому часть расхода О идёт на заполнение этого вновь
^исп
образующегося объёма. Тогда из баланса массы следует
О ¿Ь = О р ¿Ь + р ¿V.
исп пов.кт пов.кт пов.кт
(20)
С учётом полученных формул уравнение энергии (20) принимает следующий вид:
¿Р
V + сР
¥ & р
Од
с
;рен
+
Рп
¿УЛ
= 0. (21)
Используя формулу (12), формулу Майера (ср - су = Я) и учитывая, что р Т = р Т , уравнение (21) можно
■дрен дрен " пов.кт пов.кт' ^ '
преобразовать к виду
¿(т
пар.под.бак
Т)
+ с (С Т
дрен дрен
С Т ) + Р
исп пов.кт
¿У
= 0,
(22)
где ш — масса пара в подушке;
^ пар.под.бак 1 ^^ 7
Т — средняя температура паров водорода в подушке; Сисп — массовый расход испарения с зеркала КТ.
Учитывая уравнение баланса массы для пара в подушке
¿т
пар.под.бак
= С - С ,
исп дрен
(23)
преобразуем выражение (22) к следующему виду:
йТ
'''пар.под.бак
сш * ~гт~ = Я(С Т
1/ „„„ „„„ I , V исп г
исп пов.кт
СдренТдрен) +
дрен дрен
+ сС (Т - Т) - сС (Т - Т) -
V исп ^ пов.кт ' V дрен ^ дрен '
¿У
- Р иг=0 (24)
До сих пор не делалось каких-либо предположений относительно распределения температуры по объёму подушки. Теперь будем считать, что температура пара на выходе из подушки (на входе в дренажную систему) мало отличается от среднемассовой температуры пара, т. е. положим, что Тдрен = Т. Тогда уравнение энергии (24) и формулу для расхода пара через дренажную систему можно записать в следующем виде:
йТ -
су Ш б —г = Я(С Т - С -) +
V пар.под.бак йт \ исп пов.кт дрен '
- ¿У + слгС (Т - -) - Р -¡-г = 0.
V исп ^ пов.кт ' ¿г
С = 5
дрен дрен .
Р2 - Р2
' _' ата
^ят
(25)
(26)
Обозначим через М(Ь) текущую массу жидкости в баке, а её температуру будем считать постоянной по объёму, т. е. равной температуре поверхности раздела фаз Тповкт(Ь). Поскольку внешний теплоприток не учитывается, то из первого начала термодинамики [23] следует:
¿И
т ЧТ = ^
¿т
пов
¿г
С =
¿У
¿И сМ ¿т
по
¿г
¿г
У(Ь) = V, +
1 ¿И с
1 _ ис
м0 - М(1) Р :
• кт
(27)
(28)
(29)
(30)
где ркт — плотность жидкой фазы компонента; У0 — начальный объём подушки.
Как легко убедиться, уравнения (23), (25)-(30) вместе с уравнением состояния (12) и уравнением для кривой насыщения (6) составляют замкнутую
с
систему, описывающую динамику процесса снижения температуры путём объёмного кипения. Численное решение этой системы не представляет каких-либо сложностей.
По результатам расчётов получаем оценочное время рассматриваемого процесса Ь = 475,48 с. Графические зависимости, полученные по результатам расчётов, представлены в разд. 3 (рис. 1-7).
2.3. Метод равновесной оценки с учётом «вспухания». Ранее предполагалось, что пар, образующийся внутри жидкой фазы за счёт объёмного вскипания, мгновенно оказывается в подушке. При этом среда ниже поверхности раздела фаз является чистой жидкостью. Такой подход эквивалентен допущению
0 бесконечно большой скорости всплытия паровых пузырей. Учтём теперь, что скорость всплытия пузырей конечна. В этом случае в каждый момент времени какая-то часть пузырей всегда будет находиться внутри жидкой фазы компонента, т. е. среда ниже поверхности раздела фаз (под поверхностью раздела фаз в дальнейшем будем подразумевать нижнюю границу подушки) будет уже двухфазной. При такой постановке задачи уравнения (25), (26) остаются справедливыми, но входящие в правую часть уравнения (25) расход пара через межфазную поверхность Сисп(Ь) и объём подушки У(£) должны вычисляться иначе, чем в предыдущем разделе.
