Оценка помехозащищенности цифровых систем связи при использовании двоичных кодов на основе последовательностей Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.Н. Ляшенко,

Департамент информационных технологий, связи и защиты информации МВД России

Н.Н. Оc ькин,

Департамент информационных технологий, связи и защиты информации МВД России

ОЦЕНКА ПОМЕХОЗАЩИЩЕННОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДВОИЧНЫХ КОДОВ НА ОСНОВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ УОЛША

EVALUATION OF NOISE IMMUNITY OF DIGITAL COMMUNICATION SYSTEMS FOR USE BINARY CODES BASED

ON THE CONSISTENT WALSH

Рассматриваются вопросы оценки помехозащищенности цифровых систем связи при применении двоичных кодов на основе последовательностей Уолша.

Аddresses the assessment of noise immunity of digital communication systems in the application of binary sequences based on Walsh.

В системах связи для повышения помехоустойчивости широко используется кодирование передаваемой информации [1,2]. В большинстве случаев, если не используется обратная связь, на приёмной стороне в демодуляторе выделяются элементы передаваемых кодированных сообщений (логические 0 или 1), а затем в декодере осуществляется исправление возникающих ошибок. При этом часть обнаруженных ошибок исправляется правильно, а если их кратность велика, то происходит ошибочное исправление, приводящее к размножению ошибок по сравнению с их исходным количеством.

Исправляющая способность коротких двоичных кодов сравнительно невелика, и для повышения помехоустойчивости необходимо значительно увеличивать длину кода до десятков тысяч элементов и использовать итеративные процедуры декодирования с «мягкими» решениями, как, например, в турбо-кодах [3].

В теории систем передачи дискретной информации известно [1,2], что наиболее помехоустойчивой является обработка кодированных сообщений «в целом». Теорема Финка [1] утверждает, что

где p1— вероятность того, что при поэлементном приеме кодовая комбинация принята с ошибкой; p2— вероятность того, что при поэлементном приеме произошла неисправленная ошибка; p 3— вероятность того, что кодовая комбинация принята ошибочно при оптимальном приеме «в целом»; p4—вероятность того, что при поэлементном приеме возникла необнаруженная ошибка.

Таким образом, при использовании декодирования «в целом» всей принятой кодовой последовательности можно реализовать исправляющую способность декодера на уровне обнаруживающей способности кода, что обеспечит существенный рост помехоустойчивости при сравнительно коротких кодах. Последовательности Уолша можно рассматривать как числовые со значениями элементов ± 1 на основе матриц Адамара [4,5], определяемых рекуррентным соотношением

(І)

ж

2к

Ж Жк

ж

■ж

к = 2, И, Ж2

1 1

1 -1

(2)

где N = 2п — длина последовательностей Уолша. В качестве примера для N = 8 получим

'1 1 1 1 1 1 1 1 "

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 1 -1 -1 1 1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1_

(3)

Последовательности Уолша ^являются строками матрицы Адамара вида (3), і — номер функции (строки матрицы), ] — номер элемента (столбца матрицы), і, і = 0, (И -1), их число равно длине последовательности N. Матрица Адамара удов-

летворяет равенству

гТ

(4)

где I — единичная матрица, а Жлг — транспонированная матрица Адамара, то есть последовательности Уолша ортогональны,

N-1 Г N при / = к,

> wl . = < (5)

~0 ’ 10 при I ф к.

Пусть сигнал ) является последовательностью из N двоичных элементов

{«} = V «1,..., ^-1 , записанных в виде матрицы-строки, = ±1, і = 0,(N -1). Ее мож-

но представить в виде взвешенной суммы последовательностей Уолша

{8} = -1{Щ X ,

где {Я} = Я0, Я1,..., RN _1 — матрица- строка коэффициентов разложения, равных

{Я} = {8}XWN .

Прямое и обратное преобразование Уолша можно записать в виде

N-1

я

■£ і, і = 0,(N -1).

і=0

N -1

77 ЕЯі*і,і, і = 0,(N -1).

Иі=?

(6)

(7)

(8) (9)

Совокупность коэффициентов Уолша можно рассматривать как спектр сигнала {«}, подобный спектру в гармоническом базисе.

Величины Я., і = 0,(И -1), являются целыми четными (положительными или отрицательными) числами. Из (8) получим

N-1 N-1 N-1

Е Я. = Е«іЕ*и = И«0 =±И. (10)

і=0 і=0 і=0

Перемножая матрицу-строку {«} и матрицу-столбец {«}Т, где (..)Т — символ транспонирования, получим

{«} х {«}Т = N , (11)

а с учетом (6)

1 1 1 И-1

{«}х{«}Т = -{ЯЖи хИж{Я}Т = И£Я . (12)

Тогда из (11) и (12)

N-1

Е Я2 = N2. (13)

і =0

Полученное выражение соответствует известному равенству Парсеваля в теории гармонических спектров, а выражение (12) определяет нормированную мощность сигнала, выраженную через спектр Уолша. Из (13) следует неравенство

