CC BY
111
Фондовый рынок
Удк 330.42
оценка риска в рамках гипотезы фрактального рынка
е. н. калайдин,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической экономики E-mail: kalaidin@econ. kubsu. ru М. С. ДЮДИН,
аспирант кафедры теоретической экономики E-mail: diudin. m@yandex. ru Кубанский государственный университет
В статье отмечается, что традиционным подходом к исследованию финансовой динамики является гипотеза эффективного рынка, предполагающая случайное движение цен. В рамках гипотезы используются теоретико-вероятностные методы. При этом классической считается портфельная теория Марковица, в которой мерой риска он определил дисперсию временного ряда доходностей. Подчеркивается, что в настоящее время альтернативным подходом к исследованию биржевой динамики стала гипотеза фрактального рынка Петерса и Мандель-брота. В рамках этой гипотезы является актуальной задача измерения риска активов. Предлагается оценивать риск по доле случайной компоненты временного ряда.
Ключевые слова: биржевые доходности, риск, случайный шум, фракталы, нелинейная динамика, корреляционная размерность.
Традиционным подходом к исследованию биржевой динамики является гипотеза эффективного рынка (ЕМН), согласно которой приращения цен являются случайными. Марковиц в портфельной теории определяет риск актива как дисперсию приращений цены [4]. Такой же подход к оценке риска используется в других прикладных теориях, основанных на положениях ЕМН.
После появления альтернативной гипотезы фрактального рынка, по-новому объясняющей природу движения цен на фондовых рынках, становится актуальным вопрос об определении меры риска в рамках новой парадигмы. Экономисты Мандельброт и Петерс в своих работах [5, 6, 7, 8] показали заметное расхождение ЕМН с реальностью и предложили новую гипотезу, основанную на нелинейной динамике и фрактальной теории. Согласно гипотезе фрактального рынка ^МН) цены движутся по сложным нелинейным закономерностям, самоподобным в масштабе.
Исследования биржевых временных рядов методом нелинейной динамики показывают, что динамика не является полностью детерминированной. Показатель Хёрста часто принимает значения, относительно близкие к 0,5, а корреляционная размерность продолжает рост после достижения размерности вложения. В финансовой динамике содержится как случайная, так и детерминированная компонента. Петерс [7, 8] предполагает, что финансовая динамика представляет сочетание нелинейной детерминированной динамики на больших временных интервалах и «цветного шума» на малых. Исследователи Яновский и Филатов [2, 3] предлагают теорию частично детерминированных временных
финансы и кредит
31
рядов и метод измерения случайной компоненты по наклону графика корреляционной размерности.
«Случайный шум» в движении цен объясняется влиянием спекулятивной торговли, которая ведется для того, чтобы угадать пик на ценовом графике — зачастую по интуиции и под влиянием эмоций. В последнее время увеличению доли спекулятивной торговли способствуют широкое распространение торговых роботов и предоставление брокерскими компаниями кредитных плеч и возможности продаж без покрытия мелким игрокам.
Разделяют «случайный шум» на наблюдаемый (аддитивный) и динамический [7, 8]. Наблюдаемый шум возникает по причине погрешностей измерения и не влияет на динамику, лишь искажая данные. В случае биржевых данных причиной наблюдаемого шума может быть определение цены по концу или началу либо максимуму или минимуму временного интервала, без учета среднего значения.
Динамический шум присутствует в динамике системы, оказывая на нее влияние. В случае биржевых данных динамический шум объясняется влиянием спекулятивной торговли либо внешними воздействиями.
Авторами предложен метод измерения случайной компоненты временного ряда [1]. Эксперимен-
Таблица 1
Зависимость начала детерминированного линейного участка на графике корреляционного интеграла от диапазона значений наблюдаемого «случайного шума»
Диапазон значений наблюдаемого «случайного шума» Начало линейного участка, приведенное к размерности 1
[1; 1] 1,43
[—2; 2] 2,61
[—3; 3] 3,49
Таблица 2 Зависимость начала детерминированного линейного участка на графике корреляционного интеграла от диапазона значений динамического «случайного шума»
Диапазон значений динамического «случайного шума» Начало линейного участка, приведенное к размерности 1
[—1; 1] 1,77
[—2; 2] 3,14
[—3; 3] 4,6
ты с добавлением «случайного шума» в модельные данные (ряд Лоренца) показали, что он приводит к смещению начала линейного участка на графике корреляционного интеграла. Выяснилось, что начало линейного участка зависит от масштабов добавленного шума и оценивает масштабы элементов ряда, на которых влияние «случайного шума» становится меньшим, чем влияние детерминированного сигнала. К примеру, в случае равномерно распределенного «случайного шума», добавленного в ряд Лоренца. Соотношение полученной оценки и диапазона значений случайного шума указано в табл. 1. Предлагается называть масштаб, на котором случайный сигнал становится слабее детерминированного (начало линейного участка) корреляционной мерой шума.
