Оценка вероятности приземления летательного аппарата на заданный участок поверхности с соблюдением ограничений на фазовые координаты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1 987 М2

УДК 629.735.33.015.077

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРИЗЕМЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА ЗАДАННЫЙ УЧАСТОК ПОВЕРХНОСТИ С СОБЛЮДЕНИЕМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ

С. Л. Семаков

Предложены формулы (в виде квадратур) для оценки вероятности приземления летательного аппарата на заданный участок поверхности с соблюдением заданных ограничений на фазовые координаты. Рассмотрен пример оценки вероятности приземления самолета на заданный участок взлетно-посадочной полосы с учетом ограничений на вертикальную скорость и угол тангажа.

Задача об оценке точности приземления летательного аппарата (ЛА) имеет большое практическое значение. От точности приземления зависят безопасность пассажиров и экипажа ЛА, срок его экспудта-ции. Обычно данная задача решается методом статистических испытаний.

Попытки решить задачу каким-либо другим, менее трудоемким путем сопряжены с рядом трудностей. Одна из них заключается в том, что не удается выбрать независимую переменную х так, чтобы в момент приземления она принимала одно и то же значение для всех реализаций случайного процесса У (х), описывающего движение ЛА при посадке. Единственной переменной, удовлетворяющей указанному условию, является высота полета: в этот момент она обращается в нуль. Однако возможность немонотонного изменения высоты не позволяет принять ее за независимую переменную. Таким образом, даже в том случае, когда в каждый момент х известна плотность ии {Уу,.. .,Уп, х) совместного распределения компонентов случайного процесса V (х) = = (У±(х),..., Уп(х)), нельзя ничего сказать о распределении этих компонентов в момент приземления ЛА, ибо момент приземления при разных реализациях посадки соответствует разным значениям х.

В данной работе предложен способ, позволяющий оценить точность приземления, если известна т{У^.. .,Уп, х). Точность приземления характеризуется вероятностью события, заключающегося в том, что касание ЛА с поверхностью происходит на заданном участке, и в момент касания оказываются выполненными заданные ограничения на фазовые координаты ЛА. Предложены две формулы (в виде квадратур), первая из которых определяет приближенное значение искомой вероятности, а вторая — максимально возможную величину раз-

ности между истинным значением вероятности и ее приближенным значением, определяемым по первой формуле.

Постановка задачи. Условимся случайные процессы обозначать большими буквами, а их реализации — малыми. Время будем обозначать переменной t. Пусть любая реализация .у (t) случайного вектора У (t) фазовых координат ЛА удовлетворяет дифференциальному уравнению

y=f(y, »(у. 0. 5(0» 0» 0)

где 5 (t) —соответствующая y(t) реализация случайного вектора возмущений, действующих на ЛА; u(t) = u(y(t), t) — реализация вектора управляющих воздействий; точка над переменной означает операцию дифференцирования по времени. Случайные процессы изменения высоты Н (t) и дальности L(t) полета пусть являются одними из компонентов случайного вектора Y(t)\ соответственно реализации h(t) и l(t) процессов Н(t) и L(t) будут компонентами вектора y(t).

Уравнение (1) описывает движение Л А как на воздушном участке траектории, так и при пробеге fio взлетно-посадочной полосе (ВПП). Будем формально считать, что участок пробега по ВПП отсутствует и рассматривать систему (1) и при h<0. При этом аэродинамические силы, управления и возмущения получим непрерывным продолжением соответствующих функций с области 1г>0 на область ft<0, предполагая, что эти функции заданы так, что допускают такое продолжение.

Поставим теперь в соответствие каждой реализации посадки соответствующее решение y(t) системы (1), рассматривая ее указанным выше образом. Вследствие того, что высота может быть немонотонной функцией времени, возможны решения y(t) такие, что соответствующие им зависимости h(t) пересекут нулевой уровень — уровень ВПП, схематизируемой отрезком прямой — более, чем один раз. Приземление произойдет на заданном участке [Г, /"] в том (и только в том) случае, когда в момент первого пересечения нулевого уровня реализацией h(t) значение l(t) будет принадлежать отрезку [/', /"]. Если случайный процесс L(t) является монотонным, т. е. для любой реализации l(t) l{ti)<l(i2) при ti<t2, то в качестве независимой переменной вместо t можно выбрать I. Это позволит формализовать задачу следующим образом.

