CC BY
9
Машиностроение U компьютерные технологии
Сетевое научное издание
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278
Ссылка на статью:
// Машиностроение и компьютерные технологии. 2018. № 10. С. 1-15.
DOI: 10.24108/1018.0001432
Представлена в редакцию: 24.09.2018
© НП «НЭИКОН»
УДК 629.113.(075.8)
Оценка вибрационной безопасности автомобиля во временной области
Жеглов Л.Ф.1*, Фоминых А.Б.1
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В представленной работе решается задача создания методики определения и анализа спектральных характеристик системы виброизоляции автомобиля с целью оценки показателей вибрационной безопасности. Математическое моделирование нелинейной системы виброизоляции автомобиля осуществляется во временной области. Последующая трансформация результатов расчета в частотную область проводится, применяя финитное преобразование Фурье. При моделировании входных случайных возмущений при условии адекватности получения решений используются рекуррентные разностные уравнения. В качестве анализируемых характеристик рассматриваются: функция когерентности, амплитудно-частотная характеристика, спектральная плотность возмущения и выходного вибросигнала, нагрузочные характеристики устройств подвески автомобиля и шины. Представлено сравнение выходных характеристик рассматриваемой динамической системы для случая линейной, линеаризованной и нелинейной постановки задачи.
Ключевые слова: линейная система; линеаризованная система; нелинейная система; вибросигнал; случайный процесс; нелинейная характеристика; рекуррентное разностное уравнение; резонансная частота; функция когерентности; амплитудно-частотная характеристика; спектральная плотность мощности; интегральная оценка; раздельно-частотная оценка
Введение
В данном случае рассматривается методика решения задачи пространственных колебаний автомобиля с нелинейной системой виброизоляции во временной области. Ранее аналогичная задача была решена в частотной области, используя четыре известных метода статистической линеаризации [1, 2, 3]. Результаты расчетов сопоставляются с решениями данной задачи в частотной области для выбора метода статистической линеаризации. Для подтверждения адекватности получаемых данных проводится тестирование динамической системы по результатам расчетов анализируемых характеристик в частотной и временной областях [4, 5, 6]. Однозначность получаемых результатов обеспечивается оценкой точности определения рассматриваемых спектральных характеристик динамической системы.
1. Математическая модель нелинейной системы виброизоляции
Для решения данной задачи рассматривается динамическая система [2], эквивалентная системам подрессоривания и виброизоляции агрегатов и конструкций автомобиля (рис.1).
В качестве обобщенных координат приняты: перемещения центра масс и угловые перемещения в продольной и поперечной плоскостях относительно осей, проходящих через центр масс соответственно систем I, II, III и V. Каждая система IV и VI имеют одну степень свободы - вертикальные перемещения их центра масс. На основе предлагаемого алгоритма при первом этапе решения рассматриваемой задачи было проведено тестирование созданной программы (универсальная математическая система МаШсаё 14.0) расчетов анализируемых спектральных функций и показателей.
Рис.1. Схема динамической системы, эквивалентная системе виброизоляции автомобиля: I - кузов, II - силовой агрегат, III - кабина, IV - сиденье^ - несущая система, VI - неподрессоренная масса;
1, 2, 3, 4, 5, 6 - элементы (упругий и демпфирующий) структуры виброизоляции соответственно кузова, силового агрегата, кабины, сиденья, несущей системы и шины