Обозначим через р (Ь) плотность
1 'пар.пуз4- '
насыщенного пара в пузырях, а через р (О — среднюю плотность паровой
1 пар.сред4 ' 1 1
фазы в двухфазной среде:
V
т
V = — 2 р
V2
M
(31)
+-
пар.пуз
Здесь шУ2 — текущая масса пара внутри двухфазного компонента; У2 объём двухфазного компонента. Обозначим 02 массу пара, образующегося в единицу времени за счёт объёмного кипения компонента, тогда
dm dt
V2
= G2 - G .
2 исп
(32)
Используя уравнение (27), получим:
G2 =
dm
см dt
пов dt
(33)
Обозначим через и скорость всплытия пузырей относительно скорости перемещения поверхности раздела фаз. Тогда массовый расход пара, выходящего в подушку через поверхность раздела фаз, можно записать в виде:
G = o,nUS
исп 1 V2 1
(34)
Поскольку V + V2 = V„ = const, изменение во времени объёма подушки при наличии «вспухания» компонента описывается, с учётом уравнения (31), выражением
dV
~dT
dvl dt
D f dt
m,
M \
р
\ ^пар.пуз
- +
Рк
(35)
Используя кривую насыщения (6) и формулы (32), (34), это выражение можно преобразовать к виду:
dV dt
= G
1
1
G
+
- +
(36)
+
mm dT
V2 пов.кт
P dt
df
dT
\ R
пов.кт
Формулы (31)-(36), дополненные формулами (25), (26), а также уравнением состояния идеального газа для пара с конкретным видом кривой насыщения, достаточны для решения рассматриваемой задачи, если задана скорость всплытия пузырей и.
Существуют различные подходы и методы для расчёта скорости всплытия одиночного пузыря [25], которые дают различные значения скорости в зависимости от различных параметров, в т. ч. от размера пузыря. Исключение составляет формула Франка-Каменец-кош [25], согласно которой скорость всплытия не зависит от размера пузыря. Эта формула справедлива для достаточно крупных пузырей, и, если пренебречь плотностью газа по сравнению с плотностью жидкости, её можно представить в виде:
U - 1,3
Р
1 v
(37)
Ч ^кт У
Р
Р
Р
кт
1
Ч Р
р
р
кт
где с — коэффициент поверхностного натяжения компонента топлива (жидкого водорода); g — ускорение свободного падения; и — скорость всплытия пузыря.
В рассматриваемой задаче происходит всплытие не одиночного пузыря, а ансамбля пузырей. Поэтому в расчётах использовалась формула
U - k 1,3
попр '
Р
1 \ 4
V *кт У
где кпопр — поправочный коэффициент на групповое всплытие пузырей. Этот коэффициент определяется на основании опыта разработки и отработки изделий ракетно-космической техники, работающей на водороде, и составляет к - 3,85.
попр
Таким образом, решение системы уравнений, описанное в разд. 2.2 и дополненное уравнениями (31)-(37), учитывающими инерционность процесса восстановления паров в подушке бака, даёт оценку времени процесса. По результатам расчётов получаем оценочное время снижения температуры КТ путём объёмного кипения при наземной подготовке, которое составляет Ь = 475,15 с. Графические зависимости, полученные по результатам расчётов, представлены в разд. 3 на рис. 1-8.
3. результаты расчётов
По результатам расчётов получен ряд зависимостей для параметров, характеризующих процесс. На рис. 1-8 представлены графики зависимости одного и того же параметра для расчёта методом равновесной оценки и методом «вспухания», которые были описаны выше. За начало отсчёта (Ь = 0 с) принято время открытия дренажного клапана и, соответственно, начало процеса.
