Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 1. С. 55—79 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1528

УДК 517.927.4:519.624

Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода

В. Н. Маклаков

Самарский государственный технический университет,

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Аннотация

Представлено второе сообщение цикла из двух статей, в котором исследованы закономерности изменения порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования в зависимости от используемой степени в разложении в многочлен Тейлора решений краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами с граничными условиями второго и третьего рода.

Использование многочлена Тейлора второй степени при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода сеток во внутренних точках области интегрирования. В работе при исследовании краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не производилась. Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений степень многочлена Тейлора может быть выбрана произвольно. Вычислена невязка и дана оценка порядка аппроксимации метода в зависимости от выбранной степени многочлена Тейлора.

Теоретически установлено следующее:

а) для краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу;

Научная статья

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Маклаков В. Н. Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 1. С. 55-79. doi: 10.14498/vsgtu1528. Сведения об авторе

Владимир Николаевич Маклаков Ä http://orcid.org/0000-0003-1644-7424 кандидат физико-математических наук, доцент; доцент; каф. высшей математики и прикладной информатики; e-mail: makvo63@yandex.ru

б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках;

в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу.

Для четной степени дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках. Теоретические выводы подтверждены численным экспериментом для краевых задач с граничными условиями третьего рода.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, системы обыкновенных дифференциальных уравнений, краевые задачи, граничные условия первого, второго и третьего рода, порядок аппроксимации, численные методы, многочлены Тейлора.

Получение: 21 января 2017 г. / Исправление: 3 марта 2017 г. / Принятие: 13 марта 2017 г. / Публикация онлайн:

Введение. При исследовании системы неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ2) с переменными коэффициентами

nix" + pix' + rix + vi у" + qiy' + siy = fi, _

U2x" + P2x' + Г2Х + V2 y'' + q2y' + S2y = f2,

где x(t), y(t) — неизвестные непрерывные функции; Uj, pj, rj, Vj, qj, Sj, fj — заданные функции аргумента t, дифференцируемые нужное число раз; j = 1, 2 — номер уравнения в системе (1). Будем, как и первом сообщении [1], придерживаться следующих принятых в [2] обозначений:

1) D — область интегрирования, ограниченная отрезком [a, b], Dh — узлы сетки, определяемые значениями ti = t0 + ih, i = 1, 2,... ,n, t0 = a, tn = b, h = (b — a)/n, n + 1 — число узлов сетки;

2) x(t), y(t) —непрерывные функции, являющиеся точным решением системы (1) с теми или иными граничными условиями;

3) [x]h, [y]h — сеточные функции, совпадающие с точным решением в узлах сетки Dh;

4) x(h), y(h) —искомые сеточные функции.

Для краткости примем для любой функции обозначение ^(U) = <ßi, где ti — узел сетки Dh.

В дальнейшем опустим индекс h в наименованиях сеточных функций [x]h, [y]h, x(h), y(h).

В первом сообщении [1] представлены преобразования, приводящие дифференциальную краевую задачу для ОДУ2 с переменными коэффициентами (1) с граничными условиями первого рода

xo = xo, yo = yo, xn = xn, yn = yjn

к разностной краевой задаче, которая в компактной символической форме была записана, по аналогии с [2], как

^ — /£/,

(2)

где к — степень используемого многочлена Тейлора в разложениях в ряд Тейлора искомых функций ж(£),у(£);

гк у = гк

—

' _к1 _12 -1 + _кз _к4

_15 _15 ж( ькг _15 _к5 жг+1 _к5

_к1ж -1 + ьк3 _к4

_кг ж(-1 _26 _кгУ(-_26 ькг _26 _к6 жг+1 _к6

Жо,

жп,

гк

т,кг т,кг т,кг

/ + Ь16/ + Ь11// + _18 / / +

/1( + г,кг/2( + г,кг/1г + ькг ^г +

_15

_15

_кг -_15

+ _к(2к+1) /(к-2) + _1(2к+2) /(к-2) _15 _15

к( к( к( _25 / + / + _27 // + _28 // + _кг /1г + /2г + _кг /1г + _кг /2г + _26 _26 _26

Жо, yrо,

жra,

_к(

+ _2(2к+1) /(к-2) + + _кг /1г + _26

к(

2(2к+2) /(к-2) ькг / 2г , _26

для всех г — 1,2,...,п — 1, где г — номер узла сетки жг, — искомые сеточные функции; Ьу, _к], 3 — 1, 2,..., 2к + 2 — элементы обратных матриц от локальных матриц Акг. Второй нижний индекс в записи задачи (2) указывает на использование граничных условий первого рода. Выше и далее верхний индекс к означает степень используемого многочлена Тейлора, если речь не идет о показателях алгебраических степеней, степенях производных и символов транспонирования. В дальнейшем наряду с обозначением (2) ту же разностную краевую задачу будем обозначать для краткости как .

1. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода. В первом сообщении [1] показано, что в развернутом виде задача (2) есть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящая из (2п — 2) уравнений, в которой ж0, у0, жп, уп — заданные числа. В граничных условиях третьего рода

ао жо + вожО — жо, а1уо + в1Уо — Жо, (3)

а2 ж„ + в2жП — ж„, азу« + взуП — Жп,

где Жо, Жо, Жп, Жп, а^-, в.? — заданные числа, 3 — 0,1,2,3; значения жо, уо, жп, уп не заданы. Следовательно, в задачу (2) необходимо добавить четыре

алгебраических уравнения, которые содержали бы величины хо, уо, хп, уп в качестве искомых неизвестных.

Локальные матрицы Лкг, г = 1, 2,... ,п — 1, и их последующие преобразования оставим без изменения в виде, как это было выполнено в [1]. Составим локальную матрицу Лк0 для двухточечного шаблона ¿о,Ь1 так, чтобы искомые решения задачи удовлетворяли граничным условиям (3) в левой границе ¿о = а области интегрирования Б.

Выполним преобразования. Запишем для функций х-Ь),х'-Ь) в левой границе области интегрирования при фиксированном к следующие многочлены Тейлора:

хо = Х1 — Ьх[ + —х'[ — + ■■■ + (—1)к —х[к), (4)

— 2 Ьк-1

х0 = х1 — Нх'{ + — хТ — ■■■ + (—1)к-1 -к—^х^. (5)

Сложив умноженные на ао обе части равенства (4) и умноженные на во обе части равенства (5), с учетом первого из граничных условий третьего рода (3) получим следующее:

/ \ / л2 \ ( л3 л2\

аох1 + [—ао— + во) х[ + (^ао — во—)х'[ + ао 3 + во —) х'"+

+-----+ -—1ао -к! — во -к—[у) х1 = аохо + вох'о = хо. (6)

Выполним аналогичные преобразования с многочленами Тейлора для функций у-Ь), у'-¿) в левой границе области интегрирования:

уо = У1 — -у! + — + ■■■ + -—1)к £у(1к), (7)

-2 —к-1 у'о = у1 — —у'{ + —у? — ■■■ + -—1)к-1 ^к—^у?. (8)

С учетом второго из граничных условий третьего рода (3) получим

/ \ / Л2 \ / Л3 —2\

ат + у—а1— + в1) у1 + («1 —- — в1—)у'{ + (-а1 -3- + в1 —) у\ +

нк-1 -к—ту.

