Оценка риска портфельных инвестиций с использованием цепей Маркова Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

оценка риска портфельных инвестиций с использованием цепей маркова

в. я. шапиро,

доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики

н. а. шапиро,

доктор экономических наук, профессор кафедры экономики и финансов санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

Развитие отечественного фондового рынка в настоящий период характеризуется стремительным ростом привлечения частных инвестиций как при самостоятельном формировании и управлении инвестиционным портфелем ценных бумаг, так и с использованием механизмов коллективных инвестиций.

Рост многообразия паевых инвестиционных фондов (ПИФов), число которых в начале 2007 г превысило значение 330 и продолжает неуклонно расти, порождает основную проблему для инвестора (пайщика), заключающуюся в выборе управляющей компании (УК), способной обеспечить ему достижение ожидаемой доходности. Но в ожидании доходности пайщиком и при реально достигнутом результате УК возникает конфликт интересов пайщика и УК.

Не вызывает сомнения то обстоятельство, что культура портфельных инвестиций пользователями растет, но инвестиционные компании и банки постоянно предлагают для частных инвесторов новые наборы продуктов, в том числе интернет-технологии, которыми может воспользоваться для управления портфелем и частный, и коллективный инвестор (УК ПИФа). В этой связи актуальными становятся вопросы выработки конкретных рекомендаций по оперативному ситуационному моделированию фондового рынка. Известные профессиональным участникам фондового рынка оценки рисков инвестиционных портфелей по критериям коэффициентов «Альфа», «Бета», «Шарпа» и пр.1 (которые для рядового инвестора являются практически недоступным инструментом анализа) предлагается дополнить методикой адаптации инвестиционного портфеля к реально сложившейся на фондовом рынке ситуации, разработанной на основе аппарата цепей Маркова.

Дело в том, что: 1) как на отечественном фондовом рынке, так и на более развитых зарубежных

1 Воронцовский А. В. Управление рисками: Учебное пособие. 3-е изд., СПб.: Изд-во СПбГУ; ОЦЭиМ, 2005. - 482 с.

не более 25 — 30 % УК превосходят средние показатели индексов доходности, т. е. большинству УК трудно «обыграть» стихию рынка; 2) как бы привлекательно ни выглядели показатели УК, следует понимать, что пайщику всегда предлагается к покупке «прошлая доходность», и на очередном цикле инвестирования рассчитывать на повторение успеха в прошлом, в общем случае, не приходится; 3) именно «прошлая доходность» является практически единственной достоверной информацией при принятии оперативного решения, следовательно, информация о доходности должна быть воспринята лишь с определенной вероятностью.

Первое, с чем сталкивается инвестор при формировании собственного портфеля, так это необходимость сопоставить ожидаемую доходность с риском инвестиций, причем основным ориентиром будут являться результаты работы УК, у которых находятся максимально диверсифицированные портфели ценных бумаг.

Общепринятым подходом к оценке рисков на рынке коллективных инвестиций является среднемесячное стандартное отклонение цены пая (К), характеризующее процесс ценовой вариации (во-латильности). В частности, сравнивая показатель К со среднемесячной доходностью пая (В) появляется возможность прогнозировать эффективность инвестиций с учетом риска.

На рис. 1 приведена зависимость «доходность В, % — риск К, %», полученная на примере данных 15 фондов по итогам 2006 г.: 11 — открытых паевых, 2 — смешанных инвестиций (акции и облигации) и 2 — фондов облигаций2. С надежностью аппроксимации 0,94 регрессионная модель «доходность-риск» описывается полиномом второй степени: В = 0,0336 К2 — 0,0083К + 0,5851. (1)

2 Капитан М, Эрдман Г. Обыграй его// Эксперт. 2005. — № 35. — С. 108 — 114.

финансы и кредит

33

А %

К, %

0123456789 —♦—Ряд 1

-Полиномиальный (Ряд 1)

Рис. 1. Зависимость доходности от риска

я, %

3 4 5 6 7

Рис. 2. Линии рискового безразличия

По сути, график на рис. 1 является кривой рискового безразличия и его форма свидетельствует о том, что коллективные инвестиции реализованы для инвесторов, не склонных к риску (таковых более 90 %)3.

