Оценка вероятности ошибки в определении времени приема РЗС на фоне белого шума Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396

Е. В. Волхонская, Е. В. Коротей, К. В. Власова

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ВРЕМЕНИ ПРИЕМА РЗС НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА

Рассмотрен механизм возникновения ошибки при определении времени приема РЗС и предложена методика расчета вероятности возникновения такой ошибки. Проведен сравнительный анализ максимальной вероятности ошибки при определении времени приема РЗС для фазома-нипулированных радиосигналов на основе кодов Баркера и радиосигналов без внутриимпульсной модуляции.

The error origins in determining of reception time of radio probing signal are considered in this article. Also the method of error probability calculation was offered in this work. The analysis of maximum probability of such error was carried out for phase-shift keyed signal on the base of Barker's code and radio signal without intrapulse modulation.

© Волхонская Е. В., Коротей Е. В., Власова К. В., 2014.

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 4. С. 93 — 100.

Ключевые слова: радиозондирующий сигнал, база радиосигнала, согласованная фильтрация, время приема (сигнала).

ception time (of signal).

При приеме радиозондирующего сигнала (РЗС) на вход согласованного фильтра поступает аддитивная смесь узкополосного полезного сигнала и шума; важным является правильное определение времени приема сигнала (его полного поступления на вход согласованного фильтра) [1; 2]. Если время приема определено верно, то известен временной интервал, в пределах которого на фоне шумов присутствует сигнал и данная реализация может подвергаться дальнейшей обработке. В случае неверного определения данного параметра возможна одна из двух ситуаций:

1) оценка времени приема сигнала превышает истинное значение;

2) оценка времени приема сигнала меньше истинного значения.

Первыгй случай не столь критичен, так как получаемая при этом реализация аддитивной смеси оказывается большей по длительности и по-прежнему содержит всю информацию о сигнале. Однако чем больше будет длительность реализации по сравнению с длительностью сигнала, тем меньше будет отношение сигнал/шум в смеси, а значит, тем труднее будет извлечь полезную информацию.

Второй случай неприемлем, поскольку при этом длительность реализации оказывается меньше длительности сигнала, следовательно, часть информации о сигнале безвозвратно теряется.

В данной работе рассмотрен случай согласованной фильтрации смеси РЗС на основе кода Баркера и аддитивного шума [3]. Для определенности в качестве модулирующих функций быпли выпбраны 5, 7, 11 и 13-и позиционные коды Баркера. Полезный сигнал на выходе согласованного фильтра пропорционален автокорреляционной функции (АКФ) входного сигнала, смещенной по оси времени на длительность радиозондирующего импульса ти. Если шум на входе фильтра гауссов, то и на выходе фильтра он остается гауссовым, так как фильтр является линейным. При этом изменяется лишь форма спектра мощности: от прямоугольной на входе фильтра до кривой, повторяющей по форме квадрат АЧХ фильтра (то есть спектр мощности входного сигнала), на выходе фильтра.

Предполагалось, что шум на входе фильтра имеет равномерную спектральную плотность средней мощности W0 в полосе частот шириной Af

где а>0 — центральная частота спектра шума, выбираемая в соответствии с несущей частотой РЗС; тогда дисперсия шума на входе фильтра определяется выражением

Согласно спектральному методу спектральная плотность средней мощности шума на выходе фильтра

Key words: radio probing signal, base of radio signal, coordinated filtering, re-

= W,Af .

S 2 ( ) S 2 ( )К2 ( ) (Wc К2 (т),\ю-ю0\<xlAf

S~ W ' S- W К{“) '(с. |»-W.| >,Af ,

где коэффициент передачи мощности согласованного фильтра определяется как

К2 (т) = \К (jw) | 2 = \В ■ S'alln (jm) ■exp (-jmTn) \2 = В2 • 52игн (®) .