/ —к Ь,к-1 \ + ■■■ + -—1)\а1 ¥ — в1 -п—)^! = ат + ви/о = Уо. (9)

Введем обозначения

/ нт нт-1 \

Н]т = (—1)^а3— — в^-т^-^.^ 3 =0,1 т = 1,2,...Л (10) и равенства (6), (9) запишем компактно:

аох1 + Ио1х'1 + Но2 х'[ + Иозх'С +-----+ Щк х[к = хо, (11)

а/у/ + яну! + Я12У1 + Я/зу"' + ••• + Я/к у(к) = уо.

(12)

Производные по аргументу Ь от обеих частей уравнений системы (1) в узле ¿1 запишем в виде

(«их! + рцж/ + Г11Ж1 + ^цу'/ + + 511У1)(г) = (/11 )(г)

(и21Ж/1/ + Р21Ж1 + Г21Ж1 + ^21^1 + 521У! + «21У1)(Г) = (/21 )М

(13)

где г = 1, 2,..., к — 2.

Из равенств (11), (12), многочленов Тейлора (4), (7), дифференциальных уравнений системы (1), записанных в узле ¿/, и производных (13) составим следующую систему из 2к + 2 уравнений:

'аоЖ/ + Яо/х/ + Я02Ж! + Яоз ж/'' +-----+ Яок ж/к) = жо,

а/у/ + Я//у/ + Я/2У'/ + Я/зу/'' + ••• + Я/к у(к) = уо, к2 к3

Ж/ — кж/ + —ж/ — "3!ж/'' +----

Л2 Л3

7 / // ///

у/ — лу1 + "2уу / — "згу/ + " ■

гиж/ + Р11ж/ + «//ж/' + 51/у/ Г21ж/ + Р21ж/ + «21 ж/' + «21у1 г//ж/ + (г// + р!/)ж/ + (р/1 +

+(«11 + 9//)у! + (911

г2/ж/ + (Г21 + р21 )ж/ + (Р21 + +(«21 + 921)у/ + (921

+ (—1)к к"ж/к) = жо, + (—1)к к- у(к) = уо,

+ 911у'1 + VllУ// = //1, + 921 у/ + ^21 у/' = /21,

«и)ж1 + «11 ж/'' + «11у1 +

+ V//К + ицу/'' = /11,

«21)ж1 + «21 ж/'' + «21у/ + + ^21)у/' + ^21 у= /2 /,

г11 г21

ж/ +-----+ «11ж/к) + «/1 2)у/ +-----+ ^1/у(к) = /-

(к-2)

(к)

(к) (к-2)

(к-2) 11

+ „ у(к) = * (к-2) + ^21у/ = /21 .

ж/ +-----+ «21ж^ + «21 У1 +

Система (14) является СЛАУ, имеющей в матричной форме вид

^ко^^ко _ ^Ю

в обозначениях

Ако =

ао 0 Яо/ 0 Яо2

0 а1 0 Я// 0

1 0 —к 0 к2 2!

0 1 0 —к 0

г11 811 Р11 911 «11

г21 821 Р21 921 «21

(к-2) 11 (к-2) 21 „(к-2) «11 «21

0. . Яок 0

Я12 . 0. к2 2! . VII . .0 Лк . (—1)кЖ .0 .0 Я1к 0 Лк (-1)1 Ж 0

^21 . .0 0

. «11 VII

. «21 ^21 .

(14)

(15)

Жко = [х1 у1 х[ у1 х1 у'( ...х[к) у1к)]Т, ско = [го уо хо уо ¡11 ¡21 ... ¡¡к-2) ¡1к-2)]Т,

где Т — символ транспонирования.

Предполагая существование обратной матрицы Вко = -Лк°)-1 от локальной матрицы (15), найдем матричное равенство

^ко^ко _ ко

из которого выпишем два первых уравнения:

Ъкохо + Ъкоуо + Ъ\з°хо + ЬкЧуо + Ьк!П1 + Ьк06Ь1 + ■ +

+ Ъко г1к-2) + Ъко г1к-2) = (16) + Ъ112к+1)111 + Ъ1(2к+2) ¡21 = х1, (16)

Ъкохо + Ък°уо + Ъкз°хо + Ъкоуо + Ъко ¡11 + Ъ^Ы + ■ +

+ Ъко Г-1 к-2) + Ъко Г-1 к-2) = (17) + Ъ212к+1)111 + Ъ2(2 к+2) 121 = у1, (17)

где Ъкто — элементы матрицы Вко. Из соотношений (16), (17) найдем

Ъко Ъко + х1 Ъко х + Ъко ~ +, + Ъко, + +

— Ъкохо — ~укауо + Ъко = укохо + ук6уо + I11 + ум*21 + "' +

Ъ Ъ

+ Ъ1(2к+1) ; 1 к-2) + Ъ1(2к+2) ; 1 к-2) ( )

+ Ъ ко ¡11 + Ъко ¡21 , (18)

Ъко Ъко + у Ъко х + Ъко х + Ъко++ +

— Ъкохо — Ъкоуо + Ъко = Ъкохо + Ъкоуо + ^Ш¡11 + ¡21 + ■■■ + Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26

Ъ Ъ

+ 2(2к+1) г 1 к-2) + 2(2к+2) г 1 к-2) (19)

+ Ъко ¡11 + Ъко ¡21 . (19) Ъ26 Ъ26

Выполним аналогичные преобразования в правой границе Ьп = Ъ области интегрирования Б:

п п п п п

хп 1 Ъ13 х _ Ъ10 = Ъ11 х + Ъ12 х + ! + ! + +

Ък п Ъкпп Ък п = Ъкпп + Ък п п + ¡11п-1) + Ък пМ^1 + h

Ъ15 Ъ15 Ъ15 Ъ15 Ъ15 Ъ15

Ъ п Ъ п

+ Ъ112к+1) . 1 к-2) + Ъ112к+2) . 1 к-2) ( ) + Ъкп ¡11п-1) + Ъкп ¡21п-1), (2о)

п п п п п

уп-1 Ъ23_ _ Ъ2А_ = Ъ21 х + Ъ22 ~ + Ъ25_ г + г + +

Хп гкпуп = икпп + К кпУп + hkn¡11n-1) + ¡21,п-1) + ^

икп ]~.кп п укп Ькп п 1,кпуп гкп

Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26 Ъ26

Ъ п Ъ п

+ Ъ212к+1) . 1 к-2) + Ъ212к+2) . 1 к-2) (21)

+ Ъкп ^ 11п-1) + Ък п Ъ26 Ъ26

кп _ (^кп) —1

Теперь рассматриваемую разностную краевую задачу с граничными усло-

где Ь^т _ элементы матрицы В

виями третьего рода с учетом (18)—(21) запишем в компактной символической форме:

/¿их, (22)

Ь

к , ¿,111х

где

' Ьк1 612 -1 + ьк3 Ьк4

—Жг—1 Ь15 Ькг Уг— Ь15 ькг 115 Ьк5 Хг+1 ькг Уг+1

ьк1 х 122 у -1 +

Ькг Жг—1 Ь26 Ькг Уг— 126 ькг 126 ьк6 Хг+1 7 кг уг+1 12к6г г+1

= ^,111 ^ у

_ьк1 + XI

Ько^о 6коУо + Ьк 0,

_ыо + И

коЖо к О Уо + Ько ,

Ь26

жп— 1

г,кп Ь15

Уп—1

¡-.кО^ Ь26

61

п 13

26

г,кпХп Ь15

п 14 ,

г,кп Ь26

г,кп

--23т -

г,кп Ь26

г,кп Ь15

г,кп Ь24 г,кп Ь26

У^

У^

ькг Ь16

6'

