Оценка упругопластических прогибов круглых и кольцевых пластин под действием осесимметричных поперечных нагрузок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОЦЕНКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРОГИБОВ КРУГЛЫХ И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК

А. С. Кравчук, А.И. Кравчук

EVALUATION ELASTOPLASTIC DEFLECTIONS ROUND AND RING PLATES UNDER

TRANSVERSE AXISYMMETRIC LOADS

A.S. Kravchuk, A.I. Kravchuk

Аннотация. В статье предлагается учесть упругопластическое (или нелинейно упругое) поведение материала круглой пластины или кольца с помощью линеаризации уравнения состояния материала пластины. Внесены исправления в общий вид решения дифференциального уравнения изгиба круглых и кольцевых пластин при осесимметричной нагрузке, ранее опубликованного другими авторами. Установлено, что предлагаемое в некоторых публикациях правило усечения однородного решения через интегрирование радиальной нагрузки, приводит к ошибочному определению ненулевого значения коэффициента отбрасываемого члена в случае осесимметричного распределения поперечной нагрузки отличного от постоянного. Установлено, что при этом в качестве правила усечения однородного решения следует использовать известное требование ограниченности момента в центре пластины. Впервые получены достаточные условия на поведение функции распределения интенсивности поперечной осесимметричной нагрузки в центре круглой пластины, при которой возможно получить физически адекватное решение задачи о ее прогибах. Также впервые в общем виде получены уравнения для определения коэффициентов общего решения для защемления или шарнирного опирания круговой пластины для произвольной осесимметричной нагрузки, удовлетворяющей достаточному условию существования физически оправданного решения (ограниченности момента в центре пластины). Указаны ошибки, сделанные в более ранних публикациях других авторов, посвященных изгибу кольцевых пластин под действием осе-симметричной нагрузки. Впервые в общем виде получены значения коэффициентов в решении уравнения изгиба кольца для всех возможных сочетаний условий защемления и шарнирного опирания его границ.

Ключевые слова: круглая пластина; кольцевая пластина; поперечная нагрузка; прогиб; упругопластические деформации; нелинейно упругие деформации.

Abstract: It is proposed to take into account the elastoplastic (or nonlinear elastic) behavior of the material of a round plate or ring by linearizing the equation of state of the plate material. Corrections in the general solution of the differential equation of bending round and ring plates under axially symmetric load which is previously published by other authors are made. It has been established that the rule of truncating a homogeneous solution proposed in some publications through the integration of a radial load leads to an erroneous determination of a nonzero value of the coefficient of a drop member in the case of axisymmetric distribution of the transverse load other than constant. It was established that for truncating a homogeneous solution, one should use the well-known requirement of boundedness of the moment in the center of the plate. For the first time, sufficient conditions have been obtained for the behavior of the intensity distribution function of a transverse axisymmetric load at the center of a circular plate, under which it is possible to obtain a physically adequate solution to the problem of its deflections. In the article, equations for determining the coefficients of a general solution for pinching or hinged support of a circular plate for an arbitrary axi-symmetric load are obtained for the first time in general form. The errors made in earlier publications of other authors on the bending of ring plates under the action of axisymmetric loading are discussed. For the first time in this article, the coefficients in solving the ring bending equation for

Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2019, Т.5, №3

- http://vestnik-nauki.ru -^ 2413_д858

all possible combinations of pinch and hinge support conditions of its borders are also obtained in general form.

Key words: round plate; ring plate; transverse axisymmetric load; deflection; elastoplastic deformations; nonlinear elastic deformations.

Введение

В данной статье предлагается обобщить известное уравнение изгиба упругой однородной пластины на упругопластический случай с помощью линеаризации уравнения состояния материала пластины, т.е. выбора модуля упругости как секущего для нелинейной диаграммы растяжения/сжатия образца материала.

