CC BY
16
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 2. С. 193-198.
УДК 517.521+517.51
ОЦЕНКА СВЕРХУ ОСТАТКА СТЕПЕННОГО РЯДА С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
А. Ю. Попов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия shervb73@gmail.com
Изучается вопрос об оценках остатков степенного ряда с положительными коэффициентами специального вида. Установленные результаты находят применение при оценках уклонений полиномов Бернштейна от симметричного модуля.
Ключевые слова: степенной ряд, остаток ряда, полиномы Бернштейна.
В недавних работах [1; 2] был получен ряд оценок для разности между функцией f (х) = |2х — 1| и её многочленами Бернштейна, взятыми на отрезке [0,1]. В частности, двусторонние оценки, отмеченные в [2, § 13], довольно близки к оптимальным, но все же допускают некоторые уточнения. В связи с тем, что уклонение функции f (ж) = |2х — 1| от её многочленов Бернштейна с чётными номерами может быть записано через остатки одного степенного ряда с положительными коэффициентами (см. формулу (51) в [2, с. 154]), возникла задача о выводе двусторонних оценок для остатков степенных рядов специального вида.
те
Возьмём (пока произвольный) сходящийся числовой ряд ^ ак с положитель-
к=1
ными слагаемыми. Обозначим
те
г„ = ^ ак, п е N
к=п
те
и рассмотрим нормированные остатки степенного ряда У] ак хк, а именно
к= 1
те
Гп(х) = ^ ак жк-п, х е [0,1], п е N.
к=п
Очевидны равенства
Гп(0) = ап, Гп(1) = Гп, п е N
и возрастание всех функций Гп(х) на отрезке [0,1].
Для каждого номера п е N требуется найти две возможно более просто устроенные непрерывные возрастающие на [0,1] функции гп(ж) и Гп(х), первая из которых является для Гп(х) минорантой, а вторая — мажорантой:
гп(х) ^ Гп(х) ^ Гп(х), х е [0,1], п е N
причём их значения в крайних точках отрезка должны совпадать между собой:
гп(0) = Гп(0) = ап, Гп(1) = Гп(1) = Гп, п е N. (1)
Основным результатом статьи является нахождение весьма простых мажорант гп(х) при дополнительном условии на коэффициенты степенного ряда.
Последовательность {ak}keN предполагается такой:
ак > 0, У ak < ak+1 ^ ak+2, k е N.
f-f ak ak+i
Как нетрудно понять, условия (2) влекут за собой неравенства ak+1 < ak, верные при всех k е N.
Условиям (2) удовлетворяют, например, последовательности { (k + a)-p }k^N, взятые при любых а > -1, p > 1, последовательности { ak(k + a)-p }keN, взятые при любых а> -1, p> 0, 0 <a< 1, последовательности {ak }keN, определяемые разложениями
те
1 - (1 - x)s = ak xk k=1
при 0 < s < 1, и многие другие. Последовательность {1/kl}keN, напротив, третьему условию в (2) уже не удовлетворяет.
Теорема. Пусть выполнены условия (2). Тогда при любом n е N верна оценка
rn(x) ^ , nawr" -, 0 ^ x ^ 1. (3)
an + (1 - x) r„+i
Если существует бесконечно много значений k е N, для которых последнее неравенство в (2) — строгое, то оценка (3) также будет строгой при 0 < x < 1.
Таким образом, в качестве мажорант нормированных остатков rn(x) предлагаются простейшие дроби
— / \ an rn -^т
rn(x) = ——--г-, n е N.
an + (1 - x) rn+1
Их возрастание на отрезке 0 ^ x ^ 1 очевидно; справедливость равенств (1) легко проверяется:
_ anrn anrn _ \ anrn
rn(0) = -+- = - = an , rn(1) = - = rn .
an + rn+1 rn an
Доказательству теоремы предпошлём лемму.
Лемма. Пусть последовательность {ak}keN удовлетворяет условиям (2). Тогда отношения остатков {rm+1/rm}meN образуют неубывающую числовую последовательность. В частности, верны неравенства
k- n- 1
rk ^ (Г^+М , n е N, k ^ n +1. (4)
rn+1
Если существует бесконечно много значений к Е N для которых последнее неравенство в (2) — строгое, то последовательность |гт+1/гт}т^ строго возрастает и все неравенства (4) при к ^ п + 2 также будут строгими.