Как можно видеть из графиков, приведённых на рис. 1-4, изменения представленных на них термодинамических параметров практически идентичны, и их различие на данном масштабе едва заметно. На рис. 5 представлены изменения расхода дренирования в первые 20 с процесса. На этом рисунке можно видеть различия между двумя процессами.
100 200 300 400 500 600 t, с
расход дренирования без учёта -гвспухания» расход дренирования с учетом «вспухания»
Рис. 1. Изменение среднемассовой температуры основного объёма компонента топлива в баке
0 100 200 300 400
■ расчёт бег учёта «вспухания^
■ расчёт с учетом «вспухания»
Рис. 2. Изменение среднемассовой температуры паров в газовой полости бака
0 1-00 200 300 400 500 600 t, с
■ расчёт без учёта «вспухания» расчёт с учётом «вспухания» Рис. 3. Изменение среднего по объёму давления в газовой подушке бака
Рис. 4. Изменение расхода через дренажную магистраль
На рис. 6, 7 представлены графики изменения высоты КТ в баке и объёма газовой полости. На графиках можно видеть различия между данными параметрами в двух рассматриваемых процессах.
Расчётные значения времени снижения температуры компонента топлива путём объёмного кипения при наземной подготовке:
время процесса по осреднённой (инженерной) оценке 474,23 с;
время процесса по равновесной (без «вспухания») модели 475,48 с;
время процесса по модели, учитывающей «вспухание» 475,15 с.
Полученные значения справедливы для дренажной магистрали, которая была доведена путём предварительного захолаживания до температуры дренируемых паров.
2 4 6 8 10 12 14 16 ¡и
расход дренирования без учёта «вспухания» ■ расход дренирования с, учётом «вспухания»
Рис. 5. Изменение расхода через дренажную магистраль в первые 20 с
Рис. 6. Изменение высоты компонента топлива в баке
100 200 300 400 500 600 },с
* 3 2 1
0
— расчёт без учёта «вспухания»
-расчёт с учётом «вспухания»
Рис. 7. Изменение объёма газовой полости в топливном баке
Рис. 8. Изменение объёма паровой фазы компонента топлива при снижении его температуры методом объёмного кипения с учётом «вспухания»
Расчётное значение суммарного коэффициента гидравлического сопротивления эквивалентной магистрали, приведённое к диаметру йу = 55 мм, составляет ^экв = 24,82 (расчёт коэффициентов гидравлического сопротивления каждой отдельной магистрали — отдельная задача, и здесь рассматриваться не будет).
Расчётные значения параметров процесса снижения температуры КТ при учёте «вспухания»: время
всплытия пузырей, Ь 3,21 с;
1 7 всплыт.пуз 7 7
масса испарённого КТ, тдрен 51,45 кг;
средний расход дренажа, С 0,11 кг/с; начальная масса паров
в подушке, т , 7,26 кг.
^ 7 пар.под.бак
В таблице приведены параметры и их значения, использованные в качестве исходных данных.
В реальности при предпусковых операциях снижения температуры компонента топлива путём обьёмного кипения, которое рассматривается в данной работе, предварительное за-холаживание дренажной магистрали не осуществляется. Захолаживание дренажной магистрали осуществляется непосредственно парами компонента топлива в процессе дренирования. Таким образом, расчётное время снижения температуры компонента топлива до заданных значений несколько увеличится по сравнению с полученными в работе значениями, и необходима корректировка полученных в работе результатов. Однако сама методика корректировки выходит за рамки данной работы и здесь рассматриваться не будет.