Следует отметить, что хотя в монографии [1, с. 112], вероятно впервые, формально приведено общее решение дифференциального уравнения осесимметричного изгиба круглой или кольцевой однородной упругой пластины, однако приведенная там математическая запись неточна, т.к. использование неопределенных интегралов в записи общего решения, является существенной математической погрешностью. В силу того, что неопределенный интеграл вычисляется с точностью до константы, при подстановке всего набора необходимых констант в выражение на станице 112 монографии [1], получиться еще одно решение однородного уравнения с дополнительным набором из четырех констант. Более того, общий вид решения соответствующего однородного уравнения не совсем верно выписан, т.к. в рассматриваемой записи на странице 112 [1] логарифмические функции должны зависеть от безразмерного параметра, иначе они не могут быть применены при решении физической задачи для кольца.

Кроме того, приведенное в монографии [1, с. 113] условие усечения решения однородного уравнения с помощью вычисления усилия Qr , выполняется только для равномерной поперечной нагрузки [1, с. 113]. В случае же произвольной нагрузки это условие позволяет вычислить ненулевое значение одного из отбрасываемых по правилу (4) коэффициентов и вводит читателя в заблуждение.

Установлено, что ограниченность момента в центре пластины [2, с. 195] является одним из основных условий, без которых невозможно построить однозначного физически адекватного решения задач изгиба круглых пластин, которое в [1] вообще не обсуждается.

Подчеркнем, что решение рассматриваемых в статье задач всегда привлекало исследователей [3-5]. Однако в указанных монографиях уделялось минимум внимания изложению теоретических основ, т.е. что именно интегрировалось, а основное содержание составлял перебор вариантов рассмотренных нагрузок.

Между тем, если непосредственно посмотреть одну из основных монографий по изгибу пластин [3], то становиться понятно, что авторы допустил элементарную ошибку опять же в записи результатов интегрирования исходного дифференциального уравнения осесим-метричного изгиба круглых и кольцевых пластин, положив константу после интегрирования равной нулю и понизив при этом порядок дифференцирования левой части уравнения изгиба с четвертого до третьего.

Для пластин эта оплошность не приводит к каким-либо последствиям, но в случае колец, в распоряжении у авторов [3] остается всего 3 константы, хотя для кольца ставятся 4 краевые условия. Поскольку далее в указанной монографии идут только решенные примеры безо всяких комментариев, как авторы смогли 3 константами удовлетворить 4 краевых условия и полученные результаты вызывают определенную настороженность. В другом известном справочном пособии [4] даже простейший набор исходных формул и постановок краевых условий отсутствует, что делает невозможным проконтролировать результаты.

Линеаризация диаграммы деформирования

Предполагается, что известна наибольшая деформация материала пластины £пр, исходя из предварительных оценочных расчетов. Таким образом, задан отрезок \-snp,snp ] на

оси деформации. Тогда нелинейное поведение f материала при деформации на отрезке [-впр ,епр ] приближается линейной функцией с секущим модулем, например, по правилу наименьших квадратов:

£пр

I (/(£)- Есек • е)2с18 ^ min ,

где Eсек - секущий модуль.

Таким образом, предполагается, что к началу применения данной методики уже определены секущий модуль Eсек , а также задан коэффициент Пуассона V .

Упругопластический изгиб круглой пластины, нагруженной осесимметричной поперечной нагрузкой

Рассматривается круглая пластина радиуса R и толщиной h с центром в начале полярных координат, связанной с декартовой плоскостью [1, с. 112]:

( d2 1 d У d2 w 1 dw дКт)

. - +----

ч dr2 г dr J

+ -•-

dr2 г dr

D

(1)

где w(r) функция поперечных перемещений круглой пластины (вдоль оси 0г ), q(r) - интенсивность поперечной нагрузки, цилиндрическая жесткость пластины D определяется уравнением [1, с.99]:

Е • И D _ Есек ' л. 12 •( -V2 )

(2)

Таким образом, физически и математически оправданная запись общего решения дифференциального уравнения (1) для решения задач изгиба круглых и кольцевых пластин под действие осесимметричной нагрузки имеет вид:

w(r)_ С1 1п[ - J + С 2 • Г 2 + Сз • Г 2 • 1п1 J + С 4 +

г ( •, т( д( 1 4

1 г 1 т д 1 5 + ^! 1! \!?• q(Z)dZ

D х^'хи*

Л Л Л

d4

dg

(3)

dт,

J J J

где х (0 — X — R) - некоторая радиальная координата. Решение для круглой пластины

В (3) следует положить х _ 0, т.к. в этом случае проще будет обсуждать достаточные условия на поведение q(r) для существования решения.

