Оценка сопротивлений контактных соединений коммутационной аппаратуры на основе статистической информации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311

оценка сопротивления контактных соединении коммутационной аппаратуры на основе статистической информации

А.И. ФЕДОТОВ, Е.И. ГРАЧЕВА, О.В. НАУМОВ Казанский государственный энергетический университет

Низковольтное аппаратостроение в последнее время довольно интенсивно развивается. Непрерывно совершенствуются и разрабатываются коммутационные аппараты, появляются новые направления, основанные на использовании нетрадиционных принципов действия. А это обусловливает жесткие требования к стабильности и уровню сопротивления контактных соединений. В работе представлены исследования сопротивлений контактных соединений коммутационной аппаратуры на основе статистической информации.

Ключевые слова: цеховые электрические сети низкого напряжения, низковольтные электрические аппараты, работоспособность, сопротивление контактного соединения.

Низковольтные коммутационные аппараты (магнитные пускатели, автоматические выключатели, контакторы и т.д.) являются массовой продукцией, к которой предъявляются достаточно высокие требования относительно их технических характеристик. Одной из таких характеристик является сопротивление контактных соединений аппаратов. По причине нестабильности сопротивления контактов электрических аппаратов, чувствительных к воздействию большого числа внешних факторов, закономерность его распределения также непостоянна [1].

В работе [2] сделана попытка оценить величину сопротивления контактов с помощью трехпараметрического гамма-распределения.

Многочисленные исследования результатов измерений сопротивления контактов большого количества выборочных совокупностей коммутационных аппаратов разных типов [3] позволили установить, что в подавляющем большинстве случаев опытные распределения логарифма сопротивления контактов, имеющие отрицательную асимметрию, достаточно хорошо отвечают гамма-распределению. Проверка соответствия с помощью критерия согласия %2 (хи-квадрат) в 85-90% случаев дала положительные результаты. На рис. 1 показан пример успешной аппроксимации опытных данных.

На основании экспериментальных данных строится гистограмма статистического распределения в виде столбцов и полигон (рис.1 а, б) по табл.1, 2. Полученные значения уг располагаются в порядке возрастания. Затем все результаты измерений делят на г (г = 1, 2, ..., г) интервалов длиной Ду- (при п = 30...100 рекомендуется

г = 5.9); подсчитываются частоты тг, равные числу результатов измерений, лежащих

*

в каждом г-м интервале, и оценки средней плотности распределения / (у) в интервале

ДУ,: *

/V \ т* /г (У) = -т- ■ п^Уг

По оси абсцисс откладываются в определенном масштабе интервалы Дуг в порядке их возрастания, и на каждом интервале строится прямоугольник высотой,

© А.И. Федотов, Е.И. Грачева, О.В. Наумов Проблемы энергетики, 2013, № 1-2

равной оценке средней плотности распределения /1 (у) . После построения гистограммы подбирают теоретическую кривую распределения Ду-, которая отражает все основные черты статистического распределения. Результаты расчетов для данной выборки сопротивлений магнитного пускателя и автоматического выключателя представлены в табл. 1,2.

Рис.1. Аппроксимация опытных данных гамма-распределения: а - магнитный пускатель, 1Н = 63А; б - автоматический выключатель, /Н = 63А

Таблица 1

Оценка параметров случайной величины для выборки сопротивлений магнитных пускателей

1 Уi >1+1 >!0 * т1 * * т,- П (> )=-г-пА>1

!н = 4А

1 2,266866 2,289009 2,277938 2,0 3,01073

2 2,289009 2,311152 2,300081 16,0 24,08582

3 2,311152 2,333295 2,322224 7,0 10,53754

4 2,333295 2,355438 2,344367 3,0 4,51611

5 2,355438 2,377581 2,366510 2,0 3,01073

!Н = 63 А

1 1,098644 1,107581 1,103112 1,0 3,72981

2 1,107581 1,116518 1,112050 17,0 63,40682

3 1,116518 1,125455 1,120987 7,0 26,10861

4 1,125455 1,134392 1,129924 3,0 11,18943

5 1,134392 1,143329 1,138861 2,0 7,45962

Таблица 2 Оценка параметров случайной величины для выборки сопротивлений автоматических выключателей