Допустим, что инвестор при формировании собственного портфеля, в первую очередь акций и облигаций, также ориентируется на показатели сопоставления пары «ожидаемая доходность — риск (ст)» для каждого вида ценных бумаг (компоненты структуры портфеля). Эта оценка производится с учетом склонности или несклонности инвестора к риску, что характеризуется некоторым параметром входящим в функцию рискового предпочтения F (q, ст, |), приравнивание которой к безрисковой ставке процента (^ приводит к параметрическому относительно | уравнению рискового безразличия q = q (|, ст,

Если принять полученные на рис. 1 данные за основу при формировании инвестиционного

3 Воронцовский А. В. Управление рисками: Учебное пособие. 3-е изд., СПб.: Изд-во СПбГУ; ОЦЭиМ, 2005. - 482 с.

портфеля, то с коэффициентом аппроксимации 0,91 среднемесячная кривая рискового безразличия трансформируется в прямую и удовлетворительно описывается линейной функцией:

#=/+|дст = 0,52+0,31ст (2)

с премией за риск Д= q — i > 0. Такой инвестор принимает на себя только такую стратегию инвестирования, риск которой обеспечит более высокую доходность, а параметр | = 0,31 (угол наклона линии рискового безразличия) в данном случае характеризует несклонность инвестора к риску. Чем больше тем большую инвестор ожидает доходность при фиксированном риске. Очевидно, что при | ^ 0 ожидаемая доходность q ^ i, т. е. инвестор, более склонный к риску, готов удовлетвориться минимальной доходностью, которую ему гарантирует рынок.

На рис. 2 приведены линии рискового безразличия для: 1 — |= 0,3; 2 — 0,5; 3 — 0,7 и 4 — 0,9 (на оси ординат — q, %, на оси абсцисс — ст, %), которые позволяют, в частности, задавшись ожидаемой доходностью, определить допустимые риски при инвестировании в отдельные ценные бумаги в зависимости от психологии инвестора. Выбранные объекты инвестиций определяют структуру портфеля и, в конечном счете, его риск.

Экспертно по данным рис. 1 выделим четыре категории объектов инвестиций (табл. 1) от высоконадежных государственных облигаций федерального и субфедерального уровней (категория I) до весьма рискованных акций публичных компаний, в том числе второго эшелона (категория IV). К категории II в таком случае отнесем муниципальные и корпоративные облигации, а к категории III — акции, входящие в список «голубых фишек». Показатели доходности пересчитаны в более наглядную ожидаемую годовую доходность (Q). Нулевой риск при этом (ст =0) будет соответствовать доходности ГКО-ОФЗ или облигаций ЦБ, которую определим как iI = 0,52 х 12 = 6,24 % годовых.

Очевидно, что любая классификация носит условный характер, однако расчетные показатели годовой доходности и фактические показатели фондового рынка по его отдельным сегментам за последний период времени достаточно точно характеризуют принятые объекты инвестиций и подтверждают правомерность данной сегментации.

Таблица 1

классификация объектов инвестиций

категория характеристика риск годовая доходность Q, %

I Высоконадежные < 3 < 10,5

II Надежные 3 - 5 10,5 - 16,5

III Рискованные 5 - 7 16,5 - 26,0

IV Весьма рискованные >7 > 26,0

Необходимо отметить, что выполненный анализ соответствует периоду, когда на рынке доминировал положительный восходящий тренд, и высокие риски вложения в фонды акций оправдывались возможностью получения высокой доходности.

При нисходящем тренде или в случае его отсутствия (так называемом «боковом» тренде) ситуация совершенно иная: инвестиции в рискованные активы могут существенно снизить капитализацию портфеля. Наряду с этим даже при положительном общем тренде отдельные периоды инвестиций характеризуются падением стоимости активов, которое тем сильнее, чем выше категория риска объекта, т. е. значения принятых (г = 1,2,3,4).

