Оценка влияния малых неопределенных параметров на характеристики агрегированного преобразователя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ АГРЕГИРОВАННОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

Н.П. МИТЯШИН, Ю.Б. ТОМАШЕВСКИЙ Саратовский государственный технический университет

Предложена методика, основанная на применении принципа обобщения теории нечетких множеств, для учета влияния малых, трудно определяемых параметров на характеристики агрегированного преобразователя частоты. Осуществлена оценка качества кривой тока, потребляемого из сети преобразователем. Получена функция принадлежности нечеткой чувствительности коэффициента несинусоидальности от неопределенности задания сопротивлений в цепи питания инверторов.

Введение

Качество электрической энергии, потребляемой и генерируемой источниками питания на основе статических преобразователей, определяется большим числом параметров элементов схемы и управления. Среди них имеются такие, влияние которых обычно считается незначительным, при этом их значения часто трудно прогнозируются. По этим причинам значения таких параметров в расчетах выбираются без особого обоснования или вовсе исключаются из рассмотрения ввиду их малости. Примерами таких параметров могут служить активные сопротивления в цепях питания инверторов, реакторов в цепях постоянного и переменного тока, отклонения от номинальных значений основных параметров, рассмотренных в [1] агрегированных преобразователей частоты. Указанные параметры будем ниже называть неопределенными независимо от причин их неопределенности. Для адекватного выражения зависимости выходных характеристик преобразователя частоты от неопределенных параметров может быть использован аппарат нечетких чисел (далее НЧ) [2].

Основная часть

Пусть (~1,..., хп) - полный набор НЧ, выражающих параметры системы и

ц; (Х[) - их функции принадлежности. Пусть далее £(~1,..., хп) - оператор,

однозначно определяющий значение некоторого выходного показателя системы у при данных четких значениях параметров х;. Тогда, в соответствии с принципом обобщения [2], функция принадлежности показателя у определяется по формуле

Ц(У) = тах тт(ц1( xl), Ц2( x2),..., Цп(хп)).

(х1, х2,..., хп )

у=£ (х1,..., хп )

Максимум берется по всем наборам параметров, для которых показатель у принимает заданное значение.

В случае дискретного спектра параметров х; построения функции использование последней формулы не представляет трудностей. Для непрерывного спектра параметров приходится дискретизировать область их

© Н.П. Митяшин, Ю.Б. Томашевский Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

возможных значений. В результате искомое значение НЧ у представляется кусочно-постоянной функцией принадлежности.

Построение функции ц(у) в данной работе производится с помощью дискретной интерпретации формулы принципа обобщения

Vy е[yi,у;+1) Ц(у) = max т1п(ц1(х1),ц2(х2),...,^и(xn)). (1)

(xi, x2,..., xn)

S (xi,..., xn )e|j;, y;+1)

Здесь [у; ,y;+1) - i-й интервал дискретизации диапазона Ду изменения параметра у , то есть

N

Ду = U \у;, у;+1).

;=1

Наборы (~1,..., xn) генерируются с помощью генератора случайных чисел.

Оператор S (~1,..., ~n) реализуется алгоритмически с помощью цифровой модели

исследуемой системы.

В соответствии с описанной методикой все параметры агрегированного преобразователя, нагрузки и управления в общем случае являются НЧ, заданными своими функциями принадлежности. Представляет интерес оценка чувствительности выходных показателей преобразователя к неопределенности параметров его схемы, управления и нагрузки.

В соответствии с одним из классических определений чувствительности [3], для функционально связанных величин x и у = y(x) ее можно задать с помощью формулы

£ у = d ln( у) = йу /у = у ’(x) x x d ln( x) dx / x у

Эта величина характеризует, насколько сильно влияет относительное изменение аргумента на соответствующее относительное изменение функции. В

четком случае чувствительность £ •у является функцией x.

Чтобы обобщить последнюю формулу на случай, когда x и у являются НЧ, функционально связанными в смысле (1), для любого X е [0,1] рассмотрим 1-уровни НЧ x и у [2], то есть

x X = {S I Vx (S) >X} и ух = {Л I Ц у (П) >х}.

Для унимодальных НЧ с непрерывными функциями принадлежности Ц x и Ц у 1-уровни представляют собой сегменты, длины которых m (x х) и

m (у х ) служат мерой неопределенности задания x и у, причем величина 1 является минимальной степенью принадлежности, которой мы еще не пренебрегаем.

Пусть далее у0 и x0 - те значения у и x, для которых соответствующие функции принадлежности принимают максимальные значения, то есть xо = arg max ц x (S), у 0 = arg max ц у (n).

Очевидно, для любого 1 xo е xx , уо е ух .

© Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

Теперь для нечетких x и у вместо (2) рассмотрим выражение

m (у х V у о

(х) = (- ) - ” . (3)

m (xх )/xо

Величина £ % (х) является функцией НЧ x и уровня 1 и может служить аналогом чувствительности для нечетко заданных x и у. Задавая уровень 1 и рассчитывая £ x (х), мы можем по ее величине судить, насколько сильно неопределенность аргумента x влияет на неопределенность его функции у.

Сама величина £ x (х) не является нечетким числом. Однако ей можно поставить в соответствие НЧ, которое мы назовем нечеткой чувствительностью и обозначим через £ £ . Функцией принадлежности этого НЧ следует считать

обратную по х функцию к £ x (х). Таким образом, для нахождения функции

принадлежности £ ^ для каждого ст из области значений функции £ ^ (х) необходимо решать следующее уравнение относительно х :

£ у (х) = ст .

Поскольку это уравнение может иметь несколько решений, то в соответствии с принципом Заде значением функции принадлежности для данного ст будем считать наибольший из них, то есть (ст) = max A (ст),

где

A (ст) = {х |£ x (х) = ст}

есть множество решений этого уравнения.

Применим обсуждаемую методику при рассмотрении задачи распределения нагрузки между каналами агрегированного преобразователя частоты модульной структуры, схема которого рассмотрена в [1]. Отметим, что преобразователь состоит из объединенных по выходу инверторов, питающихся от регуляторов постоянного напряжения, силовые части которых представляют собой полууправляемые трехфазные выпрямители. Последние агрегированы в две группы модулей с соответствующими инверторами, что обусловлено следующими соображениями.

В полууправляемых выпрямителях (ПУВ) наполовину уменьшается число управляемых вентилей, что упрощает реализацию управления, особенно в многомодульных агрегированных преобразователях частоты. Известно также, что ПУВ обеспечивают более высокий входной коэффициент мощности, но в то же время потребляют из сети токи четных гармоник. С целью минимизировать амплитуды этих гармоник в рассмотренном преобразователе регуляторы постоянного тока, питающие инверторы первой группы MA, выполнены с совмещенной анодной группой неуправляемых вентилей, а питающие инверторы второй группы MK - с совмещенной катодной группой неуправляемых вентилей.

Очевидно, что наиболее полное уничтожение четных гармоник входного тока возможно, если выполняется следующее условие равенства мощностей преобразователей групп:

© Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

т 1 А т 2 к

ЦрА = Е Ркк ,

]=1 к=1

где т1 и т2 - количество модулей в первой МА и во второй Мк группах; Р/ и

Ркк - мощности, потребляемые соответствующими модулями.

Это условие равносильно такому подбору модулей в группах, что суммарные токи, потребляемые из сети первым и вторым каналами, равны.

Однако даже при выполнении данного условия полная компенсация четных гармоник может оказаться невозможной из-за различия углов регулирования при обеспечении заданного распределения мощности между преобразовательными модулями.

В практике агрегирования указанное условие может не выполняться, например, по причине невозможности в конкретный момент времени подобрать инверторы в группы из имеющегося в наличии оборудования. Такая ситуация имеет место при модульной комплектации преобразователя большой мощности из преобразователей разных номинальных мощностей.

Оценим качество кривой тока, потребляемого из сети агрегированным преобразователем с учетом приведенных выше соображений, по обсуждаемой методике.

Рассматривая преобразователь, агрегированный из модулей разных мощностей, остановимся на частном случае, когда т1 = 1, а т2 = 2. Тем не менее, дальнейшие выкладки принципиально применимы для случая любых т1 и т2.

Предположим, что преобразовательные модули имеют мощности, значения которых пропорциональны элементам определенной числовой последовательности, например числам Фибоначчи: Р0, 2Р0, 3Р0, 5Р0, 8Р0, ..., обеспечивающим удобство модульной комплектации преобразователя любой мощности. Для нашего случая интерес, в частности, представляют сочетания, при которых общая мощность преобразователя Р = 6 Р0 или Р = 10 Р0.

В первом случае условие равенства мощностей преобразователей групп выполняется при

МА = {3 Р0}; Мк = {2Р0, Р0}, (4)

а во втором - при

Ма= {5 Р0}; Мк = {ЗР0, 2Р0}. (5)

В обоих случаях углы регулирования а1А , а1к , а2к тиристоров трех регуляторов являются суммой двух составляющих:

а А = а 0 +5а А , а к = а 0 +5а к (; = 1,2),

где а0 - составляющая углов регулирования, обеспечивающая нужное напряжение на выходе агрегированного преобразователя и являющаяся общей для всех регуляторов; ба1А, 6ак - составляющие, определяющие распределение токов между инверторами, которые имеют различные значения для разных модулей.