Доказательство. Поскольку последовательность ак+1/ак неубывающая, то при любых значениях т, V Е N выполнены неравенства
ат+1 ^ __^
ат 1
n
Просуммировав вторые неравенства в (5) по V от 1 до то, находим
тете
ат+1 £ ат+^-1 ^ ат £ а^ ^ ат+1 Гт ^ ат гт+ь (6)
^=1 ^=1
Так как ат+1 = гт+1 — гт+2, ат = гт — Гт+1, то соотношения (6) переписываются в следующей равносильной форме:
(гт+1— Гт+2) Гт ^ (Гт —Гт+1) Гт+1 ^^ Гт+1 ^ Гт+2 Гт ^^ ^ .
Гт Гт+1
Неубывание последовательности (Гт+1/Гт}тем доказано. Если существует бесконечно много значений к, для которых последние неравенства в (2) — строгие, то найдётся бесконечно много значений V, для которых неравенства (5) также будут строгими. Это влечёт за собой строгие неравенства в (6) при любом т е N и, следовательно, строгое возрастание отношений Гт+1/Гт.
Докажем теперь неравенства (4). При к ^ п + 2 имеем
к—п—1 Гк = ^^ Гп+^+1
Гп+1 ^=1 Гп+^
Ввиду неубывания {тт+1/Гт}тем каждый сомножитель в последнем произведении не меньше, чем гп+2/гп+ь Поэтому само произведение не меньше, чем
\ к—п—1 / \ к—п—1
Гп+2 \ ^ I Гп+1
Гп+1/ \ Гп
Неравенства (4) доказаны. Если же последовательность {гm+l/гm}m£N строго возрастает, то произведение строго больше, чем
)к—п— 1
при к ^ п + 2 .
Доказательство леммы завершено. □
Теперь установим основную теорему. Доказательство. Применив преобразование Абеля, получим тождество
тете
Гп(х) = £ ак хк—п = £ (Гк — Гк+1) хк—п =
к=п к=п
те
= Гп — (1 — х) £ Гк хк—п—1, 0 ^ х < 1.
к=п+1
Отсюда
те
Гп(х) = Гп — (1 — х) Гп+1 £ — хк—п—1 , 0 ^ х < 1,
к=п+1 Гп+1
где согласно (4) имеем
те те к— п— 1
£ хк—п—1 ^ £ (Гп+1) хк—п—1 = -Г^- , 0 ^ х< 1
к=п+1 Гп+1 к=п+1 ^Гп ^ 1 —п+- х
п
Соотношения (7) и (8) дают оценку
(1 — x) rn+1 г„ — rn+1 х — (1 — ж)гга+1 гга — rn+1
rn(x) ^ г„ -
rn+1 rn+1 rn+1
1 — - х 1 — - х 1 — - х
nn rn nn rn
1 - r"+1 x r„ - rra+1 x r„ - rra+1 + (1 - x) rra+1
rn
nnrn
a„ + (1 - x) r„+1
0 ^ x< 1. (9)
В результате получаем нужную оценку (3), очевидно верную и при x =1.
Если последние неравенства в (2) являются строгими для бесконечного числа значений k, то, как установлено в лемме, неравенства (4) при k ^ n + 2 тоже будут строгими, а значит, строгими будут и неравенства (8) при всех x Е (0,1). Это, в свою очередь, влечёт за собой строгость при x Е (0,1) неравенства в первом переходе при выводе оценки (9). Тем самым в отмеченном случае неравенство (3) будет строгим при всех x Е (0,1) и n Е N. Теорема доказана. □
Замечание. Условия (2) автоматически влекут за собой существование конечного предела l Е (0,1], к которому стремятся отношения при k ^ то. Отметим
в связи с этим работу [3], в которой при весьма общих условиях
nfc Е C, 3 lim = s Е C
те
исследовано асимптотическое поведение остатков степенного ряда n^ в его
fc=1
круге сходимости.
Покажем теперь, что даёт неравенство (3) в задаче об оценках сверху для разности
R2m(x) — B2m(x) - |2x - 1| , 0 ^ x ^ 1,
где B2m(x) — многочлен Бернштейна номера 2m для функции f (x) = |2x - 1|, взятой на [0,1]. В обзоре [2, с. 154] указано представление
те те
R2m(x) = £ 2V3T4-v CV(q(x))v = (q(x))m+1 £ 2kT^4-fc C2fcfc(q(x))k-m (10)
v=m+1 fc=m
где q(x) — 4x(1 - x). Там же отмечено равенство
R2m(1/2) = B2m(1/2) = 4-m C^, m Е N. (11)
Обозначим
r_ = 4-m cm , o.i. =
2k + 2 2k + 2
r = 4-m Cm n, = rfc = 1 4-k Ck
' m — 4 c2m , nfc — o7 i о = 07 io4 C2fc
Соотношения (10), (11) приобретают вид
тете
R2m(x) = (q(x))m+1 £ nfc (q(x))k-m , R2m(1/2) = rm = £ nfc (12)
fc=m fc=m
с учётом того, что q(1/2) = 1.
r
r
r
n
n
n
n
n
Последовательность {аккоэффициентов в (12) удовлетворяет условиям (2).