кг

6'

кг

/1г + ,к6 /2г + ^ /1 г + 7^ /2 г + Ь15

ькг Ь15

+ Ькг2к+1) ■ (к—2) + Ьк(2к+2) ■ (к—2) + /1г + 7 кг /2г ,

15

ькг Ь15

ькг Ь15

ькг

Но

/¿,111 _ *

кг кг

^25. + . + ЬИр + 128./ +

Ькг /1г + /2г + Ькг ^ 1г + Ькг ^2г + • Ь26 Ь26 Ь26

к0 к0 к0

°11~ , °12~ , г , Ь16 г ,

1к§Жо + 1к0УО +/11 + 1ко/21 + • • ь2О~ + ькО- + +

+ 1коУо + 1ко/11 + /21 + ••

Ь26

ькг ькг

+ Ь2(2к+1) ■ (к—2) + Ь2(2к+2) ■ (к—2) + Ькг /1г + Ькг /2г , Ь26 Ь26

ко ько

+ Ь1(2к+1) ,(к—2) + Ь1(2к+2) ,(к—2) + .'„п /11 + , ко /21 ,

ько

Ько

ько ько

+ Ь2(2к+1) ;(к—2) + Ь2(2к+2) ^(к—2) + ,7„п /11 + 7 ко /21 ,

26

26

ько

ькп~ , ькп,

ПШ~п + 1к2Уп + / 1(п—1) + ткп/2(п—1) + +

кп Ь15

ькп Ь15

ькп Ь15

ькп

+ Ь1(2к+1) ■ (к—2) + Ькп /1(п—1)

кп кп кп

Ь21 ~ , Ь22 ~ , 125 / , / ,, ЬкпЖп + ЬкпУп + Ькп/1(п—1) + /2(п—1) + ^

Ь26 Ь26 Ь26

ькп

Ь2(2к+1К(к—2)

+

26

26

+

кп Ь26

(к—2) /1(п—1) +

ько

ькп

Ь1(2к+2) „(к—2) Ькп /2(п— 1),

ькп

Ь2(2к+2) „(к—2) Ькп /2(п— 1), Ь26

для всех г _ 1, 2,... ,п — 1. Система (22) состоит из (2п + 2) уравнений с (2п + 2) неизвестными, включая и хо, уо, жп, уп.

Положим в (10) и в аналогичном обозначении постоянных в локальной матрице Лкп значения а^ = 0, вj = 1, 3 = 0,1, 2, 3. Тогда задача (22) превратится в разностную краевую задачу

кк Ьк, II ^ = ¡к, II,

в которой использованы граничные условия второго рода

х'о = ~о, у'о = Уо, х'п = хп, у'п = ~п. (23)

2. Оценка порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода. При исследовании дифференциальной краевой задачи для одного ОДУ2 относительно х-Ь) сеточная функция хг, г = 0,1,... ,п, являющаяся решением разностной краевой задачи, при подстановке в уравнения этой разностной краевой задачи обратит их в верные равенства. В [2] показано, что подстановка в уравнения задачи сеточной функции [хг], совпадающей с точным решением в узлах сетки бн и отличающейся от хг, приведет к некоторому отличию от верных равенств. Эти отличия и характеризует невязка 5¡¡к [2]. Иными словами, подстановка [х] в

Ькх = ¡к

приводит к

Ькн [х] = ¡кк + 5/кк.

Согласно [2,3], разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу на точном решении х, если ^¡¡кЦ ^ 0 при Н ^ 0. Если при этом имеет место неравенство

\\5Ц.к | < СЛк,

где С > 0, к > 0 — некоторые постоянные, не зависящие от Л, то говорят, что имеет место аппроксимация порядка к относительно величины —.

Подстановка [г] в задачу (22) приводит к

Lкh,III[z] = ¡кк,т + 5¡ккщ. (24)

При оценке порядка аппроксимации задачи (2) в [1] были использованы лишь внутренние узлы сетки бн в силу того, что в граничных узлах сетки невязка в этой задаче обращается в нуль [1,2].

В [2] для оценки порядка аппроксимации обоснована целесообразность разбиения разностной задачи на подзадачи (подсистемы); в частности, граничные точки области интегрирования можно выделить в отдельные подзадачи. В силу того, что во внутренних узлах сетки бн разностные уравнения задач Ьк-£ и Ьк ^ совпадают, а невязка задачи Ьк-1 вычислена в [1], для вычисления невязки задачи (22) остается исследовать лишь граничные точки области интегрирования. Поэтому задачу (22) разобьем на три подзадачи в зависимости от области изменения независимого аргумента Ь:

- внутренние точки области интегрирования исследуются в первой подзадаче—это рассмотренная в [1] задача Ьк ^

левая граница Ьо подзадаче:

где

a области интегрирования исследуется во второй

k0 z _ fk0 (25)

h,IIIz _ fh,III, (25)

L

Tk0 _ Tko

Lh,IIIz — Lh,III

(bk°

X

_

bk0 bk0 x bl3 _ + XL

bk0xo bkf0 + bk°5' k k _b2°x _bk±y + Ж bk0X0 bk0 У° + bk0' b26 b26 b26

k fh

k

k k , b\2~ , f , bl6 f , , bkfv + bkf0 + fll + bkö/21 + ••• +

bk0 bk0 + bl(2k+l) (k-2) + bl(2k+2) (k-2) + w-n Jll + uko f2l ,

III

_

bk0 b

bk0 b

bk0 b

b\0

bk0

7ßx0 + шУо + bßfll + J2l + ••• + b26 b26 b26

bk0 bk0

+ b2(2k+l) f (k-2) + b2(2k+2) f (k-2)

+ bk0 fll + bk0 f2l ; b26 b26

- правая граница Ьп = Ъ — в третьей подзадаче

Tkn z

Lh,IIIz

k fh

kn

III-

(26)

Рассмотрим задачу (25). При составлении локальной матрицы Лко используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле Ь1, и производные (13), а вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем следующие точные равенства:

h2

h3r

.hk.

[xo] - Rio _ [xl] - h[x'l] + '-[x>{] - ^[x'f] + • • • + (-1)k>-[x[%

Ш - R%l _ [xl] - h[x'{] + ,-[x'l>] -••• + (-1)

2!

h2

3 !

к!

k1

hk

-l

2!

(к - 1)!

[x(k)],

[yo] - Rky,o _ [yl] - h[y'l ] + - hW ] + • • • + (-i)k h![y(1k)],

Wo] - Rk4;ol _ [Ух] - h[y'{] + ] -••• + (-1)

h2

k1

hk

-x

2!

-1)!1У l

(к -1)

[y(k)]

(27)

(28)

(29)

(30)

В равенствах (27)-(30) вторые слагаемые в левых частях есть дополнительные члены разложений в ряд Тейлора в форме Лагранжа [4] соответствующих функций, например,

k

R0,x _

hk+l

x

(k+l)(i:) _

-к + 1)

В итоге получим матричное равенство

Лко ''ко _ С[ко

(£)_ O(hk+l), £ е (to,tl).

y

в котором локальная матрица Ако, как и ранее, определяется формулой (15) и

[№ко ] _

■ [ж1] ' [у 1 ] [ж1] [у1] К]

[у'/]

[<]

К]

[ж (1к)] ,[у1к)].