Обычно эти составляющие намного меньше, чем а0, и на этом основании их влиянием на качество кривой входного тока преобразователя пренебрегают. Оценим значения этих трудно определимых величин.

Прежде всего, поскольку мощность Р1А - максимальна, то можно принять

баї =0.

Рассмотрим входные цепи инверторов. По какой схеме не были бы выполнены инверторы, уравнения входных цепей, усредненные по интервалу

симметрии, имеют вид:

*ТТ А Г А ту А . ~А . Г Т

ий 1 - 1«й 1 + е1 + и

<и!ї - **1 «Л + е1К +и «■>

УК1 - *<12 «Иг + е2К + и •

Здесь иА1, иК1, и Кг - средние значения выходных напряжений

А к к

регуляторов постоянного напряжения; 1< 1, I < 1 , 1< г - средние значения токов, потребляемые инверторами; ЄА, ёК , - усредненные значения падений

напряжений на вентилях инверторов; и - среднее за интервал симметрии

А К

напряжение на нагрузке между включенными вентилями инверторов; Я< 1, Я< 1,

к

Я<г - активные сопротивления входных цепей инверторов.

Последние сопротивления являются трудно определимыми величинами, которые будем представлять с помощью НЧ , функцию принадлежности

_ А __ К _ К

которого обозначим через ц(Я<). Величины е 1 , е 1 и е 2 будем считать

равными и их общее значение ниже обозначать через Є.

Напряжения на выходе регуляторов выразим через углы регулирования

А тт 1 + СМ а 0)

Ud1 = Ud o

2

к

к 1 + сов( а 0 + 5а • )

и к = и Л 0--------^----------- (' = 1,2)-

С учетом (6) и последних формул можно записать для ' = 1,2 т (С08( а 0) - С08( а 0 +5а к )) ( тА тк =

иЛ0-----------------2----------------= (1 - ТЛ')Ка .

Ввиду малости углов 6а;к отсюда находим

8Ш( а 0)5а к /т а Тг1 к ---------------

Ud o -------2------^ = (I2l - Idd-) Rd .

Умножая эти формулы на U A = U d o cos( a o ), получим

rr 2 sin(2a o)5a K = rA TA TK )= (7)

Ud o -------4--------= Ud 1(Id 1 - Idi )Rd . (7)

Правые части последних формул перепишем как © Проблемы энергетики, 2003, М ll-l2

loo

иА1 (тА1 - Тк )«л » (иЛА1 тлА1 - иИ, Тк )«Л .

Здесь мы принимаем во внимание то, что даже при значительных разностях (//1 - I £ ) соответствующая разность (- и $ ) мала из-за

следующего из общего уравнения вида (6) равенства

д/й / д и л = 1/Яа ,

то есть высокой чувствительности выбранного метода регулирования токов 1Л

благодаря малости ЯЛ

Наконец, учитывая малость потерь мощности во входных цепях

тт А т А тт к г к

инверторов, заменим произведения и л 11 л 1 и и ^ I на соответствующие

рА Рк

мощности Р1 и Р' .

Теперь из уравнений (7) мы окончательно получим = 4(Р1А - Р.к ) =

5а ' = -т-1------'----«л , (' = 1,2) . (8)

и</081п(2 а 0)

В этой записи уже учтено, что вместе с НЧ являются и 8а■ . Дробь,

стоящую перед в правой части, мы считаем в данном примере четкой величиной.

Рассмотрим практический случай, когда преобразователь работает непосредственно от сети 0.4 кВ и, следовательно, и<0 = 515 В, а мощность Р0 =100 кВт. В этом случае для ряда (4) имеем:

8= 151 = в= 3.02 =

5а 1 -------------Яа , 8а 2 - —---------------«й ,

віп( 2 а 0 ) я1п( 2 а 0 )

а для ряда (5)

5= 3.02 = 8= 4.52 =

5а 1 -------------«й , 5а 2 ------------------«й .

віп( 2а 0 ) віп( 2а 0 )

Нечеткие числа удобно представлять в стандартном виде и, в частности, в виде унимодальных ЬИ-чисел [2]. Такое число можно представить в виде тройки параметров А = (т, д1, д2), где т - мода НЧ, а д1 и д2 - левый и правый коэффициенты нечеткости. В таком виде арифметические действия с НЧ

определяются без труда. Нам необходимо выполнить умножение НЧ на

четкие множители, стоящие в правых частях последних формул.

Если = (т, д1, д2) , а 5а; -ст , где ст■ - упомянутые четкие множители, то в соответствии с правилами умножения унимодальных ЬИ-чисел

[2] 5а і = (о* т, о* ^1, о* м2).