Динамический шум сильнее искажает динамику системы. В табл. 2 указано влияние динамического случайного шума на систему Лоренца.
Таким образом, становится возможной оценка случайной компоненты временного ряда корреляционной мерой шума. Доля случайной компоненты в динамике может определяться по отношению корреляционной меры шума к выборочной дисперсии ряда либо по доле элементов, меньших, чем корреляционная мера шума (зашумленных элементов). Вычисления с реальными финансовыми данными показали наличие «случайного шума» в динамике и выявили качественное совпадение с методом Яновского и Филатова. При этом финансовые активы с высокой корреляционной мерой шума демонстрируют более хаотичную динамику.
Актуальным является вопрос, способен ли динамический шум в биржевой динамике оказывать значительное влияние на движение цен, смещая траекторию движения системы. Добавление динамического шума в модельный ряд Лоренца показывает, что в случае небольших случайных отклонений траектория системы возвращается на прежнюю траекторию. Но при увеличении диапазона значений «случайного шума» траектории системы заметно смещаются, приводя к переходу системы на другой участок аттрактора. В приложении к биржевой динамике это означает смену трендов, переход системы с восходящей волны в падение и т. п.
При этом разные участки аттрактора динамической системы являются по-разному устойчивыми к случайному шуму. В участках «разбегания» траекторий система является менее устойчивой, в отличие от участков «схождения». Применительно
к биржевой динамике наиболее чувствительными к случайным воздействиям являются участки, на которых происходит смена тренда, пики волн.
Таким образом, логично предположить, что наибольшую неопределенность при торговле на фондовом рынке вносит динамический шум, который может оказывать влияние на движение цен и приводить к смене трендов. В отсутствие «случайного шума» сложная нелинейная динамика может предсказываться существующими методами (такими как нейронные сети). Основной риск при долгосрочных инвестициях составляют случайные факторы, которые невозможно предсказать фундаментальным анализом либо математическими методами. Чем выше «случайный шум» в динамике актива, тем больше вероятность неожиданного изменения направления движения цен.
Рассмотрим особенности динамки цен, зависящие от доли «случайного шума». Проведены вычисления корреляционной меры шума для рядов доходностей акций компаний «Норникель», «Аэрофлот», «Лукойл» и «Сбербанк России» (табл. 3). Также был проведен R/S-анализ с целью выявления особенностей непериодических циклов в движении цен. Выяснилось, что для динамики акций Аэрофлота и Сбербанка России характерен больший в сравнении с другими активами разброс длин непериодических циклов, что проявляется в более пологом пике на графике зависимости показателя Хёрста от количества отсчетов, который соответствует средней длине непериодических циклов. Визуальный анализ графиков цен показывает более
Таблица 3
Доля случайной компоненты в динамике российских акций, %
Доля шума относи- Доля
Компания тельно стандартного зашумленных
отклонения элементов
Норникель 24 11
Аэрофлот 59 34
Лукойл 42 20
Сбербанк России 55 27
Зависимость доли случайного
упорядоченное движение для акций Норникеля и Лукойла. На графике видны волны, соответствующие по длине результатам R/S-анализа.
Общепринятой среди участников рынка точкой зрения является представление, что краткосрочная торговля в отличие от долгосрочной является более рискованной, но теоретически более прибыльной. Рассмотрим данные различной частоты за разные периоды для подтверждения эффективности корреляционной меры шума как меры риска. Корреляционная мера шума рассчитывается для временных рядов доходностей акций компании «Аэрофлот» с различной частотой данных. Чтобы исключить влияние параметров вычислений, составляются временные ряды одинаковой длины, и корреляционный интеграл вычисляется с одними и теми же параметрами. Из 5-минутных данных получены ряды 25-минутных и 50-минутных данных. Результаты (табл. 4) показывают, что уменьшение частоты данных приводит к снижению корреляционной размерности и снижению доли случайной компоненты. Корреляционная мера шума меняется слабо, уменьшается ее доля относительно элементов временного ряда. Таким образом, можно сделать вывод, что предложенная оценка риска совпадает с эмпирическими наблюдениями.