Здесь К (jm) — комплексный коэффициент передачи согласованного фильтра по напряжению, Sc]irH (jm) — спектральная плотность полезного сигнала на входе согласованного фильтра, а ти — его длительность. Константа В обычно подбирается таким образом, чтобы энергия полезного сигнала на входе и выходе фильтра была одинакова

B ==Ej)K(¥r,

где через К2х (г) обозначена АКФ входного сигнала. Дисперсию шума на выходе фильтра можно определить следующим образом:

1 щ +пД УБ2 щ)+жД/

стг =— Г sг (ю)с1ю=Г 52 (ю)с1ю .

2Ж щ-жД/ 2ж щ-жД/

Поскольку шум на входе фильтра является широкополосным по отношению к РЗС, то пределы интегрирования можно приближенно заменить на бесконечные. Тогда дисперсия шума на выходе фильтра оказывается равной

^в2ых = ^ | scL ЩЩщ - У0Б2Е,Х - вX.

2ж -ад Д/

Если ввести отношение сигнал/шум по мощности на входе фильтра согласно выражению

^,

где Ат — амплитуда РЗС на входе согласованного фильтра, ав2х — средняя за время длительности мощность РЗС, то дисперсия шума на выходе фильтра будет связана с отношением сигнал/шум на входе фильтра соотношением вида

^ в2е =- АБ Ги

А/ вх 4 • ^ А/

где учтено, что энергия входного РЗС Евх = -2.

Ниже пояснен механизм возникновения ошибки при определении времени приема РЗС и предложена методика расчета вероятности ее возникновения. Согласно предложенной методике ошибка появляется всякий раз, когда одновременно произойдут два события:

1) вследствие влияния шумов значение суммарного сигнала на выходе согласованного фильтра в момент времени г = ти окажется ниже некоторого порогового значения Кпор;

95

96

2) вследствие влияния тех же шумов значение суммарного сигнала на выходе согласованного фильтра в момент времени t (но при

этом г е [0, 2ги]) окажется выше того же порогового значения Кпор .

Второе событие может произойти в одном из двух случаев:

1) если значение суммарного сигнала на выходе согласованного фильтра превысит пороговое значение Кпор в некоторый момент времени t в пределах главного лепестка (когда г е[гн -гп ,ти +гп ]), где гп — длительность одной позиции в коде Баркера;

2) если значение суммарного сигнала на выходе согласованного фильтра превысит пороговое значение Кпор в некоторый момент времени г *тИ в пределах любого из 2 (М -1) боковых лепестков (когда г е[ги +(2г +1)гп, Ги +(2г +3)гп ]), где М — позиционность кода Баркера, а ■ „ М - 3 _

I - 0..—2— . Так как в отсутствии шумов значение выходного сигнала в момент времени г - ги равно ВЕ2Х, то вероятность первого события

1 Кпор-БЕвх ( 2 Л

Р1 - Р (( (г -Г )+ БЕ2Х ^ Кпор )^-/2=--- | еХР I АХ -

''/2ЖСГ2ЫХ -® V 2^вых ) (1)

1 (К - БЕ Л ( )

: —+ ф| —пор---2Х

2 I 7

V 2ЫХ

где использована табулированная функция Лапласа (х ) - 1— Г ехр I- — I Лг, ап (г) — мгновенное значение шума. Условная

Ф'л,_ЖrFУ 2

вероятность того, что второе собыгтие произойдет в пределах главного лепестка, равна

Р2.гл = P (n (*) + «вых.гл ^ Кпор | { 6 [Ги - Гп. Ги + Гп ]) =

----- f exp (------dx = --ф( Kпор - авыхгл 1.

yjlnGвых Кпор-Овыхгл У 2СТВЫХ ) 2 V ^ВЫХ )

где авыхгл — значение полезного сигнала на вытходе согласованного фильтра в пределах главного лепестка, которое может принимать любые значения в диапазоне от -ВЕВХ до ВЕВХ, а условная вероятность того, что второе событие произойдет в пределах любого из боковых лепестков