При выводе уравнений движения динамической системы в данном случае использовался принцип Даламбера. Это позволяет достаточно просто модульно - для каждого динамического блока (таких блоков 9), провести операции записи уравнений движения и общей системы дифференциальных уравнений движения. В качестве примера рассмотрим блок - силовой агрегат, поэтапно:
- уравнения прогибов системы виброизоляции:
^15(х) = {[х0 + ('дв1 + 'дв2 + + ®дв1 ха] ~ (х18 + 'дв1х20 + ®дв1х22)};
Д 1 6 (х) = { [х0 + Ь Х2 + Вдв х Х4 ] — 8 — /дв 2Х2 о + —дв 1 х2 2 ) } ; Д 1 7 (х) = { [х0 + ( 'дв 1 + 'дв 2 + Ь ) х2 — —дв2 х4] — (х1 8 + 'дв 1 х2 0 — —дв2 х2 2 ) } ; ^18 (х) = {[х0 + ^х2 — ®дв2 х4] — (х18 — 'дв2х20 — ®дв2х22)}<
- уравнения скорости прогибов системы виброизоляции:
(х) = {[х1 + 0дв1 + ^дв2 + Ь)х3 + 5дв1 Х5] — (х19 + ¿дВ1х21 + Дцв1х2з)}; ¿Д16(х) = {[хх + Ьх3 + 5дв1 х5] - (х19 'дв 2 х 2 1 + -дв 1 х2 3) } ; С*Д ! 7 ф = { [х1 + ( 'дв 1 + 'дв 2 + Ь ) хз — 5дв 2 х5 ] — (х1 9 + 'дв 1 х2 1 — 5дв2 х2 з) } 4 Д х 8 (V) = { [х1 + ь хз — 5дв 2 х5 ] — (х1 9 — 'дв2 х2 1 — —дв 2х2 3) } ,
где х0,х2 ,х4 , х1 8 , х2 0,х2 2 — обобщенные координаты несущей системы и силового агрегата;
х-^ ,х3 , х 5, х1 9, х2 1(х2 3 — скорость обобщенных координат несущей системы и силового агрегата;
О), О), прогибы виброизоляторов силового агрегата;
скорости прогибов виброизоляторов силового агрегата;
расстояния от центра масс силовой установки до виброизоляторов в продольной, поперечной плоскостях соответственно и от переднего виброизолятора до центра масс несущей системы.
Определяем суммарные силы от упругих и демпфирующих оставляющих виброизоляторов, действующие на силовой агрегат согласно равенствам:
^15[Л15(х).^Д15(х)] = СДВ1А15(х) +/СдВ1СгД15(х);
^1б[Л1б(х).^Д16(х)] = сдв2Д16(х) +/сдв2сгд16(х); ^517[Д17(х).^17(х)] = Сдв3Д17(х) + /сдв3сгд17(х);
^518[^18(х)'^^18(х)] = сдв4^18(х) + ^дв4^^18(х)'
где сдв ¿, /сдв I — коэффициенты жесткости и демпфирования 1-го виброизолятора силового агрегата.
Тогда для данного блока имеем следующую систему дифференциальных уравнений:
С^Х^д
= ^15[Д15(Х).^15(Х)] + ^1б[Л1б(х).^Л1б(х) + Р517[Д17(х),сгД17(х)]
+ ^518[Д18(х). ^18(х)];
/дву-^р- = Р515[Д15(х).^15(х)] ¿дв1 - Р516[Д16(Х)^Д16(Х)]/ДВ2
+ ^517[Д17(х).^Д17(х)]^дв1 - ^518[Д18(х).^Д18(х)]^ДВ2;
7Д *У~Ж = Р^5[Д15(х), ЙД15(х)]5дв1 + Р51б[Д1б(х), ЙД1б(х)]5дв1
- ^17[Д17(х).^17(Х)]5дв2 -^18[Д18(х).^18(Х)]5ДВ2. где масса силового агрегата, моменты инерции относительно попе-
речной и продольной осей проходящих через центр масс силового агрегата.
Поступая аналогичным образом, получаем для каждого блока систему дифференциальных уравнений, которые далее объединяя, получаем общую систему дифференциальных уравнений.
Следующим этапом решения данной задачи является создание математической модели кинематического возмущения от микропрофиля дорожной поверхности [7]. Как было показано [2, 8, 9, 10], уравнение во временной области формирующего фильтра для задания возмущения основано на факторизации его частотных характеристик при входном вибросигнале белый шум. При решении данной задачи, в этом случае, уравнения формирующих фильтров целесообразно представить в виде рекуррентных разностных уравнений [11].
Для случая задания корреляционной функции возмущения в виде
= Оче~аМ сов(Зт,
где Бц, а, р, т —дисперсия, коэффициенты аппроксимации, сдвиг независимой переменной, рекуррентное разностное уравнение формирующего фильтра имеет вид
Чк = а0хк + а1хк-1 ~ — Ъ2Цк-2>
где чк, хк - выходной и входной вибросигналы; а0, а1, Ъ1, Ъ2 - аналитические коэффициенты моделирующего алгоритма; к - номер точки временной реализации.
