Оценка плотности пассажиров на платформах метро Текст научной статьи по специальности «Математика»

Регулирование движения поездов и связь

97

Мягков В.Н., Пальчиков Н.С., Федоров В.П. Математическое обеспечение градостроительного проектирования, Ленинград, «Наука», 1989.

Швецов В.И., Алиев А.С. Математическое моделирование загрузки транспортных сетей, Ленинград, «Наука», 1986.

УДК-656.2

ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ ПАССАЖИРОВ НА ПЛАТФОРМАХ

МЕТРО

М.Н. Василенко, В.А. Ходаковский, М.А Шварц

Аннотация

Рассматривается метод оценивания плотности пассажиропотока на платформах метрополитена путем построения регрессионной модели потока и аппроксимации рядом Фурье объективных данных системы (АСКОП) о прохождении пассажирами турникетов с кратностью выборки 5 мин. Проведена проверка качества аппроксимации по остаточной дисперсии. Проведена оценка населенности платформ по направлениям.

Ключевые слова: выборка, плотность, ряд Фурье, регрессия Введение

С внедрением на метрополитене автоматизированной системы контроля оплаты проезда (АСКОП) появилась техническая возможность получения объективных данных о количестве пассажиров, прошедших через турникеты. Кратность выборок в системе АСКОП, применяемой на Петербургском метрополитене, равна 5 минутам, что является достаточным для использования информации в процессе оперативного управления линией и позволяет формировать базу данных значений интенсивности пассажиропотока за прошедший период Pn(t) (чел/мин) и осуществлять динамическое сравнение выборок из этой базы со значениями текущими Pm(t), получаемыми непосредственно из базы данных АСКОП.

Текущую плотность пассажиров на платформах станций в различных направлениях необходимо оценивать в зависимости от времени суток с учетом матрицы корреспонденций. Решение таких задач требует разработки математического аппарата, позволяющего создать адекватную модель пассажиропотока с заданным уровнем достоверности.

В настоящей работе предлагается построение модели пассажиропотока с использованием метода регрессионного статистического анализа выборок АСКОП.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

98

Регулирование движения поездов и связь

1. Моделирование пассажиропотока

Модель пассажиропотока определим в виде функции:

/(х) = а0 +аг cosx + Д sinх + ... + ат cosтх + /Зт sinтх

(1)

Оценки параметров модели (1) определяются последовательно следующим образом:

а о =у, оси =-Yyicoskxi; /? к =-Yytsm.kxt

П П

(2)

- 1 ^

где у = -\уг

n

Функция

у(х) = а+^Га coskx+/3ksmkx

(3)

к=1

z= о

определяет выборочную эмпирическую регрессию Y на х, которая представляет собой оценку теоретической регрессии (1) по результатам регистрации. С помощью разностей между регистрируемыми значениями

у и расчетными у вычислим остаточную дисперсию:

х2=-

Qe

п - (2т +1)

п—1

е.=£&-

■у,-

i=0

(4)

(5)

Остаточная дисперсия (4) определяет качество аппроксимации результатов регистрации моделью (1). Данная модель представляет собой частичную сумму ряда Фурье порядка т. Возникает важная задача определения наилучшего (оптимального) порядка модели. Для ее решения предлагается сравнивать остаточную дисперсию ошибок для двух последовательных значений 2(т-1) + 1и (2т+ 1). Если S2(2m-\)> S2(2m + \)n, кроме того,

S (2m-l)/S2(2m+l) > F\_a(„-(2m+\),n-(2m+\)) (^)

(ао ■> ■> Р ■>• • •■> ССт ■>

п — (2 т +1)

^Я(ммм2Я4)“значение функции Фишера с п-(2т + 1),п-(2т-1)степенями свободы и уровнем значимости а.

Таким образом, различие оценок дисперсий S2(2m-\) и S2{lm + \) значимо и порядок модели необходимо увеличить на единицу. Если же

где S2 (2т +1) = —

А„)

т = 1,2...

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Регулирование движения поездов и связь

99

различие указанных дисперсий незначимо, то следует остановиться на модели порядка 2т-I.