Пусть в начальный момент х0 для каждой реализации у (х) = = {yi(x) > ■ ■ ■, Уп(х)} случайного процесса У (х) ^{У^х),..., Уп{х)} выполнено условие iji{xo)> у\, где у* — некоторое заданное число. Реализации процесса Y (х) пусть непрерывны, а реализации его первого компонента У\{х)—дифференцируемы. Требуется оценить вероятность P{ZD} события ZD, состоящего в том, что первое достижение уровня у* первым компонентом процесса произойдет в какой-либо момент х* из промежутка [х', х"), х0<х'<х":

yi(x)>y*V х£1х0, х*), у,(х*) = у{,

и при этом окажется выполненным следующее условие на его остальные компоненты:

(2)

где D — заданное подмножество евклидова пространства Rn~l размерности (я.—1). Считаем, что Р {Yl(x')= у\) = P{Yi (х")} =0.

Оценка вероятности. Предположим сначала, что И совпадает с В этом случае событие Zo будем обозначать через X. Пусть

событие Лй(л:) означает, что компонент У, (х) пересек уровень у* до момента х, т. е. на промежутке [х0, х), ровно £ раз, 6 = 0, 1, 2, .... Очевидно, что V/-£/' А^х) П Л;(л:) = 0, и

оо

2>И*(*)} = 1. (3)

4 = 0

Введем в рассмотрение объединение событий

(Дл*(х'))иА0(х"), (4)

означающее, что компонент У^х) либо пересек уровень у* хотя бы один раз до момента х', либо не пересек ни разу до момента х". Противоположное 1 событие

1.с ^0 Л*(х'))иЛ»(*").

Любая реализация У1(х), приводящая к событию (4), но не приводящая к событию 2, касается уровня у: до момента х". Это обстоятельство иллюстрирует рис. 1. Для изображенных на нем реализаций г/1д, {/1,2, У1.3 может написать

У (АУ1'4*(*'))иЛв(х");

^1.2 ^ (Аи лА(^о)и л0

«О ух 2 $ поскольку у1ш3£г.

Предположим, что вероятность реализаций у\(х) таких, что у\{х) достигает уровня у* на промежутке [х0, х") с нулевой производной аГу,

™- , равна нулю. Как правило, это условие выполняется. В этом случае

р{2} = р{( Д л* (*'))1Мо (*'')}•

Отсюда, учитывая (3) и непересекаемость событий А0(х"), Аи(х'), к= 1,2,..., получим:

оо оо

р {2} = Е р [А* (*")} - 2Р {Л* (X')}. (5)

А = 1 к=1

Обозначим через М~(хи х2) (М+(Х)., х2)) среднее число пересечений

уровня у\ сверху ВНИЗ (снизу вверх) компонентом У^Х) на проме-

жутке от XI до Х2>х1. Тогда

со

АГ(л:0, х) = У£*к[р{А2ъ(х)} + Р{Аы-1(,х)}], (6)

к-\

оо

К+(х0, >с)=ЕА[Р{/1„И}+РИ»+1(д:)}]. (7)

*=1

Из равенств (5) и (6) следует, что

СО

Р{Л} = ЛГ-(л;0, х”)-^к[Р{А<1к+1{х")} + Р{А2ъ+2{х")}\

к—1

-|лГ(*0, х')-^к[Р{А2к+1(х')) + />{Л2*+2(л:')}]|.

Отсюда, учитывая (7), имеем для Р{2} следующую оценку снизу: Р{2)>К-(х0, х")-М-{хй, х')-ЛГ+(х0, х") =

— 1У- (х', х") — ЛГ+ (л:0, х").