Взаимосвязь между возмущением по левой и правой колеями определяется коэффициентом корреляции [12, 13]. Исходя из этого, проводим определение уравнения формирующего фильтра, характеризующего данную взаимосвязь во временной области. Делая допущение об эквивалентности взаимной спектральной плотности возмущений по двум колеям и спектральной плотности возмущения по правой колее, после факторизации получаем частотную характеристику формирующего фильтра
кв пра
НрЦш) = , , . ,К = > р кв+)ш Ва
где } - мнимая единица; ш - круговая частота; п - коэффициент аппроксимации; ра - скорость движения автомобиля; Ва- колея автомобиля.
Данной частотной характеристике соответствует следующее уравнение формирующего фильтра для генерирования возмущения по правой колее
йаШ)
Тогда рекуррентное разностное уравнение формирующего фильтра для определения возмущения по правой колее при известном возмущении по левой колее имеет вид ц1к = а01цк + - Ьо^г^, при ц10 = 0, = 0,
где
_ 0.5АТкв _ 0.5Д77св-1 _
Й01 " 0.5АТкв + 1 'Ьо1 ~ 0.5АТкв + 1 'й11 " ао1"
Окончательно возмущение по правой и левой колее определяем с учетом сглаживающей способности шины. В этом случае уравнение формирующего фильтра, соответствующее его частотной характеристики [12, 13] имеет вид
(Осг
НшО0)) - , , I , > Чт -
сг 0.3,/н^'
где и .Ош - высота профиля и наружный диаметр шины. Тогда для левой колеи (аналогично для правой) искомое уравнение имеет вид
йг
+ шсгц 3(0 = шсгц 1(0.
dt
Тогда разностные рекуррентные уравнения фильтров имеют вид:
- левая колея
^ = а02Чк + а12Цк-1 — Ъ02ц2к_1д20 = 0,ц21 = 0;
- правая колея
Ч^к = + ^124^-1 _ ц30 = 0, = 0,
где
0.5АТшст _ 0.5АТшст - 1
а°2 = 0.5АТа>сг + 1 ' Ь°2 = 0.5АТа>сг + 1 ' = а°2' АТ — временной интервал дискретности. Спектральный анализ анализируемых вибросигналов проводится с использованием финитного преобразования Фурье [14]. Для улучшения спектральных оценок используется временное сглаживание, временное окно Ханна при 50% перекрытии отрезков реализации. Интервал дискретности определяем исходя из выражения интервала Найквиста,
1
2 В
где В - общая спектральная ширина процесса.
В нашем случае общая спектральная ширина процесса составляет 50 Гц, соответственно интервал дискретности - 0,01 сек. Обозначенная граничная частота процесса соответствует частоте свертывания [14, 15].
Длину реализации исходного случайного процесса определяем исходя из разрешения по частоте и двоичной системы исчисления. Задаем разрешение по частоте равное 0,05 Гц. Тогда на спектральной характеристике вибросигнала имеем 1000 точек. Исходя из предыдущего, отрезок временной реализации будет иметь 2000 точек. Учитывая двоичную систему исчисления, в нашем случае на временной реализации и спектральных характеристиках имеем 2048 и 1024 точки соответственно. Длина отрезка реализации анализируемого процесса составляет 20,48 сек. При решении задачи для обеспечения стационарности случайного процесса, а именно исключения переходного процесса в начальной стадии расчета не учитывается (сдвиг на одну реализацию) первый отрезок реализации. Конечное число точек анализируемого процесса, исходя из показателей точности вычислений, составляет 131100, что соответствует временному интервалу (в реальном масштабе времени) 1311 сек или 0,364 часа. Для рассматриваемых скоростей движения 20, 40, 60, 80 км/ч это составляет 7,28, 14.56, 21,84, 29,12 км пройденного пути.
2. Спектральные характеристики анализируемых сигналов и
динамической системы
Результаты моделирования кинематического возмущения представлены на рис. 2.
ц.| IК м
0,02 О
-0.01 ■0:04
Ц.11 .«
0,02 (1
-0.04
Ср,, (или.
