Оценка спроса на автомобильные запасные части на основе модели смеси вероятностных распределений Текст научной статьи по специальности «Математика»

технического состояния автотранспортных средств: материалы III международной научно-практической конференции «Перспективы развития и безопасность автотранспортного комплекса». Новокузнецк, 2013. С. 140-143.

3. Бойко А.В. Совершенствование метода диагностики тормозных систем автомобилей в условиях эксплуатации на силовых стендах с беговыми барабанами: дис. ... канд. техн. наук / Иркутский технический университет. Иркутск, 2008.

4. Димов Н.Н. Оценка возможности воспроизведения реальных режимов торможения автомобиля на стендах с беговыми барабанами: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Харьковский автомобильно-дорожный институт им. Комсомола Украины. Харьков, 1987.

5. Зыков П.А. Реформа технического осмотра автотранс-

портных средств в России: материалы III международной научно-практической конференции «Перспективы развития и безопасность автотранспортного комплекса». Новокузнецк, 2013. С. 34-36.

6. Мороз С.М. Диагностирование при государственном техническом осмотре и техническом обслуживании автомобилей. Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 2002. 320 с.

7. Савич Е.Л. Инструментальный контроль и государственный технический осмотр автотранспортных средств. Минск: Новое знание, 2002. 320 с.

8. Федотов А.И., Бойко А.В., Потапов А.С. О повторяемости измерений параметров процесса торможения автомобиля на стенде с беговыми барабанами // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2008. Т. 33. № 1. С. 63-71.

УДК 629.113

ОЦЕНКА СПРОСА НА АВТОМОБИЛЬНЫЕ ЗАПАСНЫЕ ЧАСТИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ СМЕСИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

© В.Н. Катаргин1, В.М. Терских2

Сибирский федеральный университет, 660074, Россия, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

Предложен метод определения спроса на автомобильные запасные части предприятий транспорта на основе расщепления смесей вероятностных распределений. Ил 3. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: автомобильные запасные части; автомобильный сервис; прогнозирование спроса; складская логистика.

SPARE CAR PARTS DEMAND ESTIMATION BASED ON PROBABILITY DISTRIBUTION MIXTURE MODEL V.N. Katargin, V.M. Terskikh

Siberian Federal University,

26 Kirensky St., Krasnoyarsk, 660074, Russia.

The article introduces a method for determining a transportation enterprise demand for spare car parts based on splitting the mixtures of probability distributions. 3 figures. 7 sources.

Key words: spare car parts; automotive service; demand forecasting; warehouse logistics.

В процессе управления складом автомобильных запасных частей основной проблемой является оценка потребности в них в определенный момент времени. Широко известные способы прогнозирования, например, на основе трендов и коэффициентов сезонных (и прочих) колебаний обычно не дают удовлетворительных результатов, поскольку не отражают сути природы возникновения спроса. Справедливость необоснованности подобных подходов демонстрирует рис. 1.

Как правило, спрос на запасные части в магазинах или на предприятиях автомобильных дилеров невозможно описать достаточно точно с помощью известных законов распределения случайных величин (даже если бы они предпринимали такие попытки). Причиной тому является неоднородность спроса — в зависимости от типа предприятия спрос может представлять собой смесь вероятностных распределений. На рис. 1 представлено типичное распределение спроса на запасные части в дилерской СТО марки КАМАЗ: наряду с приобретением одной, двух или комплекта деталей зачастую присутствуют значения 5 шт., 10 шт., 20 шт. и т. д. Очевидным является факт наличия розничных и оптовых покупателей.

Можно предположить, что расчленение смесей вероятностных распределений позволит получить уравнение функции плотности f(x), описывающей закон распределения анализируемого спроса во всей (объединенной) генеральной совокупности. Это позволит получать на основе имитационного моделирования оптимальные значения параметров управления складом запасных частей. В перспективе также возможно получение более точных

1Катаргин Владимир Николаевич, кандидат технических наук, профессор кафедры транспорта, тел.: (391) 2498924, e -mail: [email protected]

Katargin Vladimir, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Transport, tel.: (391) 2498924, e-mail: [email protected]

2Терских Виктор Михайлович, ассистент кафедры транспорта, тел.: 89130414683, e-mail: [email protected] Terskikh Victor, Assistant Professor of the Department of Transport, tel.: 89130414683, e-mail: [email protected]

надежностных характеристик автомобилей, так как на основании интегрального спроса на запасные части в регионе и размера соответствующего им парка автомобилей получаются слишком искаженные результаты ввиду задержек в цепях поставок сетей посредников.

В общем виде уравнение функции плотности можно записать как:

/(Х) = Pl.fl (х) + Рг/2 (Х) + ••• + Рп/п (Х) , (1)

где р1, р2, ... , рп — априорные вероятности появления наблюдений именно из данного компонента смеси; ... , ^ — функции плотности распределения компонентов смеси; п — число компонентов смеси.