[Ско] _

жо — аоЛ^о — во^Х,о1

уо — а1^к,о — [жо] — Як о [Уо] — ^о /11

/21

/21/11 /2/1

г (к—2) ^ 11 г (к—2) /21

Выполняя преобразования, аналогичные приведенным выше при исследовании задачи (22), получим в граничной точке ¿о _ а вместо (18), (19) следующие равенства:

т,ко т,ко Г™ 1 т,ко т,ко т,ко

°13г 1 °14г 1 , [Х1] °11~ , Ь12~ , г , Ь16 г , ,

— 12о[Жо] — 1ко[Уо] + Тко _ 1коЖо + 1коуо + /11 + 12О/21 + ••• +

115 115 115 115 115 115

ько ько

+ Ь1(2к+1) .(к—2) + Ь1(2к+2) ^(к—2) + /11 + ,ко /21

ько

ько

ько(аояХ,о + ^яУ) + Ько^Х,(

ько

Ьк°> (а1 як,о + в1як,о1) + Ьк4як,о

ько

(31)

Ькоо[ ] Ьк4о[ ],[У1] Ько~ + ьк2о~ + Ькоо. +. + +

— 12о[Жо] — 1ко[Уо] + "Ько _ 1ко~о + 1коу° + Ько/11 + /21 + •" + 126 126 126 126 126 126

цко г,ко г,ко^„, ок I д ок- 1\

2(2к + 1) „(к —2) 2(2к+2) „ + 7.2о /11 + г, ко /21

Ь2(2к+1) ^.(к—2) , Ь2(2к+2^(к—2) (аоДк о + ^Д^о1) + ЬкоЯХ,о

Ько (а1Я У,о + 1) + ьк4 Дк,о

/,ко •'11 1 ько •'21 7 ко

126 126 126

ьк6

(32)

Отбрасывание двух последних дробей в равенствах (31), (32), что равносильно переходу от точного решения [жг], [уг], г _ 0,1, к искомому приближенному жг, уг, г _ 0,1, приводит к задаче (25). Следовательно, в соответствии с (24), последние две дроби в равенствах (31), (32) характеризуют величины невязок в левой границе области интегрирования; в итоге для рассматриваемой задачи (25) имеем

где 64

ко _ ) ¿Лл,111,

III _ 1 с ^к о

°/2Л,И1,

ь10(аоЕХ,о + ЛЯХо1) +

_ Ь11 (а3"х,0 + "0^1,0 ) + ь13

¿Лнды

Ь10

Ь10

(33)

20 _ Ь20(а0ДХ,0 + в0^Х,01) + Ь2!°ДХ,0 _

¿Лнды - ,20

ь26

У,0

+ в1^2,"01) + Ь24^2

у,0

Ь20

(34)

Первое слагаемое в равенствах (33), (34) характеризует величину невязки, появление которой обусловлено функцией ж, второе — функцией у.

Исследуем невязки ¿/Н ш и /21° иг В узле ¿0 введем, как в [1], компактные обозначения для определителей второго порядка, например,

ад =

910 ^10 920 ^20

(35)

В дальнейшем будем опускать индекс 0 в левой части в обозначениях определителей вида (35).

Отметим, что вычисление точных значений алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (А20)т, как это было сделано в [ ], не является особо трудоемкой процедурой; тем не менее нет строгой необходимости в нахождении точных значений в силу того, что для вычисления невязок необходимы лишь главные части этих алгебраических дополнений в их разложениях по степеням к; поэтому допустим, лишь для сокращения объема выкладок, пренебрежение старшими степенями в каждом элементе локальной матрицы А20 при нахождении алгебраических дополнений элементов первой и второй строк матрицы (А20)т.

Для задачи (25) непосредственными вычислениями можно для любого к ^ 3 убедиться в справедливости оценки

мЦ и (иУ)2"2М1210, (36)

где М20 — алгебраическое дополнение элемента аЦ транспонированной локальной матрицы А20. Частный случай равенства (36) при к = 3, где для матрицы А30 учтено приведенное выше допущение для матрицы А20, пренебрегая старшими степенями и опуская номер 0 узла сетки, запишем, используя обозначения (10), как

М131

а1 0 1 $1 Я2 4

0 к 0 Р1 Р2 Р1 Р2

Ян 0 к 91 92 91 92

0 н2 2 0 91 92 «1 92

Я12 0 н2 2 V! 91 92

0 н3 3! 0 0 0 «1 92

Я13 0 н3 3! 0 0 ^2

ai 0

А 0

-eih 0

в! h2

0

h

0

h2 2

0

h3 3!

0

+ U!

ai 0

1 0 h 0

h2 2

0

h3 3!

0

h

si S2 s! s'2

Pi P2 Pi P2

qi q2 qi U

u1 u2 Ui U2

v1 v2 U U2

0 0 ui u2

0 0 vi v2

h3 зТ

ai 1 si s2 s'i s'2

0 0 Pi P2 PUi PU2

ei h qi q2 qUi qU2

0 0 ui u2 ui uU2

-eih h2 2 3! Vi V2 VUi VU2

ei h2 0 0 Vi V2

+

Si S2 S'2 Pi P2 PU2

ei 0 h qi q2 U2

0 ui u2 u2

h2

0 h2 0 2

-eih 0 0

ei h2

Vi V2 V2 3 0 0 V2

- u2

ai 0 1 si s2 sfi

0 h 0 Pi P2 PUi

ei 0 h qi q2 qUi

0 h2 2 0 ui u2 Ui

-eih 0 h2 2 3! Vi V2 VUi

ei h2 0 0 0 Vi

= C3h5 + O(h6) + ui (<d3h3 + O(h4) + V2M2i) -- u,2 (g3h3 + O(h4) + viM2i) и (uiV2 - u2Vi) Mfi = UVM2i,

где pj, Uj, uVj, Uj, j = 1, 2, есть функции от pj, qj, uj, Vj и их первых производных; C3, 6,3, g3 — независящие от h величины.

Формулы, аналогичные (36), имеют место, по крайней мере, для первых шести элементов первой и второй строк матрицы (Ay0)T; на основании чего и очевидных равенств

bj bi0

Mil

Mk5 '

bj bk0

Mi

Mke'

j = 1, 2, 3, 4,

следуют оценки

bj bi0

Mj

m25

bj ь 2 0

Mj

M '

j = 1, 2, 3, 4.

(37)

Невязка (33) с учетом соотношений (37) примет вид Mii(a0RX,0 + e0Rkx~0i) + M13RX,0

0

ih,III

Mf5

M22(aiRkyt0 + eiR2 0)+ M2uR2 ,0

Mb,

(38)

Найдем оценки алгебраических дополнений первых пяти элементов первой строки матрицы (А20)т. С учетом приведенного выше допущения имеем

Mi2i =

ai 0 1 si s2 ai 0 1 si s2

0 h 0 Pi P2 0 h 0 Pi P2

Hii 0 h qi q2 Г-si ei 0 h qi q2

0 h2 2 0 ui u2 0 h2 2 0 ui u2

Hi2 0 h2 2 Vi V2 -eih 0 h2 2 Vi V2

= н

а1 1 81 82 н2 + т а1 1 81 Й2

в1 н 91 92 0 0 Р1 Р2

0 0 91 92 в1 н 91 92

—в1н 2 «1 «2 —в1н 2 «1 «2

(39)

Вычислим оценку первого определителя последнего равенства:

а1 1 81 Й2

в1 н 91 92

0 0 91 92

—в1н 2 «1 «2

= 91

«1 в1

1 ¿2 н 92

-в1Н ¥ «2

— 92

а1 в1

1 ¿1 н 91

—в1Н «1

= — в^У + + ) + н2(— 3и — в^У.