2*11}
\ \ |<Г
/ _ V Т~ 1И * и ^
V
20
1—! / Г^г4
5
ч
* ] А/
/ ** \ V 1 чЕл
Рис. 2. Характеристики смоделированного кинематического возмущения: а, б - временные реализации; в -спектральные плотности; 1 и 2 - левая и правая колея; 3 и 4 - правая и левая колея при сглаживании шиной неровностей; 5 - аналитически заданная спектральная плотность
Отметим, что в дальнейшем конечным результатом настоящего исследования является выбор области анализа вибрационной безопасности автомобиля. В связи с этим на первом этапе проводилась оценка спектра собственных частот линейной динамической системы по амплитудно-частотным характеристикам линейной консервативной системы, рассчитанных во временной области, и собственных частот, определенных в частотной области (рис. 3).
i.o и 2,0 ii»: ш I
Рис. 3. Спектры собственных частот рассматриваемой консервативной линейной динамической системы: 1, 2, 3, 4, 5 - амплитудно-частотные характеристики по обобщенным координатам блоков V, III, II при расчете во временной области; 6 - спектр собственных частот, при расчете в частотной области
Приведенные данные (рис. 3) показывают соответствие представления настоящей линейной динамической системы в частотной и временной областях. Следует отметить, что во временной области наблюдается наличие резонансных явлений, в том числе и на последних трех резонансных частотах. Факт эквивалентности систем подтверждается также при сравнении оценок амплитудно-частотных характеристик анализируемой системы в тех же областях (рис. 4). Наличие наблюдаемого различия в зоне частот выше 20 с-1 для характеристики, рассчитанной во временной области, в основном связано с низким уровнем возмущения на систему (рис. 2 в).
Степень нелинейности динамической системы в данном случае оценивалась по нагрузочным характеристикам составляющих системы виброизоляции автомобиля. Нелинейными элементами при математическом моделировании системы виброизоляции приняты упругий и демпфирующий элементы структур 5 и 6. Характеристики представлены в данном случае кусочно-линейными [12, 13]. При этом во всех случаях моделирования динамической системы возмущение на систему формируется как результат движения автомобиля со скоростью 40 км/ч по булыжной дороге.
ИТ L ■ \
Ч F i \ «Iii г * \ 3 А 1 * V А/ * * я ■■ V
1 « \ «
?о 100
Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики исходной линейной динамической системы по виброукорениям на сиденье водителя: 1, 2 - расчет в частотной и временной областях соответственно
В качестве примера на рис. 5 показаны нагрузочные характеристики элементов структуры 5. Как можно наблюдать при данном возмущении рассматриваемая система является существенно нелинейной как по упругому, так и по демпфирующему устройству. Следует так же обратить внимание на поле изменения сил упругого и демпфирующего устройств полученное в результате моделирования рассматриваемой системы во временной области. Как видно, статистически линеаризованные характеристики имеют значения близкие к обозначенному полю изменения сил упругого и демпфирующего устройств.
р ...м. н
■1*11'-
2*1С
(Ц|'
-4311С4
Г рцгГ
4
тл
■0,1
0.1
Л, »
1\{(1Л). Н
еКР
?1
а
б
II /г ?
V 4
^^^ /
44,
Рис. 5. Нагрузочные характеристики упругого а и демпфирующего б устройств подвески автомобиля: 1 - заданная нелинейная; 2 - заданная линейная; 3 - статистически линеаризованная; 4 - смоделированная
(полученная в результате расчета)
а
Для анализируемых спектральных характеристик - спектральной плотности вибросигналов, функции когерентности, амплитудно-частотных характеристик системы, проводилось определение статистических ошибок [14, 16]. Нормированную среднеквадратичную ошибку спектральной плотности определяем по формуле
2 1 па
п^ - число участков реализации.
В данном случае при числе участков реализации равном 128 нормированная среднеквадратичная ошибка составляет не более 9% как в случае линейной, так и нелинейной динамической системы. Что касается статистической ошибки при расчете амплитудно-частотной характеристики, то в частотном диапазоне при наличии интенсивного возмущения максимальная ошибка в данном случае составляет не более 12% (рис. 6). Естественно настоящее положение имеет место и для функции когерентности.