1 Уi >+1 >!0 * т1 * *т Ь (> )=-т~

!Н = 16А

1 1,295149 1,315495 1,305322 1,0 1,63832

2 1,315495 1,335841 1,325668 17,0 27,85152

3 1,335841 1,356187 1,346014 7,0 11,46820

4 1,356187 1,376533 1,366360 3,0 4,91497

5 1,376533 1,396879 1,386706 2,0 3,27664

!Н = 63 А

1 0,683677 0,685915 0,684796 2,0 29,78852

2 0,685915 0,688153 0,687034 14,0 208,51974

3 0,688153 0,690391 0,689272 9,0 134,04861

4 0,690391 0,692629 0,691510 3,0 44,68273

5 0,692629 0,694867 0,693748 2,0 29,78852

Действительно, точки, соответствующие сгруппированным результатам измерений [3], лежат достаточно близко к теоретическим кривым плотности распределения, построенным по точечным оценкам параметров. Следовательно, представляется целесообразным гамма-распределение логарифма сопротивления контактов для оценки величины его в тех случаях, когда опытное распределение одномодально и обладает отрицательной асимметрией. За критерий последней можно

принять условие превышения медианы распределения математическим ожиданием исследуемой характеристики, т.е. неравенство

У > У0,5 ,

где у - выборочное среднее случайной величины у; У0 5 - квантиль распределения,

соответствующий условию

Г

Р ( у) = \

Г (а) 0

(у- уа)а"1е-^(у-у0) у > уа,

у < У0,

(1)

у = 1§ гк ; гк - сопротивление контакторов; а, Г (а) - гамма-функция.

Точечные оценки параметров а и X

X,

у0

параметры распределения;

можно определить выборочными

моментами:

_2

а =

(у - у0) 2

X =

у - у0 _2

(2)

о - дисперсия у.

Параметр сдвига у) характеризует минимальное сопротивление цепи контактов,

которое обуславливается сопротивлением токопроводящих деталей аппаратов, массы контактов и переходным сопротивлением стягивания, зависящим от микрошероховатостей поверхности контактов.

Для оценки параметра у0 в работе [4] приводится выражение

2 4

- 2о

у0 = У —3-2-2 , (3)

у 3 - 3 уу 2 + 2 у 2

-2 -3

где у , у

второй и третий начальные моменты.

Однако опыт показывает, что из данного выражения можно получить значения у0, превосходящие реальные минимальные величины у. Объясняется это тем, что оценки моментов третьего порядка в статическом смысле довольно грубы, так как могут иметь большие вариации за счет отдельных случайных выбросов. Поэтому предлагается оценивать у0 непосредственно по гистограмме опытных данных [5] (рис.2) по табл.3, 4:

у0 = ушт - ДУ ,

где ушщ - минимальное значение у в исследуемой выборочной совокупности; Ду -минимальная ширина интервала между не сгруппированными данными логарифма сопротивления.

Если на гистограмме имеются одно-два минимальных опытных значения у0, отстоящих от основной группы данных, расположенных с интервалом Ду более чем на 5 Ду , то при расчете у0 их рекомендуется исключать.

Такой способ оценки у0 вполне приемлем, ибо колебания его величины в достаточно широких пределах практически мало отражаются на результате расчета сопротивления контактов.

а)

Уо.5

Уо Ду

II I О о <

о о О О О О в 1 1 1 1 о 0 5 I 1 1

2,2447 2,2669 2,2590 2^112 2,3333 2,3554 2,3776

У ____„ б)

У0,5

Уо Ау

-Лит О О

О О О о о о О С О О ООО О О О 0 о о

1 1,0897 1 1,0986 1111 1,1076 1,1165 1,1255 1,1344 1,1433

У

Уо,5 в)

Уо А у

Утт О о о о и О О

о о О О О о О О О о о о о

1 1 ■■— ! 1 1 1

1,1748 1,2951 1,3155 1,3358 1,3562 1,3765 1,3969

У

Уо.5

Уо ,

1 о|

1 » о 1 о а & о о 1

0,6815 0,6837 0,6859 0,6882 0,6904 0,6926 0,6949

Рис.2. Оценка параметров сдвига (по данным табл.3, 4): а - магнитный пускатель, 1Н = 4А; б -магнитный пускатель, 1Н = 63; в - автоматический выключатель, 1Н = 16А; г - автоматический

выключатель, 1Н = 63 А

Таблица 3

Данные для расчета характеристик магнитных пускателей (1Н = 4А; 63А) [2]

Номер наблюдения 1 Экспериментальные данные у.х. Экспериментальные данные у. х.