Напомним, что ЕМН является частным случаем FMH при показателе Хёрста Н = 0,5 [7, 8]. Применение инструментария ЕМН корректно при значении Н, близком к 0,5. При этом доля случайной компоненты временного ряда значительно превосходит долю детерминированной. Чем выше дисперсия случайной компоненты ряда, тем меньше доля детерминированной динамики и тем выше выборочная дисперсия временного ряда в целом. В других случаях, когда показатель Хёрста Н значительно отличается от 0,5, детерминированный сигнал увеличивает выборочную дисперсию временного ряда. Таким образом, предложенная оценка риска актива совпадает с принятыми в рамках ЕМН оценками риска по стандартному отклонению в тех случаях, когда применение методологии ЕМН корректно.
Таблица 4
от частоты данных (Аэрофлот), %
Частота данных Корреляционная Корреляционная Доля зашумленных Доля относительно стан-
АЕЬТ размерность мера шума элементов дартного отклонения
5-минутные 3,56 0,01041 33 47
25-минутные 2,72 0,01096 28 36
50-минутные 2,42 0,01252 24 34
Предложенная оценка риска по доле случайной компоненты может заменить традиционные теоретико-вероятностные методы, основанные на гипотезе эффективного рынка. Доля случайной компоненты может определяться различными методами: по наклону графика корреляционной размерности [2, 3] или по началу линейного участка на графике корреляционного интеграла [1].
Список литературы
1. Дюдин М. С., Калайдин Е. Н. Определение доли шума в хаотических временных рядах. Влияние шума на корреляционный интеграл. Актуальные проблемы экономики, социологии и права в современных условиях: сборник. Пятигорск. 2010.
2. Яновский Л. П. Оценка степени детерминированности временных рядов валют и курсов акций на российском финансовом рынке. Экономическое прогнозирование: модели и методы 2004 г. Материа-
лы Всероссийской научно-практической конференции. Март. 2004. Воронеж: ВГУ. 2004.
3. Яновский Л. П. О соотношении случайного и детерминированного хаоса на российском валютном рынке. Методы математического и компьютерного планирования и прогнозирования в экономике. Материалы международной научно-методической конференции. Декабрь. 2003. Орел: ОГУ. 2004.
4. Markowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. № 7.
5. MandelbrotB. B. Fractals and Scaling in Finance. New York: Springer New York. 1997.
6. Mandelbrot B. B. Statistical methodology for non-periodic cycles: from the covariance to R/S analysis // Annals of Economic and Social Measurement. 1972. № 1.
7. Peters E. E. Chaos and order in the capital markets. New York: Wiley New York. 1991.
8. Peters E. Fractal Market Analysis. Applying Chaos Theory to Investment & Economics. J. Wiley & Sons. New York. 1994.
Вниманию руководителей и менеджеров высшего и среднего звена, экономистов, финансистов, преподавателей вузов и аспирантов!
Журнал «Финансы и кредит»
ISSN 2071-4688
Выпускается с 1995 года. Включен в перечень ВАК.
Включен в Российский индекс научного цитирования (РИНЦ).
Журнал реферируется ВИНИТИ РАН.
Формат A4, объем 80—100 с. Периодичность - 4 раза в месяц.
ПОДПИСКА ПРОДОЛЖАЕТСЯ!
Индекс по каталогу «Почта России» Индекс по каталогу «Роспечать» Индекс по каталогу «Пресса России»
34131 71222 45029
За дополнительной информацией обращайтесь в отдел реализации Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» телефон/факс: (495) 721-85-75, E-mail:podpiska@fin-izdat.ru
Возможна подписка на электронную версию журнала, а также приобретение отдельных статей: Научная электронная библиотека: eLibrary.ru Электронная библиотека: dilib.ru
www.fln-izdat.ru
34
финансы и кредит
