CC BY
8
УДК 681.5.037.2
ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ «ВОДИТЕЛЬ - ТРАНСПОРТНОЕ СРЕДСТВО - СРЕДА»
В.Л. Бурковский1, Д.А. Андриков2, Ю.А. Халин2, Е.А. Титенко2, А.Г. Курочкин2
1 Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2 Юго-Западный государственный университет, г. Курск, Россия
Аннотация: рассматривается решение задачи управления транспортным средством в условиях торможения. Классический подход основан на понимании водителя как субъекта управления, а транспортного средства как объекта управления. Это известный механико-детерминистский подход с однозначным предсказанием движения транспортного средства и целевой реакции водителя. Система управления является инструментом, который дает детерминированные оценки и формирует прогноз. Интеллектуализация информационно-вычислительных процессов в транспортном средстве связывается с анализом состояния метасистемы «Водитель - Транспортное средство - Среда». Показано, что в такой метасистеме взаимодействие элементов можно формализовать с помощью теории конфликта. Это означает, что объектом рассмотрения являются открытые системы. В отличие от замкнутых систем, стремящихся к сохранению энергии покоя, открытые системы с несколькими активными объектами (игроками) образуют различные коалиции. Коалиция стремится подчинить себе «проигравшие» элементы метасистемы и обеспечить далее экстремум коалиционной функции. Рассматривается коалиция «Водитель - Транспортное средство». Для обеспечения такого подхода в качестве математической основы управления движением выбрана оценка устойчивости колебательных процессов. Для работы выбрана форма алгебраического критерия в виде критерия Гурвица. Этот критерий может быть применен для определения устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых систем. Матрица и критерий Гурвица используют идею расслоения коэффициентов для понижения степени решаемых уравнений. Расслоение осуществляется по четным и нечетным позициям с переменной длиной ряда коэффициентов. Такая двумерная комбинация коэффициентов позволяет сохранить корректность результата и упростить процесс решения. Следовательно, вычисления критерия Гурвица являются аппаратно-ориентированными и обеспечивают уменьшение времени. Получены условия устойчивости по Гурвицу, необходимые для управления метасистемой «Водитель - Транспортное средство - Среда»
Ключевые слова: система управления движением, транспортное средство, устойчивость, критерий Гурвица, характеристическое уравнение
Введение
Задача управления транспортным средством (ТС) в условиях торможения требует создания специализированных интеллектуальных систем управления (ИСУ), решающих общесистемные задачи обнаруже-
ния/распознавания состояний и ситуаций, прогнозирования поведения ТС в условиях неполной, противоречивой информации [1]. Актуальной является разработка таких моделей и методов управления движением в условиях торможения, которые позволяли бы наиболее полно учитывать, во-первых, наличие взаимосвязей между большим числом факторов, определяющих свойства и поведение рассматриваемой системы, и, во-вторых, неопределенность поведения системы в целом и составляющих ее частей. Одна из основных трудностей в анализе и принятии решения по управлению ТС состоит в необходимости обработки информации в условиях неопределенности или
при неполных знаниях о возможных последствиях предпринимаемых действий за счет трактовки ТС и собственно водителя как активных субъектов процесса управления [2]. Тогда интеллектуализация информационно-вычислительных процессов в ТС связывается с анализом состояния «Водитель-Транспортное средство-Среда» на борту машины с минимальным участием водителя в контурах управления. Другими словами, принимается трактовка ТС как часть метасистемы, включающей дорожное покрытие как элемент внешней среды.
Постановка задачи
Взаимодействия элементов в метасистеме можно формализовать с помощью теории конфликта [3]. С позиции общей теории систем [4] конфликт - это механизм взаимодействия активных объектов с противоположными целями. Объекты «ТС» и «Дорожное покрытие» погружены в метасистему и взаимодействуют между собой через объект «Водитель» (С). Объекты и внутренняя среда вместе
© Бурковский В.Л., Андриков Д.А., Халин Ю.А., Титенко Е.А., Курочкин А.Г., 2018
с отношениями между ними образуют метасистему 8урег = {S1, S2, С, Я\, т.е. систему управления ТС в условиях торможения с несколькими ЛПР (водитель, ТС).