1н = 4А 1Н = 63А

1 2 3 4 5

1 196,66 2,293 12,84 1,109

2 193,44 2,286 13,07 1,116

3 197,21 2,295 13,21 1,121

4 215,78 2,334 13,52 1,131

5 238,55 2,378 13,91 1,143

6 209,82 2,322 13,31 1,124

7 201,95 2,305 13,65 1,135

8 215,63 2,333 12,86 1,109

9 211,49 2,325 13,34 1,125

10 229,01 2,359 13,03 1,115

11 196,99 2,302 12,95 1,112

12 202,32 2,349 13,49 1,130

13 207,82 2,294 13,08 1,117

14 199,37 2,306 13,12 1,118

Продолжение табл. 3

1 2 3 4 5

15 202,81 2,318 12,85 1,109

16 219,29 2,299 12,93 1,111

17 202,81 2,307 12,83 1,108

18 219,29 2,341 13,61 1,134

19 204,45 2,311 13,01 1,114

20 206,25 2,314 12,91 1,111

21 198,03 2,296 13,0 1,114

22 208,29 2,318 13,13 1,118

23 202,98 2,307 12,89 1,110

24 206,23 2,314 12,97 1,113

25 208,17 2,318 13,15 1,119

26 203,31 2,308 12,87 1,109

27 196,05 2,292 12,83 1,108

28 184,87 2,266 12,55 1,098

29 206,41 2,314 13,10 1,117

30 200,58 2,302 12,89 1,110

Таблица 4 Данные для расчета характеристик автоматических выключателей (?н = 4А; 63А) [2]

Номер наблюдения 1 Экспериментальные данные у. X. Экспериментальные данные у. х.

1н = 4А 1Н = 63 А

1 2 3 4 5

1 20,99 1,322 4,87 0,688

2 21,09 1,324 4,86 0,686

3 21,98 1,342 4,89 0,689

4 20,84 1,319 4,87 0,688

5 21,33 1,329 4,85 0,686

6 24,16 1,383 4,94 0,693

7 22,61 1,354 4,89 0,689

8 23,36 1,368 4,92 0,692

9 21,47 1,332 4,87 0,687

10 24,94 1,396 4,95 0,695

11 22,32 1,349 4,88 0,688

12 20,80 1,318 4,86 0,687

13 23,24 1,366 4,91 0,691

14 21,41 1,331 4,88 0,688

15 21,97 1,342 4,88 0,689

16 23,76 1,376 4,90 0,691

17 20,78 1,318 4,87 0,688

18 21,51 1,333 4,88 0689

19 21,01 1,322 4,87 0,688

20 19,73 1,295 4,83 0,684

21 21,21 1,327 4,87 0,687

22 20,80 1,318 4,87 0,688

23 21,59 1,334 4,87 0,687

24 21,60 1,335 4,87 0,688

25 22,62 1,354 4,88 0,689

26 21,46 1,332 4,88 0,688

27 21,19 1,326 4,86 0,687

28 21,60 1,335 4,87 0,687

29 22,27 1,348 4,88 0,688

30 20,79 1,318 4,84 1,110

Максимизируя выражение (1), нетрудно найти наиболее вероятное значение сопротивления контактов, соответствующее вершине плотности распределения:

а-1

1 - а 1Л"Т+у0

Ум ="у + У0 или гКм = 10 Х •

Вероятность того, что случайная величина у не превзойдет значения У, оценивается выражением

У - Уо

р(у < у ) = Г Г^у - уо)а-1е-1(У-Уо)су • 0 Г(а)

(4)

Из выражения (4) можно получить точечные оценки вероятности Р при целых а. Интерполяция полученных величин даст приближенные значения для дробных а. Для получения доверительных границ вероятности Р целесообразнее использовать разложение плотности распределения (1) в ряду Грамма-Шарлье, после интегрирования членов которого получим известное под названием Эджорта представление гамма-распределения через нормальную функцию распределения [5]:

Х(У - У0) - а п 2

р (У < у ) - Fí

Х(У - У0) - а \/а

-1

3\/а

-Ф0

Х(У - У0- а л/а

+... =

В2 -1

= *0Ф) - ^ Ф0(Р) + 3а

где ^0 (Р), Ф0 (Р) - нормированные функция и плотность соответственно.

(5)

распределения

Р =

Х(У - У0) - а -у/а

(6)

Приближенные доверительные границы вероятности Р(у < У) находят исходя из условия асимптотической нормальности ее точечной оценки. Тогда 100у%-й доверительный интервал вероятности составит

Д,

*М(Р) ± иу^ЩР),

(7)

где М (Р), Б (Р) - математическое ожидание и дисперсия оценки; и у - квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности у.

М (Р) - Р,

Б( Р) =

' дР ^

V да/

Б(а) +

( дР ^

V дА/

Б(А) + 2——еоу(а, А), да да

(8)

где Б(а), Б(Х) - дисперсия параметров а и X ; еоу(а,А)- ковариация оценок

параметров, которые правдоподобия [5];

могут быть получены непосредственно из уравнения

" (9)

Б(а) =

М 0[а^'(а) -1]'

ВД =

2 г

X У(а)

М 0[аУ(а) -1]'

у

ссу(а, X) = , , (11)

М 0[ ау(а) -1]

где у'(а) - логарифмическая производная гамма-функции; М0 - математическое ожидание.

