Оценка устойчивости упругой трубы под давлением коррозионных сред Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3

Ю. Г. Пронина

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОЙ ТРУБЫ ПОД ДАВЛЕНИЕМ КОРРОЗИОННЫХ СРЕД *>

1. Введение. Под влиянием внешней среды часто происходит самопроизвольное разрушение материалов конструкций, сопровождающееся изменением их механических характеристик, т. е. коррозия. В данной работе рассмотрен равномерный коррозионный износ толстостенной трубы без образования локальных очагов разрушения. Скорость коррозии зависит от многих факторов: свойств материала и среды, температуры, давления, наличия концентраторов напряжений, длительности процесса и т. д. Эти зависимости устанавливаются экспериментально. Влияние напряжений на скорость коррозии было открыто еще на рубеже XIX-XX вв. [1]. Согласно [2, 3], напряжения увеличивают скорость коррозии металлов в кислых средах и практически не влияют на сплошную поверхностную коррозию в нейтральных и слабощелочных средах. Причем зависимость скорости сплошной коррозии от напряжения близка к линейной [2, 4, 5]. Впервые влияние напряжения на скорость сплошной коррозии было учтено В. М. Долинским [6] при расчете тонкостенной трубы под действием продольной силы. В настоящее время имеется множество работ, посвященных этой тематике. В задачах устойчивости пластин и оболочек уравнение коррозионного износа было, по-видимому, впервые применено в работах [3, 7]. В книге [8] представлена задача о равномерной коррозии трубы и ее устойчивости при экспоненциальной зависимости скорости коррозии от уровня среднего напряжения.

В настоящей статье построено решение задачи классической теории упругости о равномерной коррозии трубы при линейной зависимости скорости коррозии от главного напряжения с учетом затухания коррозии во времени. Устойчивость и долговечность цилиндрических оболочек исследована с учетом изменения механических характеристик материала трубы.

2. Постановка задачи. Рассматривается плоская деформация длинной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего рг и внешнего рд давления коррозионных сред. Внутренний и внешний радиусы цилиндрической оболочки в начальный момент времени i = 0 обозначены соответственно через го и Rq. Пусть под действием среды материал трубы корродирует равномерно по внешней и внутренней поверхностям, т. е. ее поперечное сечение меняет свои размеры, оставаясь при этом концентрическим кольцом. Через промежуток времени t его внутренний радиус увеличивается от го до г = го + Sr, а внешний радиус уменьшается от Ro до R — Rq — 5 д. Обозначим скорость коррозии материала цилиндра с внутренней стороны через vr, a с наружной - уд. Согласно [2, 5], наилучшее совпадение с экспериментальными данными обеспечивается следующими выражениями для скоростей коррозии:

vr = + ^ = [аг + mr<7i(r)] exp(-fti) при |oi(r)| ^ (1)

*> Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 05-01-00274, 06-01-00171). © Ю. Г. Пронина, 2006

VII = = [ад +тла1(Л)]еХр(-И) при ЫД)| ^ (2)

Здесь Ь,аг,ал,тг^тд - константы, зависящие от свойств материала и среды, причем аг = — тпгаад — г>д — тца1^; а''1, <7д - пороговые напряжения (различные для сжимающих и растягивающих напряжений); г/^ - начальные скорости коррозии при |стг(г)| < |<т*Л,|, |сг1 (/2)| < |<Тд о-! - максимальное нормальное напряжение.

3. Вывод основного разрешающего уравнения. Точное решение плоской задачи теории упругости о толстостенной трубе (задачи Ламе) в полярных координатах р, 0 имеет вид

, ч Рл-Рг (П2 , г2К2\

0оо(р) = -Рт - К2_г2 + -рг) ' (3)

PR - Рг

к2

рр{р) = -Рг - Jp^ (R - ), (4)

р

г ^P^R, О 5С в < 2тг.