16 [г, ±(2i + 1)г„,г, ±(2i + 3)гп].i = C..M—3

1 j exp(-2Hdx=- -Ф1—

где а2ЫХбок — значение полезного сигнала на выходе согласованного фильтра в пределах любого из боковых лепестков, которое может при-

~ бе2Х бе2Х

нимать любые значения в диапазоне от----------— до

ММ

Вероятность того, что второе событие произойдет именно в пределах главного или любого из боковых лепестков может быть легко определена с помощью следующей геометрической трактовки вероятности [4]:

Рл

2ВЕгхтп

М

^гл + 2(М - 1)5бок 2ВЕ т + 2(М -1)2ВЕт 3М -2

вх П V ' М

2(М - 1)

2 (М -1)

2 ВЕвхтп

М

2М - 2

б““ 5„ + 2 (М - ^б.*" 2ВЕ т + 2 (М -1)2 ВЕ-Тп~ 3М - 2'

вх П ' М

где Sгл и £бок — площади главного и бокового лепестков АКФ входного радиосигнала. Тогда полная вероятность наступления второго события:

Поскольку значение полезного сигнала на выходе согласованного фильтра в пределах главного или бокового лепестка может быть любым, а события, соответствующие любой из таких реализаций сигнала, несовместны, то необходимо просуммировать вероятности, соответствующие отдельным таким реализациям.

Плотность вероятности того, что некоторая случайная величина А е[-ВЕвх ,ВЕвх ] принимает значение в диапазоне [а1 ,а1 + с1а1 ] (рис. 1) равна [4]

ар ( е[а„а! + аЦ ]) _ 1 _ :

Ка1 )_■

аа.

аа.

ВЕ

1 --

ВЕвх

(2)

97

4'

\ 1 “ лт

; \ >г

тп\ о ч Ас

-ВЕ**.

Рис. 1. К определению плотности вероятности

По аналогии можно записать плотность вероятности того, что неко-

ВЕ ВЕ

торая случайная величина А2 е пазоне [а2 ,а2 + аа2 ]

М М

принимает значение в диа-

ВЕ

ВЕ

(3)

Нетрудно проверить, что условие нормировки для записанных плотностей вероятности выполняется

^^вх М!

| (а1 )аа1 _ 1; | (а2)а2 _ 1.

ромб

ВЕ.

- ВЕ

98

Используя плотности вероятности (2) и (3) в качестве весовых функций, можно легко просуммировать вероятности Р, гл (а1) и Р26ок (а2) для различных значений а1 и а2:

«, = 'Нг,Ы-(„)«а -1 {(і.ВЕ;)■>. *(>-^(-Л)}, (4)

ГДе 3 - Р1 (?2 )-^ (?1 ) , ^ ^ (?1 )-^ (/з ) , ^ (/, )-F2 (і, ) , 3, - ^ (?1)-^ ( ),

^(/)- і. ф(/)+-ц=- ехР ^, (/)- 2 ф(/)+2/2^ •ехр (-1

К К + ВЕ К - ВЕ

и введены обозначения /1 - —^, /2 - ----її и /з - -----" ;

2

^вых

Р2* = 1 _МО.^[1 + у; + [1 _^ |у_МОа('_у4)

2 2 ВЕвх Ц ВЕвх | 1 ^ ВЕвх ) 2 ВЕвх 1 3 4'

где У', У', J'?. и ^4 получаются из У1, У2, J3 и JЛ путем замены г2 и г3 на

МК + ВЕ МК _ ВЕ

= пор------—— и < =---505---51 соответственно.