Величину Qe{ao,ai,pi,...,am,pт)последовательно вычислим с помощью

соотношения:

п-\ т

Qe =Ет,2-««0 “ТЕ

i=1 2 к=1

*1 + Р\

(7)

После определения порядка «т» регрессионной модели (3) появляется возможность получить оценку ковариационной матрицы параметров матрицы параметров:

K = S2 * * *(ATA)

-1

(8)

а также определить границы доверительных интервалов для параметров:

a ±t „ ,

j 1~,(и-(2»г+1)) 11 '

(9)

где ау - элемент матрицы ^7А^,«- заданный уровень значимости,

- квантиль распределения Стьюдента при уровне значимости а и

1-—,(и-(2ш+1))

числе степеней свободы и - (2m +1).

Определим доверительный интервал для дисперсии о-2 ошибок наблюдений:

(10)

4-(2т + 1)2}2 2 (n-(2m + i))S2

----2-----------<<т <--------5----------

X а Ха

1--,(и-(2т+1)) -,(и-(2т+1))

t

2 2 2

где х а’Ха - квантили % -распределения.

1 2’ 2

Модель (1) представляет собой разложение случайного процесса, характеризующего пассажиропоток за определенный период (одни сутки).

Доверительные интервалы для параметров определяются

выражениями:

а0 ±t

S

\-^-,{п-{2т-\У)

■ak±t_

1—Хп-(2т—\У) 2

SJ-Jk±t

S

1-—,(и-(2т-1)) V П

(11)

2

Так как п с учетом количества 5 минутных выборок АСКОП достаточно велико (>240), то при а = 0.05 / = 1.96.

Далее необходимо осуществить проверку гипотезы Но:а1=0,р1=0,...,ат=0,/Зт=0. Если гипотеза Но верна, то модель (1)

статистически незначима.

Для проверки данной гипотезы воспользуемся статистикой:

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

100

Регулирование движения поездов и связь

Qr!2m _ Qr Qe!(n — (2т -1)) 2mS2

(12)

Данная статистика при справедливости гипотезы Но имеет

распределение Фишера с 2ми п-(2т-\)степенями свободы.

Qr^'E^.-y,

2

7=1

(13)

Вычисление статистики удобно производить, опираясь на тождество:

где:

или по формуле:

Qy - Qr +Qe

п-1 п-1

Qy = Е * ~уУ !>■ ~пу2

* 7 S ^ 7

7=0 7=0

Г А Тл

Qr=a A Y-ny

2

(14)

(15)

(16)

2. Применение регрессионной модели

Полученная регрессионная модель пассажиропотока позволяет решить следующие актуальные задачи:

- определение средних Pn(t) значений и их доверительных границ для заданных периодов времени;

- определение изменений интенсивности пассажиропотока Pm(t), превышающих границы доверительных интервалов;

- определение значений плотности пассажиров на платформах станций

для формирования ограничений на возможные решения задачи (1).

Методом экспертных оценок получены следующие границы значений

л

населенности п (чел/м ) платформ:

- и <1- низкая населенность;

- 1<й<3.5- нормальная

населенность;

- и >3.5- высокая населенность. Рассмотрим некоторую станцию

метрополитена рис. 1.

Будем анализировать населенность платформ в зоне максимального накопления пассажиров, обозначенной

штриховкой. Площадь данной зоны

2

составляет S = 31 шм .

Рис. 1. Схема платформы

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Регулирование движения поездов и связь

101

Интенсивность общего входного пассажиропотока Рвх в общем случае равна:

Рвх = (Рвве1 +... + Рвхт) + (Рвхп1 +... + PeenJ,v,m = \,n, (17)

где:

Рвхв - интенсивность входного пассажиропотока через вестибюли

станции;

Рвхе Рвхп -интенсивность входного пассажиропотока через переходы

на другие линии.

Чтобы оценить распределение пассажиров по платформам различных направлений через величины Рвх1, PexII введем понятие «угол

неравномерности распределения пассажиров» а. Г рафическая

интерпретация данного параметра приведена на рис. 2.

100%

Рвх1=70%

Pnvll-ino/

Рис. 2. Угол неравномерности распределения пассажиров

Тогда интенсивность

пассажиропотока для каждого направления для i-й выборки составит:

: Рвх cos а

(18)

Pi = % sin а

Соответственно, населенность платформ соответствующих

направлений составит:

nx (t) = \3pl (t)S~\

n2 (t) = l.3p2(t)S~

(19)

2,

где параметр t задает интервалы времени между подходящими поездами.