В отличие от замкнутых систем, стремящихся к сохранению энергии покоя, открытые системы с несколькими активными объектами (игроками) образуют различные коалиции. Коалиция стремится подчинить себе «проигравшие» элементы метасистемы и обеспечить далее экстремум коалиционной функции. В зависимости от предыстории и внешних условий возможны коалиции:
а) Водитель - ТС;
б) ТС - Дорожное покрытие.
Такой подход описания конфликтного взаимодействия сталкивается с рядом ограничений:
а) неполная модель игрока «Дорожное покрытие»;
б) неизвестные априорные вероятности игроков метасистемы (распределение вероятностей);
в) разнородные данные, которые описывают конфликтное взаимодействие (детерминированные, случайные, чёткие, нечёткие и т.п.).
Подход к анализу оценки устойчивости транспортного средства
Одним из путей преодоления данных ограничений является анализ и выбор модели описания движения в условиях торможения и метода управления этим процессом для бортовой ИСУ движением.
На систему «Водитель-Транспортное средство-Среда» действуют различные внутренние и внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Система управления транспортным средством должна устойчиво работать при возмущениях среды (смена погодных условий, переход на другое покрытие с меньшим коэффициентом сцепления и т.п.). С другой стороны, она также должна учитывать действия водителя, влияющие на положение и динамику движения ТС.
В общем случае под устойчивостью понимают способность системы возвращаться с определенной точностью к состоянию равновесия после устранения причин, выведших систему из этого состояния равновесия.
Для пояснения смысла понятия устойчивости положения равновесия системы обычно пользуются следующим примером. Пусть имеется некоторая чаша, поставленная дном вниз (рисунок, а)
граница У
а) б) в)
Классические положения устойчивости и неустойчивости положения равновесия
На дне чаши в положении равновесия 1 находится тяжелый шарик, который приложенной внешней силой может быть отклонен в положение 2. В определенный момент времени, принимаемый за нулевой, внешняя сила убирается. Шарик, предоставленный сам себе, из положения 2 устремится вниз и по инерции проскочит положение 1. Затем, достигнув наивысшего положения, уже справа от точки 1 шарик снова будет двигаться вниз. Совершив несколько колебательных движений, шарик из-за наличия сил сопротивления остановится с некоторой точностью в положении равновесия 1, т.е. согласно определению имеет место устойчивость положения равновесия, для
кратности обозначаемая литерой У. Для нашей задачи это представляет собой движение по однородному покрытию, но с всевозможными изменениями траектории движения
Рассмотрим случай (рисунок, б), когда чаша поставлена дном вверх. Шарик снова находится в положении равновесия 1 и если к нему не прикладывать никаких сил, то в этом положении он будет находиться сколь угодно долго. Если же некоторой внешней силой переместить шарик в положение 2, а затем убрать эту силу, то шарик удалится от положения 1 на бесконечно большое расстояние и никогда в него не вернется. Такое положение равновесия называется неустойчивым и обо-
значается у. Для системы «Водитель - Транспортное средство - Среда» это означает движение по аварийным участкам с возможной сменой дорожного покрытия. Небольшие отклонения параметров управления транспортным средством могут привести к катастрофическим последствиям (неуправляемости транспортным средством). Этот случай и подлежит дальнейшему исследованию.
Случай (рисунок, в) изображает нейтральное положение равновесия или границы устойчивости. Если шарик, находящийся на горизонтальной поверхности в положении 1, с помощью внешней силы переместить в положение 2, а затем убрать эту силу, то шарик останется положении 2 до тех пор, пока к нему не будет приложена новая внешняя сила. Случай нейтрального положения равновесия можно обнаружить и на рисунке а, если там не существует сил сопротивления. В этом случае шарик будет совершать незатухающие колебания вокруг положения равновесия 1. В нашей задаче означает движение транспортного сред-
dnz(t) dn-1z(t) аг,-— + а-+ а.
0 dtn 1 dtn-l
ства по прямолинейному участку дороги с однородным дорожным покрытием.
Математическая модель оценки устойчивости системы «Водитель -Транспортное средство - Среда»
Далее строится математическая модель оценки устойчивости системы «Водитель -Транспортное средство - Среда».
