Нестационарное температурное поле при фильтрации жидкости в неоднородном пласте Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.5

раздел МАТЕМАТИКА

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В НЕОДНОРОДНОМ ПЛАСТЕ

© Д. Ф. Исламов*, А. Ш. Рамазанов

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 272 60 56.

*Етай: islamovden@rambler.ru

Работа посвящена математическому моделированию неизотермической фильтрации жидкости в неоднородном пласте с учетом теплопроводности и баротермического эффекта. Актуальность исследований по данной научной проблеме вызвана с переходом в методе температурных исследований на уровень количественной интерпретации измерений, с определением параметров пластов и флюида по температурным измерениям в стволе скважины. Разработана и исследована численная модель, дискретизация осуществлена методом контрольного объема. Корректность численного решения проверена путем сравнения с известными аналитическими решениями, а также путем сравнения с результатами моделирования в стороннем программном пакете.

Ключевые слова: температура, давление, фильтрация, конвекция, теплопроводность, баротермический эффект, пласт, скважина, численная модель.

Введение

Одним из информативных методов при решении задач диагностики состояния пластов и скважины, а также при прогнозировании процессов разработки нефтяных месторождений, является термометрия. Для регистрации малых температурных изменений, обусловленных баротермическим эффектом при фильтрации флюидов используются термометры с разрешением в 0.01К. В настоящее время известны математические модели для расчета температуры в однородном пласте с учетом термодинамических эффектов, полученные для частных случаев изменения давления в скважине и постоянного дебита флюида из пласта [6]. Этих моделей было достаточно для интерпретации температурных измерений в скважинах на качественном уровне. Но для решения практических задач на производстве с количественной интерпретацией данных термометрии требуются модели, описывающие изменение температуры во времени для переходных режимов при испытании скважины и изменении дебита [1, 2, 4, 5]. Еще одним требованием к современным температурным моделям является учет большего количества параметров, в частности учет параметров, характеризующих загрязненность при-скважинной зоны пласта.

Представленная работа направлена на изучение закономерностей пространственно-временного распределения температурного поля нефтяного пласта, основываясь на численном моделировании однофазной фильтрации жидкости в неоднородной пористой среде с учетом теплопроводности в радиальном направлении и баротермического эффекта.

Постановка задачи

Модель представляет собой численную модель термогидродинамического процесса одномерной осесимметричной неизотермической фильтрации в

пласте. Неизотермичность фильтрации обуславливается теплопроводностью в радиальном направлении и баротермическим эффектом.

Допущения для пласта: пористый, неоднородный по проницаемости, горизонтальный, толщина постоянная, жидкость в пласте однофазная.

Изменение температуры в пласте за счет конвекции, теплопроводности и баротермического эффекта описывается следующим уравнением [8]:

- Сг е V ф С ^ (1)

где Сге:1, Су - объемные теплоемкости пласта и флюида, Дж/(м3К); Т - температура, К; г - радиальная координата, расстояние в пласте от оси скважины, м; / - время, с; V - скорость фильтрации флюида, м/с; X - теплопроводность пласта, Вт/(м К); е, п - коэффициент Джоуля-Томсона и адиабатический коэффициент для флюида, К/Па; ф - пористость пласта, д. ед.; р - давление, Па.

В начальный момент времени температура в пласте везде одинакова:

Т (г,0) = Тгое5 (2)

Условие на внешней границе:

(3)

Я - радиус контура питания пласта, м; -начальная температура в пласте, К.

Граничное условие на стенке скважины (г=г„):

-ХЩ =а(Тш{1)-Т\г=Гк) (4)

огIг=гк

здесь Т„- средняя по сечению температура в стволе скважины, К; а - коэффициент теплообмена между жидкостью в стволе скважины и стенкой скважины, Вт/(м2К).

Для описания поля давления в пласте воспользуемся одномерным уравнением пьезопроводности для случая осевой симметрии [7]:

_ ,др = 1д_( г!«г2дР) (5)

" д£ гдг( л дг) ( )

р* = <ррг + Р5к (6)

где в - общая сжимаемость (упругоемкость) насыщенного жидкостью пласта, 1/Па; в, в*- сжимаемость флюида и скелета пласта, 1/Па; г - расстояние вдоль пласта от оси скважины, м; к - проницаемость пласта, м2; 1 - вязкость флюида, Пас.

