CC BY
80
удк 532.5; 536.255
ОЦЕНКА ВКЛАДА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ИЗМЕНЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ФИЛЬТРУЮЩЕЙСЯ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ЖИДКОСТИ
© В. М. Нагимов, А. Ш. Рамазанов*
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел./факс: +7 (347) 272 60 56.
*Email: ramaz@geotec.ru
На основе численного моделирования неизотермической однофазной фильтрации в насыщенной пористой среде с учетом конвективного переноса тепла, теплопроводности и баротермического эффекта получена оценка вклада теплопроводности среды в величину изменения температуры флюида. Важность исследования этого вопроса, с одной стороны, связана с определением границ применимости упрощенных аналитических моделей неизотермической фильтрации без учета теплопроводности среды и, с другой стороны, связана с оценкой требований к размерам ячеек сетки и к порядку аппроксимации производных при численном моделировании для корректного учета кондуктивного теплопереноса. Полученные результаты представляют интерес для специалистов, занимающихся разработкой математических моделей термогидродинамических процессов в нефтегазовых пластах и симуляторов для расчета полей давления и температуры в скважинах и пластах.
Ключевые слова: фильтрация, баротермический эффект, дросселирование, скважинная термометрия, конвективный теплоперенос, кондуктивный теплоперенос, численная модель, число Пекле.
Введение
Интерес к изменению температуры при фильтрации флюида в пористой среде связан, прежде всего, со скважинной термометрией. Малые изменения температуры флюида в десятые и сотые доли градуса, обусловленные эффектом Джоуля - Томсона и адиабатическим эффектом, уверенно регистрируются современными скважинными термометрами и позволяют решать многие практические задачи диагностики состояния скважины и пластов [1].
Одним из процессов, определяющих температурное поле пласта, является кондуктивный теплопе-ренос, определяемый теплопроводностью в насыщенной пористой среде. Часто полагают, что при наличии конвективного теплопереноса теплопроводностью в пласте можно пренебречь [2]. Многие известные математические модели так же не учитывают процесс теплопроводности в пласте [3, 4].
В работе А. И. Филиппова и А. Ш. Рамазанова [5] разработана аналитическая модель с учетом теплопроводности для плоскопараллельной однофазной фильтрации жидкости. По результатам расчетов сделан вывод о незначительном вкладе теплопроводности в изменение температуры жидкости вследствие проявления эффекта Джоуля - Томсона для чисел Пекле, больше 100.
В работе [6] А. В. Паршиным на основе численного моделирования выявлено значительное (до 200%) влияние радиальной теплопроводности на изменение температуры пласта в случае многофазной фильтрации с разгазированием нефти в пласте. По мнению автора, сильное влияние теплопроводности обуславливается в этом случае большим радиальным градиентом температуры в пласте в зоне разгазирова-ния нефти.
В работе [7] J. F. App и ^ Yoshioka исследовали стационарное температурное поле, обусловленное эффектом Джоуля - Томсона в нефтяном пласте при притоке жидкости в скважину с постоянным дебитом. Ими сделан вывод о значительном влиянии теплопроводности в слабопроницаемых пластах (малые скорости фильтрации). По их мнению, влияние теплопроводности должно приводить к малым дроссельным
температурным аномалиям в интервалах низкопроницаемых пластов даже в случае больших перепадов давления.
Если при интерпретации данных термометрии на качественном уровне допущение о незначительном влиянии теплопроводности на температурное поле пласта и приемлемо, то для количественной интерпретации термогидродинамических исследований переходных процессов требуется более тщательная оценка вклада теплопроводности в нестационарное температурное поле в пласте [11, 12].
В данной работе вклад радиальной теплопроводности в изменение температуры в случае однофазной фильтрации жидкости к скважине оценивается на численной модели расчета температурного поля для стационарного притока жидкости из пласта. Изменение температуры в пласте по пути движения жидкости обуславливается баротермическим эффектом и теплопроводностью.
Постановка задачи
Изменение температуры в насыщенном пористом пласте в случае однофазной фильтрации жидкости описывается известным уравнением переноса энергии [3]:
Ргчcrm —+ div(pfc-T) - • div(gradT) =
- , dp = -spfcfv • gradp + qmpcf —
Здесь p, c - плотность и удельная теплоемкость пласта (с индексом res) и флюида (с индексом f); m, Äres - пористость и теплопроводность насыщенного пласта; s, q - соответственно, Джоуля-Томсона и адиабатический коэффициенты для флюида.