Оценку сверху дает число Лг~~ (х', л")- Действительно, пусть Ак(х', х") —■ событие, состоящее в том, что компонент 3^1 (х) пересек уровень^* сверху вниз на промежутке от х' до х" ровно £ раз,

к = О, 1, 2, .... Поскольку Р{1\ <0 Л* С*'. *")}. *")П

П Ау(х', х") — 0 для любого кф], то

оо оо

Р № < 2 р № (*’> •*")} < 2 ЬР (А* (х', х")} = (х\ х").

*=1 *=1

Числа N (х', х”) и ^ (х0, х") могут быть вычислены по формулам [1]:

(х', х") = - | йх | *Ь- чв (х, 4^, *) й (т) •

ХГ —оо

М+(х0, х") = | ах]^т{у1, 45-, х)с}[-^),

х’ О

где , х) — плотность совместного распределения значе-

йх с1х

ний Ух и в момент X.

Если й не совпадает с /?" \ то для Р^в\ имеют место оценки: N5 (хг, х") - ЛГ+ (х0) х") < Р {гы < КБ (X', "),

где

Nd (•*', jc") = — j <*•*}.. J l^-w{y*v 4!г> K2, Yn, xjx

x' D —со

Xd(^pjdY2, ..., dYn, (8)

/ d Y

wxYi, Y2, •■•> Y/i’ x) — плотность совместного распределения

значений Уь dYJdx, У2, •••» Уд в момент х. Физический смысл числа NE {х', х") состоит в том, что оно является средним числом пересечений уровня у* сверху вниз компонентом У4(х) на промежутке от х' до х" с выполнением в моменты пересечений условия (2) на остальные компоненты процесса Y(х) [2J.

Разность между истинным значением вероятности P{ZD} и ее приближенным значением, вычисляемым по формуле (8), зависит от тенденции компонента Yi(x) пересекать уровень у* снизу вверх. Чем меньше вероятность такого поведения случайной функции Y1(x), тем точнее определяется искомая вероятность по формуле (8).

Для оценки вероятности нужно знать плотность распределения w. Она может быть определена не всегда. Это в известной степени ограничивает возможность использования предлагаемого способа оценки. Иногда функцию w удается определить приближенно, как в рассматриваемом ниже примере.

Пример численной оценки вероятности успешного приземления самолета. Оценим вероятность Р приземления самолета на заданный участок [/', /"] ВПП с соблюдением заданных ограничений на вертикальную скорость h и угол тангажа

I | max ^ h 0, ^min ^ ^шах-

Будем рассматривать только продольное движение самолета. Случайные возмущения обусловлены атмосферной турбулентностью. Для определенности будем считать, что I"—/'=100 м и точки I' и I" расположены симметрично относительно расчетной точки посадки ML(ip), М — знак математического ожидания. Расчетный момент посадки tp находится из условия МН(tp) =h0(tp) = 0, где функция MH(t)=h0(t) соответствует изменению высоты полета при номинальном движении самолета, т. е. при его движении по некоторой номинальной траектории посадки при отсутствии возмущений.

Будем считать, что скорость движения центра масс самолета постоянна по величине. В этом случае в качестве независимой перемен-

ной х допустимо выбрать время t; роль пределов интегрирования х' и х" будут играть соответственно моменты t' и t", определяемые равенствами: ML(t')=V, ML(t")=l". Оценку вероятности Р дает величина

t" ^шах О

No {?, t")= — $dt j db J Hw{0, H, b, t)dH.

^min — I vy I max

При этом возможная погрешность оценки определяется величиной

t" со

N+ (t0, t") — J dt^ Hw (0, H, t) dH.