При этом одними из краевых условий является опирание по краю и условие ограниченности момента в центре пластины [2, с. 195]:

М\ _-D •

г \г_0

2

^ w V dw

—Т+—Г ч dr г dr J

< еот1 < го .

(4)

г _0

пр

Указанное условие (4) является общим и универсальным для данного типа задач. Для проверки условия (4) относительно Мг в центре пластины продифференцируем (3):

= с1! + 2. С2- г + С3 • г + 2 • С3 • г • 1п(—Л + ёг 1 г 2 3 3 IЯ)

( д( 1 й

\ Л

11 г ?( 1 ? / ч

+--1 д\ - 1С-ёй

V 0Vй 0

ёд,

У

ё2 ^(г) _ 1 „ _ „ _ „ г Л

= _С1 _ + 2. С2 + 3. С3 + 2. С3.^Я^

г(1 й , . Л 11 г( д( 1 й Л Л

(5)

+ ■

1 г 15 11 г д 1 д

О| й¡С-ч(Сё ёй-I й¡С-ч(Сё ёй

О г 0V 0Vй 0

О 0й

ёд.

У

Ч(г ):

Тогда, исходя из (4) и (5), следует, что для любого осесимметричного нагружения

С1 = Сз = 0 .

Получим условие разрешимости задачи, налагаемое на нагрузку ), исходя из требования существования ограниченного решения поставленной задачи в центре пластины. То-

г( д( 14 Л Л

гда выражение ¡ д¡ —¡С' ч(С)ёС ёй ёд должно иметь нуль второго порядка при г = 0.

01 0Vй 0 У У

Отметим, что если выполнено условие:

Иш г • д(г ) = 0 , (6)

г ^0

( д( 1 й

г' 0 V 0 Vй 0

Л

1 г д\ 1 5 / ч то выражение — ¡ д¡ —¡С' ч(С)ёС ёй

ёд в (5) приобретает ограниченное значение. На-

УУ

пример, это выполняется даже при слабо сингулярном нагружении, т.е. ц(г) = А - 1п(-Я^^ или

( я Ла

) = А -1 — I , где А , а (0 <а < 1) - вещественные коэффициенты.

Таким образом, общий вид физически адекватного решения задачи для круглой пластины при выполнении условия (6) для поперечной интенсивности нагрузки можно записать в виде:

(1 т( д(1 й

1 г 1 т д( 1 й w(г ) = С2 - г 2 + С4 +1 ¡ - ¡ д¡ й ¡С-ч(С)ёС ёй

О00^ 0Vй 0

Л Л Л

ёд

ёт .

(7)

У У У

Решение в общем виде краевых задач для круглой пластины при осесимметрич-ной нагрузке для различных условий закрепления граниниц

Рассмотрим краевые условия защемления по краю пластины. Константы С2 и С4 определим исходя из этих условий [2, с. 197]:

мг \г_л _ 0

<г )

dw(r )

dr

_ 0 .

г _Л

(8)

Тогда из (7), (8) не сложно определить значения С2 и С4 :

( я( 1 4

л Л

л д{ 1 5 / ч

! я! 1 q(C)dC d4

_ 0V 0 V4 0 С2 _--

dg

1_J

2 • D • Л1

(1 т( я(1 4

С4

1 Л 1 т 1 4 „ ч

л2 • С2 -1! -! я! 1 q(C)dC d5

D 00^ 0V4 0

ЛЛЛ

dя

dт

J J J

(9)

Проверка вычисления коэффициентов (9) для постоянной поперечной нагрузки [2, с. 197] полностью подтвердила правильность полученных в (9) выражений.

