CC BY
37
ГОРНОЕ ДЕЛО И ГЕОЛОГИЯ
УДК 528.48
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ВЫСОТЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
© 2011 г. И.Г. Гайрабеков
Грозненский государственный нефтяной Grozny State Oil
институт Institute
Исследуется возможность повышения точности определения превышений методом спутникового нивелирования для решения различных инженерно-технических задач. Проводится оценка точности определения геодезической высоты. Доказывается, что, несмотря на сложную и нелинейную зависимость геодезической высоты от координат пункта, определенных по результатам спутниковых измерений, среднеквадратическая ошибка вычисления геодезической высоты практически не зависит от положения пункта при равноточных декартовых координатах. Рассматриваемая формула рекомендуется в качестве рабочей для определения разности геодезических высот.
Ключевые слова: оценка точности; среднеквадратическая ошибка; геодезическая высота; превышение; спутниковые измерения; дифференциал.
The methods geodetically control geometrical Para meters by level characterizing strained de formed state the whole construction according to which it is recommended simultaneously with measurement the coordinates corner of building, to take info account by time and make up the graphs depending on rolls, the sizes compression of walls, the corners of rolling and the sizes of lifting from time. We evaluation the accuracy of geodetic height. It is proved that, despite the complicated and nonlinear dependence of the height of the geodesic coordinates of a point defined by the results of satellite measurements, the standard error calculation of geodetic height is almost independent of the position of paragraph equally accurate in Cartesian coordinates. Formula is recommended as working to determine the difference between the geodetic heights.
Keywords: assessment of the accuracy; the standard error calculation; excess; satellite measurements; differential.
Все большее применение в современной геодезии находят методы определения приращений координат спутниковыми технологиями. Среднеквадратическая ошибка вычисления приращений координат по результатам измерений двухчастот-ными спутниковыми приемниками составляет 3мм+1—10-6Д где Б — расстояние между спутниковыми приемниками. Однако превышения между этими же пунктами определяются с мень-
шей точностью — среднеквадратическими ошибками 10—30 мм. Исследование возможности повышения точности определения превышений спутниковыми методами является важной задачей. Поиску вариантов решения данной задачи посвящена статья [1], где получена формула вычисления геодезической высоты пункта по результатам спутниковых измерений, минуя итерационный процесс вычисления геодезической широты:
H=[х2 +Y2 + Z2 (1-a1R 2r-3 ) (1+\Z 2r-3 )2 ]
e2 Z 2R -2
1/2
-a
1-
Z 2R -2 +(1-a1R2 r-3 )2 (1+b1Z 2r-3)-
1/2
,(1)
где a1 = ae2 (1-e2 )3/2; b1 = be'2; a и b — полуоси от-счетного эллипсоида; e2 и e '2 — первый и вто-
рой _ эксцентриситеты; Я=VX2 +У2 ;
Выполним оценку точности вычисления геодезической высоты по результатам спутниковых измерений. Для упрощения дальнейших расчетов представим формулу (1) в следующем виде:
Н=Р-Ы, (2)
где N — радиус кривизны первого вертикала, выраженный через прямоугольные координаты;
р . (3)
ЭР = X-3bZ4t2 dr 3a1R2Z2t22 dr 2a,Z2R dR dX = P Pt?r4 dX Pt^r4 dX + Pt^r3 dX(10)
dR dr
Определим частные производные т-тт и
dX dX
dR = X, dX = R;
Э^ =(1-e2 )X dX = r '
2a1 X 3a1 (1-e2 )XR2 —+—1-;-;
следовательно,
dt1 dX"
dlL = 3b1 (1-e2 )XZ2 dX = P а выражение (10) примет вид
(11) (12)
(13)
Полный дифференциал выражения (2) имеет вид
ггг dP dN^ dP dN,v
dH=— dX--dX+—dY--dY+
dX dX dY dY
dP dN,7
+—dZ--dZ.
dZ dZ
Введем обозначения
t1 = 1-a1R2 r
2 -3 .