Сформулируем исходные положения при формировании инвестиционного портфеля:

а) в портфель включаются все объекты I — IV с соответствующими весовыми коэффициентами от 0 до 1;

б) стандартное отклонение каждого объекта полностью характеризует риск его приобретения;

в) дивиденды, налоги и транзакционные издержки при оценке ожидаемой доходности не учитываются.

Задача инвестора заключается в том, чтобы при складывающихся ценах на акции и облигации, прогнозе тенденций развития фондового рынка и субъективной оценке их реализации сформировать оптимальную для себя структуру портфеля.

Математический аппарат ситуационного моделирования в целом разработан крайне слабо, особенно в его приложениях к фондовому рынку Однако хорошо освоены универсальные методы статистического моделирования процессов любой природы, которые могут составить надежную основу для постановки и решения сформулированных задач.

Допустим, что инвестор в целях диверсификации рисков распределил объем финансовых ресурсов по объектам инвестиций категорий I — IV с рисками ст;. в процентном соотношении т. е. тем самым сформировал вектор S распределения ресурсов с данными компонентами S¡. Начальные цены в каждой категории (Сы) примем за 100 стоимостных единиц (с.е.).

Для прогноза среднемесячных текущих цен (C) объектов каждой категории, т. е. прогноза их ожидаемых доходностей q, воспользуемся методом статистических испытаний (Монте-Карло)4, в соответствии с которым:

— программно проводят выборку значений нормально распределенной случайной величины X с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией;

— после этого текущие цены определяют по формуле:

C= С o i (1+x v tsgnT), (3)

где sgn T—функция сигнатуры тренда T для объекта каждой категории, принимающая значения:

—1 — для нисходящего (T <0);

0 — для бокового (T =0);

1 — для восходящего (T >0).

Комбинируя значения функций sgnTt представляется возможным прогнозировать будущее состояние фондового рынка с субъективной вероятностью реализации данного сценария, причем использование в процессе моделирования параметров ст; адаптирует результаты расчетов к доход-ностям q в их соответствии с фактической кривой рискового безразличия (см. рис. 1).

В частности, один из возможных прогнозов, содержащий четыре сценария, представлен в табл. 2, и более вероятным будем считать такое событие, при котором общий положительный тренд сохранится на планируемый период инвестиций.

На рис. 3 приведены результаты статистического моделирования в случае реализации первого сценария, и выявлен типичный волновой характер изменения текущих значений Ci (ось ординат — с. е.) с течением времени (ось абсцисс — мес.).

Таблица 2

прогноз рынка

сценарий тренд для объектов инвестиций вероятность

I II III IV сценария

1 + + + + 0,4

2 + + 0 0 0,3

3 + + 0,2

4 0 0 0,1

Сумма=1

Графики 1 — 4 соответствуют выбранным категориям объектов инвестирования при равномерном 25 %) распределении ресурсов, а график 5 — результирующая средневзвешенная стоимость инвестиционного портфеля.

4 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высшая школа, 1977. — 479 с.

финансы и кредит

35

-Ряд1 -Ряд 2 -Ряд 3

-РЯД 4 -Ряд 5

С, мес.

Рис. 3. Характер поведения текущих цен при первом сценарии

120

С, с.е.

-Ряд 1 -Ряд 2 - Ряд 3 -Ряд 4 -Ряд 5

— вектор распределения ресурсов является по сути вектором начальных вероятностей;

— имеется конечное число возможных ситуаций (исходов), образующих полную группу событий;

— прогноз возникновения новой ситуации с большей вероятностью определяется результатом предыдущего испытания;

— матрица А переходных состояний системы достаточно точно отражает поведение инвестора в течение цикла инвестирования;

— под переходной вероятностью Р.. (г ф]) будем подразу-

С, мес.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Рис. 4. Характер поведения текущих цен при третьем сценарии

Как видно, сбалансированное (равномерное) распределение ресурсов обеспечило двукратное превышение доходности портфеля q (график 5) над доходностью, например, q1 вложения в высоконадежные государственные облигации (график 1).