Как видно из этих формул, в случаях, когда г — 0, рг = 0, pr — р или рт — PR — Р-, в рассматриваемом теле реализуется однородное напряженное состояние: аде = арр = —р. на которое скорости коррозии не оказывают никакого влияния вплоть до исчерпания несущей способности тела. Если R оо, напряжения меняются, оставаясь постоянными на линиях r/p = const. На максимальном значении напряжений рост радуса г не отражается. В остальных случаях уменьшение толщины кольца приводит к возрастанию напряжений.

Рассмотрим кинетику напряжений. Согласно [5], решающее влияние на скорость коррозии оказывает максимальное нормальное напряжение. Из выражений (3), (4) видно, что максимальным нормальным является напряжение <700. Наибольшего по абсолютной величине значения оно достигает на внутренней поверхности трубы. Поэтому будем следить за ростом напряжения сгвв(г) = о\(г). Рассмотрим случай, когда напряжения <7i(г), <7i(Л) в начальный момент времени больше заданных пороговых значений: |о?(г)| > |а?(Д)| > |<|. Соотношение (3) дает

, \ г/2 + 1 г,2

где

R Ro — о r .

*!= — =-—=-. (6)

г Го + ог

В начальный момент времени t = О

<ri(r)Uo = а?(г) =Рг^Ц - щ = (7)

'/о -1 Ч О 1 'о

Из уравнения (3) также следует, что

2 п2 -1-1

ai(R)=Pr~2-7-PR—>-7 = - Pr + PR- (8)

Tj — 1 f]Z — 1

С учетом соотношения (8) зависимость (2) можно переписать в виде

-[R°~ 5r] = -[Ar + ruRa^r)} exp(-W), (9)

dt

в котором

Ли = ан -тл(рг- рп). (10)

Из выражения (5) легко вывести обратную связь (при рг ф рв):

Д 2(рг-рд) = / ах(г)+рТ

V оп(г)-Рг + 2рл у (г)-рг + 2рд" ;

Находя из формул (1) и (9) напряжение <71 (г) и приравнивая полученные выражения между собой [8], а затем интегрируя это уравнение по I от 0 до будем иметь

^ (го + ^ [ехр(-М) - 1]) + Ло - ^ [ехр(-Ы) - 1] Щ - дл _ тпя тпг \ -Ь_)__-Ь_

г0 + ёг Шг Го ~Ь дг

Отсюда с использованием обозначения (6) вытекает равенство

тпг0 + тгЯ0 -I- ( ~ [ехР(_ь0 ~ Ц

го + 5Г =-^---L-• (13)

Г]тг + тд

Дифференцируя выражение (5) по времени несложно получить

(г) ,. , г? с1г1 , ч

С помощью соотношений (1), (9) можно определить производную йт) <1 Но - 5я _ Ац + тпцсгх (г) + [ог + тгст! (г)] г/

вЛ, (11 го + (го + 6г) ехр(Ы)

Суперпозиция формул (11)—(15) приводит к дифференциальной зависимости [9]

(15)

(¡ах (г) _ у/[<л (г) +Рг][<Г1(г) - Рг + 2рд] <а рг - ря

[Ал + гадО"! (г)] л/<71 (г) - рг + 2рд + [аг + тг<71 (г)] л/(г) + рг

тн ( г0 - ~ \ + тг [Яо +

п., , аг АЦ ехр(от) + тпц—- — тпг—-—о —о

X [тПгу/сГ!^) + рг + тд \/ау(г) — Рг + 2рд|. (16)

К этому уравнению необходимо добавить начальные условия в форме (7).

4. Решение задачи для случая внешнего давления. В качестве примера приведем решение задачи для трубы под действием только внешнего давления агрессивной среды: рц = р, рг = 0, ат = тпг = 0. Значения г0, Ло, р, ад, тд, а следовательно (см. (7), (10)), и Ад, <7°(г), г]о считаются известными. В этом случае уравнение (16) после некоторых преобразований принимает вид

йох (г) тд

(И рго ехр(Ы)

К (г) + Лд/тд]К(г) + 2р] а/<71 (г) [<71 (г) + 2р].