Параметр Значение
П Объёмная доля газовой полости бака, % от объёма бака 10,0%
ркт Плотность компонента топлива (жидкий водород) 70,0 кг/м3
гтнач Начальная температура компонента топлива (КТ) 21,1 К
г™ Конечная температура компонента топлива (температура раскипания) 20,64 К
•^под.бак.нач Начальное давление в газовой полости бака 1,30 Па105
•^под.бак.кон Конечное давление в газовой полости бака 1,15 Па105
Ратм Атмосферное давление 1 Па105
^бак Объём бака 49 м3
Ябак Радиус бака 2,265 м
d, борт.уч. маг.дрен Диаметр бортового участка магистрали дренажа 55 мм
^борт.уч.маг.дрен Длина бортового участка магистрали дренажа 5 м
d - заборт.уч.маг.дрен Диаметр забортного участка магистрали дренажа 55 мм
^заборт.уч.маг.дрен Длина забортного участка магистрали дренажа 10 м
R Газовая постоянная паров водорода 4 157 Дж/(кг-К)
X Коэффициент Дарси-Вейсбаха 0,02
с Удельная теплоёмкость водорода 11 кДж/(кг-К)
r Удельная теплота парообразования водорода 430 кДж/(кг-К)
k Показатель адиабаты 1,4
g Ускорение свободного падения 9,8 м/с2
о Коэффициент поверхностного натяжения КТ 2 Н/м
q Теплоприток к стенке 0 кДж
z ^сумм.борт КГС бортового участка магистрали дренажа 24,82
z ^сумм.заборт КГС забортного участка магистрали дренажа 30,64
z ^сумм.общ Суммарный КГС всей дренажной магистрали 55,46
Примечание. КГС — коэффициент гидравлического сопротивления.
выводы
1. Для расчёта характеристик процесса снижения температуры КТ путём объёмного кипения при наземной подготовке разгонного блока предложены три физико-математические модели, различающиеся степенью детализации процессов. Расчёты по этим моделям для типичных условий бака РБ дают в целом сопоставимые данные (расхождение в пределах 3%)
2. Решение рассматриваемой задачи с учётом «вспухания» КТ позволяет сделать предварительную оценку увеличения высоты КТ.
3. Представленные в данной работе модели могут применяться для предварительных инженерных оценок на стадии эскизного проектирования по изделиям, в состав которых входят водородные баки.
4. В дальнейшем целесообразно доработать рассмотренные подходы с учётом уточнённых геометрических и гидравлических характеристик магистралей дренажа (в ходе дальнейшего проектирования), данных по теплопритокам к бакам и т. д.
Список литературы
1. Федоров В.И. Исследование тепломассообмена в баках кислородно-водородных ракет-носителей во время работы двигательной установки / / Известия РАН. Энергетика. 2012. № 2. С. 44-53.
2. Бершадский В.А., Петров В.И., Соколов Б.А., Туманин Е.Н. Способы регулирования теплового состояния криогенного топлива в баках двигательной установки при предстартовых операциях // Известия РАН. Энергетика. 2017. № 4. С. 95-105.
3. Belyaev A.Yu, Ivanov A.V., Egorov S.D., Voyteshonok V.S., Mironov V.M., Rogozhin-sky V.V., Sokolov B.A., Tumanin Y.N., Fyodorov V.I., Aksentsov A.A. Pathways to solve the problem of cryogenic rocket propellant long storage in space // Proc. Int. Aerospace Congress. Moscow. Russia. August 15-19, 1994. V. 1. P. 558-562.
4. Черкасов С.Г. Естественная конвекция и температурная стратификация в криогенном топливном баке в условиях микрогравитации // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С. 142-149. / Cherkasov S.G. Natural convection and temperature stratification in a cryogenic fuel tank in microgravity // Fluid Dynamics. 1994. V. 29. № 5. P. 710-716. D01:10.1007/BF02030500.