б
Рис. 6. Нормированная случайная ошибка амплитудно-частотной характеристики: а, б - линейная и нелинейная динамическая система; 1, 2 - частотный диапазон 0-150 с-1 и 0-60 с-1
а
При линейной динамической системе функция когерентности (в идеальном случае) равна единицы во всем анализируемом частотном диапазоне. При расчете во временной области анализируемых выходных функций на их значения накладываются различные эффекты, связанные, в том числе с алгоритмом их вычисления, мощностью рассматриваемых вибросигналов сигналов и степенью нелинейности динамической системы (рис. 7, а). Что касается представленных на рис. 7, б амплитудно-частотных характеристик, то для рассматриваемого возмущения получаем достаточно высокую эквивалентность замены нелинейной динамической системы ее линеаризованным аналогом. Причем следует отметить, что среднее значение функции когерентности для линейной и линеаризованной системы в среднем имеет значение 0,9. В случае нелинейной системы ее усредненное значение в анализируемом частотном диапазоне составляет 0.5, что подтверждает решение явно выраженной нелинейной задачи.
II 20 4(1 С&С"'
б
Рис. 7. Спектральные характеристики динамический системы: а - функции когерентности; б - амплитудно-частотные характеристики; 1, 2, 3 - линейная, линеаризованная, нелинейная системы соответственно
Рассмотрев методику и особенности расчета данной динамической системы во временной области в трех вариантах ее представления - линейном, линеаризованном и нелинейном, при дальнейшем ее анализе дадим рекомендации выбора области расчета интегральной и раздельно-частотной оценки вибрационной безопасности автомобиля.
Выводы
Результаты математического моделирования нелинейной системы виброизоляции автомобиля во временной области дают:
- адекватные результаты при установленном кинематическом возмущении анализируемых спектральных характеристик с их расчетами при использовании параметров статистически линеаризованной динамической системы;
- наиболее эффективно с точки зрения эквивалентности расчетов в рассматриваемых областях является в данном случае первый способ статистической линеаризации;
- определенные ошибки при расчетах спектральных характеристик анализируемых вибросигналов и динамической системы однозначно дают возможность сопоставление полученных решений в частотной и временной областях;
- анализ проведенных расчетов позволит дать однозначные рекомендации в отношении выбора области расчета показателей вибрационной безопасности автомобиля.
Список литературы
1. Жеглов Л.Ф., Фоминых А.Б. Статистическая линеаризация при оценке эффективности систем виброизоляции автомобиля // Инженерный вестник. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 12. С. 133-138. Режим доступа: http ://engsi.ru/doc/853653. html (дата обращения 6.12.2018).
2. Жеглов Л.Ф., Фоминых А.Б. Оценка показателей вибрационной безопасности автомобиля в частотной области // Машиностроение и компьютерные технологии. 2017. № 12. С. 1-21. DOI: 10.24108/1217.0001337
3. Бедулев А.В., Жеглов Л.Ф. Статистическая линеаризация при расчете виброизоляции колесных машин // Проектирование колесных машин: Всесоюзная науч.-техн. конф., посвященная 100-летию начала подготовки инженеров по автомобильной специальности в МГТУ им. Н.Э.Баумана (Москва, 25-26 ноября 2009 г.): Материалы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. С. 289-293.
4. Spanos P.D., Evangelatos G.I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-Time domain simulation and statistical linearization solution // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2010. Vol. 30. No. 9. Pp. 811-821.
DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.01.013
5. Makris N., Kampas G. Estimating the "effective period" of bilinear systems with linearization method, wavelet and time-domain analyses: From inelastic displacements to modal
identification // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2013. Vol. 45. Pp. 80-88. DOI: 10.1016/j.soildyn.2012.11.007
6. Иванов С.Е., Мельников Г.И. Автономизация нелинейных динамических систем // Науч.-техн. вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 1 (89). С. 151-156. Режим доступа: http://ntv.ifmo.ru/file/article/8337.pdf (дата обращения 6.12.2018).
7. Михайлов В.Г. Получение и использование единого массива продольного и микропрофиля дороги для моделирования ТС // Журнал автомобильных инженеров. 2018. № 2(109). С.12-15.
8. Фурунжиев Р.И. Проектирование оптимальных виброзащитных систем. Минск: Вы-шэйш. шк., 1971. 318 с.
9. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение, 1986. 320 с.
10. Алексеев А.А., Жеглов Л.Ф. Оценка адекватности математической модели нелинейной системы подрессоривания // Проектирование колесных машин: Междунар. науч.-техн. конф., посвященная 70-летию кафедры «Колесные машины» МГТУ им. Н.Э.Баумана (Москва, 22-23 ноября 2006 г.): Материалы. М.: Изд- во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. С. 270-281.
11. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 326 с.
12. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель / А.А. Хачатуров, В.Л. Афанасьев, В.С. Васильев и др.; Под общ. ред. А.А. Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. 535 с.
13. Жеглов Л.Ф. Спектральный метод расчета систем подрессоривания колесных машин: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 212 с.
14. БендатДж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с. [Bendat J., Piersol A. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1986. 566 p.].
15. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1982. 428 с. [Otnes R., Enockson L. Applied time series analysis. Vol. 1: Basic techniques. N.Y.: Wiley, 1978].
16. Crandall S.H. On using non-Gaussian distributions to perform statistical linearization // Intern. J. of Non-Linear Mechanics. 2004. Vol. 39. No. 9. Pp. 1395-1406.
DOI: 10.1016/j .ijnonlinmec.2004.02.001
Mechanical Engineering & Computer Science
Electronic journal
http://www.technomagelpub.ru ISSN 2587-9278 © NP "NEICON"
Mechanical Engineering and Computer Science, 2018, no. 10, pp. 1-15.
DOI: 10.24108/1018.0001432
Received: 24.09.2018
Vehicle Vibration Safety Evaluation in the Time Domain
L.F. Zheglov1'*, A.B. Fominykh1 "sheaiovifrgmaajii
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: linear system; linearized system; nonlinear system; vibration signal; random process; nonlinear characteristic; recurrent difference equation; resonance frequency; coherence function; amplitude-frequency characteristic; power spectral density; integral estimation; separate-frequency estimation
The article is a sequel to studies of the nonlinear vibration isolation systems of a vehicle. The first published papers considered an application of the known methods of statistical linearization when determining the vibration safety performance in the frequency domain. The frequency domain is the most adaptive in the context of analysis of the obtained calculation results and evaluation of the initial dynamic system features. Therefore, a problem to determine the adequacy range of such calculations in the frequency and time domain is relevant.
The paper deals with the problem of creating a technique to determine and analyze the spectral characteristics of the vehicle vibration isolation system when modeling in the time domain. Considers as an object, a nonlinear dynamic system equivalent to the nonlinear vibration isolation system of a vehicle under its spatial vibrations. In formulating a system of equations-of-motion of the adopted system a module-based method was used. As an example, the power unit is given. Modeling of input random perturbations, provided that the solutions obtained are adequate, is based on the recurrent difference equations. The subsequent transformation of the calculation results into the frequency domain is based on the finite Fourier transforms.
To determine the final parameters which characterise the effectiveness of the vibration isolation system, at the first stage of calculations the dynamic system was tested in a linear setting.
The vector of natural frequencies of a conservative system defined in the frequency domain was compared with the spectrum of natural frequencies (the frequency response) calculated in the time domain. Besides, the article has carried out a conformity evaluation of the amplitude-frequency characteristics obtained in the frequency and time domain and their determining accuracy. The obtained positive results made it possible to compare and analyze the spectral characteristics of vibration signals and dynamic system in its nonlinear and linearized formulation. The coherence function, the amplitude-frequency characteristic, the spectral density of perturbation and output vibration signal, the vehicle suspension and tyre load characteristics are considered as
the analyzed ones. The article compares the output characteristics of the dynamic system under consideration for the case in linear, linearized, and nonlinear formulation of the problem.
References
1. Zheglov L.F., Fominykh A.B. Statistical linearization in assessing the effectiveness of vibration isolation systems of cars. Inzhenernyj Vestnik [Engineering Bull.], 2016, no. 12, pp. 133-138. Available at: http://engsi.ru/doc/853653.html, accessed 6.12.2018 (in Russian).
2. Zheglov L.F., Fominykh A.B. Performance evaluation of the vehicle vibration safety in the frequency domain. Mashinostroenie i komp'yuternye tekhnologii [Mechanical Engineering and Computer Science], 2017, no. 12, pp. 1-21. DOI: 10.24108/1217.0001337 (in Russian)
3. Bedulev A.V., Zheglov L.F. Statisticheskaia linearitsatsiia pri raschete vibroizoliatsii kolesnykh mashin [Statistical linearization in the calculation of vibration isolation of wheeled vehicles]. Proektirovanie kolesnykh mashin: Vserossijskaia nauchno-tekhnicheskaia konferentsiia, posviashchennaia 100-letiyu nachala podgotovki inzhenerov po avtomobil'noj spetsial'nosti v MGTU im. N.E. Baumana [Design of wheeled vehicles: All-Union Scientific and Technical Conf., dedicated to the 100th anniversary of the beginning of training engineers in the automotive specialty at Bauman MSTU (Moscow, November 25-26, 2009)]: Proc. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2010. Pp. 289-293 (in Russian).