В начальный момент времени давление в пласте везде одинаково и равно начальному пластовому, а на внешней границе оно поддерживается постоянно:

р (г,0) = РГ%8 (7)

р (И ,1) = Рг0е5 (8)

Граничное условие на стенке скважины учитывает наличие поверхностного скин-фактора и выглядит следующим образом:

р™ (ъ = р (гш,Ь)-5(гд£) (9)

где рК - забойное давление, давление в стволе скважине, Па; - радиус скважины, м; - скин-фактор на границе между скважиной и пластом.

Забойное давление в начальный момент времени:

р™ (0) = Р° (10)

Переходной процесс для давления в стволе скважины моделируется следующим уравнением:

^ (11)

дг у '

Q(t) = 2n(ra(r)d£)

-С.

здесь Q - дебит скважины, м/с; с - коэффициент гидропроводности пласта, м3/Пас; С, - параметр

влияния ствола скважины, м3/Па.

k(r)h М

(12)

а (г) =

к - толщина пласта, м.

В итоге имеем следующую математическую модель, которую условно можно разделить на две задачи, для температуры и давления:

С -+Се

res dt ^

v(r ¿ЛЁГ = ¿iL(г—) -

' дг г дг V дг)

Т(г, 0) = Гг!>, T(R,t) = Tr°es

(13)

= «(JwOO - T\r=rw)

дг

Необходимые у(г,() и р(г,1) находятся из решения краевой задачи пьезопроводности:

др _ 1 д ( к{г) дЬ г дг V /г дг/

р(г, 0) = Р°е8

р(д, о = р°е5 р™ (р) = р (г™,Ь)-з(гд£) (14)

рЛ 0) =

[,(0 = 2

Решение

Задачи (13) и (14) решались численно, методом контрольных объемов с использованием разностной схемы против потока [3, 7]. Сетка по координате неравномерная. Координаты контрольных объемов свя-

заны соотношение: гь = вгь_в = (—) " 1 (Я - радиан*'

ус контура питания пласта, / - индекс узловой точки контрольного объема, N - количество узлов) [2].

Тестирование

Корректность численного расчета проверена путем сравнения с известным аналитическим решением, а также путем сравнения с результатами моделирования в стороннем программном пакете.

Аналитическая модель Э. Б. Чекалюка для случая постоянного отбора жидкости из неограниченного по простиранию однородного пласта [8].

AT = -е

±2-

47Г kk

X

Г] =

Е (fA _(1 + .

1 \4xtJ V £ /

х ег ^ +

а = 1 С/ Q

(15)

Ег (х) = £е—й (16)

Относительная разность расчетов не превышает 5%.

1. Оценка вклада адиабатического эффекта

Для исследования модели был смоделирован случай отбора чистой нефти из однородного пласта с постоянным дебитом.

Параметры моделирования: время моделирования и шаг по времени: 100 часов, 1 с; радиус скважины 0.1 м; радиус контура питания пласта 10 м; дебит на устье скважины 1000 м3/сут; коэффициент влияния ствола скважины 0 м3/Па; начальное давление в скважине и в пласте 2 107Па; начальная температура в пласте 0 К; проницаемость пласта 0.1Д; пористость пласта 0.2; толщина пласта 7 м; сжимаемости скелета пласта и жидкости, соответственно, 1е-10, 1е-9 1/Па; вязкость флюида 1сПз; теплопроводность пласта 1.5 Вт/мК; коэффициенты Джоуля-Томсона и адиабатический для нефти: 4-10-7, 1.4-10-7 К/Па; удельные теплоемкости скелета пласта и нефти 800 и 2000 Дж/кгК; плотность скелета пласта и нефти 2200 и 900 кг/м3.

На рис. 1 представлены результаты расчетов. Сильное влияние адиабатического эффекта сказывается в течение 24 часов после пуска скважины, затем это влияние не превышает 1%.