Пусть наша система понимается как система автоматического регулирования с входным сигналом (внешней силой) х и выходным сигналом z, имеющая передаточную функцию [8]
Г (Р) = - =
Ьо рт + ь, рт-1+...+ьт
а0 рп + а р"-1 +... + аг1
Она может быть описана линейным неоднородным дифференциальным уравне-нием п-го порядка с постоянными коэффициентами
. ч , dmx(t) , dm-1 ха) , , ч (1)
. + az (t) = Ь0-^ + Ь,-Н- + ...Ь х (Л- ^
п ^ ' 0 з+т 1 Л+т-1 т \ /
dtm
dtm
Из (1) решение этого неоднородного уравнения z(t) состоит из общего решения zсв(t) однородного дифференциального уравнения
dnz(t) dn-1 zа) , ч л (2)
а„—-У- + а—-—Г2- + ... + anz ^) = 0 (2)
dtn
dtn
если
, А = сonst
lim z (. =
то система
нейтральна, т.е. находится на гране устойчивости.
Дифференциальному уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение [6]
и частного вынужденного решения zвын(t) неоднородного дифференциального уравнения (1)
z(t)= ZCв(t)+ Zвын(t) .
(3)
Из определения устойчивости, данного выше, следует, что устойчивость системы «Водитель - Транспортное средство - Среда» устанавливают в ней, после того как устраняется внешняя сила х(?), выведшая систему из
состояния равновесия. Иными словами, устойчивость системы определяет переходный процесс zсв(t), т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2). Таким образом, признаками устойчивости системы являются:
если Пт z = 0, то система устойчива;
св(0
если
Нш z
—> вд ^
свр) , то система неустойчи-
а0р +а,р
п-1
.an-lp+an=0 .
(4)
Корни характеристического уравнения (4) могут быть либо вещественными (в том числе нулевыми), либо комплексно-сопряженными (в том числе чисто мнимыми).
Решение дифференциального уравнения (2), как известно, имеет следующий вид
Zсв(t) = 1 А/' 4
(5)
ва;
где А, - постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями; р - корни характеристического уравнения (4).
Определив все корни характеристического уравнения системы, можно по знакам корней установить устойчивость системы. Однако аналитически находить корни характеристиче-
ского уравнения уже четвертой степени удается далеко не всегда (лишь для биквадратных уравнений). Поэтому естественным становится желание определить устойчивость системы, не находя корней характеристического уравнения, а используя другие свойства математического описания систем - коэффициенты характеристического уравнения, частотные и другие характеристики систем.
Признаки, позволяющие иметь суждения об устойчивости системы «Водитель - Транспортное средство - Среда» без решения уравнения (3), получили в теории автоматического регулирования название критериев устойчивости. К настоящему времени разработано много критериев устойчивости, как алгебраических, так и частотных. Применительно к нашей задаче далее рассматривается алгебраический критерий Гурвица.
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Наиболее распространенная в технической практике форма алгебраического критерия устойчивости известна под названием критерия Гурвица [9]. Этот критерий может быть применен для определения устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых САР в зависимости от того, характеристическое уравнение какой из вышеназванных САР принято для исследования.
Нижерассматриваемый критерий приводится без доказательства.
Для характеристического уравнения (3) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов (матрицу Гурвица)
А п =
а1 а3 а5 • 0 0
а0 а2 а4 • 0 0
0 а1 а3 • 0 0
0 а0 а2 • 0 0
0 0 0 • ■ ап_1 0
0 0 0 • ■ ап_2 ап
(6)
Эта матрица составляется следующим образом.
По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а1 до а п. Каждая
строка дополняется коэффициентами с возрастающими слева направо индексами так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также, если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль. Можно заметить, что индексы в столбцах нарастают снизу вверх, поэтому нетрудно понять, что в правом крайнем столбце единственным элементом, отличным от 0, будет нижний элемент ап .
Главные диагональные миноры или определители матрицы Гурвица (6) имеют вид
А1 = а1
А 2 =
Аз =
а1 а3 а5
а0 а2 а4
0 а1 а3
= а п •А п -1 •
Формулировка критерия устойчивости Гурвица обычно дается в следующем виде:
Для устойчивости системы «Водитель -Транспортное средство - Среда» необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были бы больше нуля А; > 0 0=1, 2, ... п).
Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв нулю последний минор Ап = ап • Ап_1 = 0 при положительности всех остальных главных диагональных миноров. Это условие распадается на два условия: ап = о и Ап_\ = 0. Первое
условие ап = 0 свидетельствует о том, что характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, это соответствует границе устойчивости апериодического типа, а второе А 1 = 0 говорит о наличии пары чисто мнимых корней и существовании колебательной границы устойчивости.
Если интересует граничное значение какого-то параметра (например, коэффициента усиления £,„), при котором система становится нейтральной, то его можно найти из выражения
Ап = ап • Ап , = 0
п п п _1
а1 а3
п
Для исследования устойчивости системы «Водитель - Транспортное средство - Среда» необходимо проанализировать уравнение четвёртого порядка вида (4). Тогда матрица Гурвица выглядит следующим образом
Л4 =
a1 a3 0 0
a0 a2 a4 0
0 a 1 a3 0
0 a0 a2 a4
Условия устойчивости по Гурвицу выгля-
дят
a0 > 0;
A1 = laJ = a1 > 0;
a1 a3
= aja2 - a0a3 > 0;
a1 a3 0
a0 a2 a4 =aaa
0 a1 a3
a4 A3 > 0.
aj a4
a a2
2
При всех положительных минорах последнее неравенство выполняется лишь при а > 0 и тогда в предпоследнем неравенстве
второе слагаемое а2а положительно. При д > о минор Д3 будет положительным только при аъ > 0. Отсюда следует, что д будет положительным при а >о, а >о и а3 > 0, только при а2 > 0.
Итак, необходимые условия устойчивости а0 > 0, а1 > 0, а2 > 0, а3 > 0 и а4 >0 установлены. Кроме того, необходимо добавить достаточное условие
а3 • Д2 - а12а4 > 0,
которое включает в себя требование
Д2 = а1а2 - а0а3 > 0.
Заключение
Таким образом, в статье разработана математическая модель для автоматизированной оценки устойчивости системы «Водитель -Транспортное средство - Среда» и управления навигационными системами транспортного средства [10].
Данная модель позволяет получить количественную оценку устойчивости, используя классический алгебраический критерий Гурвица. Вычислительная особенность предлагаемого метода заключается в замене трудоемкой по времени процедуры поиска собственных чисел матрицы на вычисление диагональных миноров матрицы. При этом корни характеристического уравнения можно не находить, что сокращает вычислительные процедуры.
Литература
1. Зак Ю.А. Принятие многокритериальных решений. М.: Экономика, 2011. 235 с.
2. Халин Ю.А., Лисицин Л.А., Лисицин А.Л. Системы поддержки принятия управленческих решений в условиях неполной информации // Известия Юго-Западного государственного университета. 2012. № 4-2. С. 95.
3. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Введение в теорию конфликта. М.: Радио и связь, 1989. 288 с.
4. Дружинин В.В. Системотехника. М.: Радио и связь, 1985. 200 с.
5. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решения. М: Логос, 2002. 392 с.
6. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.
7. Литвак Б.Г. Управленческое решение. М.: ЭКМОС, 2005. 248 с.
8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 2010. С.463- 560.
9. Острейковский В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высш. шк., 2005. 236 с.
10. Управляемая инерциальная навигационная мультисистема / В.П. Напольский и др. // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2016. Т. 12. № 4. С. 8-14.