Однако если допустить, что в течение года на рынке акций доминировал бы нисходящий тренд (третий сценарий при отрицательных Т3 и Т4), то результаты инвестиций оказались бы совершенно другими и графически они представлены на рис. 4.

Как видно, несмотря на 20 — 30 %-ное снижение капитализации инвестиций, связанных с рынком акций, благодаря защитной функции облигаций стоимость портфеля снизилась менее чем на 7 % (расчетное значение 6,49 %).

Удовлетворительные результаты прогнозирования позволили перейти к моделированию возможных ситуаций на рынке инвестиций и адекватного формирования портфеля.

Наиболее адекватным и информативным для решения этой задачи представляется аппарат цепей Маркова, поскольку5:

5 Шапиро В. Я., Шапиро Н. А. Использование цепей Маркова для прогноза эффективности ПИФов// Экономическое развитие: теория и практика. Материалы международной научной конференции. — СПб: Изд-во СПбГУ; ОЦЭиМ, 2007. С. 79 — 81.

мевать условную вероятность того, что инвестор осуществляет перевод части ресурсов из г-й категории в .-ю;

— равенство г = . означает консервативность инвестора в выборе своих предпочтений с вероятностью Ри.

В итоге будем иметь некоторую квадратную матрицу А в общем случае п-го (в нашем случае — 4-го) порядка, сумма элементов главной диагонали которой формирует след матрицы А (ГА) и величина т = &А/п является характеристикой консервативности инвестора, а остальные элементы матрицы — его возможные компромиссы в зависимости от ситуации на фондовом рынке. Тогда определитель данной матрицы у=detA является общей количественной характеристикой стационарности портфеля. Оба коэффициента — т и у — заполняют диапазон значений от 0 до 1 и по своему смыслу отражают вероятности, с которыми инвестор трансформирует элементы структуры портфеля при очередном шаге инвестирования.

Необходимым условием в теории Марковских цепей является требование формирования матрицы А таким образом, чтобы сумма вероятностей Р в каждой строке равнялась единице, т. е. события переходов в рамках каждого объекта инвестиций образовывали бы полную группу и исчерпывали всю совокупность возможных ситуаций. Цепь событий будем считать однородной, т. е. условные вероятности не зависят от шага инвестиций, а умножение вектора состояния S на матрицу переходов

А дает новое состояние распределения ресурсов на каждом шаге

На рис. 5 представлена зависимость т = f (у), которая позволяет, задавшись коэффициентом стационарности у, в частности равным 0,31, что соответствует значению коэффициента т. е. фактически сложившейся кривой рискового безразличия, определить значение коэффициента консервативности портфеля, равное т = 0,75.

Реализуем принятые положения на следующем примере.

Допустим, что инвестор в начальный момент времени придерживался:

а) осторожной стратегии, распределив ресурсы в портфеле ценных бумаг следующим образом: вектор S = (0,4; 0,3; 0,2; 0,1), т. е. величина средневзвешенного риска (ст ) портфеля составила:

А =

(4)

ст.

= 0,4x2+0,3x4+0,2x6+0,1x8= 4

ср

и такой портфель в силу принятой классификации (см. табл. 1) следует отнести к разряду надежных (категория II);

б) глубина инвестиций принимается — один календарный год с шагом по пересмотру портфеля, равным кварталу, с ежемесячным контролем ценообразования;

в) прогноз на текущий квартал — положительный по всем сегментам рынка (первый сценарий);

т

1

0,95

г) в этом случае инвестор принимает более рисковую стратегию инвестиций в соответствии с матрицей переходов А, параметры которой максимально соответствуют полученным значениям т и у, допустим:

(0,60 0,13 0,13 0,14 ^ 0,07 0,75 0,09 0,09 0,05 0,05 0,85 0,05 Д03 0,03 0,04 0,9 Для этой матрицы коэффициенты составили: у = 0,29 и т = 0,77.