2 r 3;
2„-3
t2 =1+b1 Z2 r и представим (3) в следующем виде:
P=J X2 +Y2 + Z 2t-
2t 2 '2
(4)
(5)
(6)
(7)
dP
Частную производную ^ найдем из (7):
dP = X + Z2t2 dt2 Z2t22 dt1
dX P Pt? dX Pt13 dX' В свою очередь из (5) и (6) имеем:
§■=-2^Rr-3 i+-1R 2r-4 §; (8)
^=-3b1Z 2r -4 dX 1 dX
С учетом (8) и (9) частную производную
представим в следующем виде:
(9)
dP
dX
dP = X 3b1 (1-e2 )t2XZ4 2a1t22XZ2 dX = P Pt2? + Pt;r3
3a1 (1-e2 )t22 XZ 2R2 Pt^?
Для дальнейших исследований полезно ввести обозначения:
4 =-
e2 Z2
R2
Z2 t2
t =—+-L t4 R2 +t2'
(14)
(15)
С учетом принятых обозначений (14) и (15) радиус кривизны первого вертикала представим в виде
N=
1-i
(16)
dN
Частную производную -ггт найдем из (16):
dX
dN dX'
2t4
/ f Ч3/2 1-
dt3 t3 dt4
dX - 7, dX
4
(17)
а из (14) и (15) определим:
dt3 dX"
2e2 Z2 dR.
" R3 dX;
dtL_ 2Z2 dR 2tLdtL-2t2_dt^ dX _ R3 dX + t_ dX t23 dX'
(19)
С учетом (11) выражение (18) имеет вид
dt3 2e2 XZ2
(20)
dX R4 '
а с учетом (11), (12), (8) и (9) выражение (19) запишем как
dt4 _ 2XZ2 4a1t1X + 6a1t1 (1-e2 )XR2
dX R4 t22r3 - 6b, (1 -e2 )t2 XZ2
t23r5
fr5
(21)
Следовательно, учитывая (20) и (21), равенство (17) представим в виде
dP Y 3b (1-е2 )t2YZ4
Pfr5
dY P 2a1 t22 YZ2 3a1 (1-е2 )t22YZ 2R2
Pfr3
Pt;r5
dN
dY 2tf ((4-t3)
3/2
/dt3 t3 dt4 Л dY -dY
dR
а частная производная ^X равна:
dt3 dY
2e2 Z2 dR ' R3 dY'
Из равенств (14) и (15) получим 2Z2 dR 2t1 dtj 2t2 dt2
dt,
4
dY
R3 dY t22 dY t23 dY'
(26)
dN
dX 2t4/3 (t4-t3)
3/2
e2 XZ2 t3 XZ2 2a1t1t3 X
R4
t4R 4
fr.r3
30jtjt3 (1-e2 )XR2 + 3b1t12t3 XZ2
t22t4r5
t23t4r5
Аналогично найдем частные производные выражения (4):
dP _ Y + Z2t2 dt2 Z2t22 dtj
dY P Pt1 dY Pt3 dY; _-2a1Rr-3M+3a1R2r-4 dr
(22)
dY
dY
^ _-3b,Z 2r-4 —.
dY'
dt2 dY
dY
Следовательно, выражение (22) запишем в виде
dP _ Y 3bjZ4t2 dr 3alR2Z2t22 dr 2alZ2R dR dY_P- Pt2r4 dY Pt3r4 dY + Pf;r3 dY'
В свою очередь,
dR _ Y. dY _ R'
d^ _(1-e2 )Y dY _ r ' Следовательно, (23) представим как
(23)
(24)