Используем представление у'( а) - —1—, дающее приближение с

а- 0,5

погрешностью, не превышающей 1% при а > 3,5 и 10% при а > 1,3 (при а = 1 погрешность достигает 20%, а при а < 0,8 превышает 40%). Учитывая, что подавляющему большинству опытных данных по сопротивлению контактов соответствует а > 1, а а = 0,8 ^ 1 встречается в редких случаях, получаем:

Ща) - а20-1) , (12)

М0 2У 2

ад - Мг, (13)

М0

соу(а, X) - • (14)

М0

После дифференцирования выражения (5) по а, X и подстановки выражений (12^14) в формулу (8), получаем

Д( Р) = ф2(р)

М

0

2Х2(7 - ^ -(2а-1)[1 + р V! + ■ 3Р

2\/а у V 2л/а

(15)

Подставив равенства (5) и (15) в формулу (7), после преобразований находим окончательное выражение для 100у%-го доверительного интервала Р:

о гггал в2 -1 ПТф0(Р) I, в2 2р 3р2

р = „0(р) - ф0(р) +-—. об)

Задавшись требуемой вероятностью Ру сохранения сопротивления контактов в

пределах искомой величины, методом итерации [2] находим значение Р, по которому определяется величина 7:

7 а + Рл/а 1 _ 1 р

7 =-у-+ У0 = _ + Ро . (17)

Тогда верхняя 90%-я доверительная граница искомого предельного значения сопротивления контактов составит

?к = 107 . (18) Необходимо отметить, что величина гк при расчете с помощью формулы (16)

получается несколько оптимистичной вследствие использования приближения. Поэтому, когда расчет выполняется для гарантируемой предельной величины сопротивления контактов, рекомендуется вводить соответствующий коэффициент запаса.

Во избежание итерационного процесса при вычислении Р можно предварительно рассчитать с помощью выражения (16) величину Ру при различных значениях а, Р и М0 и по полученным результатам составить таблицы или построить график. Предпочтение следует отдавать построению графиков, так как это исключает интерполяцию. Графики можно построить также в координатах Р = ф(а) при фиксированных значениях Рт

Очевидно, что в обоих случаях необходимая точность отсчета в обеспечивается числом фиксированных значений а и Ру и ценой деления осей координат. Поэтому, чем выше заданная точность отсчета, тем более громоздкими окажутся графики. Оценим, с какой точностью целесообразно определять в при разработке графиков и при нахождении этой величины непосредственно из формулы (16). Для этого продифференцируем выражение (17) по в:

Л _ йв _ °.

Следовательно, Д7 _ оДв или, переходя к относительной погрешности 5р расчета предельной величины сопротивления контактов,

5в _

^К 2,3оДв,

ГК

откуда

Дв _ 0,4343- .

(19)

Полагая, что максимальная величина о не превысит 0,4 ^ 0,45 и считая 5в = 5% допустимой погрешностью расчета, если принять во внимание, что погрешность измерения к составит около 5 ^ 10%, находим Дв = 0,05.

Если допустить, что 5в > 5% или о < 0,4, то Дв, соответственно, возрастет,

графики могут быть построены с меньшей точностью.

Если в какой-либо области а, Ру и М0 отсчет в по графикам не выполняется с требуемой точностью, то по ним можно определить первое приближение искомой величины в рис. 3, которое позволит сократить число итераций при вычислении по формуле (16).

в 3,7

3,5

3,3

3,1

2,9

2,7

2,5 2,3

0 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 1-Ру Рис.3 Графики определения в или его первого приближения: 1 ^ 4 для а = 1, 2, 5, 10, соответственно

о

Далее рассмотрим степень влияния погрешности оценки параметров сдвига у0 на величину гк.

Из выражения (17) видно, что так как выборочные моменты у и о2 не зависят от У0, последнее будет влиять на оценку гк лишь в той степени, в какой от него будет

зависеть величина, которая, при заданных значениях Ру и М0 , является функцией только .

В результате анализа кривых (рис.3) установлено, что приближенно функцию а в пределах от 1 до 10 можно представить в виде в = С - е 1§ а, где С = ДРу), а е = 0,3 0,4. Подставляя формулу в = С - е 1§ а в соотношение (17), получаем

1 = у + Со - е 1в(У-У°). (20)

о

Дифференцируя выражение (20) по у0 , находим приближенную зависимость изменения от приращения параметра сдвига:

Д7:

( 0,9ео ^

Ду

у - У0.