Разделяя переменные и интегрируя последнее равенство по ( от 0 до < и по ста (г) от <7°(г) до о"1(г), получаем

* = --1п{1-&Т(а1(г))} при * = Т(а1(г)) при ь = о,

(17)

(18)

где

при \2р\ >

А

д

гпя

ТЫг)) = -

Го

т" - 2р)

0-1 (г)

<71 (г) +2р

Ал гая

X 1п

.¡Ал. у тд о"! (г)[сг! (г) + 2р] +ах(г) (р-й) -рАв. Утиц

1(г)\

<г°( г)/

(19)

при |2р| <

тд

Т(<п(г)) = —

Го

™Х - 2р)

ах(г)

(71 (г) +2р

т?о +

Ак

тд

+ Ъ)

X 1п

,1А, у +2р) о"! (г) [(71 (г) + 2р] + <71 (г) (к-й)

(') + &

.г?(г)/

(20)

5. Простейшие случаи.

Случай А. Пусть скорости коррозии материала затухают во времени (коррозия с образованием защитной пленки продуктов коррозии) и не зависят от напряжений (в нейтральных или слабощелочных средах). Тогда

V0

= ехр(-М), 6т = -^[1- ехр(-М)], (21)

0-р

= ^ехр(-М), ¿л = ^[1 - ехр(-М)], (22)

Од

где - скорости коррозии в начальный момент времени t — 0. Внося эти зависи-

мости в соотношение (3), находим

0-1(7-) -рг~:

«я

+

г0 + ^[1-ехр(-М)]

г0 + ^[1-ехр(-М)]

од

"л

г;.

о

г0 + ^[1-ехр(-М)]

г. (23)

Случай В. Если скорости коррозии уг и у л постоянны, не зависят от времени и напряжений, то, как следует из выражения (3), максимальное нормальное напряжение можно оценить по формуле

, ч До - ид*2 + г0 + 2

= РГГБ-ТТ2—Г-;-712 ~ 2РЯ

До - - г0 + угЦ2

[До -

[Ло - упг]2 - [го + м]2'

(24)

Отметим, что интегральные кривые уравнения (16) для этих примеров совпадают с кривыми, построенными по формулам (23), (24).

6. Определение толщины стенок трубы. Для исследования устойчивости трубы важно знать толщину ее стенок в любой момент времени. По графику роста напряжений во времени для любого £ можно определить соответствующее а\ (г). Далее по формуле (11) легко вычислить отношение г} и затем - из соотношения (13) - величину износа с внутренней стороны трубы:

тпг (До - т]г0) - у [ехр(-Ы) - 1] {тпцаг - гпгАЕ)

Г]ГПг + ГПц

Из соотношения (12) определяется связь между 6ц и 6Г, которая с учетом (25) дает

(25)

8ц

тя (До - Пго) + 7 [ехр(-Ь£) - 1] (шдаг - тпгАн) _о_

Т] ГПг + ГПЦ

(26)

Общее уменьшение толщины оболочки определяется суммой двух последних выражений: 5 — 6л+5г. Отсюда толщина К стенок трубы, соответствующая любой паре (/. 0{). вычисляется по формуле

Л. = До — г0 — 5

-{

тгЯо + тдго - - [ехр(-Ь£) - 1](тлаг - тгАп) [> х \М + Рг - \[о\ -Рг + 2рп

тТу/о\ +рг + тду/о\ — рТ + 2рл

Если скорость коррозии затухает во времени и не зависит от напряжений (случай А), то, как следует из (21), (22), толщина стенок трубы определяется выражением

Н = Я0-г0- ^[1 - ехр(-М)] - ^[1 - ехр(-Ы)].