Реализация разработанной модели инвестирования при циклическом выполнении операций на каждом шаге при сохранении тенденций первого сценария в течение года позволяет дать прогноз состояний структуры портфеля (табл. 3) с учетом его риска. Графические результаты расчетов представлены на рис. 6.

Таблица 3

Прогноз структуры порт еля

Шаг Структура портфеля I II III IV Риск

0 0,40 0,30 0,20 0,10 4,00

1 0,28 0,29 0,25 0,18 4,66

2 0,21 0,27 0,28 0,24 5,08

3 0,17 0,26 0,30 0,27 5,36

4 0,15 0,24 0,30 0,31 5,55

у = -0,4475х2+ 0,9327х + 0,5001 Н2 = 0,9897

Ряд 1

Полиномиальный (Ряд 1)

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 5. Взаимосвязь параметров матрицы состояний

-Ряд 1 -Ряд 2 -РядЗ -Ряд 4

12 3 4

Рис. 6. Изменение структуры инвестиционного портфеля

Результаты расчетов показывают, что выбранная стратегия оправдывает себя и приводит к существенному пересмотру структуры портфеля в сторону более рисковых активов: величина стср

ср

возрастает почти на 38,9 % и переводит портфель в следующую категорию риска III.

Влияние величины риска портфеля на его доходность в годовом исчислении, превышающую безрисковую ставку /г, отражено на рис. 7, где на оси ординат отложена величина Q, %, а на оси абсцисс — стср, % (кривая 1

ср

соответствует стратегии без каких-либо переходных состояний, т. е. с единичной матрицей Е, кривая 2 — переменному портфелю с матрицей А). Как видно, премия за риск в первом случае составила Д = 16,63 %, а во втором — Д = 23,16 %.

о,%

-Ряд 1 -Ряд 2

Рис. 7. Сравнительная доходность двух стратегий

Для более широкой апробации модели произведены расчеты с использованием двух принципиально различных стратегий, заданных соответствующими матрицами:

А1 =

Стратегия 1

' 0,80 0,06 0,07 0,07'

0,08 0,75 0,08 0,09

0,15 0,15 0,55 0Д5

ч 0Д7 0,17 0,16 0,50,

Страте0ия 2

' 0,85 0,05 0,05 0,05Л

0,03 0,02 0,03 0,04

0,01 0,02 0,95 0,02

ч 0,0 0,0 0,0 1,0 ,

А2 =

коэффициенты которых составили: у1= 0,155 и т1 = 0,65; у2= 0,71 и т2= 0,93.

Данные матрицы по критериям консервативности и стационарности существенно отличаются от исходной матрицы А.

При первой стратегии риск увеличился незначительно — с 4 до 4,17, а премия за риск переменного портфеля составила 17,46 %, т. е. увеличилась менее, чем на 5 % по сравнению с премией стационарного портфеля.

При второй стратегии риск составил 4,9, однако он не достиг нижней границы более рисковой категории. Несмотря на то, что величина премии Л= 20,46 % на 23 % больше показателей стационарного портфеля, этот результат тем не менее на 13 % ниже соответствующего показателя при использовании матрицы А.

Это позволяет сделать вывод о том, что наиболее эффективной является такая стратегия инвестиций и пересмотра структуры портфеля, параметры которой максимально приближены к параметрам кривых рискового безразличия, отражающих реальную ситуацию, сложившуюся на фондовом рынке.

Предложенная концепция управления структурой и рисками инвестиционного портфеля на основе теории Марковских цепей в определенной мере отвечает поставленной задаче адаптации стратегий принятия решений в зависимости от тенденций сценарного развития на рынке частных инвестиций.

Подписка «UBRARy.RU

Теперь журналы Издательского дома «Финансы и Кредит» стали доступны в электронном виде в Научной Электронной Библиотеке (eLIBRARY.RU).

На сайте eLIBRARY.RU можно оформить годовую подписку на текущие и архивные выпуски журналов, приобрести отдельные номера изданий или статьи.