5. Амирханян Н.В., Черкасов С.Г. Теоретический анализ и методика расчёта теплофизических процессов, протекающих в криогенной ёмкости в режиме бездренажного хранения // Теплофизика высоких температур. 2001. Т. 39. № 4. С. 970-976. / Amirkhanyan N.V., Cherkasov S.G. Theoretical analysis and procedure for the calculation of thermo-physical processes occurring in a cryogenic vessel under conditions of nonvented storage // High Temperature. 2001. V. 39. № 6. P. 905- 911.
6. Черкасов С.Г., Миронов В.В., Миронова Н.А., Моисеева Л.А. Метод расчёта скорости роста давления при бездренажном хранении жидкого водорода в ёмкостях // Известия РАН. Энергетика. 2010. № 4. С. 155-161.
7. Черкасов С.Г., Ананьев А.В., Миронов В.В., Моисеева Л.А. Температурное расслоение в вертикальной цилиндрической ёмкости с турбулентным свободно-конвективным пограничным слоем // Известия РАН. Энергетика. 2016. № 4. С. 137-146.
8. Полежаев В.И. Конвективное взаимодействие в цилиндрическом сосуде, частично заполненном жидкостью, при подводе тепла к боковой и свободной поверхностям и дну // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 4. С. 77-88.
9. Вальциферов Ю.В., Полежаев В.И. Конвективный теплообмен в замкнутом осесимметричном сосуде с криволинейной образующей при наличии поверхности раздела фаз и фазовых переходов // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. № 6. С. 126-134.
10. Полежаев В.И., Черкасов С.Г. Нестационарная тепловая конвекция в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. № 4. С. 148-157. / Polezhaev V.I., Cherkasov S.G. Unsteady thermal convection in a cylindrical vessel heated from the side // Fluid Dynamics. 1983. V. 18. № 4. P. 620-629.
11. Черкасов С.Г. Естественная конвекция в вертикальном цилиндрическом сосуде при подводе тепла к боковой и свободной поверхностям // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1984. № 6. С. 51-57. / Cherkasov S.G. Natural convection in a cylindrical vessel with heat supplied to its side and free surfaces // Fluid Dynamics. 1984. V. 19. № 6. P. 902-908.
12. Черкасов С.Г. Квазистационарный режим конвекции в вертикальном цилиндрическом сосуде // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986. № 1. С. 146-152. / Cherkasov S.G. Quasisteady free convection regime in a vertical cylindrical vessel // Fluid Dynamics. 1986. V. 21. № 1. P. 125-131.
13. Моисеева Л.А., Черкасов С.Г. Теоретическое исследование влияния теплопроводности стенки на процессы сво-бодноконвективного теплообмена в вертикальной цилиндрической ёмкости / / Теплофизика высоких температур. 2002. Т. 40. № 3. С. 485-493. / Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Theoretical investigation of the effect of the thermal conductivity of a wall on the rocesses of free-convective heat transfer in a vertical cylindrical tank // High Temperature. 2002. V. 40. № 3. P. 447-455.
14. Ананьев А.А., Миронов В.В., Моисеева Л.А., Черкасов С.Г. Анизотропное влияние естественной конвекции на температурное расслоение в ёмкости при наличии устойчивой температурной стратификации // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2015. № 5. С. 96-106. / Anan'ev A.V., Mironov V.V., Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Anisotropic effect of natural convection on the temperature field in an enclosure in the presense of stable temperature stratification. Fluid Dynamics. 2015. V. 50. № 5. P. 681-690.
15. Черкасов С.Г., Ананьев А.В., Миронов В.В., Моисеева Л.А. Температурное расслоение в вертикальной цилиндрической ёмкости с турбулентным
свободно-конвективным пограничным
слоем // Известия РАН. Энергетика. 2016. № 4. С. 137-146.
16. Черкасов С.Г., Лаптев И.В., Ананьев А.В., Городнов А.О. Рост давления при нестационарной естественной конвекции в вертикальном цилиндрическом сосуде с постоянной температурой нижней границы // Тепловые процессы в технике. 2019. Т. 11. № 5. С. 203-215.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
18. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Ве-резуб Н.А., Глушко Г.С., Грязнов В.Л., Дубовик К.Г., Никитин С.А., Простомо-лотов А.И., Федосеев А.И., Черкасов С.Г. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 272 с.