Ог Оя

В случае постоянной скорости коррозии (случай В) очевидно, что

к — Д0 - г0 - (ул +

7. Устойчивость цилиндрической оболочки. Потеря устойчивости трубы под действием внешнего давления происходит, когда толщина ее стенок становится достаточно малой. Поэтому для определения момента потери устойчивости можно воспользоваться известными формулами для тонких цилиндрических оболочек [11]: • для оболочек средней длины Ь

(27)

где С = у/бЕтт/[9(1 - и2)3/4] для шарнирного закрепления, С = \/б-Б1У504/[9(1 - г/2)3/4] для жесткого защемления; • для длинных оболочек

Е Ь2

°сг ~~ 4(1 — и2) Л2 (28)

Здесь Е - модуль Юнга, и - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Для уточненного расчета различных оболочек на устойчивость вводятся поправочные коэффициенты или пользуются более точными уравнениями, которые решаются численными методами.

Следует иметь в виду, что потеря устойчивости происходит при рд > рг, когда напряжения <?!(р) < 0. Поэтому критерий устойчивости принимает вид —ах(г) = асг. С учетом того, что /г = Л — г — Л — формулы (27), (28) записываем в виде

( 1\3/2

-а1(г)=осг = С11(1--) , (29)

Е Л Г2

Подставляя в равенства (29), (30) вместо Я, = Яо — 5д выражение, найденное с помощью (26), и вместо г] - выражение (11), получаем формулы для определения критического напряжения сг\(г) — —асг. Для длинных оболочек, например, из (30) следует уравнение

Е =_(г) [(л (г) +Рг]__

2(1 — и2) ел (г) + рн - у/[ах (г) + рг] [ел (г) - рт + 2ря]'

которое решается численно. Далее с помощью решения уравнения (16) (например, по формулам (17)-(20)) несложно рассчитать соответствующий момент времени £сг.

Если скорости коррозии не зависят от напряжений (случаи А и В), то для установления момента £сг потери устойчивости можно приравнять выражение (23) или (24), взятое с противоположным знаком, к (29) или (30) и решить получившееся уравнение относительно

Указанным способом допустимо пользоваться, когда модуль Юнга и коэффициент Пуассона постоянны. Однако с течением времени механические характеристики материалов меняются [12], особенно под влиянием агрессивных сред [13].

При определении момента потери устойчивости следует учитывать, что часто происходит разрушение или течение материала, пока критическое напряжение еще не достигнуто. Очевидно, это справедливо для толстостенных труб (но в таком случае неприменимы уравнения теории тонких оболочек). Кроме того, под воздействием различных веществ происходят адсорбционное снижение прочности металлов (особенно для высокопрочных сталей) и повышение их модуля Юнга [4, 10], что сопровождается охрупчи-ванием материала и в то же время приводит к повышению критического напряжения. Однако в некоторых случаях (при высоком гидростатическом давлении) предел прочности материала может повышаться вследствие залечивания микропористости [14]. Из вышесказанного следует, что для оценки срока службы линейной части трубопровода под давлением агрессивных сред необходимо составить комплексную картину его поведения с учетом изменения механических характеристик металла и скорости коррозии с течением времени. Тогда долговечность трубы можно определить графически: первой (с минимальным £) точкой пересечения кривой изменения действующего напряжения с кривыми изменения критического напряжения и предела прочности (или текучести) материала.

8. Примеры расчета. На рисунке представлены примеры определения долговечности трубы под действием наружного давления агрессивной среды.

Определение долговечности трубы под действием наружного давления агрессивной среды.

Объяснение см. в тексте.

Поскольку потеря устойчивости трубы происходит при сжимающих окружных напряжениях, которые считаются отрицательными, графики напряжений лежат ниже оси абсцисс. Предел прочности материала при сжатии также отрицательный. Величина критического напряжения, вычисляемая по формулам (27) или (28), берется со знаком «минус». Ввиду того, что поведение интегральных кривых уравнения (16) для различных начальных данных (имеющих физический смысл) аналогично приведенному на рисунке, там не указаны численные значения. Пунктирные линии соответствуют активной коррозии (с относительно высокой скоростью), а штрихпунктирные - коррозии с достаточно высоким показателем затухания Ь при одинаковых начальных условиях.