Если рассмотреть шарнирное опирание [2, с. 196], то дополнительным краевым условием к условию отсутствию вертикальных перемещений края будет равенство нулю момента на краю круглой пластины Мг|г_Л _ 0. При осесимметричной нагрузке эти условия можно записать следующим образом [2, с. 195]:

w

(г )

г _ Л

_ 0

Мг\

' 1г _ Л

/ 2 Л

d w ^ dw dr2 г dr у

_ 0

г _ Л

(10)

Из (10) можно получить следующие выражения для констант:

Л ( 1 4 Л Я( 1 5

- Л2 •! 1 q(C)dC d5 + (l-V)! я! 1 q(Z)dZ d5

С2 _ -

0

л( я (1 4

Л

V 0 V4 0

dя

_I

2 • D • Л2 •( + v)

(1 т( я( 1 4

1 л 1 т ?( 1 5 , ч

С4 _-л2 • С2 - -1!1! я! 1 q(C)dC d5

D:

V 0 V4 0

ЛЛЛ dя

dт .

J J J

(11)

Проверка коэффициентов (11) для постоянной поперечной нагрузки [2, с. 196] полностью подтверждает правильность проведенных вычислений.

Общее решение дифференциального уравнения (1) для кольца при осесиммет-ричной нагрузке

Рассмотрим кольцо с внутренним радиусом Л1 и внешним радиусом Л2 . Перепишем решение (3) для кольца. Для этого положим х _ Л _ Л1:

w

(г ) = С>

(гЛ

V Я1У

+ С2 - г2 + С3 - г2 - 1п

(гЛ

1 г

+ - ¡

(* т( д(

1 т ь 1 5

1 ¡ д¡ 1 ¡С- ЧШ

vтЯlV я1vй Я;

V Я1У

ЛЛЛ

+С4 +

ёй

ёд

(12)

ёт.

УУУ

Отметим сразу, что предельный переход в (12) при Я1 ^ 0 невозможен. Т.е. нельзя физически адекватно решить задачу для круга, закрепленного каким-либо образом только в геометрическом центре.

Общее выражение для действующего в кольцевой пластине момента Мг при произвольных закреплениях внутреннего и внешнего краев кольца определяется с точностью до цилиндрической жесткости В выражением [2, с. 195]:

ё w V ёw 1 -V

(

+ = -с1 + 2-(1 + v)-с2 + з^ + 2-(1 + v)-1п

ёг г ёг

( г ЛЛ

V Я1у у

Сз -

В - г2

( г ( д( 1 й Л Л г ( 1 й

- (1 д¡ 1 ¡С-ч(С)ёС ёй ёд-г2 -¡ 1 ¡С-ч(£)ё£

Ч Я1Vй Я1

УУ

ЯlVй Я1

ЛЛ ёй УУ

(13)

Краевые условия на внутренней и внешней границе кольца

Условие равенства нулю вертикальных перемещений ^(г) (12)) на внутренней и внешней границах кольца можно записать:

w

(Я ) = Я12 - С2+С4 = 0

(14)

(Я Л

wl

(Я2)= 1п -2- - С1 + Я22 - С2 + Я22 - 1п

V Я1У

(Я Л

V Я1 У

Сз + С4 +

1ых ~в~

= 0

(15)

где

Я2Г1 т( д( 1 й Л Л Л

М =¡ - ¡ д ¡ - ¡С-ч(С)ёС

V л1

й

ёй

V

ёд

ёт .

У У У

Условия защемления кольца по внутренней и внешней границе с учетом (5) запишутся в виде:

ёw(r )

ёг ёw(r )

ёг

= Я- С1 + 2 - Я1 - С2 + Я1 - Сз = 0 ,

г =Я1 Я1

( (Я ЛЛ

г =Я2

1 Я

С1 + 2 - Я2 - С 2 + Я2

2

1 + 2 - 1п

2

V Я1УУ

- Сз +

1ы 2 В - Я2

= 0

(16) (17)

где

Я/ д( 1 й Л Л

1*2 = ¡ g¡ й¡С-ч(С)ёС

ЯlV Я1\ Я1

й.