те
Действительно, положительность чисел ак очевидна, сходимость ряда ^ ак ясна
к=1
из (12), а возрастание последовательности отношений проверяется непо-
средственно:
13)
Гк+1 = 4-к-1 = 2к + 1 Ок+1 = к + 1 Гк+1 = 2к + 1
гк 4-к С2кк 2к + 2 ак к + 2 гк 2к + 4'
Поэтому доказанная теорема применима к оценке сверху для сумм
те
ак (д(х))к-т , т € М,
к=т
взятых при х € [0,1], так как тогда д(х) = 4х(1 — х) € [0,1].
С учётом соотношений (12) теорема даёт следующий результат:
Й2„,М «шг» а г +1 = 1 + Гт^Н^ • (">
ат + (1 У(х)) ' т+1 1 + (1 _ ?())) -
ат
Если у(х) € (0,1), то неравенство в (14) — строгое. Заметим также, что 1 _ д(х) = (2х _ 1)2 , = (2т + 2) = 2т +1
(см. (13)). Подставляя в (14) и принимая во внимание второе соотношение в (12), окончательно получаем
(о(т))т+1
Д2т(х) ^ ад/2) 1 + (2т+)1))(2х _ 1)2 , ) € [0, 1], т € N. (15)
Равенство в (15) достигается лишь в точках х = 0, х = 1/2, х =1, когда у(х) принимает значения 0 или 1. Оценка (15) усиливает результаты, анонсированные ранее в обзоре [2, § 13].
m
m
Список литературы
1. Тихонов, И. В. Приближение модуля полиномами Бернштейна / И. В. Тихонов, В. Б. Шерстюков jj Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2012. — № 26. Математика. Механика. Информатика. Вып. 15. — С. 6-40.
2. Тихонов, И. В. Полиномы Бернштейна: старое и новое / И. В. Тихонов, В. Б. Шер-стюков, М. А. Петросова jj Математический форум. Т. В, ч. 1. Исследования по математическому анализу. — Владикавказ : Юж. мат. ин-т ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. — 29В c. — (Итоги науки. Юг России). — С. 126-175.
3. AdamoviC, D. D. Sur la convergence des rapports de la somme partielle au terme general et du reste ou terme general d'une serie reelle ou complexe j D. D. Adamovic jj Publ. de l'inst. mathematique. N. S. — 1973. — Vol. 15, no. 29. — P. 5-20.
Поступила в редакцию 09.06.2017 После переработки 24.06.2017
Сведения об авторе
Попов Антон Юрьевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник кафедры математического анализа механико-математического факультета, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия; e-mail: shervb73@gmail.com.
198
A. M. nonoB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 2. P. 193-198.
THE UPPER BOUND OF THE REMAINDER OF POWER SERIES WITH POSITIVE COEFFICIENTS OF A SPECIAL CLASS
A.Yu. Popov
Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia shervb73@gmail.com
The problem of estimating the remainder of a power series with special positive coefficients is studied. The established results are used in estimating the deviations of Bernstein polynomials from a symmetric module.
Keywords: power series, remainder of a series, Bernstein polynomials.
References
1. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B. Priblizhenie modulya polinomami Bernshteyna. [The module function approximation by Bernstein polynomials]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2012, no. 26, pp. 6-40. (In Russ.).
2. Tikhonov I.V., Sherstyukov V.B., Petrosova M.A. Polynomy Bernshteyna: staroye i novoye [Bernstein Polynomials: the old and the new]. Matematicheskiy forum. Issledovaniya po matematicheskomu analizu [Mathematical forum. Research on mathematical analysis]. Vladikavkaz, VNTs RAN Publ., 2014. Vol.8, pt. 1. Pp. 126-175. (In Russ.).
3. Adamovic D.D. Sur la convergence des rapports de la somme partielle au terme general et du reste ou terme general d'une serie réelle ou complexe. Publications de l'institut mathématique. Nouvelle série, 1973, vol. 15, no. 29, pp. 5-20. (In French).
Accepted article received 09.06.2017 Corrections received 24.06.2017