Для оценки вклада радиальной теплопроводности в нестационарное температурное поле пласта с учетом баротермического эффекта для описания поля давления воспользуемся стационарной моделью притока жидкости с постоянным удельным дебитом q .
Такая модель хорошо описывает фильтрацию сла-босжимаемой жидкости в пласте, ограниченном круговым контуром питания, в котором быстро устанав-
ливается стационарный приток флюида после пуска скважины. Поле давления для однородного пласта с проницаемостью к имеет вид:
P(r ) = Pw +:
-In
ГгЛ
(2)
2лк / /
Здесь рш- давление в скважине, ^ - вязкость флюида.
Величина скорости фильтрации в пласте определяется как:
(r ) = "
vir
q о Im
(3)
Подставив (2) в (1) получаем следующую температурную задачу:
dT 1 d i s. 1 d ( dT \ dp
--1---(ruT) — a---1 r — \ = su--
dt r dr ^ ^ ^
=о, я -dT
' res ~
dr
1 dL\ dT
r dr l dr
= о, t = о
' lt = 0
dr
(4)
Здесь u(r) =
Pf cf
v(r) = c tv(r) - скорость конвективного
Prescres '
переноса тепла, м / сек ;
Я
a =-—— - коэффициент температуропроводности,
P res С res
2 /
м / сек .
T(r, t) - величина изменения температуры в пласте. С учетом (3) задача (4) принимает вид:
Согласно
dT 1 _d_
dt r dr l 2mr
Cstq0 Ji I _
1 d
— a---1 r-
r dr l dr
dT
1
4m2k / / r2
(5)
t| = о, я
lr = r
dT
dr
= о, T (r ,о) = о.
(5) на внешней границе области ге изменение температуры отсутствует, а на стенке скважины г„ отсутствует теплообмен со скважиной.
Решение
Задача решена численно. Для этого введена неравномерная сетка в интервале г, < г < г : юк = {г, г = 1..^} . В случае радиальной симметрии наилучшим выбором является пропорциональная сетка [8, 9] с коэффициентом пропорциональности
в = N-1— . Для данной сетки введены блоки с грани' r...
цами: r
— r.
= г ± - '11 '
Ввиду значительной не-
' ln(r'±i/ r') .
равномерности пропорциональной сетки для анализа
сходимости используется параметр плотности распо-N
ложения узлов г = —-т .
ЧП / С )
Использован постоянный шаг по времени Т . Для дискретизации по времени применена неявная схема. Аппроксимации каждого члена в уравнении (5) получены интегрированием внутри каждого блока. Для аппроксимации конвективного члена используется односторонняя разность против потока:
1 *.{ r
СЛо T \rdr = (T+1 — T)
(6)
г ш г дг ^ 2лг ) 2л
Для аппроксимации слагаемого теплопроводности используется центральная разность:
г+1/2 а д ( дТ '
[--1 г — |гdг =
, г дг I дг
dT
dr
'+1/2
T — T L '+1 L '
dT
dr
(7)
T — T
+1/ 2 . 7-1/2 .
Дг. Дг. ,
-1
Источниковый член в уравнении (5) после интегрирования имеет вид:
о
1
rdr =
ln
(r \
''+1/2
(8)
4л к / / г2 4 л к / /и
Ввиду выбора односторонней разности при аппроксимации конвективного слагаемого локальный порядок аппроксимации схемы равен О (т, и) , где И = тах Дг . Схема является монотонной и консерва-
0<7< N
тивной.
Оценка сходимости схемы проведена сравнением численных расчетов с результатами расчета по известным аналитическим моделям.
Для этого использованы:
1) формула Чекалюка для модели жесткого пласта без учета теплопроводности при работе скважины с постоянным дебитом [3]
( .. + \
То к, t ) = -
-ln
1 + С.
qоt
(9)
4лк / /
2)решение задачи об остывании бесконечного цилиндра с радиусом К в однородной среде за счет радиальной теплопроводности [10]
То (о, t ) = 1 —
exp
4at
(10)
3)известное решение из [7] в стационарном случае для изменения температуры на стенке скважины за счет эффекта Джоуля - Томсона и теплопроводности:
Т = JT о Pe - ln(reD )
r
(r-p — 1)+ JT (11)
Здесь reB = — - отношение радиусов,
jT ^оЧ^) 2mk / /
максимальное изменение темпера-
i—1/2
r=r
= a
r
—r
r
w
туры за счет эффекта Джоуля-Томсона,
иг с а Ре = — = —:— - число Пекле. а 2т
Анализ сходимости показывает, что удовлетворительный расчет с погрешностью порядка 0.001 0С достигается при использовании сетки плотностью />1000 и с шагом по времени не более 0.1 сек. Для малых чисел Пекле необходимо увеличивать плотность сетки. Для числа Пекле Pe=0.2 плотность сетки была взята z=25000. Относительная разность тестовых расчетов по аналитическим моделям и на численной модели не превысила 2%.