ёй

У У

ёд .

г

1

Условия шарнирного опирания кольца (т.е. равенства нулю действующего момента) на внутренней и на внешней границе могут быть сформулированы исходя из (13) следующим образом:

/ 2 Л

d w ^ dw

ёг2 г dr у

1 -V

г _ Л,

К

С1 + 2•( + v)• С2 +(3 + v)•C3 _ 0

(18)

где

2

d w + v dw у dr2 г dr J

1 -V

г _ Л2

+

Л2

С + 2 •( + v)• С2 +

3 + v + 2 •( + v)• 1п

(Л2 ЛЛ С (1 -v)• Ш2 - Л22 • Ш3

С3----

V Л1 J J

D • Л2

л2( 1 4

Ыъ _ ! -}£• q(C)dC

лА 4 Л

d5 .

(19)

Определение значений свободных параметров общего решения исходя из краевых условий на границах кольца

Фактически комбинируя линейные уравнения (14)-(19) можно перебрать все возможные варианты закреплений кольца. Отметим, что уравнения (14) и (15) входят в состав любой системы уравнений как базовые, а остальные два уравнения выбираются из (16)-(19).

Так при осесимметричной нагрузке при защемлении кольца по обеим границам следует использовать линейные уравнения (14)-(17), решение которых дает следующее определение коэффициентов С. .^ :

где

С1 _

С 2 _

1

(

D • ^ 1

4 • Ых • Л12 • Л22 • 1п ^ - 1Ш2 • •

(Л Л

V Л1 J

Л12 - Л22

г

1 - 2 • 1п

С3 _-

D •

1

Л12 - Л22

(

1 - 2 • 1п

С4 _-

D • ^ 1

( (

Iп^ •

V V

2 • Мх •(( - Л22 )-М,

(Л ЛЛЛЛ

Л1

(Л ЛЛЛ

2

- 1п1

2

( - Л/)•

( л ЛЛ

V Л1 JJJ

( ( (Л ЛЛ

1п

ЛЛ

V Л1 у

2

Л1

V V

1 + 2 • 1п

2

V Л1 JJ

- Л2

JJ

D • ^

(

2 • П • Л12

Л12 - Л22

С

1 + 2 • 1п

(Л ЛЛЛ

V Л1 JJJ

1пг2 • Л12 • (( - Л22 )• 1п

(Л ЛЛ

V Л1 уу

¿1 _ Л1 - 2 • Л1 • Л2 + Л2 - 4 • Л1 • Л2

( (0 ЛЛ 1п

Л2

Л1

V V'ЧJJ

2

2

2

При осесимметричной нагрузке в случае шарнирного опирания кольца по обеим границам следует использовать линейные уравнения (14), (15), (18), (19), решение которых дает коэффициенты С. .^ в виде:

С1 =-

Я

2 (

В -

Щ - 4 - Я22-(1 + V)2 - 1п

(Я Л

V Я1 У

+

+ (2 - (1 - v)-мз -я22)- (я12 -я22)- (з + v)2-я22 - (1 + v)- 1п

( Я ЛЛЛ

Я1

V м УУУ

С2 =

В - 5

1пи

1 -(1 ^)-((2 -Я22)-(з + v)-2-Я22-(1 + v)- 1п

(Я ЛЛ

V Я1 уу

+

+ МпЦ - Я2 -

-(1 -4( -(1 VЯ12 -(з+4

1п

(Я ЛЛ

V Я1 УУ

Сз =-

В -

(щ -2-(( -Я22)) -V2)+

+ (2 • (1 - V)- Мз - Я22 )• (2 - Я22 ) (1 - V) - 2 - Я22 - (1 + V) • 1п

( Я ЛЛЛ

V Я1 УУУ

где

С4 =

Я1

2(

В -

- Щ - (1 - V)- (я12 - Я22 )- (з + V) - 2 - Я22 - (1 + V) - 1п

(Я ЛЛ

V Я1 УУ

+

+ (2 - (1 - V)- Мъ - Я22 )- Я22 - (1 - V) + Я12 - (з + V) -

1п

(Я ЛЛЛ

V Я1 ууу

5*2 = (( -Я22)-(з-2-v-v2)+ 4-Я12 -Я22-(1 + v):