19. Черкасов С.Г., Лаптев И.В., Город-нов А.О. Термодинамическая модель процессов в криогенных топливных баках // Космическая техника и технологии. 2020. № 2(29). С. 50-60.
20. Черкасов С.Г. О некоторых особенностях описания тепловых и динамических
процессов в газах в приближении гомобаричности // Теплофизика высоких температур. 2010. T. 48. № 3. С. 444-448. / Cherkasov S.G. Some spécial features of the descriptions of thermal and dynamic processes in gases in the approximation of homobaricit // High Temperature. 2010. V. 48. № 3. P. 422-426.
21. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.
22. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.
23. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит. Изд-во МФТИ, 2003. 576 с.
24. Чарный И.А. Основы газовой динамики. М.: Государственное науч.-тех. изд-во нефтяной и горно-топливной литературы, 1961. 97 с.
25. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. Справочное пособие. М.: Изд-во Энерго-атомиздат, 1990. С. 194-195.
Статья поступила в редакцию 06.09.2021 г. Окончательный вариант — 16.11.2021 г.
References
1. Fedorov V.I. Issledovanie teplomassoobmena v bakakh kislorodno-vodorodnykh raket-nositelei vo vremya raboty dvigatel'noi ustanovki [A study of heat and mass exchange in tanks of oxygen-hydrogen launch vehicles during operation of the propulsion system]. Izvestiya RAN. Energetika, 2012, no. 2, pp. 44 -53.
2. Bershadskii V.A., Petrov V.I., Sokolov B.A., Tumanin E.N. Sposoby regulirovaniya teplovogo sostoyaniya kriogennogo topliva v bakakh dvigatel'noi ustanovki pri predstartovykh operatsiyakh [Methods of controlling the thermal state of cryogenic propellant in the tanks of propulsion system during pre-launch operations]. Izvestiya RAN. Energetika, 2017, no. 4, pp. 95-105.
3. Belyaev A.Yu., Ivanov A.V., Egorov S.D., Voyteshonok V.S., Mironov V.M., Rogozhinsky V.V., Sokolov B.A., Tumanin Y.N., Fyodorov V.I., Aksentsov A.A. Pathways to solve the problem of cryogenic rocket propellant long storage in space. Proc. Int. Aerospace Congress, Moscow, Russia, August 15-19, 1994, vol. 1, pp. 558-562.
4. Cherkasov S.G. Estestvennaya konvektsiya i temperaturnaya stratifikatsiya v kriogennom toplivnom bake v usloviyakh mikrogravitatsii [Natural convection and temperature stratification in a cryogenic fuel tank in microgravity]. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1994, no. 5, pp. 142-149 / Cherkasov S.G. Natural convection and temperature stratification in a cryogenic fuel tank in microgravity. Fluid Dynamics, 1994, vol. 29, no. 5,pp. 710-716. DOI: 10.1007/BF02030500.
5. Amirkhanyan N.V., Cherkasov S.G. Teoreticheskii analiz i metodika rascheta teplofizicheskikh protsessov, protekayushchikh v kriogennoi emkosti v rezhime bezdrenazhnogo khraneniya [Theoretical analysis and procedure for the calculation of thermophysical processes occurring in a cryogenic vessel under conditions of nonvented storage]. Teplofizika vysokikh temperatur, 2001, vol. 39, no. 4, pp. 970-976 / Amirkhanyan N.V., Cherkasov S.G. Theoretical analysis and procedure for the calculation of thermophysical processes occurring in a cryogenic vessel under conditions of nonvented storage. High Temperature, 2001, vol. 39, no. 6, pp. 905-911.
