Оценка величин допусков параметров подшипника скольжения по дисперсии его несущей способности Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 621.822.5.001.2

ОЦЕНКА ВЕЛИЧИН ДОПУСКОВ ПАРАМЕТРОВ ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ ПО ДИСПЕРСИИ ЕГО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

С.Г. Дадаев

Приводятся теоретические положения и методика назначения допусков параметров подшипников скольжения при их серийном изготовлении. На примере ступенчатого подшипника скольжения с несжимаемой смазкой рассчитываются допуски параметров для различных законов распределения случайных величин.

При серийном изготовлении подшипников скольжения их геометрические и другие параметры оказываются случайными величинами, которые располагаются в соответствующих полях допусков. Для обоснованного назначения допусков геометрических и других параметров подшипников скольжения необходимо установить связи между случайными отклонениями параметров от номинальных и случайными отклонениями их характеристик.

Если рассматривать геометрические и другие параметры подшипников скольжения как случайные непрерывные величины, то его характеристики будут функциями случайных величин и поэтому также должны рассматриваться как случайные непрерывные величины.

Пусть имеется [1] непрерывная функция U случайных переменных Х15Х2,...,ХП U = f(X,,X2v;Xn) (1)

и пусть известны неслучайные характеристики случайных аргументов X,: математические ожидания MX, = vX| (МО), дисперсии DX, = сг^ (д/DX, = ах^ - среднее квадратическое отклонение (СКО)) и ковариации (корреляционные моменты) cov(X,,Xj), i* j. Точное вычисление неслучайных характеристик MU и DU для случайной величины U практически невыполнимо, так как определить закон распределения U в общем случае невозможно.

Однако в том случае, когда массы вероятности распределения (Х15Х2,...,ХП) сконцентрированы в основном в малой окрестности точки P(vX], vXz,... vXn) - общего центра, как это часто бывает на практике [1], можно с некоторой точностью заменить функцию f(X,, Х2,... Хп) её линейным приближением в разложении Тейлора около точки Р:

df

f(X1>X2,...Xn)sf(vX],vX2,...vXn) + ^ (X, v'x1) + pV (-^2 vx2)+--’

cf

w

ax.

(2)

■2 Jv

8f

где —— обозначает, что в частной производной аргументы X, заменены их математическими

)у

ожиданиями ух .

Следуя [1] и приравнивая математические ожидания правой и левой частей равенства (2), получаем

МИ = №(X!, Х2,... Хп) = ЦуХх , уХ2 уХп ). (3)

Опираясь на свойство дисперсии и теорему о дисперсии суммы [1] из равенства (2), находим

дХ,

'°xt +

Jv

ydX2j

•C7X2+...+

Ay

af

ax.

af

ax.

cov(K1,X2)+...

(4)

\u^2jv

В случае, когда аргументы X, независимые случайные величины (или они слабо коррелированны), для дисперсии функции 11 будем иметь:

DU = сг{} =

' af v

ax

•^Х, +

af

ах,

■ сгХ2 +...+

af

ах

■CTY

(5)

n )v

Поставим задачу оценить дисперсию (или СКО) несущей способности ступенчатого подшипника скольжения с несжимаемой смазкой (рис. 1).

Для несжимаемой смазки (малые скорости скольжения V) безразмерная величина Кн несущей способности , приходящаяся на единицу длины подшипника в направлении оси Ъ, равна [2]

З/Л^

кн =

ррХ

где

. т-1 А

f(m,n) =--------:-------; т = 1 + —; п

з D + 1 , hr

т ------+ п + 1 л

п

— 1.

(6)

(7)

’о

В работе [2] найдены оптимальные значения топт= 1,866 и попт= 2,549, определяющие максимум безразмерной несущей способности Кн. Находим оптимальные

'О опт

Аопт-Ь0.0,866 и иши

Для удобства расчетов представим Кн в виде

( „ \2

K-H=Z'

(8)

(9)

где x =

6/Nl

PflC2

■ параметр сжимаемости [2]; С - масштаб длины.

В качестве независимых случайных величин будем рассматривать параметры А, £й, 1г0 -высоту ступени, ширину ступени и зазор между валом и втулкой.

Для конкретных вычислений примем: х = 5,0; /'=15 мм; С=10 мкм.