Поступила 22.03.2018; принята к публикации 16.07.2018 Информация об авторах
Бурковский Виктор Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: bvl@vorstu.ru Андриков Дмитрий Анатольевич - аспирант, Юго-Западный государственный университет (305040, Россия, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94), e-mail: andrikovdm@gmail.com
Халин Юрий Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, Юго-Западный государственный университет (305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94), e-mail: yur-khalin@yandex.ru
A
2
A
3 2
4
Титенко Евгений Анатольевич - канд. техн. наук, доцент, Юго-Западный государственный университет (305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94), e-mail: johntit@mail.ru
Курочкин Александр Геннадиевич - аспирант, Юго-Западный государственный университет (305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94), e-mail: ak.kursk@gmail.com
ESTIMATION OF THE STABILITY OF THE SYSTEM "DRIVER - VEHICLE - ENVIRONMENT"
V.L. Burkovskiy1, D.A. Andrikov2, Yu.A. Khalin2, E.A. Titenko2, A.G. Kurochkin2
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2South West State University, Kursk, Russia
Abstract: the solution of the problem of driving a vehicle under the conditions of braking is considered. The classical approach is based on the understanding of a driver as a subject of management, and a vehicle as an object of control. This is a well-known mechanistic-deterministic approach with an unambiguous prediction of the vehicle's motion and the target reaction of the driver. The management system is a tool that gives deterministic estimates and forms a forecast. Intellectualization of information-computational processes in the vehicle is associated with an analysis of the state of the metasystem "Driver-Vehicle-Environment". It is shown that in this metasystem the interaction of elements can be formalized using the theory of conflict. This means that the objects of consideration are open systems. Unlike closed systems that tend to conserve rest energy, open systems with several active objects (players) form different coalitions. The coalition seeks to subordinate the "losers" of the metasystem and to ensure further extremum of the coalition function. The coalition "Driver - Vehicle" is being considered. To provide such an approach, the estimation of the stability of oscillatory processes is chosen as the mathematical basis of motion control. The form of the algebraic criterion in the form of the Hurwitz criterion is chosen. This criterion can be applied to determine the stability of both open and closed systems. The matrix and the Hurwitz criterion use the idea of stratifying the coefficients to reduce the degree of the solved equations. Stratification is performed on even and odd positions with a variable length of a series of coefficients. This two-dimensional combination of coefficients allows to maintain the correctness of the result and simplify the decision process. Consequently, the calculations of the Hurwitz criterion are hardware-oriented and provide a reduction in time. The Hurwitz stability conditions necessary for controlling the metasystem "Driver-Vehicle-Environment" are shown
Key words: traffic control system, vehicle, stability, Hurwitz criterion, characteristic equation
References
1. Zack Yu.A. "The multi-criteria decision tasking" (Prinyatie mnogokriterial'nykh resheniy"), Moscow, Ekonomika, 2011, 235 p.
2. Khalin Yu.A., Lisitsin L.A., Lisitsyn A.L. "Support systems for making managerial decisions in conditions of incomplete information", News of Southwest State University (Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta), 2012, no. 4-2, p. 95.
3. Druzhinin V.V., Kontorov D.S. "Introduction to the theory of conflict" ("Vvedenie v teoriyu konflikta"), Moscow, Radio i svyaz', 1989, 288 p.
4. Druzhinin V.V. "System engineering" ("Sistemotekhnika), Moscow, Radio i svyaz', 1985, 200 p.
5. Larichev O.I. "Theory and methods of decision-making" ("Teoriya i metody prinyatiya reshenii"), Moscow, Logos, 2002,
392 p.
6. Sobol' I.M., Statnikov R.B. "Selecting optimal parameters in tasks with many criteria" ("Vybor optimal'nykh parametrov v zadachakh so mnogimi kriteriyami"), Moscow, Drofa, 2006, 175 p.
7. Litvak B.G. "Controling decision" ("Upravlencheskoe reshenie"), Moscow, EKMOS, 2005, 248 p.
8. Gantmakher F.R. "Theory of matrices" ("Teoriya matrits"), Moscow, Nauka, 2010, pp. 463-560.
9. Ostreykovskiy V.A. "Analysis of stability and controllability of dynamic systems by methods of catastrophe theory" ("Ana-liz ustoychivosti i upravlyaemosti dinamicheskikh sistem metodami teorii katastrof'), Moscow, Vysshaya shkola, 2005, 236 p.
10. Napolskiy V.P.et al. "Controlled inertial navigation multi system", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2016. vol. 12, no.4, pp. 8-14.
Submitted 22.03.2018; revised 16.07.2018
Information about the authors
Victor L. Burkovskiy, Dr. Sc. (Technical), Professor, Honored Scientist of Russia, Voronezh State Technical University (14 Mos-kovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: bvl@vorstu.ru
Dmitriy A. Andrikov, Graduate student, South West State University (94 50-years of October st., Kursk 305040, Russia), e-mail: andrikovdm@gmail.com
Yuriy A. Khalin, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, South West State University (94 50-years of October st., Kursk 305040, Russia), e-mail: yur-khalin@yandex.ru
Evgeniy A. Titenko, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, South West State University (94 50-years of October st., Kursk 305040, Russia), e-mail: johntit@mail.ru
Aleksandr G. Kurochkin, Graduate student, South West State University (305040 Kursk, street 50 years of October home 94), e-mail: ak.kursk@gmail.com