Дни Дни

в) г)

Рис. 1. Динамика продаж: а - шланг тормозной задний 5320; б - полукольцо коленчатого вала; в - прокладки поддона 740-1009040; г - фильтр воздушный

■ р'1 С р'2 Ор'З ■ р'4

Рис. 2. Распределение продаж по количеству одномоментно проданных деталей одному покупателю

В каждом конкретном случае значение n может изменяться, но очевидно, что это конечное число и, более того, — маловероятно, что оно может принимать хотя бы двузначные значения. Исходя из наблюдений, наиболее часто n=4 (как на рис. 2). Условно назовем первые четыре компоненты: розницей, мелким оптом, средним и крупным оптом. Тогда p1, p2, p3, p4 представляют собой вероятности появления соответственно: розничного покупателя, мелкого, среднего и крупного оптовика. В свою очередь, эти вероятности могут также описываться вероятностными законами распределения.

Область применения предлагаемого метода ограничивается идентифицируемостью смесей распределения. Согласно С.А. Айвазяну, различимыми являются конечные смеси из распределений: 1) нормальных (в том числе многомерных); 2) экспоненциальных; 3) пуассоновских; 4) Коши. Таким образом, в нашем случае распределение спроса на запасные части должно описываться пуассоновским законом - как единственным подходящим дискретным вероятностным распределением. Ниже приведем ограничения, связанные с условиями возникновения пуассоновского потока случайных событий.

Первое ограничение состоит в том, что заявки должны поступать поодиночке, а не группами по два, три и т. д. В реальной жизни так практически всегда и происходит. Следует отметить, что существует ряд деталей, которые покупают или заменяют, как правило, сразу комплектом. В этом случает нужно учитывать не запасные части поодиночке, а комплекты из них.

Второе ограничение связано с тем, что поступление заявок за день (за некоторый интервал времени) не должно зависеть от того, сколько было заявок прежде. Данное требование на практике обычно также соблюдается. Покупатели в магазин приходят случайно, отказы автомобилей тоже возникают не планомерно.

Третье ограничение: среднее число заявок (спрос) на запасные части за единицу времени должно быть стабильным (в модели показатель А). Но сезонность спроса на запасные части, различная интенсивность эксплуатации автомобилей по временам года и многие другие факторы приводят к тому, что потребление запасных частей не постоянно, т. е. спрос А # const. В этом случае при использовании модели нужно подставлять конкретное значение А, соответствующее сезону и условно считающееся постоянным.

Прокладка 740-1009040 поддона Топливный насос н/д 323-1106010 ЯЗДА

Рис. 3. Сравнение эмпирического и смоделированного спроса на запасные части

Положим, что вероятность появления покупателей запасных частей за определенный период времени описывается пуассоновским законом распределения с параметром А, а количество разово приобретаемых ими деталей — пуассоновским законом распределения с параметром А".

Согласно предположению о подчинении вероятностей появления покупателей закону Пуассона, вероятности появления определенного количества покупателей каждой группы определяются по формулам:

А(х) =

е

-А

х!

Р2(х) =

е

-А

А

х!

.....Рк (х) =

е

-А

А

х!

(2)

где Л!, А2, ..., Ак — параметры функций распределения вероятностей появления покупателей первой, второй, ..., к-ой группы соответственно; х- количество покупателей.

Вероятность того, что за определенный период (скажем, день) не появится ни один покупатель первой группы:

Р1(0) = е(3) Следовательно, вероятность отсутствия покупателей за определенный период времени можно определить

как:

Р (0) = е

_ „-(А +А +-+Ак )

(4)

Согласно предположению о подчинении вероятностей покупки определенного количества деталей одним покупателем закону Пуассона, вероятности покупки определенного количества деталей покупателем каждой группы определяются по формулам:

Р У ) =

е

-А\

АУ

У!

Р2( У )

е

-А

А

У!

..., Рк (У)

е

-А

АУ

У!

(5)

где А-!, Л'2, ..., А\, — параметры функций распределения вероятностей появления покупателей первой, второй, кой группы соответственно; р"-|(у), р'2(у), ..., рк(у) — вероятности покупки деталей (у) покупателями первой, второй, ..., к-ой группы соответственно за одну покупку; у - количество купленных деталей одним покупателем (натуральное число). Причем для каждой группы покупателей выполняется неравенство:

Уср ^ Уср ^ ^ Уср ^ Уср , (6)

где у1ср, у2ср, ..., укср - математическое ожидание количества деталей, которое может приобрести один покупатель запасных частей первой, второй, ... , к-ой группы соответственно.

Исходя из приведенных выше формул, найдем вероятность покупки за определенный период времени одной детали. Согласно условию, одна деталь может быть продана за установленный интервал времени только розничному покупателю ( если других покупателей тогда же не будет), следовательно:

Р(1) = е"Л А'е~А • е

А /=.-(А2 +А +-+А)

или

Р(1) = Р(0) 'А' е

-л;

(7)

(7")

т. е. вероятность покупки за определенный период времени одной детали равна произведению совместных вероятностей: появления одного розничного покупателя; вероятности, что он возьмет одну деталь и вероятности отсутствия покупателей второй, третьей и т. д. групп.