2. Оценка вклада радиальной теплопроводности

Параметры моделирования соответствуют задаче 1, за исключением теплопроводности пласта и дебита скважины (он равен 100 м3/сут).

На рис. 2 представлены результаты расчетов для четырех значений теплопроводности пласта. Видно, что радиальная теплопроводность по сравнению с конвективным теплопереносом незначительно влияет на температурное поле. Разница между случаями без учета теплопроводности и с Х=3 Вт/мК составляет 2% или 0.005 К.

0.01

0.1

1

t, часы

10

100

Рис. 1. Изменение температуры на выходе из пласта при

наличии и отсутствии адиабатического эффекта (1 - с учетом адиабатического эффекта, 2 - без учета адиабатического эффекта).

0.38

0.375

0.37 1-

Ь 0.365 . 0.36

У,

90

92

94

96

98

100

t, часы

■ 1=0 Вт/м*К---1=1 Вт/м*К

1=2 Вт/м*К •

1=3 Вт/м*К

Рис. 2. Графики изменения температуры на выходе из пласта для различных значений теплопроводности пласта.

3. Оценка влияния нарушения проницаемости пласта на нестационарную температуру притока

Для исследования температурного поля в пласте с нарушенной зоной вблизи скважины был решен ряд прямых и обратных задач. Результатом решения прямой задачи является изменение температуры на выходе из пласта при различных значениях радиуса нарушенной зоны га.

Параметры моделирования: время моделирования 10 часов, шаг по времени 1 с; радиус контура питания пласта 100 м; проницаемость пластав зоне нарушения г^г^ равна 10мД и в пласте для ^<г<Я составляет 100мД.

Как видно из рис. 3, на кривых изменения температуры в полулогарифмических координатах проявляется излом, который характеризуется радиусом нарушенной зоны пласта. Чтобы доказать, что излом на кривой несет информацию о радиусе нарушенной зоны пласта, решена обратная задача (ОЗ).

Для решения обратной задачи воспользуемся формулой для радиуса термозондирования пласта [8] и следующим алгоритмом:

rd

Сгр.Ч nh

(17)

2.75 2.25 й 1.75 f 1.25

S-

Ь 0.75 0.25

-0.25

0.001

0.01

■ без нарушения п!=0.5т

0.1 t, часы

10

• rd=0.2m •rd=1m

Рис. 3. Изменение температуры на выходе из пласта в полулогарифмических координатах для различных значений радиуса нарушенной зоны пласта.

Необходимо провести две касательные к кривой изменения температуры на прямолинейных участках кривой до и после излома.

По точке пересечения касательных определить время.

Подставляя найденное время в формулу (17) вычислить радиус нарушенной зоны пласта.

Рис. 4. Иллюстрация определения радиуса зоны нарушения пласта по кривой изменения температуры во времени в полулогарифмических координатах (га=0.2 м).

Таблица 1

Результаты определения по температуре

№ О заданное зна- rd найденное из реше- Ага

чение, м ния ОЗ, м м

0.2 0.5 1

0.195 0.458 0.923

0.005 0.042 0.077

Как видно из табл. 1, разработанная математическая модель пригодна для оценки радиуса нарушенной зоны пласта. Погрешность определения радиуса нарушенной зоны по нестационарной температуре не превышает 10%.

2

Выводы

Решена задача о температурном поле в неоднородном пласте с учетом конвекции, теплопроводности и баротермического эффекта.

Разработан численный алгоритм для расчета изменения температуры в пласте и на стенке скважины.

Корректность алгоритма проверена путем 4.

сравнения с известным аналитическим решением, а также путем сравнения с результатами моделирования в стороннем программном пакете.

Данную модель можно использовать: 5.

для расчета изменения температуры на стенке скважины при известных истории изменения дебита и параметрах пласта;

для решения обратной задачи - определения па- 6.

раметров пласта по данным об изменении температуры на стенке скважины и истории изменения дебита. 7.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котляр Л. А. Математическое моделирование и интерпретация нестационарных термогидродинамических процессов в системе скважина-пласт: диссертация на соискание

ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 2013. 145 с.