1. Допустим, что математические ожидания параметров не совпадают с их оптимальными значениями.

Пусть М11о=8 мкм; М А = 4 мкм ; М^0=8 мм. Средние квадратические отклонения примем равными: аЪо = 1 мкм; сгд = 0,5 мкм; сте = 1 мм, что составляет 12,5 % от математических ожиданий.

Результат расчёта: математическое ожидание безразмерной несущей способно-

сти МКН = 0,21446, производные

5К„

ah

-0,05914-

о J

мкм

дК,

ад

= 0,01104-

мкм

Дадаев С.Г. Оценка величин допусков параметров подшипника скольжения

_______________________________________________________по дисперсии его несущей способности

Ж,

\

д£0 j

-0,01881—^--; дисперсия DKH = 0,003882; среднее квадратическое отклонение мм

<тКн = 0,06231, что составляет 29 % величины несущей способности и что следует считать недопустимо большой величиной.

Предположим, что средние квадратические отклонения параметров уменьшились на порядок, т. е. сгЬо = 0,1 мкм; сгд = 0,05 мкм ; о(о = 0,1 мм.

Результат расчёта: математическое ожидание безразмерной несущей способно-

ЗК

сти М Кн = 0,21446 5 производные

\

Sh0 j

= -0,05914 — ; = 0,01104 1

мкм дЛ ), мкм

Ж,

д£0 j

-0,01881—^—; дисперсия DKH = 0,00003882; среднее квадратическое отклонение мм

(ТКн = 0,006231, что составляет 2,9 % величины несущей способности и что можно считать приемлемым.

2. Допустим, что математические ожидания параметров совпадают с их оптимальными номинальными значениями М А = 6,928 мкм; М ^ 0 =4,227 мм. Оставим те же величины средних квадратических отклонений параметров, что и в первом случае: аЬо = 1 мкм ; сгА = 0,5 мкм ; а, -1 мм .

Результаты расчёта: М Кн = 0,26858 совпадает с номинальным оптимальным значением;

Ж,

öh0 j

\ ч

= 0,86-10"6

мкм

= -0,06715-Ь «iL мкм 5Д

1 ж„

= -0,353 • 10~5 —; D Кн = 0,004509;

ММ

0 J у

ак = 0,06715, что составляет 25% величины несущей способности и что следует также считать недопустимо большой величиной. Однако эта большая величина обусловлена, как нетрудно увидеть, только большой величиной СКО параметра h0. CKO двух других параметров практически

не влияют на СКО несущей способности, так как производные по этим параметрам весьма малы из за того, что МО этих параметров совпали с их номинальными оптимальными значениями. Отсюда вытекает вывод: чем ближе МО параметров к их оптимальным номинальным значениям, тем меньше СКО характеристики от оптимального значения. При этом требования к СКО параметров, доставляющих экстремум характеристике, становятся менее жёсткими.

Определив приемлемые СКО параметров для приемлемого СКО характеристики, можно назначить допуски на параметры, если известен закон распределения параметра как случайной величины.

Если закон распределения равномерный (рис. 2), то = yho = Mh0 = 8 мкм и

(в - а)2

Dh0 = ' =0,01 мкм2. Решая эти уравнения совместно, находим: а = 8-0,173 мкм,

в = 8 + 0,173 мкм. Получается симметричное поле допуска 0,346 мкм.

Р(х)

Ух

Рис. 2. Равномерный закон распределения случайной величины

При нормальном законе распределения поле допуска может быть назначено в виде (8-3о, 8+Зсг) при доверительной вероятности попадания размера в поле допуска 0,9973, или в виде (8-2о, 8+2с) при доверительной вероятности попадания в поле допуска 0,9500.

Заключение

Рассматриваемый подход к назначению полей допусков на параметры подшипников скольжения может быть распространён и на случай, когда рассматривается оптимизация не по одному, а по нескольким критериям.

Литература

1. Смирнов, Н.И Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений/Н.И. Смирнов, ИВ. Дунин-Барковский. - 3-е изд., стереот. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

2. Опоры скольжения с газовой смазкой / С.А. Шейнберг, В.П. Жедь, М.Д. Шишеев и др.; под ред. С.А. Шейнберга. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1979. - 336 с.