Заметим, что в равенстве (39) значение второго определителя отличается знаком от первого определителя, в котором элементы 91, 92 заменены на р1, Р2 соответственно. Тогда с учетом замечания получим оценку

М?1 и —в1НиУ + в1Н2РУ и — в1НиУ,

(40)

М2з =

0 а1 1 81 Й2

Яо1 0 0 Р1 Р2

0 Ян н 91 92

Но2 0 0 91 92

0 Я12 2 «1 «2

во

0 а1 1 81 Й2

1 0 0 Р1 Р2

0 в1 н 91 92

—н 0 0 91 92

0 —в1н 2 «1 «2

вов^У, (41)

М22 =

0 0 1 в1 Й2 0 0 1 в1 82

Я01 н 0 Р1 Р2 во н 0 Р1 Р2

0 0 н 91 92 — 0 0 н 91 92 =

Я02 2 0 91 92 —вон 2 0 91 92

0 0 2 «1 «2 0 0 0 0 1 2 81 Й2 «2

3 1 0 0 Р1 Р2 3 2 вон2ду,

—2 вон2 0 0 н 91 92

—н 1 0 91 92

0 0 2 «1 «2

М4 =

0 а1 0 31 в2

Яо1 0 Л Р1 Р2

0 Ян 0 91 92

Яо2 0 к2 2 91 92

0 Я12 0 92

- 2

0 а1 0 $1 в2

1 0 0 Р1 Р2

0 в1 0 91 92

-Л 0 1 91 92

0 -в1Л 0 91 92

-2М2(о^У - в^У), (43)

=

0 а1 0 1 Я2

Яо1 0 Л 0 Р2

0 Яц 0 Л 92

Яо2 0 к2 2 0 92

0 Я12 0 к2 2 92

2 м2

0 а1 0 1 32

1 0 0 0 Р2

0 в1 0 Л 92

-Л 0 1 0 92

0 -в1Л 0 Л2 92

- ^вЛ. (44)

При точном вычислении соответствующих определителей результаты оценок значений алгебраических дополнений совпали с полученными выше оценками (40)—(44); указанный факт является прямым следствием принятого выше допущения о главных частях в разложениях алгебраических дополнений по степеням Л.

С учетом оценок (40)—(44) запишем величину невязки (38):

2в1ЛиУ(аоЯк 0 + войк о1) - 2вов1иУЯ£ 0

г 4^ко

0/1к,Ш ~

2вовЛ

-воЛ2ОУ(а1 Й о + в1йко1) + воЛ2(а1^У - в^У)Й о

вов1^2^2

= О(Лк) + О(Лк-1) + О(Лк-1) + О(Лк+1) + О(Лк) + О(Лк+1) = О(Лк-1) (45)

для произвольного к ^ 2. Заметим, что главенствующую роль во вкладе в величину невязки ¿/^к 1ц играет функция х независимо от четности к. Оценка невязки ¿/ко т оказалась схожей с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция у. Тогда, в соответствии с [2],

11/Йи1

= шах(|/т||, Ц^/ко,тН) =

= шах( О(Лк-1), О(Лк-1)) = О(Лк-1). (46

Выполненные расчеты показали совпадение главенствующих ролей функций х, у и оценок невязок задач (25) и (26):

Р/Йи\\ = (47)

Анализ оценки (45) показывает ее справедливость при ао = 0, а\ = 0, во = 1, в1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (45) слагаемые, обеспечивающие порядок 0(Ьк-1), содержат в качестве сомножителей произведения чисел во, в1, которые отличны от нуля одновременно и не содержат а0, а1 в качестве сомножителей.

Вернемся к оценке порядка аппроксимации задачи (22). Определим итоговую норму невязки этой задачи в соответствии с [2] следующим образом:

Шн,т\\ = таЩб!^\\, Р4кт\\, №п\\). (48)

При вычислении порядка аппроксимации задачи (2) в [1] показана зависимость оценки нормы невязки от четности к:

- для четного к

\\fti\\ = 0(Нк), (49)

- для нечетного к

\\fti\\ = 0(Нк-1). (50)

Порядок аппроксимации той или иной разностной задачи будем компактно обозначать как Е(0(Нк)) = к. Тогда оценка (49) для четного к дает

Ек = к, (51)

а оценка (50) для нечетного к —

Ек = к - 1. (52)

Из оценок (46), (47) имеем

Е& = Е& = к - 1. (53)

Соотношения (48), (51)-(53) для задачи (22) для четного к дают оценку

Ет = тт(к, к - 1,к - 1) = к - 1, (54)

а для нечетного к —

Ек1Т = шт(к - 1,к - 1, к - 1) = к - 1,

т. е. порядок аппроксимации задачи (22) оказался на единицу меньше степени к используемого многочлена Тейлора независимо от ее четности. Аналогичная ситуация имела место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 с граничными условиями второго или третьего рода [5].

Из (48) для четного к и (54) видно, что, повысив порядок аппроксимации на единицу в граничных узлах Ьо^п, тем самым повысим порядок аппроксимации всей задачи Ь^ т на единицу.

3. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода для четного к. Метод повышения порядка аппроксимации разностной краевой задачи с граничными условиями второго и третьего рода рассмотрим на примере задачи Ь|11Х.

При составлении локальной матрицы А20 используем дифференциальные уравнения системы (1), записанные в узле ¿1, вместо приближенных равенств (4), (5), (7), (8) используем точные равенства (27)-(30), положив в них к = 3. В итоге получим систему

'ао[х1] + Ио1[х'1] + Ио2[х'1 ] + Ноз[х'{'] = жо - аоЕ3Х,0 - во&Ху0, а1[у1] + Ип[у[] + И12Ш + И13Ю = уо - а1Е1о - вА,

н2 н3

Ы + н[х[] + —[х'(] + 3К] = [хо] - К1о0, [У1] + Н[у1 ] + ^[у'П + ^[у?] = [уо] - Щ,о,

(55)

Г11 [х1] + виМ + Р11[х[] + дп[у'1 ] + пп[х1] + уп[у'{] = ¡11, ч Г21 [х1] + в21[у1] + Р21[х[] + Я21[у'1 ] + У'21[х'[] + У21[у'{] = ¡21.

Отметим, что локальная матрица задачи (55) содержит шесть строк и восемь столбцов вследствие наличия в левых частях первых четырех уравнений третьих производных х''', у'''. Выразим третьи производные через производные меньших степеней.