( (V ЛЛ

1п

Я2 Я1

V V'11 УУ

Для случая, когда внешняя граница защемлена, а внутренняя шарнирно опирается следует воспользоваться системой уравнений (14), (15), (17), (18), решение которой приобретает вид:

С1 = -

Я1

2(

В - 5з

(

Щ -4-Я22 - 1 -(1 + V)- 1п

(Я лл

V Я1 УУ

+

+

(2 - Я22 )- (з + V) + 2 - Я22 - (1 + V) - 1п

( я ЛЛЛ

V Я1 УУУ

1

2

( (

C =

D • S3

Intl • R22 • (1 - v)+R2 • (3 + v)+2 • R22 • (1 - v) ln

(R ^

V v

V R1 уу

- Int2

•((22-(1 -v) + Ri2 •(З + v)

ln

(R ^

V R1у у

C3 = -DV (lnt1 • ( R22 • (1 - v)+R12 • (1 + v))+

D • S3

+ Int2

• (2 -R22)) -v)-2• R12 •( + v)ln

(R ^

V R1УУУ

где

C4 =

D • S3

2 ( ( Int1 •

R22 • (1 - v) + R12 • (3 + v) + 2 • R22 • (1 - v) ln

(R ^

VV

V R1у у

- Int2

•(-(1 -v) + R12 • (3 + v)

ln

(R ^

V R1 у у

S3 = (R12 - R22 ) ( • (1 - v) + R12 • (3 + v))+ 8 R12 • R22 •

( (R V\

ln[ —2

R1

V V 1 уУ

-4• R12 • R22 •( + v)

( (R ^ lnp

V V R1 У У

Последним вариантом краевых условий является случай, когда внутренняя граница кольца защемлена, а внешняя шарнирно опирается:

C =-

R1

2 (

D • S4

(

Int1 • 4 • R2

1 + (1 + v) ln

(R ^

V R1У у

+

+ Int2 •( -v)^f((12 -R22)+ 2• R22 •

ln

(R ^

V 1 У У

- 1П3

R12 • R22 - R24 + 2R2 • ln

R1

(R ^

V R1 У УУ

C = -

D • S4

(( - Int1 •

VV

R12 •( -v) + R22 •( + v) + 2• R22 •( + v)ln

(R ^

+ Int.

•(( -R22)•( -v)ln

(R ^

V R1 У

+ Int3 • R2

•(( - R22 )

ln

V R1 УУ

(R ^

+

V R1 УУ

1

2

2

2

1

С3 = -^ (2 • М1 • ((I2 ■ ( " V+ К22 • (1 + V))-

- 1п12 •

+ м3

(2 -)•(-у) + 2• •( +

■ 1п

Г Л ЛЛ

V Л1уу

+

Я22 •( -Л22)+ 2• Л12 • Л22 • 1п

Г Л ЛЛЛ

V Л1 ууу

с =

Л1

2 Г Г

П • Л12 • (1 - V) + Л22 • (3 + V) + 2 • Л22 • (1 + V) ■ 1п

V V

Г Л ЛЛ

- 1Шг

•(( - Л22 )(1 -v)• 1п

Г Л2 ^

Л1

+

V ч У

+ М3 • Р2

•((2 - •

1п

Г Л ЛЛ

V Л1 уу

V Л1 уу

где

^4 = (2 - Я2) (( • (1 - V)+Я2 • (3 + V)) 8 Л12 • Л22 •

Г Г р лл2

1п|Л2

Р1

+

V V"11 УУ

+ 4• р12 • р22 •( + v)•

Г Го лл

1п

Р2 Р1

V V' ч УУ

Результаты и выводы

В статье предлагается учесть упругопластическое (или нелинейно упругое) поведение материала круглой пластины или кольца с помощью линеаризации уравнения состояния материала пластины.

