CC BY
52
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987
№ &
УДК 629.735.33.015.077
ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ БОКОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЕТА
ПРИ ПОСАДКЕ
В. П. Кузьмин
Рассматривается задача оценки точности автоматического управления боковым движением самолета в момент касания взлетно-посадочной полосы (ВПП) с учетом случайной дальности приземления. Движение самолета описывается линейной системой дифференциальных уравнений. Определяются распределения вероятностей различных фазовых координат бокового движения.
В работе [1] рассматривалась задача оценки точности движения самолета при автоматической посадке. Все случайные возмущения сводились к двум типам:
— случайные величины, постоянные для каждой реализации (вектор т]);
— аддитивные гауссовские случайные процессы.
При такой структуре возмущений в работе [1] предлагается вначале определять условные статистические характеристики при фиксированном значении т| с последующим осреднением по случайным значениям вектора г). Таким образом удается определить характеристики случайного вектора фазовых координат линейной системы при фиксированном значении независимой переменной (времени или дальности).
При оценке точности управления боковым движением в момент касания ВПП существенным является случайный характер дальности касания, которая определяется продольным движением самолета. Решение такой задачи в общем случае очень сложно, даже при использовании приближенных методов {2]. Момент приземления определяется условием Н=0, где Н — высота нижней кромки шасси. Все статистические характеристики случайного вектора фазовых координат в момент приземления будем, по аналогии с работой [2], называть конечными и отмечать индексом «к». В данной статье указаны условия, при которых определение конечных распределений вероятностей сводится к осреднению по дальности касания как по случайному параметру, и предложен способ аппроксимации плотности вероятности случайной дальности приземления.
5 «Ученые записки» № 5
65
В качестве независимой переменной будем рассматривать продольную дальность Ь, отсчитываемую от начала ВПП. Рассматриваемая линейная система уравнений бокового движения самолета имеет вид
где х — вектор фазовых координат; % — вектор гауссовских белых шумов; т] — вектор случайных параметров, постоянных для каждой реализации; с — вектор-функция; А и В— матричные функции соответствующих размерностей.
При фиксированном значении г) возмущениями являются ади-тивные гауссовские белые шумы и, следовательно, случайный процесс х(Ь) является гауссовским и полностью определяется вектором математических ожиданий Мх (Ь, г]) и корреляционной матрицей КХ(Ь, т]). Корреляционная матрица при фиксированном значении т] находится из решения системы уравнений [2]
где О(Ь) —матрица интенсивностей белых шумов.
Задача определения конечных распределений вектора х упрощается в частном случае, когда случайная дальность приземления Ьк не зависит от фазовых координат бокового движения. Дальность приземления определяется продольным движением самолета, поэтому условие независимости величин Ьк и х(Ь) может быть выполнено в том случае, если продольное и боковое движения разделяются и если возмущения, влияющие на продольное и боковое движения, независимые. Первое условие выполнено в силу линеаризации уравнений бокового движения [3]. Однако возмущения в общем случае зависимые, так как некоторые из возмущений являются общими для уравнений продольного и бокового движения самолета. Будем рассматривать такую ситуацию, когда общими для уравнений бокового и продольного движений самолета являются только некоторые компоненты вектора т]. Следует отметить, что в рамках рассматриваемой структуры могут быть учтены практически все возмущения, используемые для оценок точности автоматической посадки методом Монте-Карло [4].
Если общими для продольного и бокового движений являются только возмущения, заданные случайным вектором т], то при фиксированном значении г] величина Ьк и вектор х(Ь) являются независимыми.
Пусть /¿к (¿к, —плотность вероятности случайной дальности
приземления при фиксированной величине т), тогда условная вероятность события Х{>Х{0 В момент приземления определяется по формуле
где = Кхн(1к, ?]) —диагональный элемент корреляционной матрицы;
(1)
== А(і; п)Кх + КхАц^ ч) +в а, 4)0 (Ц Вт (¿, Г,),
(2)
(3)
к
00 Ґ1
У
— интеграл Лапласа.
Для определения безусловной вероятности необходимо провести осреднение по случайной величине г]:
Р(Х; > х10) = | Р (х1 > хю1ц)/ц (■»)) (4)
ч
где /п (т)) — плотность совместного распределения компонент вектора Г].
По формулам, аналогичным (3) и (4), могут быть определены математическое ожидание и корреляционная матрица вектора х в момент приземления.
Из соотношения (3) следует, что для определения распределений координат бокового движения в момент касания ВПП необходимо задать условную плотность распределения дальности касания как функцию от случайных компонент вектора г), общих для уравнений продольного и бокового движений самолета.
При практическом использовании описанного метода наибольшую трудность представляет задание распределения дальности касания. Однако в ряде случаев достаточным оказывается знание лишь нескольких первых моментов этого распределения.
Так, осреднение по дальности приводит к необходимости вычисления интегралов типа (3):
Если функция ф(£) в окрестности среднего значения аргумента X может быть представлена в виде
9(1) * Р(Г) + ^ (1) (/, - I) + 1 % (7) (Ь ~ Т)\
то величина ф будет зависеть только от математического ожидания Ь и дисперсии £>ь и не будет зависеть от вида закона распределения /ь(^). В частном случае, если функция ф(£) может быть аппроксимирована линейной, точности автоматического управления боковым и продольным движениями полностью разделяются, так как конечные распределения координат бокового движения будут совпадать с распределениями при номинальной дальности приземления. В дальнейшем предлагается способ аппроксимации плотности дальности касания и приведены оценки влияния вида закона распределения на различные статистические характеристики координат бокового движения самолета.