Оценка вклада теплопроводности
Для оценки вклада теплопроводности на численной модели был проведен расчет с учетом и без учета теплопроводности для различных чисел Пекле. Использовалась сетка с плотностью z = 2500, шаг по времени был равен 0.1 с.
Параметры флюида и пласта: Пористость т = 0.2
Температуропроводность а = 9.2 -10—7 м /с
Проницаемость к = 100 мД Вязкость ц = 3 сП
Коэффициент Джоуля-Томсона £ = 0.04 К / атм Радиус контура питания г = 50 м Радиус скважины г = 0.1м Массив значений удельного дебита а = {100;10;5;1} м2/ сут
На рис. 1 и 2 представлены абсолютные и относительные разности температур с учетом и без учета теплопроводности для различных чисел Пекле.
характерных средних значений коэффициента теплопроводности пласта в пределах Л = (2.2 — 2.3 ) ■ Вт
Рис 1. Разность температур с учетом и без учета теплопроводности пласта для различных чисел Пекле.
Выводы
Расчеты показывают, что в случае стационарного притока жидкости в скважину во всем рассматриваемом диапазоне чисел Пекле абсолютная разность между изменением температуры с учетом и без учета радиальной теплопроводности пласта не превышает 0.01 °С. При числах Пекле менее 10 относительная разность между изменением температуры с учетом и без учета радиальной теплопроводности больше 10%, но при этом абсолютная разность не превышает 0.01 °С. Для
м - К
при удельном дебите пластовой жидкости более 10 м2/сут вклад радиальной теплопроводности на величину полного разогрева жидкости на стенке скважины не превышает 10%, оставаясь менее 0.01 °С по абсолютной величине.
Рис 2. Относительная разность температур с учетом и без учета теплопроводности для различных чисел Пекле.
ЛИТЕРАТУРА
1. Valiullin R. A., Ramazanov A. Sh., Pimenov V. P., Shara-futdinov R. F, Sadretdinov A. A. Qualitative and Quantitative Interpretation: The State of the Art in Temperature Logging. Paper SPE 127854, 2010.
2. Hasan A. R., Kabir C. S. Fluid Flow and Heat Transfer in Wellbores. SPE, Texas 2002. 112 c.
3. Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965. 238 с.
4. Рамазанов А. Ш., Паршин А. В. Нестационарное температурное поле в пористой среде при фильтрации газированной нефти и воды. // Вестник Башкирского университета, 2007. №1. С. 16-18.
5. Филиппов А. И., Рамазанов А. Ш. К расчету теплового поля дроссельного элемента установки для изучения эффекта Джоуля-Томсона // ИФЖ, 1980. Т. 38. №>2. С. 318-324.
6. Паршин А. В. Исследование нестационарных температурных полей в нефтегазовых пластах применительно к термометрии скважин: дис. .. канд. тех. наук. Уфа, 2012.
7. App J. F., Yoshioka K.. Impact of Reservoir Permeability on Flowing Sandface Temperatures: Dimensionless Analysis // SPE 146951. Paper was prepared for presentation at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Denver, Colorado, USA, 30 October - 2 November 2011.
8. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: «Недра», 1982. 411с.
9. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: «Наука», 1971. 552 с.
10. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.
11. Рамазанов А. Ш., Валиуллин Р. А., Садретдинов А. А., Ша-ко В. В., Пименов В. П., Федоров В. Н., Белов К. В. Термогидродинамические исследования в скважине для определения параметров прискважинной зоны пласта и дебитов многопластовой системы. SPE 136256-RU, 2010, 23 с.
12. Валиуллин Р. А., Рамазанов А. Ш., Садретдинов А. А., Ша-рафутдинов Р. Ф., Шако В. В., Сидорова М., Крючатов Д. Н. Количественная интерпретация нестационарных температурных данных в многопластовой скважине на основе температурных симуляторов. SPE 171233-RU, 2014. 24 с.
Поступила в редакцию 29.04.2015 г.
EVALUATION OF THE CONTRIBUTION OF CONDUCTIVITY HEAT TRANSFER TO TEMPERATURE CHANGE DURING LIQUID FLOW IN A POROUS MEDIUM
© V. M. Nagimov, A. Sh. Ramazanov*
Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 276 60 56.