Нагимов В. М., Рамазанов А. Ш. Оценка вклада теплопроводности в изменение температуры фильтрующейся в пористой среде жидкости// Вестник Башкирского университета. 2015. №2. С. 413-416.

Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: ИздательствоМЭИ, 2003. 312 с.

Рамазанов А. Ш., Нагимов В. М. Аналитическая модель для расчета температурного поля в нефтяном пласте при нестационарном притоке жидкости // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». www.ogbus.ru. 2007. №1. С. 1-9.

Рамазанов А. Ш., Нагимов В. М., Ахметов Р. К. Температурное поле в пласте с учетом термодинамических эффектов при работе скважины с переменным дебитом // Электронный научный журнал «Нефтегазовое дело». www.ogbus.ru. 2013. №1. С. 527-538. Рамазанов А. Ш., Шарипов А. М., Нагимов В. М. Аналитические модели для диагностики гидроразрыва пласта по данным термогидродинамических исследований. // НТВ «Каротажник», 2014. вып. 9. С. 77-82. Садретдинов А. А. Неизотермическая фильтрация сжимаемого флюида в системе скважина-пласт: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа, 2012. 125 с. Чекалюк Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965. 238 с.

Поступила в редакцию 21.01.2016 г. Посте доработки - 21.02.2016 г.

NON-STATIONARY TEMPERATURE FIELD IN THE PROCESS OF FILTRATION OF LIQUID IN HETEROGENEOUS RESERVOIR

© D. F. Islamov*, A. Sh. Ramazanov

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 272 60 56.

*Email: islamovden@rambler.ru

The article is devoted to mathematical modeling of non-isothermal liquid flow in heterogeneous reservoir. The considered model takes into account such characteristics of the process as heat conductivity and barothermal effect. The relevance of scientific research on this problem is bounded with the transition in the method of temperature studies to the quantitative interpretation of the measurements, determination of reservoir parameters and fluid temperature measurements in the wellbore. A numerical model of the filtration process was developed and studied. Discretization was carried out using the method of control volume.

The correctness of the numerical solution was verified by comparing the results with the known analytical solutions and also by comparison with the simulation results calculated by a third-party software package.

Keywords: temperature, pressure, filtration, convection, heat conduction, barothermal effect, reservoir, well, numerical model.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Kotlyar L. A. Matematicheskoe modelirovanie i interpretatsiya nestatsionarnykh termogidrodinamicheskikh protsessov v sisteme skvazhina-plast: dissertatsiya na soiskanie uchenoi stepeni kandidata fiziko-matematicheskikh nauk. Moscow, 2013.

2. Nagimov V. M., Ramazanov A. Sh. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2015. No. 2. Pp. 413-416.

3. Patankar S. V.Chislennoe reshenie zadach teploprovodnosti i konvektivnogo teploobmena pri techenii v kanalakh [Numerical solution of problems of heat conduction and convective heat transfer in the flow in the channels]. Moscow: Izdatel'stvoMEI, 2003.

4. Ramazanov A. Sh., Nagimov V. M. Elektronnyi nauchnyi zhurnal «Neftegazovoe delo». www.ogbus.ru. 2007. No. 1. Pp. 1-9.

5. Ramazanov A. Sh., Nagimov V. M., Akhmetov R. K. Elektronnyi nauchnyi zhurnal «Neftegazovoe delo». www.ogbus.ru. 2013. No. 1. Pp. 527-538.

6. Ramazanov A. Sh., Sharipov A. M., Nagimov V. M. NTV «Karotazhnik», 2014. vyp. 9. Pp. 77-82.

7. Sadretdinov A. A. Neizotermicheskaya fil'tratsiya szhimaemogo flyuida v sisteme skvazhina-plast: dissertatsiya na soiskanie uchenoi stepeni kandidata fiziko-matematicheskikh nauk. Ufa, 2012.

8. Chekalyuk E. B. Termodinamika neftyanogo plasta [Thermodynamics of oil reservoir]. Moscow: Nedra, 1965.

Received 21.01.2016. Revised 21.02.2016.