Рассмотрим пример оценки распределений вероятностей фазовых координат бокового движения пассажирского самолета в момент касания ВПП. В работе используются общепринятые обозначения для координат бокового движения [3]. Алгоритм управления элеронами имеет вид
8э = Кг (т — Тз) + К*х шх,
Тз= — {К-гг + Кгг), где у — угол крена; (ож — угловая скорость крена; 2—боковая скорость; г—измеренное отклонение центра масс самолета от осевой линии ВПП, которое связано с истинным отклонением соотношением
г=\Г(р)[2 + в,(£)-/ф]5;
здесь № (р)—передаточная функция измерителя; ег(Ь)—помехи;
-ф — угол курса; Ь — расстояние вдоль продольной оси самолета от центра масс до места расположения датчика; 5 — отношение случайной крутизны курсовой зоны к номинальному значению [5], имеющее усеченное по уровням ±3ст5 нормальное распределение с математическим ожиданием 5=1 и средним квадратическим отклонением сг3 = 0,16; ЛТт; К*х\ К2’, Кг — передаточные числа.
Модель ветровых возмущений аналогична приведенной в работе [1]. Продольная и боковая компоненты ветра заданы соотношениями
их (Н) = их/(Н); и2(Н) = иг/(Н),
где /(#) —заданная функция высоты; их и их — независимые случайные величины, имеющие усеченные нормальные законы распределения со средними значениями
их= — 2,7 м/с и иг = 0,
средними квадратическими отклонениями
°их = аиг = 3,75 м/с
и ограничениями
— 12,8 м/с5,1 м/с; |и2|<;7,7 м/с.
Существенной для дальнейшего особенностью модели атмосферных возмущений является зависимость средних квадратических отклонений всех трех компонент турбулентного ветра (продольной ТУх, вертикальной №у и боковой '№г) от модуля систематической составляющей ветра и
а^х = о^г = 0,18 И; оц7у =0,09 И, (6)
где и = уцз _|_ и2.
Непосредственно в уравнения бокового движения входят только величины иг(г) и Н?2. Из соотношения (6) следует, что общими для уравнений бокового и продольного движений являются случайные параметры их и и2 и, следовательно, условная плотность вероятности дальности приземления должна быть задана в виде
/¿*(£*. и,, «,)•
Таким образом, для бокового движения рассматриваются возмущения, которые сводятся к трем случайным параметрам г]=(5, их, и2) и двум некоррелированным гауссовским'^ белым шумам |= (|ь £2), которые подаются на входы фильтров для моделирования боковых порывов и помех. В результате система уравнений (1) принимает вид
И у
~ = А(3, Ь)х + [В0(Ь)и + В,(5, ¿)]& + с(Циг. (7)
Как следует из структуры системы (7), математическое ожидание и корреляционная матрица вектора х(Ь) будут иметь вид
Мх (¿, 5, иг) = М0.(1, 5) иг,
Кх (•£, 5, их, и— Ко (5, Ь) Ь)и?,
где Мо векторная, а и — матричные функции,-подлежащие определению.
Из соотношений (8) следует, что для определения математического ожидания достаточно решить систему (7) при произвольном фиксированном значении иг — иг 0=#=0 для нескольких значений параметра 5.
Для определения корреляционной матрицы следует решать систему (2) для нескольких значений 5, дважды для каждого значения, например, при «=0 и произвольном значении и, = ийФ0. В качестве и0 и их0 удобно принять величины [1] й =Уа2 и .
и » г
При интегрировании систем (2) и (7) значения МХ(Ь) и КХ{Ь) запоминаются в нескольких точках по дальности в окрестности номинальной точки касания ВПП.
Расчеты проводились для пяти значений параметра 5, приближенно соответствующих пяти узлам квадратурной формулы Эрмита [6]. Квадратурные формулы Эрмита используются при определении интегралов (3) и (4). Для учета усеченности нормальных законов необходимо несколько скорректировать расчетные узлы квадратурных формул.
Рассматривались три варианта алгоритма управления:
1) алгоритм (5) используется без изменения на всем воздушном участке;
2) при достижении высоты Я=Ят происходит переключение алгоритма на стабилизацию нулевого угла крена, т. е. полагается
Тз = 0;
3) при достижении высоты Н = Нт полагается уз=0 и включается алгоритм доворота самолета по курсу. Алгоритм управления рулем направления при довороте имеет вид:
8я == К\, ф + -рг ,
где /Сф и Д1 — передаточные числа.
Все три типа алгоритма управления могут использоваться практически в зависимости от требуемой точности по различным фазовым координатам.
На рис. 1 приведено изменение фазовых координат по дальности при действии только бокового ветра иг = игтах и 5=1, а на рис. 2 — изменение их средних квадратических отклонений для и = и0 и 5=1. Здесь и далее результаты, соответствующие различным вариантам алгоритма управления, отмечены соответствующими цифрами. При проведении расчетов принималось Я-, =5 м, что соответствует средней дальности —150 м, средняя дальность касания составляет ¿«^450 м.
Видно, что математические ожидания и средние квадратические отклонения слабо изменяются по дальности до момента переключения алгоритмов (¿<150 м). Существенное изменение статистических характеристик связано с переключением алгоритмов (варианты 2, 3). Формально для оценки конечных распределений следует учитывать случайные дальности: А-,, соответствующую Я = ЯТ, и Ьк, соответствующую Я=0. Учитывая слабое изменение статистических характеристик в области возможных значений , будем учитывать одну случайную величину Мк = ¿к — ¿т. Случайная величина АЬК всегда положительная и, следовательно, плотность вероятности /д£к(Д£.к) несимметрична относительно среднего значения. Для аппроксимации плотности вероятности величины АЬК будем рассматривать также величину модуля среднего угла наклона траектории на участке от Я = ЯТ до Я = 0
0 = Ят/Д1к. (9)