Дифференциальные уравнения системы (1) запишем в форме

Ьх'' + щу"п = Х1, (56)

I Щх" + У2у" = Х2,

где х^ = ¡] - гзх - в^у -р^х' - qjу',,] = 1, 2. Решение системы (56) относительно х'', у'' имеет вид

х'' = — у'' = ^ (57) х = иу, у = щ щ иу, (57)

где, например, определитель

иу =

и1 У1 П2 У2

(58)

является функцией ¿, в отличие от определителя (35). Определитель 2У вычисляется аналогичной (58) формулой с заменой и = [и1 и1]т на Z = [х1 х2]т.

Непосредственными вычислениями можно убедиться в справедливости равенств

(иг)' = и 'V + иу', /РОу _ (рд)'иу-рд(иу)'

_ (иг)2 , (59)

ри + РГ _ Р (и + V), РГ + ЕГ _ (Р + Д)у

где, например, Р(и + V) — вычисляемый аналогичной (58) формулой определитель, в котором (и + V) _ [«1 + VI «2 + 92]т; и' _ [«1 « ]т; (иг)2 — квадрат определителя UV.

Вычисление производной по Ь с использованием формул (59) от обеих частей первого соотношения (57) дает точное равенство

ж''' _ ¿4 + ¿¡ж + ¿¡у + ¿1 ж' + ¿¡у' + ¿¡ж" + ¿4у';

(60)

где верхний индекс ж в коэффициентах ¿¡, j _ 0,1,..., 6, означает принадлежность этого коэффициента к третьей производной ж''';

¿4

¿0

UV

(UV )2

¿X _ -

Е (V + V') (UV)' RV

UV

(UV )2

RV + Р^ 1 (UV)' РУ

UV

+

¿х _ -рv,

5 (V + V )' ^

UV

^ )2

¿4 _

¿5 _ -

^ + ^ + (их/от ¿х _

+ ______о , ¿6 _ —^^

UV

(UV )2

Аналогичное равенству (60) дает дифференцирование по Ь обеих частей второго соотношения в (57):

У''' _ ¿0 + ¿1 ж + ¿2 У + ¿3 ж' + ¿4 у' + ¿У ж'' + ¿6 у''

(61)

Заметим, что все коэффициенты ¿4, , j _ 0,1,..., 6, равенств (60), (61) не зависят от н и являются лишь функциями ¿.

Подстановка в систему (55) точных равенств (60), (61), записанных в узле ¿1, дает старшую степень производной функций ж и у, равной двум в этой СЛАУ, матричную форму которой запишем как

А20[^20] _ [С20]

в обозначениях

Ъо + КЫ[ N Н3 !j 'Н3

А20 _

N¿1

~тЦ + 1 3' 1

-- ¿У

3!1,1

Г1

^¿4 а1 + N¿2

Н3 Х 2 Х

+1

3' 2 81 Я2

I +

н3.

зт

N¿3

—+ н

Н3

3' 3 Р1 Р2

£ + N¿4

н3

Х

Ну ¿4 + н

91

92

7 +

N¿1

Л3- + * н3.

¿4 +

3 ¿4 +

-- ¿У

зГ ¿5 «1 «2

^¿4

М + N¿6

га тх 3! ¿6

ь3 +

3! ¿6 + 2

91

92

4

¿4

[W2о] =

'Ы ]' М № ] Ш Ы]

ш.

[с20] =

хо — aoRl Q — ßoRl о — KLq уо — aiRy Q — ßiR2 о — NL"Q

y, о h3

[хо] — Rx, о — 3jL0 h3

Ы — Щ, о— -3jLo fii ' f2l

где с использованием (10) принято I = Но1, J = Но2, K = Ноз, L = Нц, M = Иi2, N = Н13. Отметим, что локальная матрица А2(о теперь содержит шесть строк и шесть столбцов.

В предположении существования обратной матрицы В2о = (Ä20)-1 от матрицы найдем

В2о[с2о°] = [W2о]. Выпишем первые два уравнения последнего матричного равенства:

ь1о (го — аоRXо — ßoR2xQ — KLxX) + b^ (уо — aitf^ — ßiR^fi — NL^) +

+Ь1о ([хо] — RX[о — LX) + ЬЮ ([уо] — Що — Ly) + bf + bf = [xi], bf° (Хо — ао RXо — ßoRX,o — KLX) + b| (уо — aiR3^ — ßiR2yfl — NLо) +

+Ь2о([хо ] — RXu — LX) + Ь^о ([уо] — Ryfl — Ly) + bf + f = [yi].

Здесь , j = 1, 2 — элементы матрицы В2)о. Эти же уравнения после преоб-

разований будут иметь вид

b^, п b2l 1 [xi] Ь2о„ bi

— Ш [хо] — но [уо] + T2ß = но хо + ш уо +

Ь2О'

b i 5

Ь2О '

b i 5

Ь2о Ь2о'

b 5 b 5

Ь2о[

b 5

+ f + bZ LX (GbftK + bfh) + Ly (fSb^N + b^h3) + Iii + 120 f2i--

b20^ b15

6bi5

bii (^R-Xfl + ^RXfl) + ^RXa br2 {aiR^fl + ßiЩ,,о) + ЬиЩ,о

Ь2о

bi5

Ь2о

bi5

, (62)

bir ! bl^ Ы bf2„

ш [хо] — bw [уо] + Jäö = Ь20 хо + Ь2о уо+ Ь26 Ь26 Ь26 Ь26 Ь26

Ü25,, , lx (6ь2Оk + b23fv3) + Ly (&%n + b24h3)

+ Ь25 fii + f2i — 6Ь2о

b26 6b26

b2i {^R-Xfl + ^R-Xfl) + f^R-Xfl b22 {^Ща + ßi Rlfl) + Ь2АЩ,,О

Ь2о Ь2о

b26 b26

(63)

Две последние дроби в равенствах (62), (63) характеризуют величины невязок в узле ¿о, причем, как и ранее, первая из них характеризует величину

невязки, появление которой обусловлено функцией ж, вторая — функцией у. Заметим, что две последние дроби в равенствах (62), (63) совпали по форме с невязками (33), (34) задачи (25) при к = 3.

Вычислим оценки алгебраических дополнений, останавливаясь лишь на их главных частях, первых пяти элементов первой строки матрицы (А20) , упрощенной указанным выше способом. Имеем

а1 Ь^ х 3! ¿2 1 81 Й2

в1 \ Л Ь3 г У 3! г3 Р1 Р2

в1 Ь3 гх 3! г4 Л 91 92

в1 ¿5 Ь2 2 Ь3 т У 3 ¿5 и1

—в1Л Ь3 г х 3! г6 Ь2 2 91 92

М21

^ (-1)71 Ш13Ш22Ш31Ш44Ш55 + (-1)72 Ш13Ш22Ш31Ш45Ш54 =

= —+ = —(и1^2 — и2^1) = — ДЛиУ, (64)

где иУ определяется формулой (35) с последующим допущением для нее об индексе 0; ш^- — элементы определителя М21, г, = 1, 2,..., 5; 71, 72 — число инверсий в парах вторых индексов сомножителей в произведениях первого и второго слагаемых соответственно, при условии, что первые индексы сомножителей в произведениях расположены по возрастанию [6];

а Ь2 т х

Р0^2 Ь2

М2з =

в0 "Г

во —воЛ

о Ь2 т х в0 2 ¿6

а1 1 81 Й2

в1 "2 Г3 Ь3 ГУ 3! г3 Р1 Р2

в1 Л 91 92

в1 "I2 Г« Ь3 г У ЗГ ¿5 и1

—в1Л Ь2 2 91 92

вов1^У,

(65)