Внесены исправления в общий вид решения дифференциального уравнения изгиба круглых и кольцевых пластин при осесимметричной нагрузке, ранее опубликованного другими авторами.

Установлено, что предлагаемое в некоторых публикациях правило усечения однородного решения через интегрирование радиальной нагрузки, приводит к ошибочному определению ненулевого значения коэффициента отбрасываемого члена в случае осесимметрично-го распределения поперечной нагрузки отличного от постоянного.

Установлено, что при этом в качестве правила усечения однородного решения следует использовать известное требование ограниченности момента в центре пластины.

Впервые получены достаточные условия на поведение функции распределения интенсивности поперечной осесимметричной нагрузки в центре круглой пластины, при которой возможно получить физически адекватное решение задачи о ее прогибах.

Впервые в общем виде получены уравнения для определения коэффициентов общего решения для защемления или шарнирного опирания круговой пластины для произвольной осесимметричной нагрузки, удовлетворяющей достаточному условию существования физически оправданного решения (ограниченности момента в центре пластины).

Указаны ошибки, сделанные в более ранних публикациях других авторов, посвященных изгибу кольцевых пластин под действием осесимметричной нагрузки.

2

Впервые в общем виде получены значения коэффициентов в решении уравнения изгиба кольца для всех возможных сочетаний условий защемления и шарнирного опирания его границ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Журавков М.А., Старовойтов Э.И. Механика сплошных сред. Теория упругости и пластичности. Минск: БГУ, 2011. 543 с.

2. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. Москва: Гостройиздат, 1957. 257 с.

3. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев: Будивельник, 1970. 436 с.

4. Чижевских К.Г. Расчет круглых и кольцевых пластин. Ленинград: Машиностроение, 1977. 184 с.

5. Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. Москва: Машиностроение, 2001. 408 с.

REFERENCES

1. Zhuravkov M.A., Starovoytov E.I. Mekhanika sploshnykh sred. Teoriya uprugosti i plas-tichnosti [Continuum mechanics Theory of elasticity and plasticity]. Minsk: BGU, 2011. 543 p.

2. Zhemochkin B.N. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: Gostroyizdat, 1957.

257 p.

3. Vaynberg D.V., Vaynberg E.D. Raschet plastin [Plate calculation]. Kiev: Budivel'nik, 1970. 436 p.

4. Chizhevskikh K.G. Raschet kruglykh i kol'tsevykh plastin [Calculation of round and ring plates]. Leningrad: Mashinostroenie, 1977. 184 p.

5. Okopnyy Yu.A., Radin V.P., Chirkov V.P. Mekhanika materialov i konstruktsiy [Mechanics of materials and structures]. Moscow: Mashinostroenie, 2001. 408 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Кравчук Александр Степанович

Филиал Белорусского национального технического университета "Научно-исследовательский политехнический институт", г. Минск, Беларусь, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории динамики систем и механики материалов

E-mail: ask [email protected].

Kravchuk Alexander Stepanovich

Branch of the Belarusian National Technical University "Research Polytechnic Institute", Minsk, Belarus, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Leading Researcher of the Laboratory of System Dynamics and Material Mechanics,

E-mail: ask [email protected] .

Кравчук Анжелика Ивановна

Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования

E-mail: [email protected] .

http://vestnik-

;-nauki.ru

ISSN 2413-9858

Kravchuk Anzhelica Ivanovna Belarusian State University, Minsk, Belarus, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Web Technologies and Computer Modeling,

E-mail: [email protected] .

Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 220013, г.Минск, пр. Независимости, 65, НИПИ БНТУ, учеб. корп. 18, каб. 401. Кравчук А.С.

+375 (17)293 93 22