Кривые 1 и 4 изображают рост окружных напряжений ai(r). Кривые 2 и 5 показывают значение правой части формул (27) или (28) при Е — const, а 3 и 6 - при возрастающем со временем модуле Юнга. Как видно из рисунка, при увеличении модуля Юнга критическое напряжение, а следовательно, и время его достижения повышаются. Сплошные кривые показывают изменение предела прочности материала: кривая 7 относится к случаю его равномерного снижения по абсолютной величине, а 8 - к случаю его повышения. Кривая 1 пересекает соответствующие ей кривые изменения критического напряжения раньше, чем кривые предела прочности, поэтому в данном случае долговечность t* определяется моментом потери устойчивости. Кривая 4 выходит на горизонтальную асимптоту, не достигнув критического напряжения (которое также перестает снижаться с затуханием коррозии). Поэтому во втором случае долговечность определяется временем до разрушения и зависит от скорости снижения предела прочности материала (или случайных факторов).

Summary

«

Pronina Yu. G. Estimation of stability of an elastic tube under the pressure of corrosive environments.

The general uniform corrosion of an elastic thick-wall tube under the pressure is investigated. A differential equation for the stress kinetics when corrosion rate depends on time and stress is derived. Formulas for the tube wall thickness are found. Stability of cylindrical shells is examined taking into account changes of mechanical characteristics. An algorithm to determine theoretical lifetime of cylindrical shells subjected to pressure of corrosive surrounding is developed.

Литература

1. Акимов Г. В. Основы учения о коррозии и защите металлов. М.: Металлургиздат, 1946. 463 с.

2. Аптикайн П. А. Металлы и расчет на прочность котлов и трубопроводов. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 368 с.

3. Карпупин В. Г., Клещев С. И., Корнишин М. С. Долговечность пластин и оболочек в условиях коррозионного воздействия среды // Прочность и долговечность конструкций / Отв. ред. В. С. Гудрамович. Киев: Наукова думка, 1980. С. 35-44.

4. Наумова Г. А., Овчинников И. Г. Расчеты на прочность сложных стержневых систем и трубопроводных конструкций с учетом коррозионных повреждений. Саратов: Изд-во Сара-товск. ун-та, 2000. 222 с.

5. Павлов П. А., Кадырбеков Б. А., Колесников В. А. Прочность сталей в коррозионных средах. Алма-Ата: Наука, 1987. 272 с.

6. Долинский В. М. Расчет нагруженных труб, подверженных коррозии // Химическое и нефтяное машиностроение. 1967. № 2. С. 9-10.

7. Корнишин М. С., Карпунин В. Г. К устойчивости пластин и оболочек с учетом общей коррозии // Труды семинара по теории оболочек. Казань: Изд-во Казанск. физ.-техн. ин-та АН СССР. 1975. Вып. 6. С. 58-66.

8. Гутман Э. М., Зайнулин Р. С., Шаталов А. Т. и др. Прочность газопромысловых труб в условиях коррозионного износа. М.: Недра, 1984. 76 с.

9. Пронина Ю. Г. Задача о толстостенной трубе, находящейся под давлением коррозионных сред // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб.: Соло, 2004. Вып. 8. С. 222-231.

10. Верукштис Г. К., Кларк Г. Б. Коррозионная устойчивость металлов и металлических покрытий в атмосферных условиях. М.: Наука, 1971. 160 с.

11. Волъмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

12. Харионовский В. В. Проблема ресурса газопроводных конструкций // Газовая промышленность. 1994. № 7. С. 17-20.

13. Щукин Е. Д. Понижение поверхностной энергии и изменение механических свойств твердых тел под влиянием окружающей среды // Физико-химическая механика материалов. 1976. Т. 12, № 1. С. 3-20.

14. Бетпехтпин В. И., Кадомцев А. Г., Кипяткова А. Ю. Пористость аморфных сплавов // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К. Ф. Черныха. СПб.: Изд-во Науч.-исслед. ин-та химии С.-Петерб. ун-та, 2000. Вып. 3. С. 194207.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.