М122 = —

о Ь2 т х в0"2 ¿2

в0 о Ь2 т х в0 "2 ¿4

—воЛ в0 "2

Ь3 г х 3! ¿2

Л

Ь^г х

3ЬТ4 2

Ь3 г х 3! ¿6

1 81 82 Ж ¿3 Р1 Р2

Л

91 92

ь3г У

"3! ^5 И1 и2

Ь2 2

Ь2 г х "2 ¿2

= —в0Л

91 92

Ь2 т х

Г Ь2

Ь2 т х 2 ¿4

-Л 3Ь

Ь2 г х "2 ¿6

0

Ь2 Г х Г ь4 3Ь

Ь2 г х

Г ¿6

1 81 Й2

Ь3 г У 3! ¿3 Р1 Р2

Л 91 92

Ь3 г У ^ 5 2 и1 91 92

3

2 в0Л2ду, (66)

М124 = —

в0 "2"Lx а1 Ь3 г х 3! ¿2 81 Й2

в0 о Ь2 т У в12 ¿3 Л Р1 Р2

д Ь2 т х Р0"2 ¿4 в1 Ь3 г х 3! ¿4 91 92

—в0Л в1 "22 ¿5 Ь2 2 и1

о Ь2 т х в0Т ¿6 —в1Л Ь3 г х Ж ¿6 91 92

3

— 2в0Л2 (а^У — в^У), (67)

1

=

о "2 т х Р0^2 Ь2 а1 "3 г х 3! 1 Й2

в0 в1 ь "3 г У 3! г3 Р2

/ 2 х Р0~2" Ь4 в1 "3 г х 3! Г4 Ь 92

-М в1 Г5 "2 2 "3 т У ЗТ Г5

А) "2 Ьх -в1 ь "3 г х 3! "2 2 92

3 2

-2воАЛ- 92.

(68)

Очевидные соотношения (37), при построении которых использованы приближенные равенства (64)—(68), дают оценку невязки из равенства (62) в форме

2о

¿Лады ~

(аоЯ3,0 + в0^2,0) - 2вов1 -в0^2ду(«1^3,0 + в1Д2,0) + А^У^У - ) Д3,0 _

= 0(^3) + 0(й2) + 0(й2) + 0(й4) + 0(^3) + 0(й4) = 0(й2). (69) Заметим, что, как и ранее, главенствующую роль во вкладе в величину

оказалась схожей

невязки ¿/2/01и играет функция ж. Оценка невязки ¿/2/0 ш с тем лишь отличием, что главенствующую роль во вкладе в величину этой невязки играет функция у. Тогда в соответствии с [2] имеем

= 0(й2).

Выполненные расчеты показали совпадение оценок невязки задач и

^лац, т.е. оказалось, что

, 1/шН = 0(Л2).

Следовательно, порядок аппроксимации рассматриваемой задачи Г" т стал равным степени к = 2 используемого многочлена Тейлора.

Аналогичным образом может быть повышен порядок аппроксимации на единицу для любого четного значения к использованием операции дифференцирования обеих частей равенств (57) к — 1 раз с последующей подстановкой результатов дифференцирования в многочлены Тейлора степени к в системе вида (55).

Анализ оценки (69) показывает ее справедливость при од = 0, а = 0, в0 = 1, в1 = 1, что соответствует граничным условиям второго рода (23). Сделанный вывод очевиден в силу того, что в оценке (69) слагаемые, обеспечивающие порядок 0(Л,2), содержат в качестве сомножителей произведения чисел в0, въ которые отличны от нуля одновременно и не содержат а0, а1 в качестве сомножителей.

4. Оценка погрешностей. При выполнении численного эксперимента, как ив [1], использованы следующие нормы — в качестве суммарной оценки относительных погрешностей:

^ЕП=0 (ж* - м2

£п=0 I [ж*] |

100%, як =

е:

100%,

(70)

*=0 I

которые можно трактовать как некий аналог коэффициента вариации в статистике, характеризующий меру разброса в процентах [7]; и в качестве максимальной оценки абсолютных погрешностей [2,8]:

Е% = тах\хг — [хг]\, Е^ = тах\уг — [уг]\, г = 0, 1,...,п. (71)

В качестве примера использована имеющая аналитическое решение система нелинейных ОДУ2 вида (1)

// t t 2

x — tx--5—x — ty = 2t cos t,

t2

1 . x .. t 4

-x +---+ y +--7T-y = —2t sin t

.2 t У 2t2

с граничными условиями

ix(2n) + x'(2n) = 4n2, y(2n) + 2y'(2n) = 4n(n + 2),

| 3x(3n) + 2x'(3n) = —18n2, 2y(3n) + 3y'(3n) = —18n(n + 1).

(72)

(73)

В вычислениях использовались следующие параметры сетки: п = 15, Н = 0.20944. Расчеты выполнялись без использования метода повышения порядка аппроксимации. Результаты численного эксперимента для краевой задачи (72) с граничными условиями (73) приведены в табл. 1, 2.

Данные табл. 1 свидетельствуют об уменьшении погрешностей при увеличении числа к, что имело место при исследовании краевых задач для одного ОДУ2 [5,9].

В табл. 2 нормы , Д', Ек,, Е^, для производных х'(Ь), у'(Ь) характеризуют суммарные оценки относительных погрешностей. Максимальные оценки абсолютных погрешностей, соответственно, вычислены по формулам (70), (71), в которых значения функций заменены на значения своих первых производных, найденным по формулам

Ъ^х— + Ък/2уг-1 + Ъ% хш + Ък\уг+1 + + Ъ%/2г+

+ ... + Ъкг /(к-2) + ьы / (к-2) = Лэ-1)/2) (74)

+ + Ъ]{2к+1)1и + ЪЦ2к+2)12г = хг , (74)

^+1)1 хг—1 + Ък]+1)2уг-1 + Ъи+1)3хг+1 + Ъи+1)4уг+1 + Ъ\]+1)ь11г

+ Ъкг { + + Ъкг Г (к-2) + Ъкг ; (к-2) = .Ш-1)/2) (75)

+ ЪЦ+1)б12г + + Ъ(]+1)(2к+1)1и + ЪЦ+1){2к+2)12г = уг , (75)

г = 1, 2,... ,п — 1, ] = 3, 5,..., 2к + 1, полученным в [1]. Первые производные в левой границе Ьо = а области интегрирования вычислены с помощью равенств (5), (8), в которых использованы результаты вычислений производных по формулам (74), (75) при г = 1, ] = 3, 55,..., 2к + 1. Выполнение в правой границе Ьп = Ъ преобразований, аналогичных преобразованиям в левой границе, позволило вычислить первые производные хПп, у'п.