2 Ма—ых 3 Ма—ых

Тогда искомая вероятность неправильного определения времени приема РЗС на основе кода Баркера оказывается равной

р(к ) = р • Р2 = 1 + Ф[Кдор _ВЕ—х 1 •{ М р* + 2М _2р/б } . (5)

' р' 1 2 2 ^ авых ) 1 3М _ 2 2 3М _ 2 2 ]

Кривые вероятности (5) имеют ярко выраженный максимум при некотором значении порога Кдор. С уменьшением отношения сигнал/ шум наибольшее значение вероятности ошибки, достигаемое при данном пороге, увеличивается. На рисунке 2 приведен график зависимости максимальной вероятности ошибки определения времени приема РЗС на основе кода Баркера с разрядностью М = 5, М = 7, М = 11 и М = 13 на фоне белого шума. Здесь же представлена зависимость максимальной вероятности ошибки определения времени приема РЗС без внутриимпульсной модуляции. Оценка вероятности ошибки для не-модулированного РЗС осуществлялась по произведению вероятностей, определяемых выражениями (1) и (4), поскольку АКФ такого простого РЗС имеет треугольную огибающую и не содержит боковых лепестков.

Анализ полученных зависимостей показывает, что переход к РЗС с большими базами (в данном примере с большей разрядностью М ) позволяет уменьшить вероятность ошибки определения времени приема. При типичном для организации радиосвязи в канале уровне значимости 0,95 — 0,98 (вероятности ошибки 0,02 — 0,05) отношение сигнал/шум на входе согласованного фильтра должно быть не хуже чем: -24,5 дБ — для М = 5; -26 дБ — для М = 7; -28 дБ — для М = 11; -28,7 дБ — для М = 13 . Таким образом, выигрыш в критическом значении отношения сигнал/шум на входе согласованного фильтра составляет 4,3 дБ при переходе от РЗС на основе кода Баркера с М = 5 к такому же РЗС с М = 13 .

При одном и том же уровне значимости отношение сигнал/шум на входе согласованного фильтра должно быть не хуже -14 дБ при исполь-

вых

вых

зовании РЗС без внутриимпульсной модуляции (простых РЗС). А это означает, что переход от простых РЗС к сложным дает выигрыш в критическом значении отношения сигнал/шум от 10,5 до 14,7 дБ.

Рис. 2 — Кривые максимальной вероятности ошибки определения времени приема РЗС без модуляции и на основе кода Баркера с разрядностью:

1 — М = 5 , 2 — М = 7 , 3 — М = 11, 4 — М = 13 и 5 — РЗС без внутриимпульсной модуляции на фоне белого шума: по оси абсцисс отложена величина отношения сигнал/шум на входе согласованного фильтра в дБ, по оси ординат — значение вероятности

Полученные критические значения отношения сигнал/шум очень малы и это доказывает, что с этой точки зрения корреляционный анализ для сложных узкополосных РЗС по-прежнему применим. Ситуация может сильно измениться в том случае, когда вследствие многолучевости отраженного от цели или ионосферы сигнала вершина АКФ окажется плоской, что затруднит решение задачи определения времени приема радиосигнала.

Работа выполнена в рамках НИР на выполнение государственных работ по теме:

«Разработка эффективных алгоритмов обработки сигналов в судовых локационных и навигационных устройствах» (№ 2013-ИГЗ).

Список литературы

1. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М., 1983.

2. Бакулев П. А. Радиолокационные системы : учебник для вузов. М., 2004.

3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов. М., 1988.

4. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем : учеб. по-соб. М., 2003.

99

Об авторах

Елена Вячеславовна Волхонская — д-р. техн. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: volkhonskaya_e@mail.ru

Евгений Владимирович Коротей — ст. преп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: eugeny_korotey@mail.ru

Ксения Валерьевна Власова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: p_ksenia@mail.ru

About the authors

100

Elena Volkhonskaya — Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: volkhonskaya_e@mail.ru

Evgeny Korotey— lecturer, Department of telecommunications, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: eugeny_korotey@mail.ru

Ksenia Vlasova — PhD, lecture, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: p_ksenia@mail.ru