Допустим, за один день было приобретено х одинаковых деталей несколькими покупателями. Обозначив количество групп (классов) покупателей как к, а количество клиентов каждой группы как п, можно представить х как:

к п

Х = , (8)

}=1 г=1

где Бу — количество деталей, приобретенных одним, /-ым покупателем ./'-ой группы.

Таким образом, задача по нахождению функции плотности смеси вероятностных распределений спроса сводится к нахождению для каждого х всех возможных вариантов наборов значений Бу , удовлетворяющих условию (8). Например, для вышеприведенных условий при х=1 возможен только один вариант Б11 =1. При х=2 - два: 1) Б11 =2; 2) Б11 =1, Б21 =1. Для х=3 и х=4 существуют соответственно 4 и 7 вариантов, представленных ниже в виде матриц, номер столбцов которой соответствует классу покупателей (к), а номера строк - номеру покупателя (п) данной группы, пришедших за определенный период времени за определенной запасной частью.

1 0 2 0 3 0 0 3

х=3:

1 0 10

1 0 00

00 00

00 00

1 0 1 0 10 10

2 0 1 0 1 0 00

2 0 2 0 00 00

3 0 10 00 00

4 0 00 00 00

1 3 00 00 00

04 00 00 00

х=4:

Тогда функцию плотности смеси вероятностных распределений можно представить в виде:

f ( x)=I

ПП ) • p(S j )

j=1 i=1

(9)

где т - количество всех возможных вариантов наборов значений Бу, удовлетворяющих условию (8); ру — вероятность появления только /-го количества покупателей у-ой группы за определенный период времени; р(Бу) — вероятность покупки Б деталей /-м покупателем у-ой группы за один раз.

Учитывая, что вероятность появления определенного количества покупателей и приобретения ими определенного количества деталей подчиняется закону Пуассона, можно представить выражение (9) в виде:

Г

f (x)=I ПП

Л

Л

\

f ( S' )

q=1 ^ '=1

/=1

'

/ q

где I] — количество покупателей у-ой группы; Ау — параметр пуассоновского распределения вероятности появления определенного количества покупателей у-ой группы за определенный период времени.

Если количество классов к заранее неизвестно, то его можно определить с помощью критерия хи-квадрат Пирсона. Положим, что для ряда последовательных значений к = 1, 2 и т. д. уже вычислены такие значения параметров А,, А2, ..., Ак и А", А"2, ..., А к, при которых соответствующие функции правдоподобия достигают максимума, или значение критерия хи-квадрат достигает минимума, т. е. при которых теоретическое распределение наиболее подходит фактическому. Очевидно, что с увеличением числа классов к теоретическое распределение будет приближаться к фактическому, а значение критерия хи-квадрат уменьшаться. В то же время число степеней свободы с ростом к также будет уменьшаться: на 2 единицы при увеличении к - на единицу, так как каждому классу (компоненте смеси распределения) соответствует 2 параметра (Ак и А" к).

Таким образом, при условии справедливости гипотезы Нк: «истинное число компонентов смеси (классов потребителей) равно к», для заданного значения а должно соблюдаться неравенство:

я2 (k)-zz(k+1) <X—:

p-2k—1,1-а

X

,2

p—2k—3,1-а I

где к — количество компонентов смеси (классов); р — число интервалов.

Статья поступила 31.03.2014 г.

Библиографический список

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Классификации и снижение размерности. М.: Финансы и статистика, 1989. 607 с.

2. Лоу А. Имитационное моделирование. 3-е изд. СПб.: Издательская группа BHV, 2004. 847 с.

3. Katargin V.N., Terskikh V.M. Technique of creating an automatic control system to control stocks at the official automobile dealers' enterprises. International Automotive Conference. KONMOT 2012. Design and exploitation of automobiles - safety and environment protection. Cracow University of Technology, 27-28. 09. 2012. Cracow.

4. Катаргин В.Н., Терских В.М. Методика создания автоматизированной системы обеспечения запасными частями на предприятиях, обслуживающих автомобильный транспорт // Сборник материалов VIII Всероссийской НТК студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 155-летию со дня рождения К.Э. Циолковского [Эл. ресурс] № заказа 7880/отв. ред. О.А. Краев. Красноярск: Сиб. фед. ун-т, 2012.

5. Катаргин В.Н., Терских В.М. Классификация задач управления складами автомобильных запасных частей. Модернизация и научные исследования в транспортном комплексе: материалы Междунар. НПК, 25-27 апреля 2013. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. С. 89-93.

6. Катаргин В.Н., Терских В.М. Интеллектуальная технология управления складом запасных частей грузовых автомобилей // Грузовик: транспортный комплекс, спецтехника. 2013. № 8.

7. Князьков А.Н., Ю.Н. Махнов. Применение моделирования при управлении складскими запасами: материалы IV Всероссийской НТК, 22-24 ноября 2006 г. Красноярск: ИПЦ КГТУ. 2006. Ч. 1. С. 156-161.