Таблица 1

Значения погрешностей для решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the solution of the boundary value problem (72), (73)]

k 2 3 4 5 6 7

DJ, % dj, % EX Ej 4.83 • 10-1 7.01 • 10-1 1.03 1.52 1.35 • 10-1 3.52 • 10-1 4.50 • 10-1 6.54 • 10-1 2.64 • 10-3 2.51 • 10-3 5.72 • 10-3 5.80 • 10-3 3.93 • 10-4 2.56 • 10-4 7.65 • 10-4 7.24 • 10-4 8.29 • 10-5 8.10 • 10-5 1.66 • 10-4 1.50 • 10-4 8.70 • 10-5 8.18 • 10-5 1.72 • 10-4 1.57 • 10-4

Таблица 2 Значения погрешностей для первых производных решения краевой задачи (72), (73) [The values of the errors for the first derivatives of the boundary value problem (72), (73)]

k 2 3 4 5 6 7

Dj,, % Dj,, % Ek Ej, 8.05 • 10-1 6.64 • 10-1 1.33 1.53 1.06 • 10-1 1.39 • 10-1 2.28 • 10-1 4.33 • 10-1 3.60 • 10-3 3.03 • 10-3 6.06 • 10-3 7.03 • 10-3 2.48 • 10-4 2.94 • 10-4 7.00 • 10-4 7.65 • 10-4 7.87 • 10-5 6.18 • 10-5 1.44 • 10-4 1.38 • 10-4 8.16 • 10-5 6.52 • 10-5 1.50 • 10-4 1.44 • 10-4

Практически аналогичный характер изменения погрешностей (динамика и абсолютные значения) имел место для ряда систем ОДУ2, в частности для системы

(1 + t)x" + 2x + ty" - 2y = 2 sin 2í, x" + 2x - 2ty' = 2(1 + í2) sin 2í,

с граничными условиями

x(2n) + x'(2n) = 0, y(2n) + 2y'(2n) = 2(n + 1), 3x(3n) + 2x'(3n) = 0, 2y(3n) + 3y'(3n) = 3(2n + 1).

Данные табл. 1 указывают на линейную зависимость порядка аппроксимации задачи L^ m от степени k используемого многочлена Тейлора. Эта зависимость отсутствует для задачи L^j, подтверждение чему приведено в [1].

Заключение. По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации матричного метода и степенью k используемого многочлена Тейлора в разностных краевых задачах для систем линейных ОДУ2 с граничными условиями второго и третьего рода. Установлено следующее:

а) порядок аппроксимации пропорционален используемой степени многочлена Тейлора и меньше этой степени, независимо от ее четности, на единицу;

б) при четной степени порядок аппроксимации в граничных точках области интегрирования на единицу меньше порядка аппроксимации во внутренних точках;

в) при нечетной степени порядки аппроксимации в граничных точках и во внутренних точках области интегрирования совпадают и меньше этой степени на единицу.

2. Главенствующую роль во вкладах в величины невязок д/^Щт играет функция х; главенствующую роль во вкладах в величины невязок 5Й°,III, 5&11 играет функция у.

3. Для четной степени используемого многочлена Тейлора дан метод повышения порядка аппроксимации на единицу в граничных точках области интегрирования до порядка аппроксимации во внутренних точках.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Маклаков В. Н. Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 1. Краевые задачи с граничными условиями первого рода // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, №3. С. 389-409. аоп.: 10.14498/vsgtu1511.

2. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 439 с.

3. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970. 608 с.

5. Маклаков В. Н. Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. №36. С. 143-160. аоп.: 10.14498/vsgtu1364.

6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. 431 с.

7. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. 598 с.

8. Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.

9. Радченко В. П., Усов А. А. Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. №2(17). С. 60-65. аоп.: 10.14498/vsgtu646.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 55-79

d http://doi.org/10.14498/vsgtu1528

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 34B99

The evaluation of the order of approximation of the matrix method for numerical integration of the boundary value problems for systems of linear non-homogeneous ordinary differential equations of the second order with variable coefficients. Message 2. Boundary value problems with boundary conditions of the second and third kind

V. N. Maklakov

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.

Abstract

We present the second message of the cycle from two articles where the rearrangement of the order of approximation of the matrix method of numerical integration depending on the degree in the Taylor's polynomial expansion of solutions of boundary value problems for systems of ordinary differential equations of the second order with variable coefficients with boundary conditions of the second kind were investigated.

Using the Taylor polynomial of the second degree at the approximation of derivatives by finite differences leads to the second order of approximation of the traditional method of nets in inner points of the integration domain. In the study of boundary value problems for systems of ordinary differential equations of the second order we offer the previously proposed method of numerical integration with the use of matrix calculus where the approximation of derivatives by finite differences was not performed. According to this method a certain degree of Taylor polynomial can be selected at random for the construction of the difference equations system. The disparity is calculated and the order of the method of approximation is assessed depending on the chosen degree of Taylor polynomial.

It is theoretically shown that

a) for the boundary value problem with boundary conditions of the second and third kind the order of approximation is linearly proportional to the Taylor polynomial used and less than this level by 1 without regard to its parity;

Research Article

3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Maklakov V. N. The evaluation of the order of approximation of the matrix method for numerical integration of the boundary value problems for systems of linear non-homogeneous ordinary differential equations of the second order with variable coefficients. Message 2. Boundary value problems with boundary conditions of the second and third kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 55-79. doi: 10.14498/vsgtu1528 (In Russian). Author's Details:

Vladimir N. Maklakov A http://orcid.org/0000-0003-1644-7424

Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Hight Mathematics & Applied Computer Science; e-mail: makvo63@yandex.ru

b) at even degree the order of approximation at boundary points of the integration domain is less by 1 than the order of approximation of the inner points;

c) at uneven degree the orders of approximation at boundary points and in inner points of the integration domain are the same and less than this level by 1.

For even degree the method of increasing of the order of approximation by 1 at boundary points of the integration domain to the order of approximation in inner points is performed. The theoretical conclusions are confirmed by a numerical experiment for boundary value problems with boundary conditions of the third kind.

Keywords: ordinary differential equations, boundary value problems, boundary conditions of the first, second and third types, order of approximation, numerical methods, Taylor polynomials.

Received: 21st January, 2017 / Revised: 3rd March, 2017 / Accepted: 13th March, 2017 / First online:

Competing interests. I have no competing interests.

Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript

in print. I approved the final version of the manuscript.

Funding. The research has not had any sponsorship.

References

1. Maklakov V. N. The evaluation of the order of approximation of the matrix method for numerical integration of the boundary value problems for systems of linear non-homogeneous ordinary differential equations of the second order with variable coefficients. Message 1. Boundary value problems with boundary conditions of the first kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2016, vol.20, no. 3, pp. 389-409 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1511.

2. Godunov S. K., Ryaben'kii V. S. Raznostnye skhemy [Difference Scheme]. Moscow, Nauka, 1977, 439 pp. (In Russian)

3. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem [The Theory of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1977, 656 pp. (In Russian)

4. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Course of Differential and Integral Calculus], vol. 1. Moscow, Nauka, 1970, 608 pp. (In Russian)

5. Maklakov V. N. Estimation of the Order of the Matrix Method Approximation of Numerical Integration of Boundary-Value Problems for Inhomogeneous Linear Ordinary Differential Equations of the Second Order, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 36, pp. 143-160 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1364.

6. Kurosh A. G. Kurs vysshei algebry [A Course of Higher Algebra]. Moscow, Nauka, 1975, 431 pp. (In Russian)

7. Zaks L. Statisticheskoe otsenivanie [Statistical estimation]. Moscow, Statistika, 1976, 598 pp. (In Russian)

8. Formaleev V. F., Reviznikov D. L. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Fiz-matlit, 2004, 400 pp. (In Russian)

9. Radchenko V. P., Usov A. A. Modified grid method for solving linear differential equation equipped with variable coefficients based on Taylor series, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2008, no. 2(17), pp. 60-65 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu646.