Входящие в эти формулы плотности распределения ш(Н, Н, и ш(Я, Н, ■&, t) находились приближенно следующим образом. Использовались уравнения движения самолета, линеаризованные относительно номинальной траектории посадки, спектральные плотности процессов атмосферной турбулентности аппроксимировались дробно-рациональными выражениями в соответствии с моделью Драйдена. Это позволило плотности распределения хю в линейном приближении считать гауссовскими, а для определения дисперсий и коэффициентов корреляции использовать корреляционный метод [3]. При этом начальный момент t0 настолько далеко отстоял от момента I', что значения элементов корреляционной матрицы в момент У не зависели от их значений в момент ?0. Это дало возможность не заботиться о задании действительно реализующихся начальных условий при интегрировании системы уравнений для элементов корреляционной матрицы, ибо при таком выборе момента и начальные условия не будут влиять на результат оценки вероятности и, следовательно, могут быть заданы произвольно. При расчетах использовалась подпрограмма интегрирования корреляционной системы, составленная Г. В. Парышевой.

Расчеты были проведены для прямолинейной номинальной траектории. Рассматривался режим автоматического захода на посадку. Управление осуществлялось путем отклонения руля высоты б по закону:

8 = 80 -|- (а — а0) -|- й (Л — Л0) + ^о)» (9)

где £а>, — постоянные коэффициенты; а — угол атаки,

шг = &; 80, а0, К(*) — значения соответствующих переменных при

номинальном движении самолета. Расчеты проводились для трех пар значений коэффициентов и ^ в законе управления (9). При этом значения и не менялись и были выбраны таким образом, чтобы обеспечить коэффициент затухания 0,7 и время срабатывания 1 с в короткопериодическом движении самолета. Соответствующие переходные процессы ДЛ = кЦ) — й0(/) изображены на рис. 2. Результаты расчетов для ?) и Л/+(£0, г") приведены

на рис. 3 и 4 в зависимости от угла наклона номинальной траектории посадки 60 = &0 — а0. В качестве граничных значений &Шт>

1 3

*>тах, \ъу\тах бЫЛИ Выбраны СЛеДуЮЩИв’. »Ш1п = у &0. &тах = -у &о .

I тах “ 2~^0 •

Сравнивая рис. 2 и 3, можно сделать вывод, что более «вялым» переходным процессам АЛ(^) соответствует менее точная посадка. Результаты вычислений величины М+(^о, ?'), представленные на рис. 4, показывают, что погрешность определения вероятности в значительной степени зависит от угла 0О. Чем больше |0о|, тем меньше тенденция процесса #(/) к немонотонному поведению и, как следствие, пересечению нулевого уровня снизу вверх. При этом, как видно, при достаточно больших | во | величина Л^+(^0, *") становится пренебрежимо малой, и вероятность определяется с очень высокой точностью.

Что касается среднеквадратичных отклонений он, ог,у, зэ, то они практически не зависят от 0О, и их численные значения вблизи посадочной поверхности составили:

(в*; V о*)1 = (1,15 м; 0,27 ; 0,30°),

(V, V о*)ц = (о,54 м; 0,19 ; 0,38°) ,

К; V в»)ч1 = (0’31 м; 0,16 Т* ’ °-44°)>

где индексы I, II, III показывают, какой паре коэффициентов &/,, (см. рис. 2) соответствуют приведенные значения оЛ, з о#.

Дополнительные расчеты показали, что увеличение длины посадочного участка I"—I' не приводит к сколько-нибудь ощутимому возрастанию величины #+(*„, У'), так что максимально возможная абсо-

лютная погрешность оценки вероятности Р при этом практически не меняется. При увеличении |в01 изменение погрешности с возрастанием I"—I' становится еще менее заметным.

В заключение отметим, что результаты работы могут быть использованы для оценки качества и синтеза оптимальных по вероятности законов управления летательным аппаратом при выполнении посадки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. — М.: Наука,

1970.

2. Б е л я е в Ю. К. Общая формула среднего числа пересечений для

случайных процессов и полей. — В кн.: Выбросы случайных полей,

вып. 29.—М.: изд. МГУ, 1972.

3. Казаков И. Е., Мальчиков С. В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. — М.: Наука, 1983.

Рукопись поступила 6/Х1 1985 г.