*Email: ramaz@geotec.ru
High concern over fluid temperature in porous media has been first brought by wellbore temperature logging. Small temperature perturbations of one or two decimals of degree Celsius caused by Joule-Thomson and adiabatic effects can be precisely measured by modern temperature sensors. It allows using temperature logging as an effective tool to assess well integrity and reservoir condition. One of the processes that affects fluid temperature during flow through porous media is conductive heat transfer. Some of the investigations that contribute to studying fluid flow through porous media neglected the thermal conductivity in case of convection. A few well-known mathematical models also did not take conductive heat transfer into account. Different authors developed studies to estimate contribution of conductive heat transfer to the total temperature change and came up with different criteria for Peclet number. It shows an importance of precise assessment of conductive heat transfer impact on fluid temperature with regard to quantitative analysis of temperature data. The study of how the conductive heat transfer contributes to temperature changes during liquid flow through porous media is described in the paper. The results of this study are based on numerical modelling of singlephase steady-state fluid flow. A finite-difference method of implicit mode was employed in the numerical model. A proportional grid and constant time step were also used. The convective heat transfer was approximated using upwind scheme while the conductive heat transfer was approximated using central difference scheme. The scheme convergence estimation has been performed by comparison of numerical results with well-known analytical models. This analysis also shows the preferable grid size and time step for precise fluid temperature calculation. The results show temperature deviations not exceeding 0.01 "Y °C for a wide variation of the Pe-clet number. For Peclet number less than 10, the relative temperature difference exceeds 10%. For conventional sandstone formations
having thermal conductivity at X = (2.2 - 2.3 ) Wt in case of specific rates more than 10 m2/d, an impact of radial thermal con-
m ■ K
ductivity on Joule-Thomson heating is less than 10% and less than 0.01 °C of total difference.
Keywords: fluid flow through porous media, barothermal effect, Joule-Thomson effect, temperature surveys in oil wells, con-vective heat transfer, conductive heat transfer, numerical model, Peclet number.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Valiullin R. A., Ramazanov A. Sh., Pimenov V. P., Sharafutdinov R. F, Sadretdinov A. A. Qualitative and Quantitative Interpretation: The State of the Art in Temperature Logging. Paper SPp. 127854, 2010.
2. Hasan A. R., Kabir C. S. Fluid Flow and Heat Transfer in Wellbores. SPE, Texas 2002. 112 c.
3. Chekalyuk E. B. Termodinamika neftyanogo plasta [Thermodynamics of oil reservoir]. Moscow: Nedra, 1965.
4. Ramazanov A. Sh., Parshin A. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta, 2007. No. 1. Pp. 16-18.
5. Filippov A. I., Ramazanov A. Sh. IFZh, 1980. Vol. 38. No. 2. Pp. 318-324.
6. Parshin A. V. Issledovanie nestatsionarnykh temperaturnykh polei v neftegazovykh plastakh primenitel'no k termometrii skvazhin: dis. .. kand. tekh. nauk. Ufa, 2012.
7. App J. F., Yoshioka K.. Impact of Reservoir Permeability on Flowing Sandface Temperatures: Dimensionless Analysis. SPp. 146951. Paper was prepared for presentation at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Denver, Colorado, USA, 30 October - 2 November 2011.
8. Aziz Kh., Settari E. Matematicheskoe modelirovanie plastovykh system [Mathematical modeling of reservoir systems]. Moscow: «Nedra», 1982. 411s.
9. Samarskii A. A. Vvedenie v teoriyu raznostnykh skhem [Introduction to the theory of difference schemes]. Moscow: «Nauka», 1971.
10. Lykov A. V. Teoriya teploprovodnosti [The theory of thermal conductivity]. Moscow: Vysshaya shkola, 1967.
11. Ramazanov A. Sh., Valiullin R. A., Sadretdinov A. A., Shako V. V., Pimenov V. P., Fedorov V. N., Belov K. V. Termogidrodinamiches-kie issledovaniya v skvazhine dlya opredeleniya parametrov priskvazhinnoi zony plasta i debitov mnogoplastovoi sistemy. SPp. 136256-RU, 2010,
12. Valiullin R. A., Ramazanov A. Sh., Sadretdinov A. A., Sharafutdinov R. F., Shako V. V., Sidorova M., Kryuchatov D. N. Kolichestven-naya interpretatsiya nestatsionarnykh temperaturnykh dannykh v mnogoplastovoi skvazhine na osnove temperaturnykh simulyatorov. SPp. 171233-RU, 2014.
Received 29.04.2015.