Угол перекоса пассажирской нагрузки возможно получить с помощью часовых матриц корреспонденций M(t),t = ОД,...,23.

Матрицей корреспонденций называется квадратная матрица размерности пхп, равной количеству станций на метрополитене. В строках данной матрицы записывается количество пассажиров, проехавших с данной станции на другие станции линии.

Для линии, изображенной на рис. 2, матрица корреспонденций имеет вид, приведенный в таблице 1:

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

102

Регулирование движения поездов и связь

ТАБЛИЦА 1. Матрица корреспонденций

Станции А Б В Г Д Е Вход

А 0 Паб Пав Паг Пад Пае Па

Б 1 | Пба 0 Пбв Пбг Пбд Пбе Пб

В 1 Пва Пвб 0 Пвг Пвд Пве Пв

Г Пга Пгб Пгв 0 Пгд Пге Пг

Д Пда Пдб Пдв Пдг 0 Пде Пд

Е Пеа Пеб Пев Пег Пед 0 Пе

Выход Па Пб Пв Пг Пд Пе Побщ

Для расчета загрузки платформ в каждом направлении на период времени t рассчитывается суммарное количество пассажиров, уехавших на другие станции с соответствующей платформы.

Очевидно, что для конечных станций линии весь входной пассажиропоток приходится на одну платформу, следовательно,

Pi (0 = Ра, (0 COS90 - р,х (Г), Р (0=1- 3Ра (t)Sr

Пример расчета загрузки платформ промежуточных станций проведем для станции Б. Суммарный пассажиропоток с платформ составит:

а(0 =

Ъа

t

P2(t)

Пбв + Пбг + Пбд + Пбе

t

(20)

Элементарное тригонометрическое преобразование позволяет получить значение щ7)для промежутка времени, относящегося к данной матрице корреспонденций.

Построим регрессионную модель для пассажиропотока ст. «Достоевская» Петербургского метрополитена.

Функция (1) имеет вид:

у := а0 +

a]jCos(x(i,k))

Pksin(x(i,k))

k = 1

k = 1

Зададимся порядком модели т = 1.

Проверка оптимальности порядка модели на основании оценок дисперсий (6) для т = 1,т = 8 показывает, что уровень значимости ошибки для ш = 9 не превышает значение функции Фишера для уровня значимости

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения

Регулирование движения поездов и связь

103

а = 0.95. По формулам (11) определены границы доверительных интервалов параметров модели.

Рис. 3. График изменения входного пассажиропотока и границы доверительных интервалов

На рис. 3 приведен график изменения входного пассажиропотока и границы доверительных интервалов.

На основании полученной модели пассажиропотока произведен расчет зависимости населенности платформ станции для соответствующего угла неравномерности пассажирской нагрузки.

Внешний вид графика изменения населенности платформы, при различных межпоездных интервалах, полученный с использованием разработанной методики, приведен на рис. 4.

В работе адекватность модели проверялась путем сравнения расчетной плотности пассажиров на платформах с реальной населенностью для различных межпоездных интервалов. Фактическая населенность платформы определялась посредством фотосъемки с последующим определением количества пассажиров на контрольном участке платформы.

Результаты сравнения для станции «Лиговский проспект» Петербургского метрополитена приведены в таблице 2.

Таким образом, расчетные значения отличаются от реальных не более чем на 5.7 %, что позволяет сделать вывод о достаточной точности оценок.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2004/2

104

Регулирование движения поездов и связь

Заключение

Рассмотренный метод получения регрессионной модели потока пассажиров на платформах метрополитена может быть рекомендован и для решения других задач, где требуется аппроксимация (фильтрация временного ряда) значений статистической выборки. Практика применения метода показывает, что хорошие результаты могут быть получены при учете всего 7 гармоник разложения в ряд Фурье.

Рис. 4. График населенности платформы

ТАБЛИЦА 2. Сравнение расчетной плотности пассажиров на платформах с реальной населенностью для различных межпоездных интервалов

Межпоездной интервал, мин Плотность пассажиров расчетная, чел/м2 Плотность пассажиров фактическая, чел/м2

2 1.84 1.95

3 2.20 2.30

5 2.91 2.83

6 3.51 3.42

2004/2

Известия Петербургского университета путей сообщения