4. Spanos P.D., Evangelatos G.I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-Time domain simulation and statistical linearization solution. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, vol. 30, no. 9, pp. 811-821.
DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.01.013
5. Makris N., Kampas G. Estimating the "effective period" of bilinear systems with linearization method, wavelet and time-domain analyses: From inelastic displacements to modal identification. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2013, vol. 45, pp. 80-88. DOI: 10.1016/j.soildyn.2012.11.007
6. Ivanov S.E., Mel'nikov G.I. Off-line interaction of the nonlinear dynamic systems. Nauchno-tekhnicheskij vestnik informatsionnykh tekhnologij, mekhaniki i optiki [Scientific and Technical J. of Information Technologies, Mechanics and Optics], 2014, no. 1(89), pp. 151-156. Available at: http://ntv.ifmo.ru/file/article/8337.pdf, accessed 6.12.2018 (in Russian).
7. Mikhajlov V.G. Obtaining and using a single array of longitudinal and microprofile roads for vehicle modeling. Zhurnal avtomobil'nykh inzhenerov [Journal of Automotive Engineers], 2018, no. 2(109), pp. 12-15 (in Russian).
8. Furunzhiev R.I. Proektirovanie optimal'nykh vibrozashchitnykh system [Designing an optimal vibration isolation systems]. Minsk: Vyshejshaia shkola Publ., 1971. 318 p. (in Russian).
9. Shalygin A.S., Palagin Yu.I. Prikladnye metody statisticheskogo modelirovaniia [Applied methods of statistical modeling]. Leningrad: Mashinostroenie Publ., 198б. 32G p. (in Russian).
1G. Alekseev A.A., Zheglov L.F. Otsenka adekvatnosti matematicheskoj modeli nelinejnoj sistemy podressorivaniia [Assessment of the adequacy of the mathematical model of the nonlinear suspension system]. Proektirovanie kolesnykh mashin:Mezhdunarodnaia nauchno-tekhnicheskaia konferentsiia, posviashchennaia 70-letiyu kafedry "Kolesnye mashiny" MGTU im. N.E. Baumana [Design of wheeled vehicles: Intern. Scientific and Technical Conf., dedicated to the 7Gth anniversary of the Department "Wheel machines" at Bauman MSTU (Moscow, November 22-23, 2GG6)]: Proc. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2GG6. Pp. 27G-281 (in Russian).
11. Bykov V.V. Tsifrovoe modelirovanie v statisticheskoj radiotekhnike [Digital modeling in statistical radio engineering]. Moscow: Sovetskoe radio Publ., 1971. 32б p. (in Russian).
12. Dinamika sistemy doroga-shina-avtomobil'-voditel' [The dynamics of the system road-tyre-vehicle-driver] / A.A. Khachaturov, V.L. Afanas'ev, V.S.Vasil'ev a.o.; ed. by
A.A. Khachaturov. Moscow: Mashinostroenie Publ., 197б. 535 p. (in Russian).
13. Zheglov L.F. Spektral'nyj metod rascheta sistem podressorivaniia kolesnykh mashin [Spectral method of calculation of wheel suspension systems]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2G13. 212 p. (in Russian).
14. Bendat J., Piersol A. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 198б. 5бб p. (Russ. ed.: Bendat J., Piersol A. Prikladnoj analiz sluchajnykh dannykh. Moscow: Mir Publ., 1989. 54G p.).
15. Otnes R., Enockson L. Applied time series analysis. Vol. 1: Basic techniques. N.Y.: Wiley, 1978 (Russ. ed.: Otnes R., Enockson L. Prikladnoj analiz vremennykh riadov. Osnovnye metody. Moscow: Mir Publ., 1982. 428 p.).
16. Crandall S.H. On using non-Gaussian distributions to perform statistical linearization. Intern. J. of Non-Linear Mechanics, 2GG4, vol. 39, no. 9, pp. 1395-14G6.
DOI: Щ.ЩЩ .ijnonlinmec.2GG4.G2.GG1