6. Cherkasov S.G., Mironov V.V., Mironova N.A., Moiseeva L.A. Metod rascheta skorosti rosta davleniya pri bezdrenazhnom khranenii zhidkogo vodoroda v emkostyakh [A method of calculating the rate of pressure buildup during ventless storage of liquid hydrogen in vessels]. Izvestiya RAN. Energetika, 2010, no. 4, pp. 155-161.
7. Cherkasov S.G., Anan'ev A.V., Mironov V.V., Moiseeva L.A. Temperaturnoe rassloenie v vertikal'noi tsilindricheskoi emkosti s turbulentnym svobodno-konvektivnym pogranichnym sloem [Thermal stratification
in a vertical cylindrical vessel with a turbulent buoyancy flow boundary layer], Izvestiya RAN. Energetika, 2016, no. 4, pp. 137-146.
8. Polezhaev V.I. Konvektivnoe vzaimodeistvie v tsilindricheskom sosude, chastichno zapolnennom zhidkost'yu, pri podvode tepla k bokovoi i svobodnoi poverkhnostyam i dnu [Convective interactions in a cylindrical vessel partially filled with liquid, when heat is applied to lateral and free surfaces and the bottom]. Izvestiya ANSSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1972, no. 4, pp. 77-88.
9. Val'tsiferov Yu.V., Polezhaev V.I. Konvektivnyi teploobmen v zamknutom osesimmetrichnom sosude s krivolineinoi obrazuyushchei pri nalichii poverkhnosti razdela faz i fazovykh perekhodov [Convective heat exchange in a closed axisymmetric vessel with curvilinear generating line in the presence of a phase interface and phase transitions], Izvestiya AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1975, no. 6, pp. 126-134.
10. Polezhaev V.I., Cherkasov S.G. Nestatsionarnaya teplovaya konvektsiya v tsilindricheskom sosude pri bokovom podvode tepla [Non-steady thermal convection in a cylindrical vessel with lateral heat advection], Izvestiya AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1983, no. 4, pp. 148-157 / Polezhaev V.I., Cherkasov S.G. Unsteady thermal convection in a cylindrical vessel heated from the side. Fluid Dynamics, 1983, vol. 18, no. 4, pp. 620 -629.
11. Cherkasov S. G. Estestvennaya konvektsiya v vertikal'nom tsilindricheskom sosude pri podvode tepla k bokovoi i svobodnoi poverkhnostyam [Natural convection in a vertical cylindrical vessel with heat advection to lateral and free surfaces]. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1984, no. 6, pp. 51-57 / Cherkasov S.G. Natural convection in a cylindrical vessel with heat supplied to its side and free surfaces. Fluid Dynamics, 1984, vol. 19, no. 6, pp. 902 -908.
12. Cherkasov S.G. Kvazistatsionarnyi rezhim konvektsii v vertikal'nom tsilindricheskom sosude [Non-steady convection mode in a vertical cylindrical vessel], Izvestiya AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1986, no. 1, pp. 146-152 / Cherkasov S.G. Quasisteady free convection regime in a vertical cylindrical vesse. Fluid Dynamics, 1986, vol. 21, no. 1, pp. 125-131.
13. Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Teoreticheskoe issledovanie vliyaniya teploprovodnosti stenki na protsessy svobodnokonvektivnogo teploobmena v vertikal'noi tsilindricheskoi emkosti [Theoretical investigation of the effect of the thermal conductivity of a wall on the processes of free-convective heat transfer in a vertical cylindrical tank], Teplofizika vysokikh temperatur, 2002, vol. 40, no. 3, pp. 485-493 / Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Theoretical investigation of the effect of the thermal conductivity of a wall on the processes of free-convective heat transfer in a vertical cylindrical tank. High Temperature, 2002, vol. 40, no. 3, pp. 447-455.