В свою очередь, с учетом (24) и (25) имеем
dt3 dY
2e 2YZ2
" R4
dt
ч _ 2YZ2 4a1t1Y 6a1t1 (1-e2 )YR2
dY _-~R4 ~+"
t22 r3
t22r5
6b1 (1 -e2 )t12YZ2
t23r5
Следовательно, (26) имеет вид
dN
3/2 '
dY t4/3 (t4-t3 )
e 2YZ2 t3YZ2 2a1t1t3Y _ 3a1t1t3 (1 - e2 )YR2
_4 + _ и + о i ос +
R
t4R4 t22t4r3
t22t4 r5
3b1t12t3YZ2
'2 '4 '
Аналогично найдем и частные производные
dP
dN
dZ и dZ
dP _ Zt22 Z2t2 dt2 Z2t22 dt1
dZ Pt2 Pt2 dZ Pt3 dZ' В свою очередь из (5) и (6) найдем:
^L _-2a1 Rr-3 M+3a1R 2r-4 ^;
dZ
dZ
dZ'
x
^=-3b1Z 2 r -4 iL. dZ 1 dZ
dR „
Нетрудно убедиться, что =0' а —=—
dZ r Следовательно,
dt1 = 3a1R 2Z dZ =
5 '
dt2 dZ'
3b1Z3
dP
и частная производная примет окончатель-
oZ
ный вид
dP = Ztl - 3b1t2Z5 - 3a1R2Z3 dZ=Pt2
Pt2r5
Pt3r5
dN
а частную производную определим из (16):
dN
3/2
dZ t4/3 (t4-t3)
e2Z t3 Z 3a1t1t3ZR2 3b1t12t3 Z3
R2 t,R2 t2t,r5
t23t4r5
Окончательно полный дифференциал (4) имеет вид
dH =
X 3b1 (1-e2 )t2XZ4 2a1t22XZ2 P Pt2r5 + Ptj3r3
3a1 (1-e2 )t22 XZ 2R2 ae XZ
Pt3r5
at3 XZ2
t4/3 (t4-t3 )3/2 R4
2aa11113 X
t44/3 (t4-t3 )3/2 R4 t2t44/3 (t4-t3 )3/2 r3
3aa1t1t3 (1-e2 )XR2
3ab1t12t3 XZ2
t2^ (t4 -13 )3/2 r5 t^tr (t4 -13 Г r
3/2 5
dX+
dN
dZ 2t4/3 (14 -13)
3/2
dt3 t3 dt4
dZ - Г dZ
4
В свою очередь, из (14) и (15) найдем:
Y 3b1 (1-e2 )t2YZ4 2a1t22YZ2 P PtjV + Pt3r3
dtL = 3e2 Z. dZ = R2 ;
dt4 2Z 2tj dtj 2tj dt2 t2 dZ dZ
dZ R2 t2 А из (13) и (6) имеем:
dtj = 3a,R2 dr
dZ
dZ'
dt2 = 2bjZ 3bj Z2 dr
dZ="r3 r^ dX
(27)
3a. (1-e2 )t22YZ 2R2 ae 2YZ2
1 2 -+-
Pt3r5
at3YZ2
t4/3 (14-13 )3/2 R4
2aa1t1t3Y
"t44/3 (14-13 )3/2 R4 121Г (14 -13 )3/2 r3 (28)
3aa1t1t3 (1-e2 )YR2 3ab1t12t3YZ2
t^3 (14-13 )3/2 r5 t23t44/3 (14-13 Г r
3/2 5
dY +
или
dt! = 3ajR2 Z dZ = ;
dti=2biZ - 3btZ3 dZ = г3 r5 '
Следовательно, выражение (27) примет вид
Zt22 3bjt2Z5 3ajR2 Z3
ae 2Z
Pt2 Pt2r5
Pt,3r3
t4/3 (14-13 )3/2 R2
at3Z
"tr (14-13 )3/2 R2'
dt4 = 2Z 6ÖJ1JZR2 - 4b1t12Z 6b1t12Z3 dZ = P2++ '
t22r5
t23 r3
t23r5
3aa1t1t3 ZR2
3ab1t12t3 Z3
121Г (14-13 )3/2 r5 121Г (14-13 )3/2 r5
dZ.