или, переходя к относительной погрешности 8у0 оценки предельной величины

сопротивления контактов, определяем 5, %:

X ^к,™ + 200ео . 200е . 5 = —к 100 -Ду0 = —¡^Ду0.

гк У- У0 ^а

Ниже представлены результаты расчетов, полученные при применении

предлагаемой методики оценки сопротивления контактов с учетом опытных данных

(табл. 5, 6).

Таблица 5

Расчет характеристик магнитных пускателей (/Н = 4А; 63А)

Этап расчета Выражение Результат расчета

1н = 4А 1Н = 63А

1 2 3 4

1 - 1 п А=у=-X yi ni=1 2,313825 1,117054

2 X (у i - А)2 1 К n-1 0,022607 0,009775

3 у0 5 по рис.2 2,309843 1,115336

4 критерий у >уо 5 + +

5.1 xmin по табл.3 184,87мОм 12,55мОм

5.2 у^п по табл.4 2,266866 1,098644

6.1 х0 _ xmin — Ах 174,13мОм 12,28мОм

6.2 уо = утт - Ау 2,244724 1,089707

7 (у - у0)2 (1 =-—- а а2 9,342691 7,827348

8 i у-Уо а2 135,2036 286,2264

9 в по рис.3 2,85 2,85

10 Y=у+Рст 2,378255 1,144911

Продолжение табл. 5

1 2 3 4

11 238,92мОм 13,96м0м

12 а-1 У0 rKM =10 M 202,50м0м 12,99м0м

Таблица 6 Расчет характеристик автоматических выключателей (1Н = 16А; 63А)

Этап расчета Выражение Результат расчета

1Н = 16А 1Н = 63 А

1 - 1 п А=у= -X у. ni =1 ' 1,338180 0,688271

2 X (У. - A)2 Mr1 1 1 n-1 0,022344 0,002340

3 y05 по рис.2 1,3278 0,687546

4 критерий y > У0 5 + +

5.1 xmin по табл.3 19,73м0м 4,827м0м

5.2 УтП по табл.4 1,295149 0,683677

6.1 x0 _ xmin — 18,69м0м 4,802м0м

6.2 У0 = Утт - АУ 1,274803 0,681439

7 (y - у0)2 а=-—— " а2 8,045661 8,524337

8 1 У-У0 q2 126,9488 1247,645

9 в по рис.3 2,85 2,85

10 Y= у +Рст 1,401859 0,694941

11 rK =10# 25,227м0м 4,954м0м

12 а-1 у0 rKM =10 M 21,395м0м 4,869м0м

В результате исследований определено наиболее вероятное значение сопротивления контактов магнитных пускателей rKM = 202,5м0м (I = 4А), rKM = 12,99мОм (I = 63А) и автоматических выключателей rKM = 21,395мОм (I = 16А), rKM = 4,869мОм (I = 63А), что может быть использовано для оценки эквивалентных сопротивлений электрических низковольтных сетей.

Summary

Low voltage equipment recently quite intensively. Continuously improved and developed switchgear, new directions, based on the use of non-traditional principles of action. And this leads to stringent requirements for stability and the level of resistance contact connections. This paper presents the study of resistance contact connections switching devices based on statistical information.

Keywords: shop electric networks of a low-voltage, low-voltage electric devices, serviceability, contact resistance connection.

Литература

1. Егоров Е.Г. Испытания и исследования низковольтных коммутационных электрических аппаратов. Чебоксары.: Чуваш. гос. ун-т, 2000. 448 с.

2. Штремберг Т.К., Белозерова Н.А, Гартманова И.С. Оценка величины сопротивления контактов с использованием гамма-распределения // Вопросы радиоэлектроники. Техника проводной связи. 1969. Вып.3. С. 54-62.

3. Шевченко В.В., Грачева Е.И. Определение сопротивления контактных соединений низковольтных коммутационных аппаратов // Промышленная энергетика. 2002. №1. С. 42-43.

4. Герцбах И.Б., Кордонский Х.Б. Модели отказов. Изд. «Советское радио», 1966.

5. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. 2 изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 352 с.

Поступила в редакцию 16 октября 2012 г.

Федотов Александр Иванович - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электроэнергетические системы и сети» (ЭСиС) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 543-97-60.

Грачева Елена Ивановна - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» (ЭПП) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 543-86-13.

Наумов Олег Витальевич - канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры «Электроэнергетические системы и сети» (ЭСиС) Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 543-97-60; 8 (917) 3979681. E-mail. o_naumov@list.ru.