14. Anan'ev A.A., Mironov V.V., Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Anizotropnoe vliyanie estestvennoi konvektsii na temperaturnoe rassloenie v emkosti pri nalichii ustoichivoi temperaturnoi stratifikatsii [Anisotropic effect of natural convection on the temperature field in an enclosure in the presence of stable temperature stratification], Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza, 2015, no. 5, pp. 96-106 / Anan'ev A.V., Mironov V.V., Moiseeva L.A., Cherkasov S.G. Anisotropic effect of natural convection on the temperature field in an enclosure in the presence of stable temperature stratification. Fluid Dynamics, 2015, vol. 50, no. 5, pp. 681-690.
15. Cherkasov S.G., Anan'ev A.V., Mironov V.V., Moiseeva L.A. Temperaturnoe rassloenie v vertikal'noi tsilindricheskoi emkosti s turbulentnym svobodno-konvektivnym pogranichnym sloem [Thermal stratification in a vertical cylindrical vessel with a turbulent buoyancy flow boundary layer], Izvestiya RAN. Energetika, 2016, no. 4, pp. 137-146.
16. Cherkasov S.G., Laptev I.V., Anan'ev A.V., Gorodnov A.O. Rost davleniya pri nestatsionarnoi estestvennoi konvektsii v vertikal'nom tsilindricheskom sosude s postoyannoi temperaturoi nizhnei granitsy [Rise of pressure under non-steady natural convection in a vertical cylindrical vessel with constant temperature at the lower boundary], Teplovye protsessy v tekhnike, 2019, vol. 11, no. 5, pp. 203 -215.
17. Landau L.D., Lifshits E.M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow, Nauka publ., 1986. 736p.
18. Polezhaev V.I., Bune A.V., Verezub N.A., Glushko G.S., Gryaznov V.L., Dubovik K.G., Nikitin S.A., Prostomolotov A.I., Fedoseev A.I., Cherkasov S.G. Matematicheskoe modelirovanie konvektivnogo teplomassoobmena na osnove uravnenii Nav'e-Stoksa [Math simulation of convective heat and mass transfer based on Navier-Stokes equation], Moscow, Nauka publ., 1987. 272 p.
19. Cherkasov S.G., Laptev I.V., Gorodnov A.O. Termodinamicheskaya model' protsessov v kriogennykh toplivnykh bakakh [Termodynamic model of cryogenic fuel tank processes], Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2020, no. 2(29), pp. 50-60.
20. Cherkasov S.G. O nekotorykh osobennostyakh opisaniya teplovykh i dinamicheskikh protsessov v gazakh v priblizhenii gomobarichnosti [Some special features of the descriptions of thermal and dynamic processes in gases in the approximation of homobaricity], Teplofizika vysokikh temperatur, 2010,
vol. 48, no. 3, pp. 444-448 / Cherkasov S.G. Some special features of the descriptions of thermal and dynamic processes in gases in the approximation of homobaricit. High Temperature, 2010, vol. 48, no. 3, pp. 422-426.
21. Lapin Yu.V, Strelets M.Kh. Vnutrennie techeniya gazovykh smesei [Internal flows in gas mixtures]. Moscow, Nauka publ., 1989. 368 p.
22. Shlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [Boundary layer theory]. Moscow, Nauka publ., 1974. 712 p.
23. Sivukhin D.V. Obshchii kurs fiziki. Vol. II. Termodinamika i molekulyarnaya fizika [General physics course. Vol. 2. Thermodynamics and molecular physics]. Moscow, Fizmatlit. MFTIpubl., 2003. 576p.
24. Charnyi I.A. Osnovy gazovoi dinamiki [Fundamentals of gas dynamics]. Moscow, Gosudarstvennoe nauch.-tekh. izd-vo neftyanoi i gorno-toplivnoi literatury publ., 1961. 97p.
25. Kutateladze S.S. Teploperedacha i gidrodinamicheskoe soprotivlenie. Spravochnoe posobie [Heat transfer and hydrodynamic resistance. Reference aid]. Moscow, Energoatomizdatpubl., 1990. Pp. 194-195.