£ N, I = 0, (N _ 1). (14)

Рассмотрим скалярное произведение двух сигналов {^}1 и {*}2 в матричной

форме

1 1 1 N _1

{8 }, X { *} 2 = —{ Я },Ш N X — Ш N { Я } 2 = — 2 Я 1,,Я 2,1. (15)

С другой стороны,

{*}1 X {*}[ = N _ 2d , (16)

где d — расстояние Хэмминга между кодовыми словами и 2, тогда с учетом (15)

N _1

{Я,!X{Я,} = £Я^Я,, = N(N _2d). (17)

I =0

Как видно, спектры Уолша характеризуют меру различия соответствующих кодовых последовательностей. Если d = N (это максимально возможное значение), то из (16) следует противоположность кодовых слов {*}1 и , {*}1 = _{*}2. При d = N/2 получим

М1 X {*}2 = 0, (18)

то есть комбинации {*}1 и {*}2 ортогональны.

Из (8) при I = 0 с учетом того, что в последовательности Уолша w . все элементы равны 1, получим

N _1

Я0 = 2 БУ , (19)

У=0

то есть коэффициент Я0 равен разности числа символов 1 и -1 в кодовой последовательности {*} . При I = N/2 у последовательности Уолша первые N/2 элементов равны 1, а последние -1. Тогда

(N /2) _1 N _1

RN/2 = 2 _ X . (20)

У=0 У=N /2

Подобные соотношения можно получить и для других коэффициентов Уолша.

Если сами кодовые комбинации являются последовательностями Уолша, то получим ортогональный код длиной N элементов, у которого m = log 2 N информационных символов и d = N/2. Если же к ним добавить противоположные комбинации, то получим код Рида-Мюллера [4], у которого m = log 2 N +1, а d = N / 2 для всех кодовых слов, кроме одного, для которого d = N . Это блоковые коды (N,m,d) со скоростью передачи, равной

m = log2 N +1 N ~ N ’

которая быстро падает с ростом длины кодового слова.

Спектры Уолша {R} двоичных последовательностей содержат только четные числа. Для полного кода от 00..0 до 11..1 с номерами (десятичными эквивалентами) i от 0 до (2N — 1) , всего 2N комбинаций, коэффициенты Уолша Rtj (j — номер последовательности) образуют матрицу размера NX2м, ее пример при N = 4 показан на рис. 1.

1 —►

V

(21)

ri,j

I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 -4 -2 -2 0 -2 0 0 2 -2 0 0 2 0 2 2 4

1 0 2 -2 0 2 4 0 2 -2 0 -4 -2 0 2 -2 0

2 0 2 2 4 -2 0 0 2 -2 0 0 2 -4 -2 -2 0

3 0 2 -2 0 -2 0 -4 -2 2 4 0 2 0 2 -2 0

Рис. 1. Матрица коэффициентов Уолша

Если из нее выбрать последовательности Уолша (номера і равны 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12 и 15), то получим код Рида-Мюллера (4,3,2).

При = 8 спектр Уолша для кода Рида-Мюллера (8,4,4) показан на рис. 2.

В-1,і 1 ~їГ 15 Л 60 55 90 102 105 150 153 165 170 195 204 240 255

0 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 0 0

2 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 8 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 0

4 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 0

5 0 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 8 -8 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 -8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0

Рис. 2. Спектр Уолша для кода Рида-Мюллера

Кроме того, имеются спектры Уолша, содержащие числа 4, 4, 4, и -4 и четыре нуля в различных комбинациях, всего 112 вариантов. Если к ним добавить коды Рида-Мюллера, то получим 128 комбинаций блочного кода (8,7,2). Кроме того, имеется еще 128 комбинаций, в которых один из коэффициентов Уолша равен 6 или - 6, а остальные равны ± 2. Они также образуют блочный код (8,7,2). Спектры Уолша должны удовлетворять условию (10).

Таким образом, анализ спектров Уолша двоичных кодовых последовательностей позволяет выбрать подходящие комбинации, из которых особый интерес для решения задачи декодирования «в целом» представляют ортогональные и биортогональные коды.

Двоичные коды на основе последовательностей Уолша позволяют реализовать цифровые алгоритмы их когерентной демодуляции и мягкого декодирования «в целом» с эффективным исправлением ошибок. При этом фактически реализуется оптимальная обработка широкополосного сигнала с малой базой (например, фазоманипулированно-го) [5] и за счет этого обеспечивается высокая помехоустойчивость передачи дискретных сообщений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Финк Л.М. Теория передачи дискретных сообщений. — М.: Сов. радио, 1970.

2. Бородин Л.Ф. Введение в теорию помехоустойчивого кодирования. — М.:Сов. радио, 1968.

3. Berrou C., Glavieux A. Near Optimum Error Correcting Coding and Decoding Turbo-Codes. IEEE Trans. On Comm. — Vol. 44. — No. 10. — October 1996.

4. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. — М.:

Связь, 1975.

5. Варакин Л.Е. Системы связи с широкополосными сигналами. — М.: Радио и связь, 1985.