Воспользовавшись тем обстоятельством, что коэффициенты и ^ отличаются от единицы на малую величину, представим член формулы (28)
2£
р2t2 в следующем виде: P1 h
Zt22 Z(l-a1R2r-3 )2 Z 2aZR2 2b1 Z3
(29)
P2 4 P (1+b1Z2 r-3) P Pr РГ С учетом (29) формулу (28) представим как
г V \
dH=
где
X л —+A yP
dX+
р+B dY+
P+C dZ, (зо)
3a R 2 Z 3
ae 2Z
Pt3r5 t]/3 (t4-t3 )3/2 R 2
1
at^Z
3aa1^ZR
t4/3(t -t )3/2R2 12t4/3(t -t )3/2 r5 t4 (t4 3) R 2 4 (t4 3)
3ab1t2t3Z 3
12t4/3(t -t ) r5'
t214 (t4 t3)
. 3b1 (1-e2 )t2 XZ4 2a1t2 XZ2 A=--1-t-T-+-
Pt2r5 Pt3r3
3a1 (1-e2 )t22 XZ 2R2 ae2 XZ
Pt3r5 ' t4/3 (t4-t3 )3/2 R4
at3 XZ2 2aa11113 X
tr (4 -13 )3/2 R4 t2t44/3 (t4 -13 )3/2 r3 '
3aa1t1t3 (1-e2 )XR2 3ab1t12t3 XZ2
t2t44/3 (4 -13 )3/2 r5 t23t44/3 (t4 -13 )3/2 r5 =
3b1 (1-e2 )t2YZ4 + 2a1t22YZ2 = Pt12r5 ' Pt3r3
3a1 (1 -e2 )t22YZ 2R2 ae 2YZ2
Pfr 5 ' t4/3 (t4-t3)3/2R4
at3YZ2 2aa1t1t3Y +
t^3 (t4-t3 Г R4 t2t44/3 (t4-t3 Г Г3 3aa1t1t3 (1-e2 )YR2 3ab1t12t3YZ2
t2tr (t4-t3 )3/2 r5 t23t44/3 (t4-t3 Г Г
\3/2 „5 :
C=-
2a1ZR2 2b1Z3 3b1t2Z5
Pr3
Pr3 Pt2r5
Переходя от дифференциалов к конечным приращениям, а от них к средним квадратичес-ким ошибкам, из (30) получим
ml =
X
2
+A
ml +
v /
Y
2
+B
mY +
v /
2
-+C
mZ
v /
Анализ точности определения координат пунктов, используя современные спутниковые измерения, показывает, что в большинстве случаев тх = тг = т2 = тк . В таком случае формула оценки точности вычисления геодезической высоты пункта может быть представлена в виде
тн = тк х
-=-+-+-+-+А2 + В2+С2.
Р2 Р Р Р
(31)
Анализ формулы (31) показал, что с ошибкой, не превышающей 4 %, она может быть представлена в виде
т„ = т„,
X 2 + Y 2 + Z 2
так как -5-«1 , а остальные члены
малы.
Например, в средней полосе В = 45°; L= 37, #=200 м,
X= 3608020 м; Y= 2718 839 м; Z= 4487489 м;
X2 +Y 2 + Z2
P 2BY
2 AX
= 1,023; YAX■ = -0,0048;
2P
2CZ
P = 0,0089; — = 0,0397;
+
A2 = 0,000018; £=1,0237; B2 = 0,000108; C 2 = 0,000791.
На экваторе Р =0°; L=37°, Д=200 м, X=5093965 м; 7=3838578 м; Z=0;
X2 +Y 2 + Z2
= 1; 2AX = 0;
2f = 0; 2f = 0;
A 2= 0; B 2= 0; C 2 = 0.
В Заполярье В =72°; L=37°, Д=200 м, X= 1578909 м; Y=1189793 м; Z=6043875 м;
X2 +Y2 + Z2
2 AX
= 1,0012; = 0,0027;
2by 2CZ
= 0,0036; K=1,0593; = 0,1163;
А2 =0,0060; В2 =0,00009; С 2 = 0,0037.
Несмотря на сложную и нелинейную зависимость геодезической высоты от координат пункта, определенных по результатам спутниковых измерений (1), среднеквадратическая ошибка вычисления геодезической высоты практически не зависит от положения пункта при равноточных декартовых координатах.
Литература
1. Е. Б., ^аечук И. М. Спутниковое ниве-
лирование //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. Приложение к журналу. Сборник статей по итогам международной научно-технической конференции, посвященной 230-летию основания МИИГАиК : в 2 ч. М., 2009. Вып. 2, ч. II. С. 40-42.
Поступила в редакцию
12 ноября 2010 г.
Гайрабеков Ибрагим Геланиевич — канд. техн. наук, Грозненский государственный нефтяной институт. Тел. +7928-290-13-29. E-mail: ibragim.ggni@mail.ru
Gajrabekov Ibragim Gelanievich — Candidate of Technical Sciences, Institute. Tel. +7928-290-13-29. E-mail: ibragim.ggni@mail.ru
Grozny State Oil