Положим т = 0.005 Ом, м = 0.0025 , м2 = 0.02. Тогда график функции

принадлежности имеет вид, показанный на рис. 1. На рис. 2 приведены

соответствующие графики 5а 1 (1) и 5а 2 (2) для ряда (2) и 51 (2) и 5а 2 (3) для ряда (5) при а0 = 150.

Рис. 1. Функция принадлежности нечетного сопротивления Ял в цепи питания инверторов

Для применения изложенной методики помимо функций принадлежности

ц (5а() необходимо иметь модели операторов ^1 и $2 интересующих нас показателей - коэффициента несинусоидальности КН и коэффициента четных гармоник КН2 входного тока агрегированного преобразователя:

Кн = ^(а о, а 1, а 2), Кш = ^(ао, а1, а2).

Явные выражения операторов 81 и 82 имеют вид:

<Я да

кн = 2 8к / Sl , КН2 = 2 В2к / ,

к=1 к=1

где В к = д/ак + ь'к , причем для нечетных к

а к = 2еов( кп /6)((1 + А )еов( к а о) +

+ (1 + В1) еов( к а 1) + (1 + В 2) ео8( к а 2)) / к п,

Ьк = - 2 ео8( кп / 6) (А вт( к а о) + + В1 вт( к а 1) + В 2 вт( ка 2 )) / кп,

а для четных к

а к = 2вт( кп / 6) (- А вш( ка о) +

+ В1 вт( к а 1) + В 2 вт( ка 2)) / кп,

Ьк = 2вт( кп/6)( - (1 + А )еов( ка о) +

+ (1 + В1) еов( к а 1) + (1 + В 2) ео8( к а 2)) / к п.

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 5а,,рад

Рис. 2. Функции принадлежности нечетких составляющих углов управления а1

В этих формулах А, В1, В2 - средние значения токов, потребляемых

инверторами.

На рис. 3,а и 3,б приведены результаты расчетов НЧ К н и К н2 по формуле (1) для ряда (5), для которого А = 5, В1 = 3, В2 = 2. Учтено также, что для I = 1, 2

а » = а о + 5а » .

Графики функций принадлежности НЧ К н и К н2 даны для нескольких значений угла регулирования ао. Они характеризуют зависимость неопределенности в оценке качества кривой входного тока агрегированного преобразователя от неопределенности задания сопротивлений в цепи питания инверторов. Содержащаяся в них информация может быть представлена и с помощью понятия чувствительности в смысле формулы (3). На рис. 4 приведена

чувствительность 21(1) коэффициента несинусоидальности входного тока К н к неопределенности сопротивления Яа для тех же значений угла управления ао , что и на рис. 3.

а)

б)

Рис. 3. Графики функций принадлежности НЧ Кн (а) и Кн2 (б) входного тока агрегированного преобразователя при ао :1 - 5о; 2 - 1оо; 3 - 15о; 4 - 2оо; 5 - 25о; 6 - 3оо;

Рис.4 Чувствительность коэффициента несинусоидальности входного тока агрегированного преобразователя К„ к неопределенности задания сопротивления Rd. Обозначения как на рис. 3

Выводы

1. Для учета влияния малых трудно определяемых параметров на характеристики агрегированного преобразователя частоты разработана методика, основанная на использовании принципа обобщения теории нечетких множеств.

2. По разработанной методике осуществлена оценка качества кривой тока,

потребляемого из сети преобразователем, агрегированным из модулей разных мощностей, пропорциональных элементам определенной числовой

последовательности, обеспечивающей удобство модульной комплектации, например, числам Фибоначчи.

3. Получены функции принадлежности, характеризующие зависимость неопределенности коэффициента несинусоидальности КН и коэффициента четных гармоник КН2 входного тока агрегированного преобразователя, а также нечеткой чувствительности показателя КН от неопределенности задания сопротивления Rd в цепи питания инверторов при решении задачи обеспечения загрузки параллельно работающих модулей пропорционально их номинальным мощностям.

Summary

The method based on application of a principle of generalization of the theory of fuzzy sets, for the account of influence small, difficultly determined parameters on the characteristics of the aggregated converter of frequency is offered. The estimation of quality of a curve of a current consumed from a network by the converter is carried out. The function of belonging of fuzzy sensitivity of sine unwave factor from uncertainty of the task of resistance in power supply circuits of inverters is received.

Литература

1. Митяшин Н.П., Томашевский Ю.Б., Артюхов И.И. Адаптивные системы электроснабжения на базе агрегированных преобразователей частоты // Изв. вузов. Проблемы энергетики-2002.-№»5-6.-С.93-103.

2. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А.Поспелова - М.: Наука (гл. ред. физ.-мат. лит.), 1986.- 312с.

3. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского.- М: Наука (гл. ред. физ.-мат. лит.), 1987.- 712 с.

Поступила 26.02.2003